Asosiy tarkibga o'tish

3.7-bo'lim: Teskari trig funksiyalarining hosilalari

Ushbu bo'limda biz teskari trig funktsiyalarining hosilalarini ko'rib chiqamiz. Teskari trig funksiyalarning hosilalarini olish uchun bizga teskari funksiyalarning hosilalari bilan bog‘liq oxirgi bo‘limdagi formula kerak bo‘ladi. Agar \(f\left( x \right)\) va \(g\left( x \right)\) teskari funktsiyalar bo'lsa, u holda,

\[g'\left( x \right) = \frac{1}{{f'\left( {g\left( x \right)} \right)}}\]

Eslatib o'tamiz, agar \(f\left( {g\left( x \right)} \right) = x\) va \(g\left( {f\left( x \right)} \right) = x\) bo'lsa, ikkita funktsiya teskari.

Biz bu erda teskari sinus, teskari kosinus va teskari tangensni batafsil ko'rib chiqamiz va qolgan uchtasini olish uchun sizga qoldiramiz.

Teskari sinus

Teskari sinusdan boshlaylik. Bu erda teskari sinusning ta'rifi.

\[y = {\sin ^{ - 1}}x\hspace{0.5in} \Leftrightarrow \hspace{0.5in}\sin y = x\hspace{0.25in}{\mbox{for}}\,\,\,\,\,\,\,\,\, - \frac{\pi }{2} \le y \le \frac{\pi }{2}\]

Demak, teskari trig funksiyasini baholash qaysi burchak (i.e. \(y\)) \(x\) ni olish uchun sinus funksiyasiga uladikmi? Yuqorida keltirilgan \(y\) cheklovlari teskari sinusdan izchil javob olishimizga ishonch hosil qilish uchun mavjud. Biz bilamizki, aslida ishlaydigan cheksiz ko'p burchaklar mavjud va biz teskari sinus bilan ishlaganimizda barqaror qiymatni xohlaymiz. Yuqoridagi burchaklar oralig'idan foydalanish sinus funktsiyasining barcha mumkin bo'lgan qiymatlarini aynan bir marta beradi. Agar siz bunga ishonchingiz komil bo'lmasa, birlik doirasini chizing va bu burchak diapazoni (\(y\)) sinusning barcha mumkin bo'lgan qiymatlarini qamrab olishini ko'rasiz.

Shuni ham yodda tutingki, \( - 1 \le \sin \left( y \right) \le 1\) dan beri bizda \( - 1 \le x \le 1\) ham mavjud.

Tez misol bilan ishlaylik.

1-misol \(\displaystyle {\sin ^{ - 1}}\left( {\frac{1}{2}} \right)\) ni baholang
Yechim

Shunday qilib, biz haqiqatan ham \(y\) qaysi burchak quyidagi tenglamani yechishini so'rayapmiz.

\[\sin \left( y \right) = \frac{1}{2}\]

va biz yuqoridagi \(y\) qiymatlari bilan cheklanganmiz.

Birlik doirasidan biz \(y = \frac{\pi }{6}\) ni tezda ko'rishimiz mumkin.

Teskari sinus funksiya va sinus funksiya o‘rtasida quyidagi bog‘liqlik mavjud.

\[\sin \left( {{{\sin }^{ - 1}}x} \right) = x\hspace{0.5in}{\sin ^{ - 1}}\left( {\sin x} \right) = x\]

Boshqacha qilib aytganda, ular bir-biriga teskari. Bu teskari sinusning hosilasini topish uchun yuqoridagi faktdan foydalanishimiz mumkinligini anglatadi. dan boshlaylik,

\[f\left( x \right) = \sin x\hspace{0.5in}g\left( x \right) = {\sin ^{ - 1}}x\]

Keyin,

\[g'\left( x \right) = \frac{1}{{f'\left( {g\left( x \right)} \right)}} = \frac{1}{{\cos \left( {{{\sin }^{ - 1}}x} \right)}}\]

Bu juda foydali formula emas. Keling, yaxshiroq formulani olishimiz mumkinligini ko'rib chiqaylik. Keling, teskari sinus funktsiyasining ta'rifini eslashdan boshlaylik.

\[y = {\sin ^{ - 1}}\left( x \right)\hspace{0.5in} \Rightarrow \hspace{0.5in}x = \sin \left( y \right)\]

Ushbu ta'rifning birinchi qismidan foydalanib, hosiladagi maxraj quyidagicha bo'ladi:

\[\cos \left( {{{\sin }^{ - 1}}x} \right) = \cos \left( y \right)\]

Endi buni eslang

\[{\cos ^2}y + {\sin ^2}y = 1\hspace{0.5in} \Rightarrow \hspace{0.5in}\cos y = \sqrt {1 - {{\sin }^2}y} \]

Bundan foydalanib, maxraj endi,

\[\cos \left( {{{\sin }^{ - 1}}x} \right) = \cos \left( y \right) = \sqrt {1 - {{\sin }^2}y} \]

Endi teskari sinus funksiya ta'rifining ikkinchi qismidan foydalaning. Maxraj u holda,

\[\cos \left( {{{\sin }^{ - 1}}x} \right) = \sqrt {1 - {{\sin }^2}y} = \sqrt {1 - {x^2}} \]

Bularning barchasini birlashtirganda quyidagi hosila hosil bo'ladi.

\[\frac{d}{{dx}}\left( {{{\sin }^{ - 1}}x} \right) = \frac{1}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}\]

Teskari kosinus

Endi teskari kosinusni ko'rib chiqamiz. Bu erda teskari kosinusning ta'rifi.

\[y = {\cos ^{ - 1}}x\hspace{0.5in} \Leftrightarrow \hspace{0.5in}\cos y = x\hspace{0.25in}{\mbox{for}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,0 \le y \le \pi \]

Teskari sinusda bo'lgani kabi bizda \(y\) burchaklarida cheklov mavjud bo'lib, biz teskari kosinus funktsiyasidan chiqamiz. Shunga qaramay, agar siz buni tasdiqlamoqchi bo'lsangiz, birlik doirasining qisqacha chizmasi sizni ushbu diapazon kosinusning barcha mumkin bo'lgan qiymatlarini bir marta qamrab olishiga ishontirishi kerak. Bundan tashqari, bizda \( - 1 \le x \le 1\) ham bor, chunki \( - 1 \le \cos \left( y \right) \le 1\).

2-misol \(\displaystyle {\cos ^{ - 1}}\left( { - \frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)\) ni baholang.
Yechim

Teskari sinusda bo'lgani kabi, biz haqiqatan ham quyidagilarni so'raymiz.

\[\cos y = - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\]

bu erda \(y\) yuqorida keltirilgan talablarga javob berishi kerak. Birlik aylanasidan biz \(y = \frac{{3\pi }}{4}\) bo'lishi kerakligini ko'rishimiz mumkin.

Teskari kosinus va kosinus funktsiyalari ham bir-biriga teskari va bizda,

\[\cos \left( {{{\cos }^{ - 1}}x} \right) = x\hspace{0.5in}{\cos ^{ - 1}}\left( {\cos x} \right) = x\]

Hosilni topish uchun yuqoridagi teskari sinus bilan qilgan ishni bajaramiz. Agar biz bilan boshlasak

\[f\left( x \right) = \cos x\hspace{0.5in}g\left( x \right) = {\cos ^{ - 1}}x\]

keyin,

\[g'\left( x \right) = \frac{1}{{f'\left( {g\left( x \right)} \right)}} = \frac{1}{{ - \sin \left( {{{\cos }^{ - 1}}x} \right)}}\]

Bu erda maxrajni soddalashtirish teskari sinus uchun bajargan ishimiz bilan deyarli bir xil va shuning uchun bu erda ko'rsatilmagan. Soddalashtirgandan so'ng biz quyidagi hosilani olamiz.

\[\frac{d}{{dx}}\left( {{{\cos }^{ - 1}}x} \right) = - \frac{1}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}\]

Demak, teskari kosinusning hosilasi teskari sinusning hosilasi bilan deyarli bir xil. Farqi faqat salbiy belgidir.

Teskari tangens

Bu erda teskari tangensning ta'rifi.

\[y = {\tan ^{ - 1}}x\hspace{0.5in} \Leftrightarrow \hspace{0.5in}\tan y = x\hspace{0.25in}{\mbox{for}}\,\,\,\,\,\,\,\,\, - \frac{\pi }{2} < y < \frac{\pi }{2}\]

Shunga qaramay, bizda \(y\)-da cheklov bor, ammo shuni yodda tutingki, biz \(y\) yuqoridagi cheklovdagi ikkita oxirgi nuqtadan birortasi bo'lishiga yo'l qo'ya olmaymiz, chunki bu ikki nuqtada tangens ham aniqlanmagan. Ushbu diapazon tangensning barcha mumkin bo'lgan qiymatlarini qamrab olishiga ishonch hosil qilish uchun tezda bajaring eskiz tangens funksiyasi va biz ushbu diapazonda biz tangensning barcha mumkin bo'lgan qiymatlarini qamrab olishimizni ko'rishimiz mumkin. Bundan tashqari, bu holda \(x\)-da hech qanday cheklovlar yo'q, chunki tangens barcha mumkin bo'lgan qiymatlarni qabul qilishi mumkin.

3-misol \({\tan ^{ - 1}}1\) ni baholang.
Yechim

Mana biz so'raymiz,

\[\tan y = 1\]

bu erda \(y\) yuqorida keltirilgan cheklovlarga javob beradi. Birlik doirasidan biz \(y = \frac{\pi }{4}\) ni ko'rishimiz mumkin.

\(x\)-da hech qanday cheklov yo'qligi sababli biz teskari tangens funksiyasining chegaralarini so'rashimiz mumkin, chunki \(x\) ortiqcha yoki minus cheksizlikka o'tadi. Buning uchun bizga teskari tangens funksiyasining grafigi kerak bo'ladi. Bu quyida ko'rsatilgan.

Graph of \(y={{\tan }^{-1}}\left( x \right)\). The graph starts on the left at the horizontal asymptote at \(y=-\frac{\pi }{2}\) and increases going through (0,0) and then approaching another horizontal asymptote at \(y=\frac{\pi }{2}\).

Ushbu grafikdan biz buni ko'rishimiz mumkin

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {\tan ^{ - 1}}x = \frac{\pi }{2}\hspace{0.5in}\hspace{0.25in}\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {\tan ^{ - 1}}x = - \frac{\pi }{2}\]

Tangens va teskari tangens funktsiyalar teskari funktsiyalardir, shuning uchun

\[\tan \left( {{{\tan }^{ - 1}}x} \right) = x\hspace{0.5in}{\tan ^{ - 1}}\left( {\tan x} \right) = x\]

Shuning uchun, teskari tangens funksiyaning hosilasini topish uchun biz boshlashimiz mumkin

\[f\left( x \right) = \tan x\hspace{0.5in}g\left( x \right) = {\tan ^{ - 1}}x\]

Keyin bizda,

\[g'\left( x \right) = \frac{1}{{f'\left( {g\left( x \right)} \right)}} = \frac{1}{{{{\sec }^2}\left( {{{\tan }^{ - 1}}x} \right)}}\]

Maxrajni soddalashtirish teskari sinusga o'xshaydi, ammo tafsilotlarni ko'rsatish uchun etarlicha farq qiladi. Biz teskari tangensning ta'rifidan boshlaymiz.

\[y = {\tan ^{ - 1}}x\hspace{0.5in} \Rightarrow \hspace{0.5in}\tan y = x\]

Maxraj u holda,

\[{\sec ^2}\left( {{{\tan }^{ - 1}}x} \right) = {\sec ^2}y\]

Endi bundan boshlasak

\[{\cos ^2}y + {\sin ^2}y = 1\]

va har bir atamani cos ga bo'ling2 \(y\) biz olamiz,

\[1 + {\tan ^2}y = {\sec ^2}y\]

Maxraj u holda,

\[{\sec ^2}\left( {{{\tan }^{ - 1}}x} \right) = {\sec ^2}y = 1 + {\tan ^2}y\]

Nihoyat, teskari tangens funksiya ta'rifining ikkinchi qismidan foydalanish bizga quyidagilarni beradi:

\[{\sec ^2}\left( {{{\tan }^{ - 1}}x} \right) = 1 + {\tan ^2}y = 1 + {x^2}\]

Teskari tangensning hosilasi u holda,

\[\frac{d}{{dx}}\left( {{{\tan }^{ - 1}}x} \right) = \frac{1}{{1 + {x^2}}}\]

Yana uchta teskari trig funktsiyasi mavjud, ammo bu erda uchta eng keng tarqalganlari ko'rsatilgan. Qolgan uchtasi uchun formulalar yuqoridagi kabi jarayon orqali olinishi mumkin. Bu yerda barcha oltita teskari trig funksiyalarning hosilalari keltirilgan.

Teskari trig funksiyalarning hosilalari

\[\begin{array}{ll}\displaystyle \frac{d}{{dx}}\left( {{{\sin }^{ - 1}}x} \right) = \frac{1}{{\sqrt {1 - {x^2}} }} & \hspace{1.0in}\displaystyle \frac{d}{{dx}}\left( {{{\cos }^{ - 1}}x} \right) = - \frac{1}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}\\ \displaystyle \frac{d}{{dx}}\left( {{{\tan }^{ - 1}}x} \right) = \frac{1}{{1 + {x^2}}} & \hspace{1.0in}\displaystyle \frac{d}{{dx}}\left( {{{\cot }^{ - 1}}x} \right) = - \frac{1}{{1 + {x^2}}}\\ \displaystyle \frac{d}{{dx}}\left( {{{\sec }^{ - 1}}x} \right) = \frac{1}{{\left| x \right|\sqrt {{x^2} - 1} }} & \hspace{1.0in}\displaystyle \frac{d}{{dx}}\left( {{{\csc }^{ - 1}}x} \right) = - \frac{1}{{\left| x \right|\sqrt {{x^2} - 1} }}\end{array}\]

Keyingiga o'tishdan oldin bu erda bir nechta tez hosilalarni qilishimiz kerak.

4-misol Quyidagi funktsiyalarni farqlang.
  1. \(f\left( t \right) = 4{\cos ^{ - 1}}\left( t \right) - 10{\tan ^{ - 1}}\left( t \right)\)
  2. \(y = \sqrt z \, {\sin ^{ - 1}}\left( z \right)\)
a \(f\left( t \right) = 4{\cos ^{ - 1}}\left( t \right) - 10{\tan ^{ - 1}}\left( t \right)\) Yechim

Har bir atamani farqlashdan tashqari, bu bilan hech qanday aloqasi yo'q.

\[f'\left( t \right) = - \frac{4}{{\sqrt {1 - {t^2}} }} - \frac{{10}}{{1 + {t^2}}}\]

b \(y = \sqrt z \, {\sin ^{ - 1}}\left( z \right)\) Yechim

Mahsulot qoidasini qo'llashdan oldin radikalni kasr ko'rsatkichlariga aylantirishni unutmang.

\[y' = \frac{1}{2}{z^{ - \frac{1}{2}}}{\sin ^{ - 1}}\left( z \right) + \frac{{\sqrt z }}{{\sqrt {1 - {z^2}} }}\]

Muqobil notation

Teskari trig funksiyalarini belgilash uchun ba'zi bir muqobil yozuvlar mavjud. Bu belgi,

\[\begin{array}{ll}{\sin ^{ - 1}}x = \arcsin x & \hspace{1.0in}{\cos ^{ - 1}}x = \arccos x\\ {\tan ^{ - 1}}x = \arctan x & \hspace{1.0in}{\cot ^{ - 1}}x = {\mbox{arccot }}x\\ {\sec ^{ - 1}}x = {\mathop{\rm arcsec}\nolimits} \,x & \hspace{1.0in}{\csc ^{ - 1}}x = {\mathop{\rm arccsc}\nolimits} \,x\end{array}\]