17.2-bo'lim: Parametrik yuzalar
Sirt integrallariga kirishdan oldin muhokama qilishimiz kerak bo'lgan yakuniy mavzu bu sirtni qanday parametrlashdir. Egri chiziqni parametrlashtirganda, biz \(\left[ {a,b} \right]\) oraliqdan \(t\) qiymatlarini oldik va ularni tarmoqqa uladik.
\[\vec r\left( t \right) = x\left( t \right)\vec i + y\left( t \right)\vec j + z\left( t \right)\vec k\]va natijada vektorlar to'plami egri chiziqdagi nuqtalar uchun pozitsiya vektorlari bo'ladi.
Sirtlar bilan biz shunga o'xshash narsalarni qilamiz. Biz \(\left( {u,v} \right)\) nuqtalarini ikki o'lchovli \(D\) fazosidan olib chiqamiz va ularni tarmoqqa ulaymiz.
\[\vec r\left( {u,v} \right) = x\left( {u,v} \right)\vec i + y\left( {u,v} \right)\vec j + z\left( {u,v} \right)\vec k\]va natijada vektorlar to'plami biz parametrlashtirmoqchi bo'lgan \(S\) sirtidagi nuqtalar uchun pozitsiya vektorlari bo'ladi. Bu ko'pincha deyiladi parametrik ifodalash ning parametrik sirt \(S\).
Biz ba'zan yozishimiz kerak bo'ladi parametrik tenglamalar sirt uchun. Haqiqatan ham, aniq yozilgan parametrik vakillikning tarkibiy qismlaridan boshqa hech narsa yo'q.
\[x = x\left( {u,v} \right)\hspace{0.5in}y = y\left( {u,v} \right)\hspace{0.5in}z = z\left( {u,v} \right)\]Yechim
Avval parametrik tenglamalarni yozamiz.
\[x = u\hspace{0.5in}y = u\cos v\hspace{0.5in}z = u\sin v\]Endi biz \(y\) va \(z\) kvadratlarini to'rtburchak qilib, keyin ularni qo'shsak,
\[{y^2} + {z^2} = {u^2}{\cos ^2}v + {u^2}{\sin ^2}v = {u^2}\left( {{{\cos }^2}v + {{\sin }^2}v} \right) = {u^2} = {x^2}\]Shunday qilib, biz \(x\), \(y\) va \(z\) dagi parametrlarni va tenglamani yo'q qilishga muvaffaq bo'ldik:
\[{x^2} = {y^2} + {z^2}\]dan Kvadrat yuzalar bo'lim eslatmalarida biz bu \(x\) o'qi bo'ylab ochiladigan konus ekanligini ko'rishimiz mumkin.
Biz sirtni parametrik tasvirdan aniqlashdan ko'ra, uning parametrik tenglamalarini yozib olishimiz kerak, shuning uchun keling, bunga ba'zi misollarni ko'rib chiqaylik.
- Elliptik paraboloid \(x = 5{y^2} + 2{z^2} - 10\).
- \(yz\) tekisligi oldida joylashgan \(x = 5{y^2} + 2{z^2} - 10\) elliptik paraboloidi.
- Sfera \({x^2} + {y^2} + {z^2} = 30\).
- Tsilindr \({y^2} + {z^2} = 25\).
a Elliptik paraboloid \(x = 5{y^2} + 2{z^2} - 10\). Yechim
Bu, ehtimol, qanday qilishni ko'rish uchun to'rttasining eng osoni. Sirt \(x = f\left( {y,z} \right)\) ko'rinishida bo'lgani uchun biz parametrik tenglamalar to'plamini tezda quyidagicha yozishimiz mumkin:
\[x = 5{y^2} + 2{z^2} - 10\hspace{0.25in}y = y\hspace{0.25in}\,z = z\]Oxirgi ikkita tenglama biz \(y\) va \(z\) ni biz xohlagan narsa bo'lishi uchun tanlashimiz mumkinligini tan olish uchun mavjud. Parametrik vakillik u holda,
\[\vec r\left( {y,z} \right) = \left( {5{y^2} + 2{z^2} - 10} \right)\vec i + y\,\vec j + z\,\vec k\]b \(yz\) tekisligi oldida joylashgan \(x = 5{y^2} + 2{z^2} - 10\) elliptik paraboloidi. Yechim
Bu, albatta, oldingi parametrik ko'rinishdagi cheklovdir. Parametrik tasvir bir xil bo'lib qoladi.
\[\vec r\left( {y,z} \right) = \left( {5{y^2} + 2{z^2} - 10} \right)\vec i + y\,\vec j + z\,\vec k\]Biroq, biz faqat \(yz\)-tekisligining oldida joylashgan sirtni xohlayotganimiz sababli, biz \(x \ge 0\)-ni ham talab qilishimiz kerak. Bu talab qilish bilan teng,
\[5{y^2} + 2{z^2} - 10 \ge 0\hspace{0.25in}\text{yoki}\hspace{0.25in}5{y^2} + 2{z^2} \ge 10\]c Sfera \({x^2} + {y^2} + {z^2} = 30\). Yechim
Buni qanday qilishni ko'rmaguningizcha, bu biroz qiyin bo'lishi mumkin. Sferik koordinatalarda biz \(a\) radiusli sharning tenglamasi quyidagicha berilganligini bilamiz:
\[\rho = a\]va shuning uchun bu sohaning tenglamasi (sferik koordinatalarda) \(\rho = \sqrt {30} \). Endi bizda dekart koordinatalarini sferik koordinatalarga aylantirish uchun quyidagi konvertatsiya formulalari ham mavjud.
\[x = \rho \sin \varphi \cos \theta \hspace{0.25in}y = \rho \sin \varphi \sin \theta \hspace{0.25in}z = \rho \cos \varphi \]Biroq, biz \(\rho \) bizning sferamiz uchun nima ekanligini bilamiz va shuning uchun agar biz buni ushbu konversiya formulalariga qo'shsak, biz sfera uchun parametrik tasvirga erishamiz. Shunday qilib, parametrik tasvir:
\[\vec r\left( {\theta ,\varphi } \right) = \sqrt {30} \sin \varphi \cos \theta \,\vec i + \sqrt {30} \sin \varphi \sin \theta \,\vec j + \sqrt {30} \cos \varphi \,\vec k\]Biz hozir qilishimiz kerak bo'lgan narsa - o'zgaruvchilarga qandaydir cheklovlar kiritish. Birinchidan, biz quyidagi cheklovga ega ekanligimizni bilamiz.
\[0 \le \varphi \le \pi \]Bu bizga sferik koordinatalardan foydalanishni tanlash orqali amalga oshiriladi. Bundan tashqari, biz faqat bir marta sharni kuzatib borishimizga ishonch hosil qilish uchun bizda quyidagi cheklov ham bo'ladi.
\[0 \le \theta \le 2\pi \]d Tsilindr \({y^2} + {z^2} = 25\). Yechim
So'nggida bo'lgani kabi, buni qanday qilishni ko'rmaguningizcha, bu qiyin bo'lishi mumkin. Bunday holda silindrsimon koordinatalardan foydalanish mantiqan to'g'ri keladi, chunki ular silindr tenglamasini yozish uchun osongina ishlatilishi mumkin.
Silindrsimon koordinatalarda \(a\) radiusli silindrning tenglamasi quyidagicha berilgan:
\[r = a\]va shuning uchun bu masalada silindrning tenglamasi \(r = 5\).
Keyinchalik, bizda quyidagi konvertatsiya formulalari mavjud.
\[x = x\hspace{0.5in}y = r\sin \theta \hspace{0.5in}z = r\cos \theta \]E'tibor bering, ular biz ko'rgan narsalardan biroz farq qiladi. Tsilindr \(x\) o'qida markazlashgani uchun biz ularni bu yerda o'zgartirishimiz kerak edi.
Va nihoyat, biz \(r\) nima ekanligini bilamiz, shuning uchun biz ushbu silindr uchun parametrik tasvirni osongina yozishimiz mumkin.
\[\vec r\left( {x,\theta } \right) = x\,\vec i + 5\sin \theta \,\vec j + 5\cos \theta \,\vec k\]Tsilindrning biron bir qismini orqaga qaytarmasligimizga ishonch hosil qilish uchun bizga \(0 \le \theta \le 2\pi \) cheklovi ham kerak bo'ladi. Biz silindrning "balandligi" ga hech qanday cheklovlar qo'ymaganimiz uchun \(x\)-da hech qanday cheklov bo'lmaydi.
Ushbu misolning birinchi qismida parametrik tasvirni tezda yozish uchun funksiya \(x = f\left( {y,z} \right)\) shaklida bo'lganligidan foydalandik. Buni har doim ushbu asosiy shakldagi funktsiyalar uchun bajarish mumkin.
Funksiyalarning vektor tasvirlari
Xo'sh, endi biz ba'zi sirtlar uchun parametrik tasvirlarni yozishni mashq qildik, keling, bir nechta ilovalarni ko'rib chiqaylik.
Keling, berilgan \(S\) parametrik yuzasiga teginish tekisligini topishni ko'rib chiqaylik:
\[\vec r\left( {u,v} \right) = x\left( {u,v} \right)\vec i + y\left( {u,v} \right)\vec j + z\left( {u,v} \right)\vec k\]Birinchidan, aniqlang
\[\begin{align*}{{\vec r}_u}\left( {u,v} \right) & = \frac{{\partial x}}{{\partial u}}\left( {u,v} \right)\vec i + \frac{{\partial y}}{{\partial u}}\left( {u,v} \right)\vec j + \frac{{\partial z}}{{\partial u}}\left( {u,v} \right)\vec k\\ {{\vec r}_v}\left( {u,v} \right) & = \frac{{\partial x}}{{\partial v}}\left( {u,v} \right)\vec i + \frac{{\partial y}}{{\partial v}}\left( {u,v} \right)\vec j + \frac{{\partial z}}{{\partial v}}\left( {u,v} \right)\vec k\end{align*}\]Agar biz \(v = {v_0}\) ni o‘zgarmas holda ushlab tursak, \({\vec r_u}\left( {u,{v_0}} \right)\) \(\vec r\left( {u,{v_0}} \right)\) tomonidan berilgan egri chiziqqa tangens bo‘ladi (ha bu o‘zgaruvchilardan faqat bittasi, \(u\) o‘zgarib borayotganini hisobga olsak, bu egri chiziqdir….) \({\vec r_u}\left( {u,{v_0}} \right) \ne \vec 0\) sharti bilan. Shunga o'xshab, agar biz \(u = {u_0}\)-ni o'rnatib qo'ysak, \({\vec r_v}\left( {{u_0},v} \right)\) \(\vec r\left( {{u_0},v} \right)\) tomonidan berilgan egri chiziqqa tangens bo'ladi (yana, chunki faqat \(v\) bu egri chiziqni o'zgartiradi), \({\vec r_v}\left( {{u_0},v} \right) \ne \vec 0\) taqdim etiladi.
Shunday qilib, \({\vec r_u}\left( {{u_0},{v_0}} \right)\) va \({\vec r_v}\left( {{u_0},{v_0}} \right)\) (birortasi ham nol vektor bo'lmasa) sirtga tangens bo'ladi, \(\vec r\left( {u,v} \right)\) tomonidan \(\left( {{u_0},{v_0}} \right)\) da berilgan \(S\) va \(\left( {{u_0},{v_0}} \right)\) da sirtga teginish tekisligi \({\vec r_u}\left( {{u_0},{v_0}} \right)\) va \({\vec r_v}\left( {{u_0},{v_0}} \right)\) vektorlarini o'z ichiga olgan tekislik bo'ladi.
Vaziyatni biroz aniqroq qilish uchun biz ishni ma'lum bir nuqtada qildik, ammo bu fakt \({\vec r_u}\) yoki \({\vec r_v}\) nol vektor bo'lmagan har qanday nuqtada to'g'ri keladi.
Bu, o'z navbatida, \({\vec r_u} \times {\vec r_v} \ne \vec 0\) bilan \({\vec r_u} \times {\vec r_v}\) vektori \(S\) yuzasiga ortogonal bo'lishini anglatadi va shuning uchun u bizga teginish tekisligi tenglamasini yozish uchun kerak bo'lgan normal vektor uchun ishlatilishi mumkin. Bu keyingi bo'limlarda ko'p marta qo'llaniladigan muhim g'oya.
Keling, bir misolni ko'rib chiqaylik.
\(\left( {2,2,3} \right)\) nuqtasida.
Yechim
Avval \({\vec r_u} \times {\vec r_v}\) ni hisoblaymiz. Mana ikkita alohida vektor.
\[{\vec r_u}\left( {u,v} \right) = \,\vec i + 2u\,\vec k\hspace{0.5in}{\vec r_v}\left( {u,v} \right) = 4v\,\vec j + \vec k\]Endi o'zaro mahsulot (bu bizga oddiy vektor \(\vec n\) beradi) quyidagicha:
\[\vec n = {\vec r_u} \times {\vec r_v} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\vec i}&{\vec j}&{\vec k}\\1&0&{2u}\\0&{4v}&1\end{array}} \right|\,\,\, = - 8uv\,\vec i - \vec j + 4v\,\vec k\]Endi hammasi yaxshi, lekin undan foydalanish uchun biz \(u\) va \(v\) qiymatini aniqlashimiz kerak, bu bizga savol tug'diradi. Parametrik tasvirning alohida komponentlarini ko'rib chiqilayotgan nuqtaning koordinatalariga tenglashtirib, buni osonlik bilan amalga oshirishimiz mumkin. Buni qilish,
\[\begin{align*}2 & = u & \Rightarrow \hspace{0.25in}u & = 2\\ 2 & = 2{v^2}& \Rightarrow \hspace{0.25in}v & = \pm 1\\ 3 & = {u^2} + v & & \end{align*}\]Endi, ko'rsatilganidek, bizda \(u\) qiymati bor, lekin \(v\) ning ikkita mumkin bo'lgan qiymati mavjud. \(v\) ning to'g'ri qiymatini aniqlash uchun \(u\) ni uchinchi tenglamaga ulaymiz va \(v\) ni hal qilamiz. Bu bizga to'g'ri qiymat nima ekanligini ko'rsatishi kerak.
\[3 = 4 + v\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}v = - 1\]Xo'sh, endi biz \(u = 2\) va \(v = - 1\) bilan bog'liq bo'lgan nuqtada ekanligimizni bilamiz. Bu nuqtada normal vektor,
\[\vec n = 16\,\vec i - \vec j - 4\,\vec k\]Tangens tekislik u holda,
\[\begin{align*}16\left( {x - 2} \right) - \left( {y - 2} \right) - 4\left( {z - 3} \right) & = 0\\ 16x - y - 4z & = 18\end{align*}\]Siz eslab qoling tekislik tenglamasini qanday yozish kerak, to'g'rimi?
Biz tezda ko'rib chiqmoqchi bo'lgan ikkinchi dastur - bu \(S\) parametrik sirtining sirt maydoni,
\[\vec r\left( {u,v} \right) = x\left( {u,v} \right)\vec i + y\left( {u,v} \right)\vec j + z\left( {u,v} \right)\vec k\]va yana ko'rib turganimizdek, \({\vec r_u} \times {\vec r_v}\) vektoriga ehtiyoj tug'iladi.
Shunday qilib, \(S\) aniq bir marta aniqlangan bo'lsa, \(\left( {u,v} \right)\) \(D\) dagi nuqtalar bo'ylab diapazonda joylashgan bo'lsa, \(S\) sirt maydoni quyidagicha berilgan:
Parametrik yuzaning sirt maydoni
Keling, bir misolni ko'rib chiqaylik.
Yechim
OK, bu yerda qiladigan bir nechta ishimiz bor. Birinchidan, bizga sharni parametrlashtirish kerak. Biz ushbu bo'limda avvalroq sfera parametrlarini belgilab oldik, shuning uchun hozirda ko'p narsa qilish kerak emas. Mana parametrlash.
\[\vec r\left( {\theta ,\varphi } \right) = 4\sin \varphi \cos \theta \,\vec i + 4\sin \varphi \sin \theta \,\vec j + 4\cos \varphi \,\vec k\]Keyinchalik, biz \(D\) ni aniqlashimiz kerak. Biz \(z\) o'qi atrofida qancha masofani shar bilan aylanayotganimizni cheklamaganimiz uchun \(\theta \) uchun quyidagi diapazonni olishimiz mumkin.
\[0 \le \theta \le 2\pi \]Endi biz \(\varphi \) uchun diapazonni aniqlashimiz kerak. Bu unchalik yomon bo'lmasa-da, ozgina mehnat talab qiladi. Birinchidan, sharning tenglamasidan boshlaylik.
\[{x^2} + {y^2} + {z^2} = 16\]Endi, agar biz silindr uchun tenglamani ushbu tenglamaga almashtirsak, shar va silindr kesishgan \(z\) qiymatini topishimiz mumkin.
\[\begin{align*}{x^2} + {y^2} + {z^2} & = 16\\ 12 + {z^2} & = 16\\ {z^2} & = 4\hspace{0.5in} \Rightarrow \hspace{0.25in}z = \pm \,2\end{align*}\]Endi biz sferaning faqat \(xy\) tekisligi ustida joylashgan qismini xohlashimizni ham belgilab qo'yganimiz sababli, bizga \(z = 2\) kerakligini bilamiz. Biz \(\rho = 4\) ekanligini ham bilamiz. Buni quyidagi aylantirish formulasiga ulab, biz olamiz,
\[\begin{align*}z & = \rho \cos \varphi \\ 2 & = 4\cos \varphi \\ \cos \varphi & = \frac{1}{2}\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}\varphi = \frac{\pi }{3}\end{align*}\]Shunday qilib, \(\varphi \) diapazoni shunday bo'ladi,
\[0 \le \varphi \le \frac{\pi }{3}\]Nihoyat, biz \({\vec r_\theta } \times {\vec r_\varphi }\) ni aniqlashimiz kerak. Mana ikkita alohida vektor.
\[\begin{align*}{{\vec r}_\theta }\left( {\theta ,\varphi } \right) & = - 4\sin \varphi \sin \theta \,\vec i + 4\sin \varphi \cos \theta \,\vec j\\ {{\vec r}_\varphi }\left( {\theta ,\varphi } \right) & = 4\cos \varphi \cos \theta \,\vec i + 4\cos \varphi \sin \theta \,\vec j - 4\sin \varphi \,\vec k\end{align*}\]Endi ko'ndalang mahsulotni olaylik.
\[\begin{align*}{{\vec r}_\theta } \times {{\vec r}_\varphi } & = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\vec i}&{\vec j}&{\vec k}\\{ - 4\sin \varphi \sin \theta }&{4\sin \varphi \cos \theta }&0\\{4\cos \varphi \cos \theta }&{4\cos \varphi \sin \theta }&{ - 4\sin \varphi }\end{array}} \right|\\ & = - 16{\sin ^2}\varphi \cos \theta \,\vec i - 16\sin \varphi \cos \varphi {\sin ^2}\theta \,\vec k - 16{\sin ^2}\varphi \sin \theta \,\vec j - 16\sin \varphi \cos \varphi {\cos ^2}\theta \,\vec k\\ & = - 16{\sin ^2}\varphi \cos \theta \,\vec i - 16{\sin ^2}\varphi \sin \theta \,\vec j - 16\sin \varphi \cos \varphi \left( {{{\sin }^2}\theta \, + {{\cos }^2}\theta } \right)\vec k\\ & = - 16{\sin ^2}\varphi \cos \theta \,\vec i - 16{\sin ^2}\varphi \sin \theta \,\vec j - 16\sin \varphi \cos \varphi \,\vec k\end{align*}\]Bizga endi buning kattaligi kerak,
\[\begin{align*}\left\| {{{\vec r}_\theta } \times {{\vec r}_\varphi }} \right\| &= \sqrt {256{{\sin }^4}\varphi {{\cos }^2}\theta + 256{{\sin }^4}\varphi {{\sin }^2}\theta + 256{{\sin }^2}\varphi {{\cos }^2}\varphi } \\ & = \sqrt {256{{\sin }^4}\varphi \left( {{{\cos }^2}\theta + {{\sin }^2}\theta } \right) + 256{{\sin }^2}\varphi {{\cos }^2}\varphi } \\ & = \sqrt {256{{\sin }^2}\varphi \left( {{{\sin }^2}\varphi + {{\cos }^2}\varphi } \right)} \\ & = 16\sqrt {{{\sin }^2}\varphi } \\ & = 16\left| {\sin \varphi } \right|\\ & = 16\sin \varphi \end{align*}\]Biz sinusdagi mutlaq qiymat satrlarini tushirishimiz mumkin, chunki sinus biz ishlayotgan \(\varphi \) diapazonida musbat.
Biz nihoyat sirt maydonini olamiz.
\[\begin{align*}A & = \iint\limits_{D}{{16\sin \varphi \,dA}}\,\\ & = \int_{{\,0}}^{{\,2\pi }}{{\int_{{\,0}}^{{\,\frac{\pi }{3}}}{{16\sin \varphi \,d\varphi }}\,d\theta }}\\ & = \int_{{\,0}}^{{\,2\pi }}{{\left. { - 16\cos \varphi } \right|_0^{{\pi }/{3}\;}\,d\theta }}\\ & = \int_{{\,0}}^{{\,2\pi }}{{8\,d\theta }}\\ & = 16\pi \end{align*}\]