Asosiy tarkibga o'tish

9.11-bo'lim: Yoy uzunligi va sirt maydoni qayta ko'rib chiqildi

Biz ushbu bo'limda hech qanday misollar bilan ishlamaymiz. Ushbu bo'lim faqat yoy uzunligi va sirt maydoni bo'yicha barcha muammolarni umumlashtirish uchun mo'ljallangan.

So'nggi ikki bob davomida yoy uzunligi va sirt maydoni mavzusi ko'p marta paydo bo'ldi va har safar biz aralashmadan yangi formula oldik. Talabalar ko'pincha barcha formulalar bilan bir oz to'lib ketishadi.

Biroq, birinchi qarashda ko'rinadigan darajada ko'p formulalar mavjud emas. Aynan bitta yoy uzunligi formulasi va aniq ikkita sirt maydoni formulasi mavjud. Bular,

Yoy uzunligi va sirt maydoni formulalari

\[\begin{align*}L & = \int{{ds}}\\ S & = \int{{2\pi y\,ds}}\hspace{0.5in}{\mbox{rotation about }}x - {\mbox{axis}}\\ S & = \int{{2\pi x\,ds}}\hspace{0.5in}{\mbox{rotation about }}y - {\mbox{axis}}\end{align*}\]

Muammolar bizda foydalanishimiz mumkin bo'lgan juda ko'p \(ds\) mavjudligi sababli yuzaga keladi. Shunga qaramay, talabalar ko'pincha qaysi birini ishlatishni hal qilishda muammolarga duch kelishadi. Misollar/muammolar odatda to'g'ri foydalanishni taklif qiladi. Bu erda biz ko'rgan barcha \(ds\)-larning to'liq ro'yxati va ular qachon ishlatilgan.

\(ds\) uchun turli formulalar

\[\begin{align*}ds & = \sqrt {1 + {{\left( {\frac{{dy}}{{dx}}} \right)}^2}} \,dx & \hspace{0.5in}& {\mbox{if }}y = f\left( x \right),\,\,a \le x \le b\\ ds & = \sqrt {1 + {{\left( {\frac{{dx}}{{dy}}} \right)}^2}} \,dy & \hspace{0.5in} & {\mbox{if }}x = h\left( y \right),\,\,c \le y \le d\\ ds & = \sqrt {{{\left( {\frac{{dx}}{{dt}}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{dy}}{{dt}}} \right)}^2}} \,\,dt & \hspace{0.5in} & {\mbox{if }}x = f\left( t \right),y = g\left( t \right),\,\,\alpha \le t \le \beta \\ ds & = \sqrt {{r^2} + {{\left( {\frac{{dr}}{{d\theta }}} \right)}^2}} \,d\theta & \hspace{0.5in} & {\mbox{if }}r = f\left( \theta \right),\,\,\alpha \le \theta \le \beta \end{align*}\]

Funksiya shakliga qarab biz qaysi \(ds\) dan foydalanishni tezda ayta olamiz.

Sirt maydoni formulasi bo'yicha tashvishlanadigan yana bir narsa bor. \(ds\) integralga yangi differentsial kiritadi. Integratsiyalashdan oldin barcha o'zgaruvchilar ushbu yangi differentsial nuqtai nazaridan ekanligiga ishonch hosil qiling. Misol uchun, agar bizda parametrik tenglamalar bo'lsa, biz uchinchi \(ds\) dan foydalanamiz va keyin t bo'yicha hamma narsani olish uchun qaysi o'q atrofida aylanishimizga qarab x yoki y o'rniga ishonch hosil qilishimiz kerak.

Xuddi shunday, agar bizda \(x = h\left( y \right)\) ko'rinishidagi funksiya bo'lsa, biz ikkinchi \(ds\) dan foydalanamiz va agar aylanish Y o'qi atrofida bo'lsa, integraldagi x o'rniga qo'yishimiz kerak bo'ladi. Boshqa tomondan, agar biz x o'qi atrofida aylansak, y ni almashtirishga hojat qolmaydi.

Ushbu qoidalarni yodda tuting va siz har doim qaysi formuladan foydalanishni va integralni qanday to'g'ri bajarishni aniqlay olasiz.