Asosiy tarkibga o'tish

11.4-bo'lim: O'zaro mahsulot

Ushbu bobning oxirgi qismida biz ikkita vektorning o'zaro ko'paytmasini ko'rib chiqamiz. Shuni ta'kidlash kerakki, o'zaro mahsulot har ikkala vektor ham uch o'lchovli vektor bo'lishini talab qiladi.

Bundan tashqari, ularni qanday hisoblashni bilishdan oldin biz nuqta mahsulotlar va o'zaro faoliyat mahsulotlar o'rtasidagi asosiy farqni ko'rsatishimiz kerak. Nuqta ko‘paytmasining natijasi raqam, o‘zaro ko‘paytmaning natijasi esa vektordir! Ikkalasini chalkashtirib yubormaslik uchun ehtiyot bo'ling.

Shunday qilib, keling, \(\vec a = \left\langle {{a_1},{a_2},{a_3}} \right\rangle \) va \(\vec b = \left\langle {{b_1},{b_2},{b_3}} \right\rangle \) ikkita vektoridan boshlaylik, keyin o'zaro mahsulot formula bilan beriladi,

Formula sifatida o'zaro mahsulot

\[\vec a \times \vec b = \left\langle {{a_2}{b_3} - {a_3}{b_2},{a_3}{b_1} - {a_1}{b_3},{a_1}{b_2} - {a_2}{b_1}} \right\rangle \]

Bu formulani eslab qolish oson emas. Ushbu formulani olishning ikki yo'li mavjud. Ularning ikkalasi ham o'zaro mahsulot haqiqatan ham 3x3 matritsaning aniqlovchisi ekanligidan foydalanadi. Agar bu nima ekanligini bilmasangiz, tashvishlanmang. Ikkala usuldan ham foydalanish uchun matritsalar yoki determinantlar haqida hech narsa bilishingiz shart emas. Determinantning yozuvi quyidagicha:

O'zaro mahsulot aniqlovchi sifatida

\[\vec a \times \vec b = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\vec i}&{\vec j}&{\vec k}\\{{a_1}}&{{a_2}}&{{a_3}}\\{{b_1}}&{{b_2}}&{{b_3}}\end{array}} \right|\]

Birinchi qator standart vektorlar bo'lib, bu erda berilgan tartibda paydo bo'lishi kerak. Ikkinchi qator \(\vec a\) komponentlari va uchinchi qator \(\vec b\) komponentlari. Keling, formulani olishning turli usullarini ko'rib chiqaylik.

Birinchi usulda kofaktorlar usuli qo'llaniladi. Agar siz yaxshi kofaktorlar usulini bilmasangiz, natija bizga kerak bo'lgan narsadir. Mana formula.

Kofaktorlar usuli yordamida o'zaro mahsulot

\[\vec a \times \vec b = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{a_2}}&{{a_3}}\\{{b_2}}&{{b_3}}\end{array}} \right|\vec i - \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{a_1}}&{{a_3}}\\{{b_1}}&{{b_3}}\end{array}} \right|\vec j + \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{a_1}}&{{a_2}}\\{{b_1}}&{{b_2}}\end{array}} \right|\vec k\]

qayerda,

\[\left| {\begin{array}{*{20}{c}}a&b\\c&d\end{array}} \right| = ad - bc\]

Ushbu formulani eslab qolish birinchi qarashda ko'rinadigan darajada qiyin emas. Birinchidan, atamalar bir-birini almashtirib turadi va 2x2 da uni ko'paytiruvchi standart asos vektor ostidagi ustun va standart asos vektorlar qatori yo'qligiga e'tibor bering.

Ikkinchi usul biroz osonroq; ammo, ko'pgina darsliklar bu usulni qamrab olmaydi, chunki u faqat 3x3 determinantlarda ishlaydi. Bu usul determinantni yuqorida sanab o'tilgandek qabul qilishni va keyin quyida ko'rsatilganidek, birinchi ikkita ustunni oxiriga nusxalashni aytadi.

\[\vec a \times \vec b = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\vec i}&{\vec j}&{\vec k}\\{{a_1}}&{{a_2}}&{{a_3}}\\{{b_1}}&{{b_2}}&{{b_3}}\end{array}} \right|\,\,\,\,\begin{array}{*{20}{c}}{\vec i}&{\vec j}\\{{a_1}}&{{a_2}}\\{{b_1}}&{{b_2}}\end{array}\]

Endi bizda chapdan o'ngga harakatlanadigan uchta diagonal va o'ngdan chapga harakatlanadigan uchta diagonal mavjud. Biz har bir diagonal bo'ylab ko'paytiramiz va chapdan o'ngga harakatlanadiganlarni qo'shamiz va o'ngdan chapga harakatlanuvchilarni ayirib tashlaymiz.

Buni eng yaxshi misolda ko'rish mumkin. Shuningdek, biz ushbu misoldan o'zaro faoliyat mahsulotlar haqidagi haqiqatni ko'rsatish uchun foydalanamiz.

1-misol Agar \(\vec a = \left\langle {2,1, - 1} \right\rangle \) va \(\vec b = \left\langle { - 3,4,1} \right\rangle \) quyidagilardan har birini hisoblasa.
  1. \(\vec a \times \vec b\)
  2. \(\vec b \times \vec a\)
a \(\vec a \times \vec b\) Yechim

Mana buning hisobi.

\[\begin{align*}\vec a \times \vec b & = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\vec i}&{\vec j}&{\vec k}\\2&1&{ - 1}\\{ - 3}&4&1\end{array}} \right|\,\,\,\,\begin{array}{*{20}{c}}{\vec i}&{\vec j}\\2&1\\{ - 3}&4\end{array}\\ & = \vec i\left( 1 \right)\left( 1 \right) + \vec j\left( { - 1} \right)\left( { - 3} \right) + \vec k\left( 2 \right)\left( 4 \right) - \vec j\left( 2 \right)\left( 1 \right) - \vec i\left( { - 1} \right)\left( 4 \right) - \vec k\left( 1 \right)\left( { - 3} \right)\\ & = 5\vec i + \vec j + 11\vec k\end{align*}\]

b \(\vec b \times \vec a\) Yechim

Va buning uchun hisoblash.

\[\begin{align*}\vec b \times \vec a & = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\vec i}&{\vec j}&{\vec k}\\{ - 3}&4&1\\2&1&{ - 1}\end{array}} \right|\,\,\,\,\begin{array}{*{20}{c}}{\vec i}&{\vec j}\\{ - 3}&4\\2&1\end{array}\\ & = \vec i\left( 4 \right)\left( { - 1} \right) + \vec j\left( 1 \right)\left( 2 \right) + \vec k\left( { - 3} \right)\left( 1 \right) - \vec j\left( { - 3} \right)\left( { - 1} \right) - \vec i\left( 1 \right)\left( 1 \right) - \vec k\left( 4 \right)\left( 2 \right)\\ & = - 5\vec i - \vec j - 11\vec k\end{align*}\]

E'tibor bering, o'zaro mahsulotdagi vektorlarning tartibini almashtirish natijadagi barcha belgilarni o'zgartirdi. Shuni ham yodda tutingki, bu ikkita o'zaro faoliyat mahsulot mutlaqo qarama-qarshi yo'nalishga ishora qiladi, chunki ular faqat belgi bilan farqlanadi. Tez orada bir nechta faktlarni sanab o'tganimizda bu haqiqatni rasmiylashtiramiz.

Bundan tashqari, o'zaro faoliyat mahsulotning geometrik talqini mavjud. Avval biz \(\theta\) ni \(\vec a\) va \(\vec b\) vektorlari orasidagi burchak bo'lishiga ruxsat beramiz va \(0 \le \theta \le \pi \) deb faraz qilamiz, keyin bizda quyidagi fakt bor:

\[\begin{equation}\left\| {\vec a \times \vec b} \right\| = \left\| {\vec a} \right\|\,\,\left\| {\vec b} \right\|\,\sin \theta \label{eq:eq1} \end{equation}\]

va quyidagi rasm.

This sketch has three vectors in it all starting at the same point. The vector $\vec{a}$ points to the left and slightly downward. The vector $\vec{b}$ points to the right and slightly downward. The angle between $\vec{a}$ and $\vec{b}$ is labeled as $\theta$. The third vector is $\vec{a}\times \vec{b}$ and points straight up in such a way that it is at right angles to the other two vectors.

Shu o'rinda tabiiy savol tug'ilishi kerak. Oʻzaro mahsulot bu yerda biz koʻrsatgan tomonga ishora qilganini qayerdan bildik?

Birinchidan, bu raqamdan ko'rinib turibdiki, o'zaro mahsulot har ikkala asl vektorga ortogonaldir. Bu har doim shunday bo'ladi, biz bir soniya ichida erishamiz.

Ikkinchidan, biz "o'ng qo'l qoidasi" bilan yuqoriga yo'nalishni (bu holda) ishora qilganini bilardik. Bu shuni anglatadiki, agar biz o'ng qo'limizni olsak, \(\vec a\) dan boshlaymiz va barmoqlarimizni \(\vec b\) tomonga aylantirsak, bosh barmog'imiz ko'ndalang ko'paytma yo'nalishini ko'rsatadi. Shuning uchun, agar biz yuqoridagi \(\vec b \times \vec a\)-da eskiz chizganimizda, pastga yo'nalishdagi vektorni olgan bo'lardik.

2-misol Samolyot tekislikda joylashgan har qanday uchta nuqta bilan belgilanadi. Agar tekislikda \(P = \left( {1,0,0} \right)\), \(Q = \left( {1,1,1} \right)\) va \(R = \left( {2, - 1,3} \right)\) nuqtalari bo'lsa, tekislikka ortogonal bo'lgan vektorni toping.
Yechim

Ortogonal vektorni olishning bir usuli - bu o'zaro mahsulot olishdir. Shunday qilib, agar biz tekislikda ekanligini bilgan ikkita vektorni topib, ushbu ikki vektorning ko'paytmasini olsak, o'zaro mahsulot ikkala vektorga ortogonal bo'lishini bilamiz. Biroq, ikkala vektor ham tekislikda bo'lganligi sababli, o'zaro mahsulot ham tekislikka ortogonal bo'ladi.

Shunday qilib, bizga tekislikda joylashgan ikkita vektor kerak. Bu nuqtalar muammoga keladi. Uchala nuqta ham tekislikda joylashgani uchun ular orasidagi har qanday vektor ham tekislikda bo'lishi kerak. Ushbu nuqtalar orasidagi ikkita vektorni olishning ko'plab usullari mavjud. Biz quyidagi ikkitadan foydalanamiz,

\[\begin{align*}\overrightarrow {PQ} & = \left\langle {1 - 1,1 - 0,1 - 0} \right\rangle = \left\langle {0,1,1} \right\rangle \\ \overrightarrow {PR} & = \left\langle {2 - 1, - 1 - 0,3 - 0} \right\rangle = \left\langle {1, - 1,3} \right\rangle \end{align*}\]

Bu ikki vektorning koʻpaytmasi tekislikka ortogonal boʻladi. Shunday qilib, keling, o'zaro faoliyat mahsulotini topamiz.

\[\begin{align*}\overrightarrow {PQ} \times \overrightarrow {PR} & = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\vec i}&{\vec j}&{\vec k}\\0&1&1\\1&{ - 1}&3\end{array}} \right|\,\,\,\,\begin{array}{*{20}{c}}{\vec i}&{\vec j}\\0&1\\1&{ - 1}\end{array}\\ & = 4\vec i + \vec j - \vec k\end{align*}\]

Shunday qilib, \(4\vec i + \vec j - \vec k\) vektori uchta nuqtani o'z ichiga olgan tekislikka ortogonal bo'ladi.

Keling, o'zaro mahsulot asl vektorlarga ortogonal bo'lmagan vaqtni ko'rib chiqaylik. Agar ikkita vektor, \(\vec a\) va \(\vec b\) parallel bo'lsa, ular orasidagi burchak 0 yoki 180 daraja bo'ladi. \(\eqref{eq:eq1}\) dan bu shuni anglatadiki,

\[\left\| {\vec a \times \vec b} \right\| = 0\]

Biz birinchi bo'limda ko'rgan kattalik haqidagi faktdan bilamizki, bu shuni anglatadiki

\[\vec a \times \vec b = \vec 0\]

Boshqacha qilib aytganda, u asl vektorlarga ortogonal bo'lmaydi, chunki bizda nol vektor mavjud. Biroq, bu bizga parallel vektorlar uchun yana bir sinov beradi.

Parallel vektorlar uchun test

Agar \(\vec a \times \vec b = \vec 0\) bo'lsa, \(\vec a\) va \(\vec b\) parallel vektorlar bo'ladi.

Keling, o'zaro faoliyat mahsulotning asl vektorlarga ortogonal ekanligi haqidagi haqiqatni ham rasmiylashtiraylik.

O'zaro mahsulotning geometrik talqini

\(\vec a \times \vec b \ne \vec 0\) taqdim etilgan bo'lsa, \(\vec a \times \vec b\) \(\vec a\) va \(\vec b\) ga ortogonal bo'ladi.

Bu erda o'zaro faoliyat mahsulot haqida ba'zi yaxshi xususiyatlar mavjud.

O'zaro mahsulotning xususiyatlari

Agar \(\vec u\), \(\vec v\) va \(\vec w\) vektorlar va \(c\) son bo'lsa,

\[\begin{align*} & \vec u \times \vec v = - \vec v \times \vec u & \hspace{0.75in} & \left( {c\vec u} \right) \times \vec v = \vec u \times \left( {c\vec v} \right) = c\left( {\vec u \times \vec v} \right)\\ &\vec u \times \left( {\vec v + \vec w} \right) = \vec u \times \vec v + \vec u \times \vec w & \hspace{0.75in} & \vec u\centerdot \left( {\vec v \times \vec w} \right) = \left( {\vec u \times \vec v} \right)\centerdot \vec w\\ & \vec u\centerdot \left( {\vec v \times \vec w} \right) = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_1}}&{{u_2}}&{{u_3}}\\{{v_1}}&{{v_2}}&{{v_3}}\\{{w_1}}&{{w_2}}&{{w_3}}\end{array}} \right| & & \end{align*}\]

Oxirgi faktdagi determinant xuddi o'zaro mahsulot hisoblangandek hisoblanadi. Tez orada biz ushbu hisoblash misolini ko'ramiz.

O'zaro mahsulotga bir nechta geometrik ilovalar ham mavjud. Faraz qilaylik, bizda uchta \(\vec a\), \(\vec b\) va \(\vec c\) vektorlari bor va biz quyida ko'rsatilgan uch o'lchovli figurani hosil qilamiz.

A sketch showing three vectors $\vec{a}$, $\vec{b}$ and $\vec{c}$ all starting at the same point and forming the corner of a box. Each of the vectors represents one of the edges of the box coming out of that corner. Note that this is an odd “box” in that the corners to not form right angles.

Paralelogrammaning maydoni (bu ob'ektning ikki o'lchovli old tomoni) quyidagicha ifodalanadi:

\[{\rm{Area}} = \left\| {\vec a \times \vec b} \right\|\]

va parallelepipedning (butun uch o'lchovli ob'ekt) hajmi quyidagicha ifodalanadi:

\[{\rm{Volume}} = \left| {\vec a\centerdot \left( {\vec b \times \vec c} \right)} \right|\]

E'tibor bering, mutlaq qiymat satrlari talab qilinadi, chunki miqdor salbiy bo'lishi mumkin va hajm salbiy emas.

Ushbu hajm faktidan uchta vektor bir tekislikda yotadimi yoki yo'qligini aniqlash uchun foydalanishimiz mumkin. Agar uchta vektor bitta tekislikda yotsa, parallelepipedning hajmi nolga teng bo'ladi.

3-misol \(\vec a = \left\langle {1,4, - 7} \right\rangle \), \(\vec b = \left\langle {2, - 1,4} \right\rangle \) va \(\vec c = \left\langle {0, - 9,18} \right\rangle \) uchta vektorlari bir tekislikda yotadi yoki yo'qligini aniqlang.
Yechim

Shunday qilib, biz ushbu misoldan oldin ta'kidlaganimizdek, biz qilishimiz kerak bo'lgan yagona narsa bu uchta vektor tomonidan yaratilgan parallelepiped hajmini hisoblashdir. Agar tovush nolga teng bo'lsa, ular bir xil tekislikda yotadi va nolga teng bo'lmasa, ular bir xil tekislikda yotmaydi.

\[\begin{align*}\vec a\centerdot \left( {\vec b \times \vec c} \right) & = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&4&{ - 7}\\2&{ - 1}&4\\0&{ - 9}&{18}\end{array}} \right|\,\,\,\,\begin{array}{*{20}{c}}1&4\\2&{ - 1}\\0&{ - 9}\end{array}\\ & = \left( 1 \right)\left( { - 1} \right)\left( {18} \right) + \left( 4 \right)\left( 4 \right)\left( 0 \right) + \left( { - 7} \right)\left( 2 \right)\left( { - 9} \right) - \\ & \hspace{0.75in}\left( 4 \right)\left( 2 \right)\left( {18} \right) - \left( 1 \right)\left( 4 \right)\left( { - 9} \right) - \left( { - 7} \right)\left( { - 1} \right)\left( 0 \right)\\ & = - 18 + 126 - 144 + 36\\ & = 0\end{align*}\]

Demak, hajm nolga teng va shuning uchun ular bir tekislikda yotadi.