11.2-bo'lim: Vektorlar arifmetikasi
Ushbu bo'limda biz vektorlar ustida bajariladigan arifmetik amallarni qisqacha ko'rib chiqamiz.
Dastlab ikki vektorni qo'shish amalini o'rganamiz. Faraz qilaylik, bizga \(\vec a = \left\langle {{a_1},{a_2},{a_3}} \right\rangle \) va \(\vec b = \left\langle {{b_1},{b_2},{b_3}} \right\rangle \) vektorlari berilgan bo'lsin. Ushbu ikki vektorning yig'indisi quyidagi formula orqali aniqlanadi:
Vektorlarni qo'shish
Quyidagi rasmda ikki vektor yig'indisining geometrik talqini keltirilgan.
Bu usul fanda ba'zan parallelogramm qoidasi yoki uchburchak qoidasi deb ataladi.
Hisoblash nuqtai nazaridan, ayirish amali ham xuddi shunday bajariladi. Agar \(\vec a = \left\langle {{a_1},{a_2},{a_3}} \right\rangle \) va \(\vec b = \left\langle {{b_1},{b_2},{b_3}} \right\rangle \) vektorlari berilgan bo'lsa, ularning ayirmasi quyidagicha hisoblanadi:
Vektorlarni ayirish
Quyida ikki vektor ayirmasining geometrik talqini berilgan.
Ushbu geometrik talqinni darhol tasavvur qilish biroz murakkabdek tuyulishi mumkin. Buni osonroq tushunish uchun, ayirish amalini \(\vec a\) va \( - \,\vec b\) vektorlarining yig'indisi sifatida tasavvur qilamiz. Tez orada ko'rib chiqamizki, \( - \,\vec b\) vektori \(\vec b\) bilan bir xil uzunlikka ega bo'lib, barcha koordinatalarining ishorasi qarama-qarshisiga o'zgargan vektordir. Boshqacha aytganda, \( - \,\vec b\) vektori \(\vec b\) ga aynan qarama-qarshi yo'nalgan. Quyidagi chizmada \(\vec a + \left( { - \vec b} \right)\) ifodasining geometrik tuzilishi tasvirlangan:
Ushbu chizmadan ko'rinib turibdiki, \(\vec a + \left( { - \vec b} \right)\) ni ifodalovchi vektorni parallel ko'chirish orqali aynan ikki vektor ayirmasini ko'rsatuvchi birinchi chizmadagi holatga keltirish mumkin.
Shuni ta'kidlash kerakki, ikkita vektorni qo'shish yoki ayirish uchun ularning komponentlari (koordinatalari) soni teng bo'lishi shart. Agar ularning o'lchamlari mos kelmasa, qo'shish va ayirish amallarini bajarib bo'lmaydi.
Biz ko'rib chiqadigan keyingi arifmetik amal — bu skalyar ko'paytirish (vektorni songa ko'paytirish). Berilgan \(\vec a = \left\langle {{a_1},{a_2},{a_3}} \right\rangle \) vektori va ixtiyoriy \(c\) haqiqiy soni uchun skalyar ko'paytirish quyidagicha aniqlanadi:
Skalyar ko'paytirish
Demak, biz vektorning barcha komponentlarini berilgan \(c\) o'zgarmas songa ko'paytiramiz. Skalyar ko'paytirishning geometrik ma'nosini yaxshiroq tushunish uchun bitta misol ko'raylik.
Yechim
Quyida uchta skalyar ko'paytirish hisoblangan:
\[3\vec a = \left\langle {6,12} \right\rangle \hspace{0.25in}\hspace{0.25in}\frac{1}{2}\vec a = \left\langle {1,2} \right\rangle \hspace{0.25in}\hspace{0.25in} - 2\vec a = \left\langle { - 4, - 8} \right\rangle \]Ushbu vektorlarning chizmadagi tasviri quyidagicha:
Yuqoridagi misoldan ko'rinib turibdiki, agar \(c\) musbat son bo'lsa, skalyar ko'paytirish boshlang'ich vektor yo'nalishini o'zgartirmaydi, balki uni cho'zadi (\(c > 1\) bo'lganda) yoki siqadi (\(c < 1\) bo'lganda). Xuddi shuningdek, agar \(c\) manfiy son bo'lsa, skalyar ko'paytirish vektor yo'nalishini aynan qarama-qarshi tomonga buradi hamda \(c\) ning absolut qiymatiga qarab uning uzunligini (modulini) cho'zadi yoki siqadi.
Endi skalyar ko'paytirishning bir nechta ajoyib amaliy tatbiqlarini ko'rib chiqamiz.
Birinchisi — bu parallel vektorlar. Bu tushuncha bilan keyingi bo'limlarda juda ko'p to'qnash kelamiz. Ikki vektor, agar ular bir xil yo'nalishga ega bo'lsa yoki bir-biriga aynan qarama-qarshi yo'nalgan bo'lsa, parallel deyiladi. Endi yana skalyar ko'paytirishning geometrik ma'nosini eslaylik: vektorni songa ko'paytirganimizda hosil bo'lgan yangi vektorlar dastlabki vektorga (va o'zaro bir-biriga ham) parallel bo'ladi.
Parallel vektorlar
Faraz qilaylik, \(\vec a\) va \(\vec b\) parallel vektorlar bo'lsin. Agar ular parallel bo'lsa, u holda shunday \(c\) soni mavjud bo'ladiki:
\[\vec a = c\vec b\]Demak, biri ikkinchisining skalyar ko'paytmasiga teng bo'lgan ikki vektor o'zaro paralleldir.
- \(\vec a = \left\langle {2, - 4,1} \right\rangle ,\,\,\vec b = \left\langle { - 6,12, - 3} \right\rangle \)
- \(\vec a = \left\langle {4,10} \right\rangle ,\,\,\vec b = \left\langle {2, - 9} \right\rangle \)
a \(\vec a = \left\langle {2, - 4,1} \right\rangle ,\,\,\vec b = \left\langle { - 6,12, - 3} \right\rangle \) Yechim
Bu ikki vektor o'zaro paralleldir, chunki \(\vec b = - 3\vec a\). Barcha komponentlar \( -3 \) ga mutanosib ravishda o'zgargan.
b \(\vec a = \left\langle {4,10} \right\rangle ,\,\,\vec b = \left\langle {2, - 9} \right\rangle \) Yechim
Bu ikki vektor parallel emas. Buni shundan ko'rish mumkinki: \(4\left( {\frac{1}{2}} \right) = 2\) bo'lgani holda, ikkinchi komponent uchun \(10\left( {\frac{1}{2}} \right) = 5 \ne - 9\) chiqadi. Boshqacha aytganda, \(\vec a\) ni \(\vec b\) ning skalyar ko'paytmasi ko'rinishida yozish mumkin bo'lgan yagona \(c\) soni mavjud emas.
Navbatdagi tatbiqni misol orqali ko'rib chiqish ancha qulayroqdir.
Yechim
Xo'sh, masalada bizdan nima talab qilinmoqda? Bizdan dastlabki vektor bilan bir xil yo'nalishga ega bo'lgan (ya'ni parallel va yo'nalishdosh) hamda uzunligi (moduli) \(1\) ga teng bo'lgan yangi vektor topish so'ralmoqda. Buni skalyar ko'paytirish orqali osonlikcha amalga oshira olamiz, chunki skalyar ko'paytirish vektor yo'nalishini saqlagan holda uning uzunligini o'zgartiradi.
Buning uchun avval \(\vec w\) vektorining uzunligini (modulini) hisoblaymiz:
\[\left\| {\vec w} \right\| = \sqrt {(-5)^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt {25 + 4 + 1} = \sqrt {30} \]Endi quyidagi yangi vektorni tuzamiz:
\[\vec u = \frac{1}{{\left\| {\vec w} \right\|}}\vec w = \frac{1}{{\sqrt {30} }}\left\langle { - 5,2,1} \right\rangle = \left\langle { - \frac{5}{{\sqrt {30} }},\frac{2}{{\sqrt {30} }},\frac{1}{{\sqrt {30} }}} \right\rangle \]Bu vektor chindan ham birlik vektor ekanligini tekshirish oson:
\[\left\| {\vec u} \right\| = \sqrt {\left( - \frac{5}{\sqrt{30}} \right)^2 + \left( \frac{2}{\sqrt{30}} \right)^2 + \left( \frac{1}{\sqrt{30}} \right)^2} = \sqrt {\frac{{25}}{{30}} + \frac{4}{{30}} + \frac{1}{{30}}} = \sqrt {\frac{{30}}{{30}}} = \sqrt{1} = 1\]Shuningdek, ushbu vektor \(\vec w\) bilan aynan bir xil yo'nalishga ega, chunki u \(\vec w\) ning musbat skalyar songa (\(\frac{1}{\sqrt{30}} > 0\)) ko'paytmasidan iborat.
Shunday qilib, umumiy holda: berilgan ixtiyoriy nolga teng bo'lmagan \(\vec w\) vektori uchun, \(\vec u = \frac{{\vec w}}{{\left\| {\vec w} \right\|}}\) vektori \(\vec w\) bilan bir xil yo'nalishga ega bo'lgan birlik vektor (normalizatsiyalangan vektor) bo'ladi.
Standart bazis vektorlariga qaytish
Oldingida biz standart bazis vektorlari tushunchasini kiritgan edik, lekin ularning nima uchun bunchalik muhim ekanligini batafsil izohlamagan edik. Endi buni to'liq tushuntira olamiz. Ixtiyoriy uch o'lchamli vektor bilan boshlaylik:
\[\vec a = \left\langle {{a_1},{a_2},{a_3}} \right\rangle \]Vektorlarni qo'shish qoidasidan foydalanib, uni quyidagi alohida vektorlar yig'indisi shaklida yoyib chiqishimiz mumkin:
\[\begin{align*}\vec a & = \left\langle {{a_1},{a_2},{a_3}} \right\rangle \\ & = \left\langle {{a_1},0,0} \right\rangle + \left\langle {0,{a_2},0} \right\rangle + \left\langle {0,0,{a_3}} \right\rangle \end{align*}\]Skalyar ko'paytirish qoidasidan foydalanib, har bir vektordan koordinatalarni oldinga chiqarib yozamiz:
\[\begin{align*}\vec a & = \left\langle {{a_1},0,0} \right\rangle + \left\langle {0,{a_2},0} \right\rangle + \left\langle {0,0,{a_3}} \right\rangle \\ & = {a_1}\left\langle {1,0,0} \right\rangle + {a_2}\left\langle {0,1,0} \right\rangle + {a_3}\left\langle {0,0,1} \right\rangle \end{align*}\]E'tibor bering: bu yerdagi uchta yangi vektor uch o'lchamli fazoning standart bazis vektorlaridan boshqa narsa emas:
\[\left\langle {{a_1},{a_2},{a_3}} \right\rangle = {a_1}\vec i + {a_2}\vec j + {a_3}\vec k\]Demak, har qanday vektorni standart bazis vektorlarining chiziqli kombinatsiyasi ko'rinishida yozish mumkin. Shu paytdan boshlab biz ushbu ikki xil belgilashdan bir-birining o'rnida teng foydalanamiz, shuning uchun har ikkala yozuv shaklini ham erkin ishlata olishingiz kerak.
Yechim
Misolni yechish uchun avval barcha vektorlarni yagona belgilash shakliga (komponentlar ko'rinishiga) keltiramiz, so'ngra ko'rsatilgan amallarni bajaramiz. \(\vec w\) vektorida \(\vec j\) komponenti yo'q, demak uning ikkinchi koordinatasi \(0\) ga teng:
\[\begin{align*}2\vec a - 3\vec w & = 2\left\langle {3, - 9,1} \right\rangle - 3\left\langle { - 1,0,8} \right\rangle \\ & = \left\langle {6, - 18,2} \right\rangle - \left\langle { - 3,0,24} \right\rangle \\ & = \left\langle {6 - (-3), - 18 - 0, 2 - 24} \right\rangle \\ & = \left\langle {9, - 18, - 22} \right\rangle \end{align*}\]Ushbu bo'limni vektorlar arifmetikasining asosiy xossalari bilan yakunlaymiz.
Vektorlar arifmetikasining xossalari
Agar \(\vec v\), \(\vec w\) va \(\vec u\) bir xil o'lchamli vektorlar hamda \(a\) va \(b\) ixtiyoriy haqiqiy sonlar bo'lsa, quyidagi xossalar o'rinlidir:
\[\begin{array}{ll}\vec v + \vec w = \vec w + \vec v \hspace{0.75in} & \vec u + \left( {\vec v + \vec w} \right) = \left( {\vec u + \vec v} \right) + \vec w\\ \vec v + \vec 0 = \vec v \hspace{0.75in} & 1\vec v = \vec v\\ a\left( {\vec v + \vec w} \right) = a\vec v + a\vec w \hspace{0.75in} & \left( {a + b} \right)\vec v = a\vec v + b\vec v\end{array}\]Ushbu teoremalarning isboti asosan to'g'ridan-to'g'ri hisoblashdan iborat, shuning uchun biz ulardan birini isbotlaymiz, qolganlarini mustaqil isbotlash uchun qoldiramiz.
\(a\left( {\vec v + \vec w} \right) = a\vec v + a\vec w\) tenglikning isboti
Isbotni umumiy \(n\) ta komponentga ega \(\vec v = \left\langle {{v_1},{v_2}, \ldots ,{v_n}} \right\rangle \) va \(\vec w = \left\langle {{w_1},{w_2}, \ldots ,{w_n}} \right\rangle \) vektorlaridan boshlaymiz. Teorema ixtiyoriy o'lchamli vektorlar uchun o'rinli bo'lgani sababli, isbotni ham umumiy \(n\) o'lchamli hol uchun keltiramiz.
Yuqorida ta'kidlanganidek, bu hisoblash orqali isbotlash usulidir. Ya'ni, tenglikning chap tomonini hisoblaymiz va oddiy arifmetika qoidalaridan foydalanib, uning o'ng tomonga teng ekanligini ko'rsatamiz:
\[\begin{align*}a\left( {\vec v + \vec w} \right) & = a\left( {\left\langle {{v_1},{v_2}, \ldots ,{v_n}} \right\rangle + \left\langle {{w_1},{w_2}, \ldots ,{w_n}} \right\rangle } \right)\\ & = a\left\langle {{v_1} + {w_1},{v_2} + {w_2}, \ldots ,{v_n} + {w_n}} \right\rangle \\ & = \left\langle {a\left( {{v_1} + {w_1}} \right),a\left( {{v_2} + {w_2}} \right), \ldots ,a\left( {{v_n} + {w_n}} \right)} \right\rangle \\ & = \left\langle {a{v_1} + a{w_1},a{v_2} + a{w_2}, \ldots ,a{v_n} + a{w_n}} \right\rangle \\ & = \left\langle {a{v_1},a{v_2}, \ldots ,a{v_n}} \right\rangle + \left\langle {a{w_1},a{w_2}, \ldots ,a{w_n}} \right\rangle \\ & = a\left\langle {{v_1},{v_2}, \ldots ,{v_n}} \right\rangle + a\left\langle {{w_1},{w_2}, \ldots ,{w_n}} \right\rangle = a\vec v + a\vec w\end{align*}\]