2.8-bo'lim: Kvadrat tenglamalarni qo'llash
Ushbu bo'limda biz orqaga qaytamiz va biz ko'rgan ba'zi ilovalarni qayta ko'rib chiqamiz Lineer ilovalar bo'limiga o'ting va javob olish uchun kvadrat tenglamani echishimizni talab qiladigan ba'zi misollarni ko'ring.
E'tibor bering, bu holatlarda echimlar deyarli har doim kvadrat formulani talab qiladi, shuning uchun uni ishlatishni kuting va bundan hayajonlanmang. Bundan tashqari, siz kvadrat formula ishini bajarishingiz mumkin deb taxmin qilamiz va shuning uchun biz bu ishni ko'rsatmaymiz. Biz kvadrat formulaning natijalarini beramiz, biz shunchaki ishni ko'rsatmaymiz.
Bundan tashqari, biz ko'rib turganimizdek, biz ularga o'nlik javobni olishimiz kerak va shuning uchun umumiy qoida sifatida bu erda barcha javoblarni 4 kasrga yaxlitlaymiz.
Yechim
Shunday qilib, biz \(x\) maydonining uzunligi bo'lishiga ruxsat beramiz va shuning uchun \(x + 3\) maydonning kengligi bo'lishini bilamiz. Endi biz to'rtburchakning maydoni uzunlikning kengligini ko'p ekanligini bilamiz va shuning uchun biz bilamizki,
\[x\left( {x + 3} \right) = 75\]Endi bu kvadrat tenglama, shuning uchun avval uni standart shaklda yozamiz.
\[\begin{align*}{x^2} + 3x & = 75\\ {x^2} + 3x - 75 & = 0\end{align*}\]Kvadrat formuladan foydalanib,
\[x = \frac{{ - 3 \pm \sqrt {309} }}{2}\]Endi, shu nuqtada, biz bu erda ikkita echim borligi va biz faqat bitta javobni xohlaymiz. Shunday qilib, keling, o'nli kasrlarga aylantiramiz va echimlar aslida nima ekanligini ko'rib chiqamiz.
\[x = \frac{{ - 3 + \sqrt {309} }}{2} = 7.2892\hspace{0.25in}\text{va}\hspace{0.25in}x = \frac{{ - 3 - \sqrt {309} }}{2} = - 10.2892\]Shunday qilib, bizda bitta ijobiy va bitta salbiy bor. Maydonning o'lchamlariga muhtojlik nuqtai nazaridan salbiy yechim hech qanday ma'noga ega emas, shuning uchun biz uni e'tiborsiz qoldiramiz.
Shuning uchun maydonning uzunligi 7,2892 futni tashkil qiladi. Kengligi bundan 3 fut uzunroq va 10,2892 fut.
E'tibor bering, kenglik kvadrat tenglamaning deyarli ikkinchi yechimidir. Faqatgina farq minus belgisidir. Bu har doim sodir bo'lishini kutmang. Bunday holda, bu ko'proq muammoning funktsiyasidir. Keyinchalik murakkab o'rnatish uchun bu sodir bo'lmaydi.
Endi, jismoniy nuqtai nazardan, biz ushbu muammolarga murakkab echimlarni EMAS kutmasligimiz kerakligini ko'rishimiz mumkin. Kvadrat tenglamani yechishda biz ikkita haqiqiy aniq yechim yoki qo'sh ildiz olishimiz kerak. Bundan tashqari, oldingi misolda ko'rsatilgandek, biz ikkita haqiqiy aniq echimga ega bo'lsak, biz ulardan birini jismoniy sabablarga ko'ra yo'q qila olamiz.
Keling, yana bir yoki ikkita misol bilan ishlaylik.
Yechim
Biz \(t\) ni birinchi avtomobil, keling, uni A avtomobili sayohat qilgan vaqt miqdori bo'lishiga ruxsat berishdan boshlaymiz. Ikkinchi mashina, keling, bu mashinani B deb ataylik, ikki soatdan keyin ishlay boshlaydi, keyin u \(t - 2\) soat sayohat qilishini bilamiz.
Endi biz bilamizki, ob'ekt (yoki mashina) bosib o'tgan masofa uning tezligi va vaqtini bosib o'tgan vaqtdir. Shunday qilib, bizda har bir mashina uchun bosib o'tilgan quyidagi masofalar mavjud.
\[\begin{array}{l}{\mbox{distance of car A : }}25t\\ {\mbox{distance of car B : }}20\left( {t - 2} \right)\end{array}\]Ayni paytda vaziyatning qisqacha eskizi, ehtimol, biz nima bo'layotganini ko'rishimiz uchun tartibda bo'lishi mumkin. Eskizda biz ikkita mashina bir-biridan 300 milya masofada bo'lishi uchun etarlicha uzoq masofani bosib o'tgan deb taxmin qilamiz.
Shunday qilib, bizda to'g'ri burchakli uchburchak bor. Bu shuni anglatadiki, biz Pifagor teoremasidan foydalanishimiz mumkin:
\[{\left( {25t} \right)^2} + {\left( {20\left( {t - 2} \right)} \right)^2} = {\left( {300} \right)^2}\]Bu kvadrat tenglama, lekin uni hal qilishdan oldin biroz soddalashtirish kerak, shuning uchun buni qilaylik.
\[\begin{align*}625{t^2} + {\left( {20t - 40} \right)^2} & = 90000\\ 625{t^2} + 400{t^2} - 1600t + 1600 & = 90000\\ 1025{t^2} - 1600t - 88400 & = 0\end{align*}\]Endi, bu erda koeffitsientlar juda katta, ammo bu muammo bilan tez-tez sodir bo'ladigan narsa, shuning uchun tashvishlanmang. Kvadrat formuladan foydalanish (va bu javobni soddalashtirish) beradi,
\[t = \frac{{1600 \pm \sqrt {365000000} }}{{2050}} = \frac{{1600 \pm 1000\sqrt {365} }}{{2050}} = \frac{{32 \pm 20\sqrt {365} }}{{41}}\]Shunga qaramay, bizda ikkita yechim bor va biz qaysi biri to'g'ri ekanligini aniqlashimiz kerak, shuning uchun ularni o'nli kasrlarga aylantiramiz.
\[t = \frac{{32 + 20\sqrt {365} }}{{41}} = 10.09998\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}{\mbox{and }}\hspace{0.25in}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,t = \frac{{32 - 20\sqrt {365} }}{{41}} = - 8.539011\]Oldingi misolda bo'lgani kabi, salbiy javob hech qanday ma'noga ega emas. Shunday qilib, A avtomobili bir-biridan 300 mil uzoqlikda bo'lganida 10,09998 soat yurganga o'xshaydi.
Bundan tashqari, muammo buni so'ramagan bo'lsa-da, ikkinchi mashina bir-biridan 300 milya masofada bo'lishidan oldin 8,09998 soat davomida sayohat qilgan bo'ladi. E'tibor bering, bu birinchi misoldan farqli o'laroq, bu safar salbiy bo'lmagan ikkinchi yechim emas.
Yechim
\(t\) birinchi mashina (A mashinasi) konvertlar partiyasini o'zi to'ldirish uchun ketadigan vaqt miqdori bo'lsin. Bu shuni anglatadiki, konvertlar partiyasini o'zi to'ldirish uchun ikkinchi mashina (B mashinasi) \(t + 1\) soat vaqt ketadi.
Bu muammo uchun so'z tenglamasi shunday bo'ladi:
\[\begin{align*}\left( \begin{array}{c}{\mbox{Portion of job }}\\ {\mbox{done by Machine A}}\end{array} \right) + \left( \begin{array}{c}{\mbox{Portion of job }}\\ {\mbox{done by Machine B}}\end{array} \right) & = 1{\mbox{ Job}}\\ \\ \left( \begin{array}{c}{\mbox{Work Rate}}\\ {\mbox{of Machine A}}\end{array} \right)\left( \begin{array}{c}{\mbox{Time Spent}}\\ {\mbox{Working}}\end{array} \right) + \left( \begin{array}{c}{\mbox{Work Rate}}\\ {\mbox{of Machine B}}\end{array} \right)\left( \begin{array}{c}{\mbox{Time Spent}}\\ {\mbox{Working}}\end{array} \right) & = 1\end{align*}\]Biz birgalikda ishlash uchun sarflangan vaqtni (2 soat) bilamiz, shuning uchun har bir mashinaning ish tezligini bilishimiz kerak. Mana bu hisob-kitoblar.
\[1{\mbox{ Job}} = \left( {{\mbox{Work Rate of Machine A}}} \right) \times \left( t \right)\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}{\mbox{Machine A}} = \frac{1}{t}\] \[1{\mbox{ Job}} = \left( {{\mbox{Work Rate of Machine B}}} \right) \times \left( {t + 1} \right)\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}{\mbox{Machine B}} = \frac{1}{{t + 1}}\]E'tibor bering, ish stavkalarida \(t\) mavjud. Aslida, biz buni hal qilishimiz uchun ular kerak bo'ladi! Tenglama so'ziga ulanganda,
\[\begin{align*}\left( {\frac{1}{t}} \right)\left( 2 \right) + \left( {\frac{1}{{t + 1}}} \right)\left( 2 \right) & = 1\\ \frac{2}{t} + \frac{2}{{t + 1}} & = 1\end{align*}\]Shunday qilib, hal qilish uchun biz birinchi navbatda denominatorlarni tozalashimiz va tenglamani standart shaklda olishimiz kerak.
\[\begin{align*}\left( {\frac{2}{t} + \frac{2}{{t + 1}}} \right)\left( t \right)\left( {t + 1} \right) & = \left( 1 \right)\left( t \right)\left( {t + 1} \right)\\ 2\left( {t + 1} \right) + 2t & = {t^2} + t\\ 4t + 2 &= {t^2} + t\\ 0 & = {t^2} - 3t - 2\end{align*}\]Kvadrat formuladan foydalanib,
\[t = \frac{{3 \pm \sqrt {17} }}{2}\]O'nli kasrlarga o'tkazish,
\[t = \frac{{3 + \sqrt {17} }}{2} = 3.5616\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}\text{va}\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}t = \frac{{3 - \sqrt {17} }}{2} = - 0.5616\]Shunga qaramay, salbiy hech qanday ma'noga ega emas va shuning uchun A mashinasi konvertlar to'plamini o'zi to'ldirish uchun 3,5616 soat ishlaydi. B mashinasiga konvertlar to'plamini o'zi to'ldirish uchun 4,5616 soat kerak bo'ladi. Shunga qaramay, birinchi misoldan farqli o'laroq, B mashinasi uchun vaqt minus belgisisiz kvadratikdan ikkinchi yechim emasligini unutmang.