2.1-bo'lim: Yechimlar va yechimlar to'plami
Biz ushbu bobni tenglamalar va tengsizliklarni echishda muntazam ravishda ishlatadigan ba'zi bir asosiy terminologiyaga ega bo'lgan juda qisqa bo'limdan boshlaymiz.
Birinchidan, a yechim Tenglama yoki tengsizlik - bu tenglama/tengsizlikka kiritilganda tenglama/tengsizlikni qanoatlantiradigan har qanday raqam. Xo'sh, qanoatlantirish deganda nimani tushunamiz? Buni tushuntirish uchun bir yoki ikkita misol keltiramiz.
- \(x = 3\) in \({x^2} - 9 = 0\)
- \(y = 8\) in \(3\left( {y + 1} \right) = 4y - 5\)
- \(z = 1\) in \(2\left( {z - 5} \right) \le 4z\)
- \(z = - 5\) in \(2\left( {z - 5} \right) \le 4z\)
a \(x = 3\) in \({x^2} - 9 = 0\) Yechim
Biz birinchi navbatda taklif qilingan yechimni tenglamaga kiritamiz.
\[\begin{align*}{3^2} - 9 & \mathop = \limits^? 0\\ 9 - 9 & = 0\\ 0 & = 0 \,\,\,\,{\mbox{OK}}\end{align*}\]Shunday qilib, biz taklif qilayotgan yechimni ulaganimizdan so'ng, o'ng tomon chap tomonga teng bo'ladimi? Bu “?”ning ma’nosi. birinchi qatordagi teng belgisi ustida.
O'ng va chap tomon bir xil bo'lgani uchun biz \(x = 3\) deb aytamiz qanoatlantiradi tenglama.
b \(y = 8\) in \(3\left( {y + 1} \right) = 4y - 5\) Yechim
Shunday qilib, biz \(y = 8\) tenglamani qanoatlantirayotganini ko'rmoqchimiz. Avval qiymatni tenglamaga kiriting.
\[\begin{align*}3\left( {8 + 1} \right) &\mathop = \limits^? 4\left( 8 \right) - 5\\ 27 & = 27\,\,\,\,{\mbox{OK}}\end{align*}\]Shunday qilib, \(y = 8\) tenglamani qanoatlantiradi va yechim ham shunday.
c \(z = 1\) in \(2\left( {z - 5} \right) \le 4z\) Yechim
Bu holda biz tengsizlikka egamiz va bu holda "qondirish" biroz boshqacha narsani anglatadi. Bunday holda, raqam tengsizlikni qondiradi, deymiz, agar uni ulagandan so'ng, natijada biz haqiqiy tengsizlikka erishamiz.
Keling, \(z = 1\) ni tekshiramiz.
\[\begin{align*}2\left( {1 - 5} \right) & \mathop \le \limits^? 4\left( 1 \right)\\ - 8 & \le 4 \,\,\,\,{\mbox{OK}}\end{align*}\]Demak, -8 4 dan kichik yoki teng (aslida u kamroq) va shuning uchun bizda haqiqiy tengsizlik bor. Shuning uchun \(z = 1\) tengsizlikni qondiradi va shuning uchun yechimdir
d \(z = - 5\) in \(2\left( {z - 5} \right) \le 4z\) Yechim
Bu boshqa qiymatga ega bir xil tengsizlik, shuning uchun buni tekshiramiz.
\[\begin{align*}2\left( { - 5 - 5} \right) & \mathop \le \limits^? 4\left( { - 5} \right)\\ - 20 & \le - 20\,\,\,\,{\mbox{OK}}\end{align*}\]Bu holda -20 -20 dan kichik yoki teng (bu holda u teng) va shuning uchun biz yana haqiqiy tengsizlikni olamiz va shuning uchun \(z = - 5\) tengsizlikni qondiradi va shuning uchun yechim bo'ladi.
Shuningdek, biz yechim bo'lmagan raqamlarga tezkor misol keltirishimiz kerak, shunda ularning qanday ishlashini ko'rishimiz mumkin.
- \(y = - 2\) in \(3\left( {y + 1} \right) = 4y - 5\)
- \(z = - 12\) in \(2\left( {z - 5} \right) \le 4z\)
a \(y = - 2\) in \(3\left( {y + 1} \right) = 4y - 5\) Yechim
Bu holda biz avvalgi misolda qilgan ishni amalda bajaramiz. Raqamni ulang va bu safar tenglamani qoniqtirmasligini ko'rsating. Tenglamalar uchun bu tenglamaning o'ng tomoni tenglamaning chap tomoniga teng bo'lmasligini anglatadi.
\[\begin{align*}3\left( { - 2 + 1} \right) & \mathop = \limits^? 4\left( { - 2} \right) - 5\\ - 3 & \ne - 13\,\,\,\,{\mbox{NOT OK}}\end{align*}\]Shunday qilib, -3 -13 bilan bir xil emas va shuning uchun tenglama bajarilmaydi. Shuning uchun \(y = - 2\) tenglamaning yechimi emas.
b \(z = - 12\) in \(2\left( {z - 5} \right) \le 4z\) Yechim
Bu safar bizda tengsizlik bor. Raqamni ulagandan keyin noto'g'ri bo'lgan tengsizlikni olsak, raqam tengsizlikni qondirmaydi.
\[\begin{align*}2\left( { - 12 - 5} \right) & \mathop \le \limits^? 4\left( { - 12} \right)\\ - 34\require{cancel} & \bcancel{ \le } - 48\,\,\,\,{\mbox{NOT OK}}\end{align*}\]Bu holda -34 -48 dan kam yoki teng emas, shuning uchun tengsizlik qondirilmaydi. Shuning uchun \(z = - 12\) tengsizlikning yechimi emas.
Endi berilgan tenglama yoki tengsizlik faqat bitta yechimga ega bo'ladi, deb o'ylash uchun hech qanday asos yo'q. Aslida, birinchi misolda ko'rsatilgandek \(2\left( {z - 5} \right) \le 4z\) tengsizligi kamida ikkita yechimga ega. Bundan tashqari, siz \(x = 3\) \({x^2} - 9 = 0\) uchun yagona yechim emasligini sezgan bo'lishingiz mumkin. Bu holda \(x = - 3\) ham yechim hisoblanadi.
Biz barcha yechimlarning to'liq to'plamini deb ataymiz yechim to'plami tenglama yoki tengsizlik uchun. Yechimlar to'plami uchun ba'zi rasmiy belgilar mavjud, ammo biz ushbu kursda unchalik tez-tez foydalanmaymiz. Qanday bo'lmasin, biz buni tan olishimiz kerak.
Tenglamalar uchun biz yechimlar to'plamini barcha yechimlarni qavslar to'plamiga qo'shib, \(\left\{ {} \right\}\) deb belgilaymiz. Biz yuqorida ko'rib chiqqan ikkita tenglama uchun yechimlar to'plami.
\[\begin{align*}3\left( {y + 1} \right) & = 4y - 5 & \hspace{0.25in} & {\mbox{yechim Set }} :\,\,\,\left\{ 8 \right\}\\ {x^2} - 9 & = 0 & \hspace{0.25in} & {\mbox{yechim Set }} :\,\,\,\left\{ { - 3,3} \right\}\end{align*}\]Tengsizliklar uchun bizda shunga o'xshash belgi mavjud. Tengsizlikning murakkabligiga qarab, yechim to'plami bitta son yoki raqamlar oralig'i bo'lishi mumkin. Agar bu bitta raqam bo'lsa, biz tenglamalar uchun ishlatganimizdek bir xil belgidan foydalanamiz. Agar yechimlar to'plami yuqorida ko'rib chiqqanimiz kabi raqamlar oralig'i bo'lsa, biz deb nomlangan narsadan foydalanamiz quruvchi belgisini o'rnatish. Mana biz yuqorida ko'rib chiqqan tengsizlik uchun yechim to'plami.
\[\left\{ {z|z \ge - 5} \right\}\]Bu shunday o'qiladi: "\(z\) -5 dan katta yoki teng bo'lgan barcha \(z\) to'plami".
Biz ko'rib chiqadigan ko'pgina tengsizliklar etarlicha sodda echimlar to'plamiga ega bo'lib, biz buni ko'pincha qisqacha ifodalaymiz:
\[z \ge - 5\]Ushbu bo'limni tark etishdan oldin yechimlar to'plamini ko'rib chiqishimiz kerak bo'lgan bitta yakuniy mavzu bor. Quyidagi tenglama va tengsizlikni ko'rib chiqing.
\[\begin{align*}{x^2} + 1 & = 0\\ {x^2} & < 0\end{align*}\]Agar biz o'zimizni faqat haqiqiy echimlar bilan cheklasak (biz buni har doim ham qilmaymiz), unda tenglamaning yechimi yo'q. \(x\) kvadrati \(x\) ni nolga tenglashtiradi, so'ngra 1 ni qo'shish chap tomonning kamida 1 bo'lishi kafolatlanganligini anglatadi. Boshqacha qilib aytganda, bu tenglamaning haqiqiy yechimi yo'q. Xuddi shu asosiy sababga ko'ra tengsizlikning echimi yo'q. Har qanday haqiqiy \(x\) kvadrati uni ijobiy yoki nolga aylantiradi va shuning uchun hech qachon salbiy bo'lmaydi.
Bu erda hech qanday yechim yo'qligini ko'rsatadigan usul kerak. Yechimlar to'plamining yozuvida biz yechimlar to'plamini aytamiz bo'sh va uni : \(\emptyset \) belgisi bilan belgilang. Ushbu belgi ko'pincha deyiladi bo'sh to'plam.
Endi biz ushbu bo'limni tark etishdan oldin bir nechta yakuniy sharhlarni aytishimiz kerak.
Yuqoridagi bo'sh to'plamlarni muhokama qilishda biz faqat haqiqiy echimlarni qidirmoqdamiz deb taxmin qildik. Garchi biz tengsizliklar uchun shunday qilsak ham, biz o'zimizni tenglamalar bilan haqiqiy echimlar bilan cheklab qo'ymaymiz. Kvadrat tenglamalarni (bu \({x^2} + 1 = 0\)) echishga o'tganimizdan so'ng, biz yechimlarni kompleks sonlar bo'lishiga ruxsat beramiz va yuqorida ko'rib chiqilgan holatda \({x^2} + 1 = 0\) ning murakkab echimlari mavjud. Agar siz ushbu nuqtani qanday topishni bilmasangiz, bu yaxshi, biz ushbu materialni bir necha bo'limda yoritamiz. Shu nuqtada, \({x^2} + 1 = 0\) murakkab echimlarga ega ekanligini qabul qiling.
Nihoyat, yuqorida ta'kidlab o'tilganidek, biz ushbu kursda yechimlar to'plamini ko'p ishlatmaymiz. Bu yaxshi notadir va ba'zida, ayniqsa, murakkab echimlar uchun foydalanish mumkin. Biroq, biz ko'rib chiqadigan tenglamalar va tengsizliklarning aksariyati uchun etarli darajada oddiy echimlar to'plami bo'ladi, shuning uchun echimlarni yozib olish va unga ruxsat berish osonroq. Shuning uchun, biz yechimlar to'plamlari uchun belgidan foydalanmaymiz. Biroq, siz belgidan xabardor bo'lishingiz va u nimani anglatishini bilishingiz kerak.