3.10-bo'lim: Yashirin farqlash
Shu nuqtaga qadar biz bir nechta hosilalarni qildik, ammo ularning barchasi \(y = f\left( x \right)\) shaklidagi funktsiyalarning hosilalari edi. Afsuski, biz ko'rib chiqadigan barcha funktsiyalar bu shaklga tushmaydi.
Keling, bunday funktsiyaning misolini ko'rib chiqaylik.
Yechim
Aslida, bu muammoni hal qilishning ikkita usuli mavjud.
Yechim 1:Bu muammoni hal qilishning oddiy usuli. Funktsiyani biz ko'nikkan shaklda olish va keyin farqlash uchun \(y\) ni hal qiling.
\[y = \frac{1}{x}\hspace{0.25in}\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}\hspace{0.25in}y' = - \frac{1}{{{x^2}}}\]Shunday qilib, buni qilish juda oson. Biroq, buni amalga oshirish mumkin bo'lmagan ba'zi funktsiyalar mavjud. Bu erda ikkinchi yechim texnikasi o'ynaydi.
Yechim 2:Bu holda biz funksiyani bizga berilgan shaklda qoldirib, u bilan shu shaklda ishlaymiz. Biroq, ushbu yechimning birinchi qismidan eslaylikki, agar biz \(y\) ni hal qila olsak, \(x\) funktsiyasi sifatida \(y\) ni olamiz. Boshqacha qilib aytadigan bo'lsak, agar biz \(y\) ni hal qila olsak (bu holatda bo'lgani kabi, lekin har doim ham qila olmaymiz) biz \(y = y\left( x \right)\) ni olamiz. Buni qayd qilish uchun tenglamani qayta yozamiz.
\[xy = x\,y\left( x \right) = 1\]Bu erda ehtiyot bo'ling va \(y\left( x \right)\) deb yozganimizda \(y\) marta \(x\) degani emas. Bu erda biz ta'kidlayotgan narsa \(y\) \(x\) ning ba'zi (ehtimol noma'lum) funktsiyasidir. Ushbu yechim texnikasini amalga oshirishda buni esga olish muhimdir.
Ushbu yechimning keyingi bosqichi \(x\) ga nisbatan ikkala tomonni quyidagicha farqlashdir:
\[\frac{d}{{dx}}\left( {x\,y\left( x \right)} \right) = \frac{d}{{dx}}\left( 1 \right)\]O'ng tomon oson. Bu faqat doimiyning hosilasi. Chap tomon ham oson, lekin bizda aslida mahsulot borligini tan olishimiz kerak, \(x\) va \(y\left( x \right)\). Shunday qilib, chap tomonning hosilasini qilish uchun mahsulot qoidasini bajarishimiz kerak. Buni qilish,
\[\left( 1 \right)y\left( x \right) + x\frac{d}{{dx}}\left( {y\left( x \right)} \right) = 0\]Endi bizda hosila yozishning quyidagi notatsion usuli borligini eslaylik.
\[\frac{d}{{dx}}\left( {y\left( x \right)} \right) = \frac{{dy}}{{dx}} = y'\]Buning yordamida biz quyidagilarni olamiz,
\[y + xy' = 0\]E'tibor bering, biz \(\left( x \right)\)-ni \(y\)-ga tashladik, chunki u faqat \(y\) \(x\) funktsiyasi ekanligini eslatish uchun edi va endi hosila olganimizdan so'ng, u endi kerak emas. Biz shunchaki tenglamada hosila qoidasini tan olishini xohladik.
Xo'sh, endi nimaga intilganimizni eslaylik. Biz \(y'\) hosilasidan keyin edik va endi tenglamada \(y'\) borligini payqadik. Shunday qilib, hosila olish uchun biz faqat \(y'\) tenglamasini echishimiz kerak.
\[y' = - \frac{y}{x}\]Mana u. Ikkinchi yechim texnikasidan foydalanish bu bizning javobimiz. Biroq, bu biz birinchi yechimdan olgan narsa emas. Yoki hech bo'lmaganda bu biz birinchi yechimdan olgan hosilaga o'xshamaydi. Ammo esda tutingki, biz \(x\) nuqtai nazaridan \(y\) nima ekanligini bilamiz va agar biz uni ulab olsak, biz olamiz,
\[{y}'=-\frac{{}^{1}/{}_{x}}{x}=-\frac{1}{{{x}^{2}}}\]bu biz birinchi yechimdan olgan narsamiz. Amaldagi yechim texnikasidan qat'i nazar, biz bir xil hosilani olishimiz kerak.
Oldingi misolning ikkinchi yechimida biz ishlatgan jarayon deyiladi bilvosita farqlash va bu ushbu bo'limning mavzusi. Oldingi misolda biz faqat \(y\) ni hal qila oldik va yashirin farqlanishdan qochamiz. Biroq, ushbu bo'limdagi qolgan misollarda biz \(y\) ni hal qila olmaymiz yoki quyida keltirilgan misollardan birida ko'rib turganimizdek, javob biz hal qila oladigan shaklda bo'lmaydi.
Yuqoridagi ikkinchi yechimda biz \(y\) ni \(y\left( x \right)\) bilan almashtirdik va keyin hosila hosil qildik. Eslatib o'tamiz, biz buni \(y\) aslida \(x\) funktsiyasi ekanligini eslatish uchun qilganmiz. Biz kamdan-kam hollarda \(y\left( x \right)\) ni yozsak ham, biz ushbu muammolarda buni juda ko'p qilamiz. Shunday qilib, biz aniq farqlash muammolarini hal qilishdan oldin, keling, \(y\left( x \right)\) ni o'z ichiga olgan funksiyalarning hosilalarini bajarishda bizga yordam beradigan "oddiy" hosilalarning qisqacha to'plamini qilaylik.
- \({\left( {5{x^3} - 7x + 1} \right)^5}\), \({\left[ {f\left( x \right)} \right]^5}\), \({\left[ {y\left( x \right)} \right]^5}\)
- \(\sin \left( {3 - 6x} \right)\), \(\sin \left( {y\left( x \right)} \right)\)
- \({{\bf{e}}^{{x^2} - 9x}}\), \({{\bf{e}}^{y\left( x \right)}}\)
Bular biz bu yerda ko'rganimizdan biroz boshqacha yozilgan. Buning sababi, biz ushbu muammolarni ushbu bo'limda nima qilishimiz bilan taqqoslashni xohlaymiz. Bundan tashqari, ushbu qismlarning har biri ma'lum bir funktsiyadan keyin umumiy funktsiyadan boshlab farqlash uchun bir nechta funktsiyalarga ega. Bu yana, biz amalga oshiradigan yashirin farqlash jarayonining ba'zi o'ziga xos qismlarida bizga yordam berishdir.
a \({\left( {5{x^3} - 7x + 1} \right)^5}\), \({\left[ {f\left( x \right)} \right]^5}\), \({\left[ {y\left( x \right)} \right]^5}\) Yechim
Bu erda birinchi funktsiya bilan bizdan quyidagilarni bajarish so'raladi:
\[\frac{d}{{dx}}\left[ {{{\left( {5{x^3} - 7x + 1} \right)}^5}} \right] = 5{\left( {5{x^3} - 7x + 1} \right)^4}\left( {15{x^2} - 7} \right)\]va bu faqat zanjir qoidasi. Biz tashqi funktsiyani (5 ning ko'rsatkichi) farqladik va keyin uni ichki funktsiyaning hosilasiga (qavs ichidagi narsalar) ko'paytirdik.
Ikkinchi funktsiya uchun biz xuddi shu narsani qilamiz. Biz zanjir qoidasidan foydalanishimiz kerak. Tashqi funktsiya hali ham 5 ning ko'rsatkichi bo'lib, ichki funksiya bu safar oddiygina \(f\left( x \right)\). Bu erda bizda aniq funktsiya yo'q, lekin bu biz hech bo'lmaganda ushbu funktsiya uchun zanjir qoidasini yoza olmaymiz degani emas. Mana bu funktsiyaning hosilasi,
\[\frac{d}{{dx}}{\left[ {f\left( x \right)} \right]^5} = 5{\left[ {f\left( x \right)} \right]^4}f'\left( x \right)\]Biz \(f\left( x \right)\) nima ekanligini bilmaymiz, shuning uchun biz ichki funktsiyaning hosilasini qilganimizda, faqat hosila uchun yozuvni yozishimiz mumkin, i.e. \(f'\left( x \right)\).
Yakuniy funksiya bilan biz ikkinchi funktsiyadagi \(f\) ni \(y\) bilan almashtirdik, chunki bu bo'limdagi ishimizning aksariyati \(f\) o'rniga \(y\) ni o'z ichiga oladi. Bundan tashqari, bu funktsiya ikkinchisi bilan bir xil. Shunday qilib, hosila,
\[\frac{d}{{dx}}{\left[ {y\left( x \right)} \right]^5} = 5{\left[ {y\left( x \right)} \right]^4}y'\left( x \right)\]b \(\sin \left( {3 - 6x} \right)\), \(\sin \left( {y\left( x \right)} \right)\) Yechim
Bu erda farqlanadigan birinchi funktsiya bu shunchaki tezkor zanjir qoidasi muammosi, shuning uchun mana bu hosila,
\[\frac{d}{{dx}}\left[ {\sin \left( {3 - 6x} \right)} \right] = - 6\cos \left( {3 - 6x} \right)\]Ikkinchi funktsiya uchun biz bu safar \(f\left( x \right)\)-dan foydalanish bilan bezovta qilmadik va umumiy versiya uchun to'g'ridan-to'g'ri \(y\left( x \right)\)-ga o'tdik. Bu hali ham birinchi funktsiya uchun qilgan ishimizning umumiy versiyasi. Tashqi funktsiya hali ham sinus bo'lib, ichki qism \(y\left( x \right)\) tomonidan berilgan va bizda \(y\left( x \right)\) formulasi yo'q va shuning uchun biz uning hosilasini ololmasak ham, uning hosilasi uchun yozuv mavjud. Mana bu funktsiyaning hosilasi,
\[\frac{d}{{dx}}\left[ {\sin \left( {y\left( x \right)} \right)} \right] = y'\left( x \right)\cos \left( {y\left( x \right)} \right)\]c \({{\bf{e}}^{{x^2} - 9x}}\), \({{\bf{e}}^{y\left( x \right)}}\) Yechim
Ushbu bo'limda biz faqat har biriga javob beramiz va birinchi ikki qismdagi tushuntirishlarni qoldiramiz.
\[\frac{d}{{dx}}\left( {{{\bf{e}}^{{x^2} - 9x}}} \right) = \left( {2x - 9} \right){{\bf{e}}^{{x^2} - 9x}}\hspace{0.75in}\frac{d}{{dx}}\left( {{{\bf{e}}^{y\left( x \right)}}} \right) = y'\left( x \right){{\bf{e}}^{y\left( x \right)}}\]Shunday qilib, ushbu misollar to'plamida biz faqat zanjir qoidalari bilan bog'liq muammolarni bajardik, bu erda ichki funktsiya ma'lum bir funktsiya o'rniga \(y\left( x \right)\) edi. Bunday lotin har doim yashirin farqlashda namoyon bo'ladi, shuning uchun biz ularni qila olishimizga ishonch hosil qilishimiz kerak. Shuni ham yodda tutingki, biz buni faqat uchta turdagi funksiyalar uchun qildik, lekin bu erda biz ishlatishimiz mumkin bo'lgan yana ko'p funktsiyalar mavjud.
Shunday qilib, endi biz \(y\) uchun echish orqali yashirin differentsiatsiyadan qochishimiz mumkin bo'lgan birinchi misoldan farqli o'laroq, yashirin differentsiatsiya talab qilinadigan birinchi muammoni hal qilish vaqti keldi.
Yechim
Endi bu shunchaki aylana va biz \(y\) ni hal qila olamiz, bu esa,
\[y = \pm \sqrt {9 - {x^2}} \]Ushbu muammoni boshlashdan oldin, biz bu erda aniq farqlashimiz kerakligini aytdik, chunki biz faqat \(y\) uchun hal qila olmadik, ammo biz shunday qildik. Xo'sh, nega biz bu erda "normal" farqlashdan foydalana olmaymiz? Muammo "\( \pm \)" da. Bu bilan \(y\) uchun "yechim" da biz \(y\) aslida ikki xil funktsiya ekanligini ko'ramiz. Qaysi birini ishlatishimiz kerak? Ikkalasini ham ishlatishimiz kerakmi? Biz lotin uchun faqat bitta funktsiyani xohlaymiz va eng yaxshi holatda bizda ikkita funktsiya mavjud.
Shunday qilib, bu misolda biz buni oldini olishimiz uchun aniq farqlashni amalga oshirishimiz kerak. Ushbu misolda biz birinchi misolda qilgan ishni qilamiz va \(y\) haqiqatan ham \(x\) funksiyasi ekanligini eslatamiz va \(y\) ni \(y\left( x \right)\) deb yozamiz. Buni qilganimizdan so'ng, har bir atamani \(x\) ga nisbatan farqlashimiz kerak.
\[\frac{d}{{dx}}\left( {{x^2} + {{\left[ {y\left( x \right)} \right]}^2}} \right) = \frac{d}{{dx}}\left( 9 \right)\]Birinchi misolda bo'lgani kabi, o'ng tomon oson. Chap tomon ham juda oson, chunki biz qilishimiz kerak bo'lgan narsa har bir atamaning hosilasini olish va ikkinchi atama ikkinchi misolning (a) qismiga o'xshash bo'lishini unutmang. Ikkinchi muddat uchun qilishimiz kerak bo'lgan yagona narsa zanjir qoidasidan foydalanishdir.
Bizda hosila olingandan so'ng,
\[2x + 2{\left[ {y\left( x \right)} \right]^1}y'\left( x \right) = 0\]Ushbu nuqtada biz \(\left( x \right)\) qismini tashlab qo'yishimiz mumkin, chunki u faqat farqlash jarayoniga yordam berish uchun muammoda edi. Yakuniy qadam \(y'\) uchun olingan tenglamani oddiygina hal qilishdir.
\[\begin{align*}2x + 2yy' & = 0\\ y' & = - \frac{x}{y}\end{align*}\]Birinchi misoldan farqli o'laroq, biz faqat \(y\)-ga ulay olmaymiz, chunki biz ikkita funksiyadan qaysi birini ishlatishni bilmaymiz. Yashirin farqlashning aksariyat javoblari \(x\) va \(y\) ni o'z ichiga oladi, shuning uchun bu sodir bo'lganda hayajonlanmang.
Har doimgidek, biz derivativlar haqidagi talqinlarimizni unuta olmaymiz.
\(\left( {2,\,\,\sqrt 5 } \right)\) nuqtasida.
Yechim
Avval shuni yodda tutingki, biz oldingi bo'limlarda qilgan boshqa barcha tangens chiziqli muammolardan farqli o'laroq, biz nuqtaning \(x\) va \(y\) qiymatlarini berishimiz kerak. Shuni ham yodda tutingki, bu nuqta aylananing grafigida yotadi (nuqtalarni tenglamaga kiritish orqali tekshirishingiz mumkin) va shuning uchun bu nuqtada teginish chizig'i haqida gapirish mumkin.
Eslatib o'tamiz, tangens chizig'ini yozish uchun bizga faqat teginish chizig'ining qiyaligi kerak bo'ladi va bu berilgan nuqtada baholangan hosiladan boshqa narsa emas. Biz oldingi misoldan hosila oldik, shuning uchun biz qilishimiz kerak bo'lgan narsa berilgan nuqtani ulashdir.
\[m = {\left. {y'} \right|_{x = 2,\,y = \sqrt 5 }} = - \frac{2}{{\sqrt 5 }}\]Tangens chizig'i keyin.
\[y = \sqrt 5 - \frac{2}{{\sqrt 5 }}\left( {x - 2} \right)\]Endi yana bir nechta misollar bilan ishlaylik. Qolgan misollarda biz endi \(y\) uchun \(y\left( x \right)\) ni yozmaymiz. Bu biz o'zimizga \(y\) haqiqatan ham \(x\) ning hosilalarga yordam berish funktsiyasi ekanligini eslatish uchun qilgan narsamiz. \(y\left( x \right)\) ni ko'rish bizga muammoning ushbu qismida zanjir qoidasini bajarishimiz kerakligini eslatdi. Shu paytdan boshlab biz \(y\)-ni \(y\) deb yozamiz va ular haqiqatan ham \(y\left( x \right)\) ekanligini va biz zanjir qoidasini bajarishimiz kerakligini yodda tutishimiz kerak.
Ushbu masalalarda zanjir qoidasini qanday bajarishni eslab qolishning oson yo'li mavjud. Zanjir qoidasi haqiqatan ham funksiyani odatdagidek farqlashni aytadi, faqat ichki funktsiyaning hosilasini qo'shishimiz kerak. Yashirin farqlashda bu shuni anglatadiki, biz har safar atamani \(y\) bilan farqlaganimizda, undagi ichki funktsiya \(y\) bo'ladi va biz atamaga \(y'\) qo'shishimiz kerak, chunki bu ichki funktsiyaning hosilasi bo'ladi.
Keling, bir nechta misollarni ko'rib chiqaylik.
- \({x^3}{y^5} + 3x = 8{y^3} + 1\)
- \({x^2}\tan \left( y \right) + {y^{10}}\sec \left( x \right) = 2x\)
- \({{\bf{e}}^{2x + 3y}} = {x^2} - \ln \left( {x{y^3}} \right)\)
a \({x^3}{y^5} + 3x = 8{y^3} + 1\) Yechim
Avval \(x\) ga nisbatan ikkala tomonni farqlang va esda tutingki, har bir \(y\) haqiqatan ham \(y\left( x \right)\), biz endi uni shunday yozmoqchi emasmiz. Bu chapdagi birinchi atama mahsulot qoidasi bo'lishini anglatadi.
Biz \(y\)-ni o'z ichiga olgan ushbu turdagi funktsiyalarni zanjir qoidasi bilan quvvatga ajratdik. 2-misol yuqorida. Shuningdek, ushbu muammoni boshlashdan oldin muhokamani eslang. Ushbu turdagi zanjir qoidasi muammosini bajarishda biz qilishimiz kerak bo'lgan narsa - \(y\)-ni odatdagidek farqlash va keyin \(y'\)-ni qo'shish, bu "ichki funktsiya" hosilasidan boshqa narsa emas.
Bu funktsiya uchun har bir tomonning farqlanishi.
\[3{x^2}{y^5} + 5{x^3}{y^4}y' + 3 = 24{y^2}y'\]Endi biz qilishimiz kerak bo'lgan narsa \(y'\) hosilasini hal qilishdir. Bu siz qila oladigan algebrani hal qilishning asosiy usuli. Asosiy muammo shundaki, u siz odat qilganingizdan ko'ra betartibroq bo'lishi mumkin. Biz qilishimiz kerak bo'lgan narsa bir tomondan \(y'\) bilan barcha shartlarni, ikkinchi tomondan esa \(y'\) bo'lmagan barcha shartlarni olishdir. Keyin uni o'z ichiga olgan barcha atamalardan \(y'\) omilini aniqlang va ikkala tomonni \(y'\) "koeffitsienti" ga bo'ling. Mana buning hal qiluvchi ishi,
\[\begin{align*}3{x^2}{y^5} + 3 & = 24{y^2}y' - 5{x^3}{y^4}y'\\ 3{x^2}{y^5} + 3 & = \left( {24{y^2} - 5{x^3}{y^4}} \right)y'\\ y' & = \frac{{3{x^2}{y^5} + 3}}{{24{y^2} - 5{x^3}{y^4}}}\end{align*}\]Bu muammolardagi algebra juda chalkash bo'lishi mumkin, shuning uchun ehtiyot bo'ling.
b \({x^2}\tan \left( y \right) + {y^{10}}\sec \left( x \right) = 2x\) Yechim
Bu safar bizda ikkita mahsulot qoidasi bor. Mana bu funktsiyaning hosilasi.
\[2x\tan \left( y \right) + {x^2}{\sec ^2}\left( y \right)y' + 10{y^9}y'\sec \left( x \right) + {y^{10}}\sec \left( x \right)\tan \left( x \right) = 2\]Sekantaga yopishtirilgan hosilaga e'tibor bering! Shunga qaramay, bu yuqoridagi 2-misolning ikkinchi qismiga o'xshash zanjirli qoida muammosi.
Endi hosilani yeching.
\[\begin{align*}\left( {{x^2}{{\sec }^2}\left( y \right) + 10{y^9}\sec \left( x \right)} \right)y' & = 2 - {y^{10}}\sec \left( x \right)\tan \left( x \right) - 2x\tan \left( y \right)\\ y' & = \frac{{2 - {y^{10}}\sec \left( x \right)\tan \left( x \right) - 2x\tan \left( y \right)}}{{{x^2}{{\sec }^2}\left( y \right) + 10{y^9}\sec \left( x \right)}}\end{align*}\]c \({{\bf{e}}^{2x + 3y}} = {x^2} - \ln \left( {x{y^3}} \right)\) Yechim
Biz bu muammo bilan ehtiyot bo'lishimiz kerak. Bizda bu erda hal qilishimiz kerak bo'lgan bir nechta zanjir qoidalari bor, ular ushbu muammodan oldin biz ko'rib chiqqanimizdan biroz farq qiladi.
Eksponensial va logarifmda bizda “standart” zanjir qoidasi bor, ya’ni eksponent va logarifm ichida faqat \(x\) yoki \(y\) dan boshqa narsa bor. Bu shuni anglatadiki, biz bu erda odatdagidek zanjir qoidasini bajaramiz va keyin har bir atama uchun ichki funktsiya hosilasini qilganimizda, biz \(y\) ni farqlash bilan shug'ullanishimiz kerak.
Mana bu tenglamaning hosilasi.
\[{{\bf{e}}^{2x + 3y}}\left( {2 + 3y'} \right) = 2x - \frac{{{y^3} + 3x{y^2}y'}}{{x{y^3}}}\]Ikkala zanjir qoidalarida biz \(y\)-ni o'sha muddatda farqlamagunimizcha, \(y'\) ishlatilmasligini ta'kidlang.
Endi biz hosilani hal qilishimiz kerak va bu biroz chalkash bo'lishi mumkin. \(y'\) ni bir tomonda olish uchun biz qavs orqali eksponensialni ko'paytirishimiz va qismni buzishimiz kerak.
\[\begin{align*}2{{\bf{e}}^{2x + 3y}} + 3y'{{\bf{e}}^{2x + 3y}} & = 2x - \frac{{{y^3}}}{{x{y^3}}} - \frac{{3x{y^2}y'}}{{x{y^3}}}\\ 2{{\bf{e}}^{2x + 3y}} + 3y'{{\bf{e}}^{2x + 3y}} & = 2x - \frac{1}{x} - \frac{{3y'}}{y}\\ \left( {3{{\bf{e}}^{2x + 3y}} + 3{y^{ - 1}}} \right)y' & = 2x - {x^{ - 1}} - 2{{\bf{e}}^{2x + 3y}}\\ y' & = \frac{{2x - {x^{ - 1}} - 2{{\bf{e}}^{2x + 3y}}}}{{3{{\bf{e}}^{2x + 3y}} + 3{y^{ - 1}}}}\end{align*}\]E'tibor bering, hosila hech bo'lmaganda biroz chiroyli ko'rinishi uchun biz barcha kasrlarni manfiy ko'rsatkichlarga aylantirdik.
Xo'sh, biz yuqoridagi tangens chiziq misolida yashirin farqlashning bitta qo'llanilishini ko'rdik. Biroq, keyingi bo'limda har bir muammoda ko'rib chiqiladigan yana bir dastur mavjud.
Ba'zi hollarda biz ikkita (yoki undan ko'p) funktsiyaga ega bo'lamiz, ularning barchasi uchinchi o'zgaruvchining funktsiyalari. Shunday qilib, bizda \(x\left( t \right)\) va \(y\left( t \right)\) bo'lishi mumkin, masalan, va bu holatlarda biz \(t\) ga nisbatan farqlaymiz. Bu avvalgi misollarda bo'lgani kabi, aniq farqlash, ammo farq bor.
Oldingi misollarda bizda \(x\) va \(y\) funksiyalari mavjud va \(y\) ni \(y\left( x \right)\) deb hisoblaymiz. Bu masalalarda biz \(x\) bilan farq qildik va shuning uchun funktsiyada \(x\) bilan duch kelganimizda biz normal deb farq qildik va \(y\) bilan duch kelganimizda biz normal deb farq qildik, faqat keyin bu atamaga \(y'\) qo'shdik, chunki biz haqiqatan ham zanjir qoidasini bajargan edik.
Yangi misolda biz \(x = x\left( t \right)\) va \(y = y\left( t \right)\) deb faraz qilmoqchimiz va \(t\) ga nisbatan farqlanamiz. Bu shuni anglatadiki, biz har safar \(x\) yoki \(y\) bilan duch kelganimizda, biz zanjir qoidasini bajaramiz. Bu, o'z navbatida, biz \(x\) ni farqlaganimizda, biz \(x'\) ni qo'shishimiz kerakligini va \(y\) ni farqlaganimizda \(y'\) ni qo'shamiz.
Ushbu yangi turdagi muammolar haqiqatan ham biz ushbu bo'limda qilgan muammolarga o'xshaydi. Ular zanjir qoidasini talab qiladigan bir nechta funksiyani o'z ichiga olish uchun biroz kengaytirilgan.
Keling, bunday muammoning misolini ko'rib chiqaylik.
Yechim
Shunday qilib, odatdagidek farqlang va har bir qadamda tegishli hosilani qo'shing. Shuni ham yodda tutingki, birinchi atama mahsulot qoidasi bo'ladi, chunki \(x\) va \(y\) ham \(t\) funksiyalaridir.
\[3{x^2}x'{y^6} + 6{x^3}{y^5}y' - x'{{\bf{e}}^{1 - x}} + 5y'\sin \left( {5y} \right) = 2yy'\]Bu muammo uchun haqiqatan ham unchalik ko'p narsa yo'q. Muammoda ikkita lotin mavjud bo'lganligi sababli, biz ulardan birini hal qilish uchun bezovta qilmaymiz. Keyingida bunday muammoni hal qilsak, muammo qaysi birini hal qilishimiz kerakligini ko'rsatadi.
Hozirgi vaqtda bunday muammoni hal qilish uchun hech qanday sabab yo'qdek tuyuladi, ammo keyingi bo'limda ko'rib turganimizdek, biz u erda bajaradigan har bir muammo bu kabi yashirin farqlashni o'z ichiga oladi.