Ushbu misol kuchni aniqlash uchun Huk qonunini talab qiladi. Guk qonuni bizga prujinani tabiiy uzunligidan \(x\) metr masofaga cho'zish uchun zarur bo'lgan kuch ekanligini aytadi:

\[F\left( x \right) = k\,x\]

bu erda \(k > 0\) bahor konstantasi deb ataladi. Shuni esda tutish kerakki, bu formuladagi \(x\) buloqning haqiqiy uzunligi emas, balki uning tabiiy uzunligidan cho'zilgan masofadir.

Shunday qilib, biz qilishimiz kerak bo'lgan birinchi narsa bu bahor uchun bahor konstantasini aniqlashdir. Biz buni dastlabki ma'lumotlardan foydalanib qilishimiz mumkin. Prujinani cho'zish uchun 40 N kuch kerak

\[30cm - 20cm = 10cm = 0.1m\]

uning tabiiy uzunligidan. Huk qonunidan foydalanib, bizda,

\[40 = 0.10k\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}\,k = 400\]

Shunday qilib, Guk qonuniga ko'ra, prujinani tabiiy uzunligidan \(x\) metr cho'zilgan holatda ushlab turish uchun zarur bo'lgan kuch \(F(x) = kx\) dir,

\[F\left( x \right) = 400x\]

Biz bahorni 35 sm dan 38 sm gacha cho'zish uchun zarur bo'lgan ishni bilmoqchimiz. Birinchidan, biz bularni tabiiy uzunlikdan metrlardagi masofalarga aylantirishimiz kerak. Bu bizga \(x\) ning 0,15 m va 0,18 m ni beradi.

Ish keyin,

\[\begin{align*}W & = \int_{{\,0.15}}^{{\,0.18}}{{400x\,dx}}\\ & = \left. {200{x^2}} \right|_{0.15}^{0.18}\\ & = 1.98\,{\mbox{J}}\end{align*}\]

Har bir qismga javob berishdan oldin, avval kuchni aniqlashimiz kerak. Bu holda kuch milning istalgan nuqtasida paqir va kabelning og'irligi bo'ladi.

Buning uchun formulani aniqlash uchun biz birinchi navbatda \(x\) uchun konventsiyani o'rnatishimiz kerak. Ushbu muammo uchun biz \(x\) ni tortib olingan kabel miqdori sifatida o'rnatamiz. Shunday qilib, \(x = 0\) milining pastki qismida, \(x = 250\) milining o'rta nuqtasida va \(x = 500\) milining yuqori qismida. Bundan tashqari, milning istalgan nuqtasida hali ham milda \(500 - x\) fut kabel mavjud.

Keyin har qanday \(x\) uchun kuch kabel va chelakning o'sha nuqtadagi og'irligidan boshqa narsa emas. Bu,

\[\begin{align*}F\left( x \right) & = {\mbox{weight of cable}} + {\mbox{ weight of bucket/coal}}\\ & = 2\left( {500 - x} \right) + 800\\ & = 1800 - 2x\end{align*}\]

Endi savollarga javob berishimiz mumkin.

Bunday holda biz kabel va chelak/ko'mirni \(x = 0\) dan \(x = 250\) ga o'tkazish uchun zarur bo'lgan ishni bilmoqchimiz. Ish talab qilinadi,

\[\begin{align*}W & = \int_{{\,0}}^{{\,250}}{{F\left( x \right)\,dx}}\\ & = \int_{{\,0}}^{{\,250}}{{1800 - 2x\,dx}}\\ & = \left. {\left( {1800x - {x^2}} \right)} \right|_0^{250}\\ & = 387500\,\,{\mbox{ft - lb}}\end{align*}\]

Bunday holda biz kabel va chelak/ko'mirni \(x = 250\) dan \(x = 500\) ga ko'chirmoqchimiz. Ish talab qilinadi,

\[\begin{align*}W & = \int_{{\,250}}^{{\,500}}{{F\left( x \right)\,dx}}\\ & = \int_{{\,250}}^{{\,500}}{{1800 - 2x\,dx}}\\ & = \left. {\left( {1800x - {x^2}} \right)} \right|_{250}^{500}\\ & = 262500\,\,{\mbox{ft - lb}}\end{align*}\]

Bu holda ish,

\[\begin{align*}W & = \int_{{\,0}}^{{\,500}}{{F\left( x \right)\,dx}}\\ & = \int_{{\,0}}^{{\,500}}{{1800 - 2x\,dx}}\\ & = \left. {\left( {1800x - {x^2}} \right)} \right|_0^{500}\\ & = 650000\,\,{\mbox{ft - lb}}\end{align*}\]

E'tibor bering, biz faqat dastlabki ikki qismdagi natijalarni qo'shishimiz mumkin edi va biz uchinchi qismga bir xil javobni olgan bo'lardik.

Birinchidan, kabelning har bir futiga og'irlikni aniqlashimiz kerak. Buni olish juda oson,

\[\frac{{80{\mbox{ lbs}}}}{{20{\mbox{ ft}}}} = 4{\mbox{ lb/ft}}\]

Keyinchalik, \(x\) shiftdan kabelning istalgan nuqtasigacha bo'lgan masofa bo'lsin. Ushbu konventsiyadan foydalanib, kabelning \(10 < x \le 20\) diapazonidagi qismi haqiqatda ko'tarilishini ko'rishimiz mumkin. Kabelning \(0 \le x \le 10\) diapazonidagi qismi umuman ko'tarilmaydi, chunki kabelning pastki qismi shiftga ko'tarilgandan so'ng kabel ikki barobarga ko'tariladi va har bir qismi 10 fut uzunlikka ega bo'ladi. Shunday qilib, kabelning yuqori 10 fut qismi hech qachon ko'tarilmaydi, pastki 10 fut qismi esa ko'tariladi.

Endi kabelning eng pastki qismi, \(x = 20\), o'rta nuqtaga borish uchun 10 fut, keyin esa shiftga chiqish uchun yana 10 fut ko'tariladi. Kabelning pastki qismidan 2 fut masofada joylashgan \(x = 18\) o‘rta nuqtaga yetib borish uchun 8 fut, so‘ngra oxirgi holatiga yetguncha yana 8 fut ko‘taradi (agar u pastdan 2 fut masofada bo‘lsa, uning oxirgi holati shiftdan 2 fut masofada bo‘ladi). Shu tarzda davom etsak, kabelning pastki yarmidagi istalgan nuqta uchun, i.e. \(10 \le x \le 20\) jami \(2\left( {x - 10} \right)\) ko'tariladi.

Oldingi misolda bo'lgani kabi, ushbu diapazondagi kabelning har qanday nuqtasini ko'tarish uchun zarur bo'lgan kuch shunchaki bu nuqta ko'tariladigan masofa kabelning og'irligi/oyog'iga tengdir. Shunday qilib, kuch, keyin,

\[\begin{align*}F\left( x \right) & = \left( {{\mbox{distance lifted}}} \right)\left( {{\mbox{weight per foot of cable}}} \right)\\ & = 2\left( {x - 10} \right)\left( 4 \right)\\ & = 8\left( {x - 10} \right)\end{align*}\]

Endi talab qilinadigan ish,

\[\begin{align*}W & = \int_{{\,10}}^{{\,20}}{{8\left( {x - 10} \right)\,dx}}\\ & = \left. {\left( {4{x^2} - 80x} \right)} \right|_{10}^{20}\\ & = 400\,\,{\mbox{ft - lb}}\end{align*}\]

OK, bu holda biz faqat biz uchun ishlaydigan \(F\left( x \right)\) kuch funktsiyasini aniqlay olmaymiz. Demak, biz bunga boshqa nuqtai nazardan yondashishimiz kerak.

Keling, avval \(x = 0\) ni tank/konusning pastki uchi, \(x = 15\)-ni esa tank/konusning tepasi qilib belgilaymiz. Bu bilan ta'rifi Bizning \(x\)-larimizdan endi biz idishdagi suv \(\left[ {0,12} \right]\) oralig'iga to'g'ri kelishini ko'rishimiz mumkin.

Shunday qilib, keling, \(\left[ {0,12} \right]\) ni \(\Delta x\) kengligidagi \(n\) subintervallariga bo'lishdan boshlaylik va \(x_i^*\) \(i\) dan istalgan nuqta bo'lsin.^th subinterval bu erda \(i = 1,2, \ldots n\). Endi, har bir subinterval uchun biz \({r_i}\) radiusi va balandligi \(\Delta x\) silindr sifatida ushbu intervalga mos keladigan idishdagi suvni taxmin qilamiz.

Mana tankning qisqacha eskizi. E'tibor bering, eskiz haqiqatan ham o'lchamga mos kelmaydi va biz tankga to'g'ridan-to'g'ri old tomondan qaraymiz, shuning uchun biz ishlashimiz kerak bo'lgan barcha turli miqdorlarni ko'rishimiz mumkin.

Eskizdagi qizil chiziq \(i\) dagi suvning "tsilindrini" ifodalaydi.^th subinterval. Shunga o'xshash uchburchaklarni tezkor qo'llash bizga \({r_i}\) ni \(x_i^*\) bilan bog'lash imkonini beradi (bu bizga birozdan keyin kerak bo'ladi) quyidagicha.

\[\frac{{{r_i}}}{{x_i^*}} = \frac{4}{{15}}\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}{r_i} = \frac{4}{{15}}x_i^*\]

OK, \({m_i}\), \(i\) uchun suv hajmining massasi, \({V_i}\)^th subinterval oddiy,

\[{m_i} = {\mbox{density }} \times \,\,{V_i}\]

Biz suvning zichligini bilamiz (muammo bayonida berilgan) va biz \(i\) dagi suvga yaqinlashayotganimiz uchun^th tsilindr sifatida subinterval sifatida biz tovushni osongina taxmin qilishimiz mumkin:

\[{V_i} \approx \pi {\left( {{\mbox{radius}}} \right)^2}\left( {{\mbox{height}}} \right)\]

Endi biz \(i\) dagi suv massasini taxmin qilishimiz mumkin^th subinterval,

\[{m_i} \approx \left( {1000} \right)\left[ {\pi r_i^2\Delta x} \right] = 1000\pi {\left( {\frac{4}{{15}}x_i^*} \right)^2}\Delta x = \frac{{640}}{9}\pi {\left( {x_i^*} \right)^2}\Delta x\]

Ushbu suv hajmini oshirish uchun biz hajmga ta'sir qiluvchi tortishish kuchini engishimiz kerak, ya'ni \(F = {m_i}g\), bu erda \(g = 9.8\,m/s^{2}\) tortishish tezlashishi. \(i\)-dagi suv hajmini oshirish kuchi^th subinterval u holda taxminan,

\[{F_i} = {m_i}g \approx \left( {9.8} \right)\frac{{640}}{9}\pi {\left( {x_i^*} \right)^2}\Delta x\]

Keyinchalik, \(i\) ichidagi suvni idishning yuqori qismiga etkazish uchun^th Tankning yuqori qismiga erishish uchun subinterval taxminan \(15 - x_i^*\) masofasini bosib o'tishi kerak. Chunki \(i\) dagi suv hajmi^th subinterval doimiydir suvni istalgan masofadan ko'tarish uchun zarur bo'lgan kuch ham doimiy kuchdir.

Shuning uchun \(i\)-da suv hajmini ko'chirish uchun ish^th tankning yuqori qismiga subinterval, i.e. uni \(15 - x_i^*\) masofasiga ko'taring, keyin taxminan,

\[{W_i} \approx {F_i}\left( {15 - x_i^*} \right) = \left( {9.8} \right)\frac{{640}}{9}\pi {\left( {x_i^*} \right)^2}\left( {15 - x_i^*} \right)\Delta x\]

Barcha suvni idishning tepasiga ko'tarish uchun zarur bo'lgan ishlarning umumiy miqdori \(i = 1,2, \ldots n\) uchun \({W_i}\) ning har birining yig'indisiga teng bo'ladi. Yoki,

\[W \approx \sum\limits_{i = 1}^n {\left( {9.8} \right)\frac{{640}}{9}\pi {{\left( {x_i^*} \right)}^2}\left( {15 - x_i^*} \right)\Delta x} \]

Haqiqiy ish hajmini olish uchun biz shunchaki \(n \to \infty \) ni olishimiz kerak. I.e. quyidagi chegarani hisoblang,

\[W = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sum\limits_{i = 1}^n {\left( {9.8} \right)\frac{{640}}{9}\pi {{\left( {x_i^*} \right)}^2}\left( {15 - x_i^*} \right)\Delta x} \]

Bu jamlama chegarasi sizga biroz tanish bo'lib tuyulishi kerak. Ehtimol, biroz vaqt o'tdi, lekin eslayman aniq integralning ta'rifi Bu quyidagi aniq integraldan boshqa narsa emasligini ko'rishimiz mumkin,

\[\begin{align*}W &= \int_{0}^{{12}}{{\left( {9.8} \right)\frac{{640}}{9}\pi {x^2}\left( {15 - x} \right)\,dx}} = \left( {9.8} \right)\frac{{640}}{9}\pi \int_{0}^{{12}}{{15{x^2} - {x^3}\,dx}}\\ & = \left. {\left( {9.8} \right)\frac{{640}}{9}\pi \left( {5{x^3} - \frac{1}{4}{x^4}} \right)} \right|_0^{12} = 7,566,362.543\,{\mbox{J}}\end{align*}\]