3.13-bo'lim: Logarifmik farqlash
Ushbu bo'limda muhokama qilinadigan oxirgi mavzu bor. Ba'zi murakkab funktsiyalarning hosilalarini olish logarifmlar yordamida soddalashtirilishi mumkin. Bu deyiladi logarifmik farqlash.
Bu qanday ishlashini misolda ko'rish eng oson.
Yechim
Ushbu funktsiyani farqlash mahsulot qoidasi va ko'rsatkich qoidasi bilan amalga oshirilishi mumkin. Biroq, bu juda chalkash jarayon bo'ladi. Ikkala tomonning logarifmlarini olib, narsalarni biroz soddalashtirishimiz mumkin.
\[\ln y = \ln \left( {\frac{{{x^5}}}{{\left( {1 - 10x} \right)\sqrt {{x^2} + 2} }}} \right)\]Albatta, bu juda oddiy emas. O'ng tomonni quyidagi tarzda kengaytirish uchun logarifmlarning xususiyatlaridan foydalanishimiz kerak.
\[\begin{align*}\ln y & = \ln \left( {{x^5}} \right) - \ln \left( {\left( {1 - 10x} \right)\sqrt {{x^2} + 2} } \right)\\ \ln y & = \ln \left( {{x^5}} \right) - \ln \left( {1 - 10x} \right) - \ln \left( {\sqrt {{x^2} + 2} } \right)\end{align*}\]Bu unchalik oddiy ko'rinmaydi. Biroq, farqlash jarayoni oddiyroq bo'ladi. Bu nuqtada qilishimiz kerak bo'lgan narsa \(x\) ga nisbatan ikkala tomonni farqlashdir. E'tibor bering, bu haqiqatan ham bilvosita farqlash.
\[\begin{align*}\frac{{y'}}{y} & = \frac{{5{x^4}}}{{{x^5}}} - \frac{{ - 10}}{{1 - 10x}} - \frac{{\frac{1}{2}{{\left( {{x^2} + 2} \right)}^{ - \frac{1}{2}}}\left( {2x} \right)}}{{{{\left( {{x^2} + 2} \right)}^{\frac{1}{2}}}}}\\ \frac{{y'}}{y} & = \frac{5}{x} + \frac{{10}}{{1 - 10x}} - \frac{x}{{{x^2} + 2}}\end{align*}\]Muammoni hal qilish uchun ikkala tomonni \(y\) va \(y\) plaginiga ko'paytirishimiz kerak, chunki biz bu nima ekanligini bilamiz.
\[\begin{align*}y' & = y\left( {\frac{5}{x} + \frac{{10}}{{1 - 10x}} - \frac{x}{{{x^2} + 2}}} \right)\\ & = \frac{{{x^5}}}{{\left( {1 - 10x} \right)\sqrt {{x^2} + 2} }}\left( {\frac{5}{x} + \frac{{10}}{{1 - 10x}} - \frac{x}{{{x^2} + 2}}} \right)\end{align*}\]Shaxsga qarab, buni qilish mahsulot va ko'rsatkich qoidasini bajarishdan ko'ra biroz osonroq bo'lishi mumkin. Javob mahsulot va ko'rsatkich qoidasidan foydalanganimizdan ko'ra deyarli aniqroqdir.
Shunday qilib, birinchi misolda ko'rsatilgandek, mahsulot qoidasi va/yoki bo'lim qoidasidan foydalanmaslik uchun logarifmik farqlashdan foydalanishimiz mumkin.
Formadagi funktsiyalarni farqlash uchun logarifmik differentsiatsiyadan ham foydalanishimiz mumkin.
\[y = {\left( {f\left( x \right)} \right)^{g\left( x \right)}}\]Keling, buning oddiy misolini tezda ko'rib chiqaylik.
Yechim
Biz shu nuqtada shunga o'xshash ikkita funktsiyani ko'rdik.
\[\frac{d}{{dx}}\left( {{x^n}} \right) = n{x^{n - 1}}\hspace{0.5in}\frac{d}{{dx}}\left( {{a^x}} \right) = {a^x}\ln a\]Bu ikkisining hech biri bu erda ishlamaydi, chunki ikkalasi ham asos yoki ko'rsatkich doimiy bo'lishini talab qiladi. Bu holda baza ham, ko'rsatkich ham o'zgaruvchidir va shuning uchun bizda oldingi bo'limlardan faqat ma'lum qoidalar yordamida bu funktsiyani farqlashning iloji yo'q.
Logarifmik farqlash bilan biz buni qila olamiz. Birinchi misolda qilganimizdek, avval ikkala tomonning logarifmini oling va narsalarni biroz soddalashtirish uchun logarifm xususiyatlaridan foydalaning.
\[\begin{align*}\ln y & = \ln {x^x}\\ \ln y & = x\ln x\end{align*}\]Yashirin farqlash yordamida ikkala tomonni farqlang.
\[\frac{{y'}}{y} = \ln x + x\left( {\frac{1}{x}} \right) = \ln x + 1\]Birinchi misolda bo'lgani kabi \(y\) ga ko'paytiring va \(y\) o'rniga qayta kiriting.
\[\begin{align*}y' & = y\left( {1 + \ln x} \right)\\ & = {x^x}\left( {1 + \ln x} \right)\end{align*}\]Keling, buning yanada murakkab misolini ko'rib chiqaylik.
Yechim
Endi bu avvalgi misolga qaraganda ancha murakkabroq ko'rinadi, lekin aslida biroz murakkabroq. Jarayon deyarli bir xil, shuning uchun biz birinchi navbatda ikkala tomonning jurnalini olamiz va keyin o'ng tomonni soddalashtiramiz.
\[\ln y = \ln \left[ {{{\left( {1 - 3x} \right)}^{\cos \left( x \right)}}} \right] = \cos \left( x \right)\ln \left( {1 - 3x} \right)\]
Keyinchalik, ba'zi yashirin farqlashni bajaring.
\[\frac{{y'}}{y} = - \sin \left( x \right)\ln \left( {1 - 3x} \right) + \cos \left( x \right)\frac{{ - 3}}{{1 - 3x}} = - \sin \left( x \right)\ln \left( {1 - 3x} \right) - \cos \left( x \right)\frac{3}{{1 - 3x}}\]
Nihoyat, \(y'\) ni hal qiling va \(y\) bilan almashtiring.
\[\begin{align*}y' & = - y\left( {\sin \left( x \right)\ln \left( {1 - 3x} \right) + \cos \left( x \right)\frac{3}{{1 - 3x}}} \right)\\ & = - {\left( {1 - 3x} \right)^{\cos \left( x \right)}}\left( {\sin \left( x \right)\ln \left( {1 - 3x} \right) + \cos \left( x \right)\frac{3}{{1 - 3x}}} \right)\end{align*}\]Noto'g'ri javob, lekin u erda.
Funktsiyalarni ko'rsatkichlar bilan farqlashning barcha usullarini qisqacha ko'rib chiqish bilan biz ushbu bo'limni yakunlaymiz. Bularning barchasini chalkashtirib yubormaslik juda muhimdir.
\[\begin{array}{ll}\displaystyle \frac{d}{{dx}}\left( {{a^b}} \right) = 0 & \hspace{1.0in}{\mbox{This is a constant}}\\ \displaystyle \frac{d}{{dx}}\left( {{x^n}} \right) = n{x^{n - 1}} & \hspace{1.0in}{\mbox{Power Rule}}\\ \displaystyle \frac{d}{{dx}}\left( {{a^x}} \right) = {a^x}\ln a & \hspace{1.0in}{\mbox{Derivative of an exponential function}}\\ \displaystyle \frac{d}{{dx}}\left( {{x^x}} \right) = {x^x}\left( {1 + \ln x} \right) & \hspace{1.0in}{\mbox{Logarithmic Differentiation}}\end{array}\]Ba'zida bu turli funktsiyalarni chalkashtirib yuborish va farqlash uchun noto'g'ri qoidadan foydalanish oson. Har doim esda tutingki, har bir qoidada o'zgaruvchi va doimiylar qayerda bo'lishi kerakligi uchun juda aniq qoidalar mavjud. Masalan, Quvvat qoidasi asosning o'zgaruvchi va ko'rsatkichning doimiy bo'lishini talab qiladi, ko'rsatkichli funksiya esa buning aksini talab qiladi.
Agar siz barcha qoidalarni to'g'ri bajara olsangiz, bu bilan adashmaysiz.