8.2-bo'lim: Xususiy qiymatlar va xos funktsiyalar
Oldingida qilganimizdek, biz yana bir bor ta'kidlashimiz kerakki, biz chegara masalalari uchun xos qiymatlar va xususiy funktsiyalar mavzusiga qisqacha to'xtalamiz. Biz bu erda ko'rib chiqmaydigan bir nechta g'oyalar mavjud. Ushbu bo'limning maqsadi shunchaki mavzu haqida tasavvurga ega bo'lish va keyingi bobda ba'zi bir asosiy qisman differentsial tenglamalarni echishimizga imkon beradigan etarli ishlarni bajarishdir.
Keling, ushbu bo'limning dolzarb mavzusi haqida gapirishni boshlashdan oldin, biz qisqacha muhokama qilgan chiziqli algebra mavzusini eslaylik. avval bu eslatmalarda. Berilgan kvadrat matritsa uchun \(A\), agar biz \(\lambda \) ning nolga teng bo'lmagan yechimlarini topishimiz mumkin bo'lgan qiymatlarni topsak, i.e. \(\vec x \ne \vec 0\), to,
\[A\vec x = \lambda \vec x\]keyin biz \(\lambda \) ni \(A\) ning xos qiymati deb ataymiz va \(\vec x\) uning mos keladigan xos vektori edi.
Shuni esda tutish kerakki, \(\lambda \) xos qiymat bo'lishi uchun biz tenglamaning nolga teng bo'lmagan yechimlarini topa olishimiz kerak edi.
Xo'sh, bu chegaraviy qiymat muammolariga qanday aloqasi bor? Oldingiga qayting va ko'rib chiqing 7-misol va 8-misol. Ushbu ikkita misolda biz bir hil (va bu muhim!) BVP ni shaklda hal qildik,
\[\begin{equation}y'' + \lambda y = 0\hspace{0.25in}y\left( 0 \right) = 0\,\,\,\,\,\,\,\,y\left( {2\pi } \right) = 0\label{eq:eq1}\end{equation}\]7-misolda bizda \(\lambda = 4\) bor edi va biz ahamiyatsiz narsani topdik (i.e. noldan farqli) BVP yechimlari. 8-misolda biz \(\lambda = 3\) dan foydalandik va yagona yechim arzimas yechim edi (i.e. \(y\left( t \right) = 0\)). Shunday qilib, bu bir hil BVP (esda tutingki, bu chegara shartlari nolga teng ekanligini ham anglatadi) yuqoridagi matritsa tenglamasidagi xatti-harakatlarga o'xshash xatti-harakatni namoyon qiladi. \(\lambda \) qiymatlari mavjud bo'lib, ular ushbu BVP uchun notrivial echimlarni beradi va \(\lambda \) qiymatlari faqat arzimas yechimni qabul qiladi.
Shunday qilib, \(\lambda \) ning noaniq echimlarni beradigan qiymatlari uchun biz \(\lambda \) deb ataymiz. xos qiymat BVP uchun va noaniq echimlar chaqiriladi xos funktsiyalar berilgan xos qiymatga mos keladigan BVP uchun.
Endi biz \(\eqref{eq:eq1}\) \(\lambda = 4\) da berilgan bir hil BVP uchun xos qiymat (\(y\left( x \right) = {c_2}\sin \left( {2x} \right)\) xos funksiyalari bilan) va \(\lambda = 3\) xos qiymat emasligini bilamiz.
Oxir-oqibat, biz \(\eqref{eq:eq1}\) uchun boshqa o'ziga xos qiymatlar mavjudligini aniqlashga harakat qilamiz, ammo buni qilishdan oldin, keling, BVP uchun ushbu munozarada bir hil bo'lishi nima uchun juda muhim ekanligi haqida qisqacha izoh beraylik. In 2-misol va 3-misol oldingi bobning bir jinsli differensial tenglamasini yechdik
\[y'' + 4y = 0\]shaklda ikki xil bir xil bo'lmagan chegara shartlari bilan,
\[y\left( 0 \right) = a\hspace{0.25in}y\left( {2\pi } \right) = b\]Ushbu ikkita misolda biz \(a\) va/yoki \(b\) qiymatini oddiygina o'zgartirish orqali biz noaniq echimlarni olishimiz yoki hech qanday yechimni majburlamaganimizni ko'rdik. Xususiy qiymatlar/o'z funktsiyalarini muhokama qilishda biz mavjud bo'lish uchun echimlarga muhtojmiz va bu xatti-harakatni ta'minlashning yagona yo'li chegara shartlari ham bir hil bo'lishini talab qilishdir. Boshqacha qilib aytganda, biz BVP bir hil bo'lishi kerak.
Xususiy qiymatlar va xususiy funksiyalar mavzusiga o'tishdan oldin muhokama qilishimiz kerak bo'lgan bitta yakuniy mavzu bor va bu ko'proq notatsion masala bo'lib, biz bajarishimiz kerak bo'lgan ba'zi ishlarni bajarishda yordam beradi.
Faraz qilaylik, bizda ikkinchi tartibli differensial tenglama bor va uning xarakteristik polinomi ikkita haqiqiy, aniq ildizga ega va ular shaklda bo'lsin.
\[{r_1} = \alpha \hspace{0.25in}{r_2} = - \,\alpha \]Keyin bilamizki, bu yechim,
\[y\left( x \right) = {c_1}{{\bf{e}}^{{r_{\,1}}\,x}} + {c_2}{{\bf{e}}^{{r_{\,2}}\,\,x}} = {c_1}{{\bf{e}}^{\alpha \,x}} + {c_2}{{\bf{e}}^{ - \,\,\alpha \,\,x}}\]Ushbu yechimda hech qanday yomon narsa bo'lmasa-da, keling, buni biroz qayta yozaylik. Biz shartlarni quyidagicha taqsimlashdan boshlaymiz,
\[\begin{align*}y\left( x \right) & = {c_1}{{\bf{e}}^{\alpha \,x}} + {c_2}{{\bf{e}}^{ - \,\,\alpha \,\,x}}\\ & = \frac{{{c_1}}}{2}{{\bf{e}}^{\alpha \,x}} + \frac{{{c_1}}}{2}{{\bf{e}}^{\alpha \,x}} + \frac{{{c_2}}}{2}{{\bf{e}}^{ - \,\,\alpha \,\,x}} + \frac{{{c_2}}}{2}{{\bf{e}}^{ - \,\,\alpha \,\,x}}\end{align*}\]Endi biz quyidagi shartlarni qo'shamiz/ayitamiz (yangi shartlarda \({c_i}\) va \( \pm \,\alpha \) ni “aralashtirganimizni” e'tiborga oling),
\[y\left( x \right) = \frac{{{c_1}}}{2}{{\bf{e}}^{\alpha \,x}} + \frac{{{c_1}}}{2}{{\bf{e}}^{\alpha \,x}} + \frac{{{c_2}}}{2}{{\bf{e}}^{ - \,\,\alpha \,\,x}} + \frac{{{c_2}}}{2}{{\bf{e}}^{ - \,\,\alpha \,\,x}} + \left( {\frac{{{c_1}}}{2}{{\bf{e}}^{ - \,\,\alpha \,\,x}} - \frac{{{c_1}}}{2}{{\bf{e}}^{ - \,\,\alpha \,\,x}}} \right) + \left( {\frac{{{c_2}}}{2}{{\bf{e}}^{\alpha \,x}} - \frac{{{c_2}}}{2}{{\bf{e}}^{\alpha \,x}}} \right)\]Keyin, atamalarni biroz o'zgartiring,
\[y\left( x \right) = \frac{1}{2}\left( {{c_1}{{\bf{e}}^{\alpha \,x}} + {c_1}{{\bf{e}}^{ - \,\,\alpha \,\,x}} + {c_2}{{\bf{e}}^{\alpha \,x}} + {c_2}{{\bf{e}}^{ - \,\,\alpha \,\,x}}} \right) + \frac{1}{2}\left( {{c_1}{{\bf{e}}^{\alpha \,x}} - {c_1}{{\bf{e}}^{ - \,\,\alpha \,\,x}} - {c_2}{{\bf{e}}^{\alpha \,x}} + {c_2}{{\bf{e}}^{ - \,\,\alpha \,\,x}}} \right)\]Nihoyat, qavs ichidagi miqdorlar koeffitsienti va biz kasrning joylashishini ham ko'chiramiz. Buni amalga oshirish, shuningdek, biz olgan yangi konstantalarni qayta nomlash,
\[\begin{align*}y\left( x \right) & = \left( {{c_1} + {c_2}} \right)\frac{{{{\bf{e}}^{\alpha \,x}} + {{\bf{e}}^{ - \,\,\alpha \,\,x}}}}{2} + \left( {{c_1} - {c_2}} \right)\frac{{{{\bf{e}}^{\alpha \,x}} - {{\bf{e}}^{ - \,\,\alpha \,\,x}}}}{2}\\ & = {{\overline{c}}_1}\frac{{{{\bf{e}}^{\alpha \,x}} + {{\bf{e}}^{ - \,\,\alpha \,\,x}}}}{2} + {{\overline{c}}_2}\frac{{{{\bf{e}}^{\alpha \,x}} - {{\bf{e}}^{ - \,\,\alpha \,\,x}}}}{2}\end{align*}\]Bu ishlarning barchasi, ehtimol, juda sirli va keraksiz ko'rinadi. Biroq, buning haqiqatan ham sababi bor edi. Aslida, siz qisman bo'lsa ham, sababini allaqachon ko'rgan bo'lishingiz mumkin. Bizning yechimimizda mavjud bo'lgan ikkita "yangi" funksiya aslida ikkita giperbolik funktsiyadir. Xususan,
\[\cosh \left( x \right) = \frac{{{{\bf{e}}^x} + {{\bf{e}}^{ - x}}}}{2}\hspace{0.25in}\sinh \left( x \right) = \frac{{{{\bf{e}}^x} - {{\bf{e}}^{ - x}}}}{2}\]Shunday qilib, xarakteristik polinomi \({r_1} = \alpha ,\,\,{r_2} = - \,\alpha \) ko‘rinishida ikkita haqiqiy, aniq ildizga ega bo‘lgan ikkinchi tartibli differensial tenglamaning yechimini yozishning yana bir usuli:
\[y\left( x \right) = {c_1}\cosh \left( {\alpha \,x} \right) + {c_2}\sinh \left( {\alpha \,x} \right)\]Biz izlayotgan muammolarning ba'zilari (aslida ko'pchilik) uchun ushbu shaklda yechimga ega bo'lish hayotimizni ancha osonlashtiradi. Giperbolik funktsiyalar biz foydalana oladigan (va bo'ladigan) juda yaxshi xususiyatlarga ega.
Birinchidan, bizga keyinchalik ularga kerak bo'lganligi sababli, hosilalar:
\[\frac{d}{{dx}}\left( {\cosh \left( x \right)} \right) = \sinh \left( x \right)\hspace{0.25in}\frac{d}{{dx}}\left( {\sinh \left( x \right)} \right) = \cosh \left( x \right)\]Keling, ushbu funktsiyalarning grafiklarini tezda ko'rib chiqaylik.
\(\cosh \left( 0 \right) = 1\) va \(\sinh \left( 0 \right) = 0\) ekanligini unutmang. Chunki biz \(x = 0\) da chegara shartlari bilan tez-tez ishlaymiz, bu foydali baholashlar bo'ladi.
Keyinchalik, va, ehtimol, bundan ham muhimi, keling, \(\cosh \left( x \right) > 0\) barcha \(x\) uchun va shuning uchun giperbolik kosinus hech qachon nolga teng bo'lmaydi. Xuddi shunday, biz \(\sinh \left( x \right) = 0\) ni faqat \(x = 0\) bo'lsa ko'rishimiz mumkin. Biz bu faktlarning ikkalasidan ham ba'zi ishlarimizda foydalanamiz, shuning uchun ularni unutmasligimiz kerak.
Xo'sh, endi biz hamma narsani yo'lga qo'yganimizdan so'ng, keling, BVP uchun xos qiymatlarni/o'z funktsiyalarini qanday topishni ko'rish uchun misol keltiramiz.
Yechim
Biz ushbu bo'limni ushbu BVPga qarab boshladik va biz allaqachon bitta o'ziga xos qiymatni bilamiz (\(\lambda = 4\)) va biz \(\lambda \) ning o'ziga xos qiymat bo'lmagan bir qiymatini bilamiz (\(\lambda = 3\)). Bu yerda ishni davom ettirar ekanmiz, agar biz \(\lambda \) ning ma'lum bir qiymati uchun BVP ning ahamiyatsiz bo'lmagan yechimlarini olsak, \(\lambda \) ning ma'lum bir qiymati uchun xos qiymat olishimizni yodda tutishimiz kerak.
Biz barcha o'z qiymatlarini topganimizni bilish uchun \(\lambda \) qiymatlarini tasodifiy sinab ko'rishni boshlay olmaymiz, biz arzimas echimlarni olamizmi yoki yo'qmi. Yaxshiyamki, buni qilishning bir usuli bor, bu unchalik yomon emas va bizga barcha o'z qiymatlari/o'z funktsiyalarini beradi. Biroq, biz ba'zi holatlarni qilishimiz kerak. Biz ko'rib chiqishimiz kerak bo'lgan uchta holat: \(\lambda > 0\), \(\lambda = 0\) va \(\lambda < 0\). Ushbu holatlarning har biri BVP uchun yechimning o'ziga xos shaklini beradi, biz chegarani qo'llashimiz mumkin Biz ahamiyatsiz bo'lmagan echimlarni olamizmi yoki yo'qligini bilish uchun shartlar. Shunday qilib, keling, ishlarni boshlaylik.
\(\underline {\lambda > 0} \)
Bu holda xarakterli polinom biz differentsial tenglamadan olamiz,
Bunday holda, biz \(\lambda > 0\) bu ildizlar murakkab ekanligini bilamiz va biz ularni quyidagicha yozishimiz mumkin:
\[{r_{1,2}} = \pm \sqrt \lambda \,i\]Differensial tenglamaning umumiy yechimi quyidagicha:
\[y\left( x \right) = {c_1}\cos \left( {\sqrt \lambda \,x} \right) + {c_2}\sin \left( {\sqrt \lambda \,x} \right)\]Birinchi chegara shartini qo'llash bizga,
\[0 = y\left( 0 \right) = {c_1}\]Shunday qilib, buni hisobga olgan holda va ikkinchi chegara shartini qo'llash orqali biz olamiz,
\[0 = y\left( {2\pi } \right) = {c_2}\sin \left( {2\pi \sqrt \lambda } \right)\]Bu shuni anglatadiki, biz quyidagilardan biriga ega bo'lishimiz kerak:
\[{c_2} = 0\hspace{0.25in}\text{yoki}\hspace{0.25in}\sin \left( {2\pi \sqrt \lambda } \right) = 0\]Biroq, esda tutingki, biz ahamiyatsiz bo'lmagan echimlarni xohlaymiz va agar bizda birinchi imkoniyat bo'lsa, \(\lambda > 0\) ning barcha qiymatlari uchun ahamiyatsiz yechimni olamiz. Shuning uchun, keling, \({c_2} \ne 0\) deb faraz qilaylik. Bu shuni anglatadiki, bizda
\[\sin \left( {2\pi \sqrt \lambda } \right) = 0\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}2\pi \sqrt \lambda = n\pi \hspace{0.25in}n = 1,2,3, \ldots \]Boshqacha qilib aytganda, sinus qayerda nolga teng ekanligini bilganimizdan foydalanib, biz ikkinchi tenglamaga kela olamiz. Shuni ham yodda tutingki, biz \(\lambda > 0\) deb taxmin qilganimiz uchun biz \(2\pi \sqrt \lambda > 0\) va shuning uchun \(n\) bu holat uchun faqat musbat son bo'lishi mumkinligini bilamiz.
Endi biz faqat \(\lambda \) uchun buni hal qilishimiz kerak va biz ushbu BVP uchun barcha ijobiy xos qiymatlarga ega bo'lamiz.
Ijobiy xos qiymatlar u holda,
\[{\lambda _{\,n}} = {\left( {\frac{n}{2}} \right)^2} = \frac{{{n^2}}}{4}\hspace{0.25in}n = 1,2,3, \ldots \]va bu xos qiymatlarga mos keladigan xos funksiyalar:
\[{y_n}\left( x \right) = \sin \left( {\frac{{n\,x}}{2}} \right)\hspace{0.25in}n = 1,2,3, \ldots \]E'tibor bering, biz \(n\) ning berilgan qiymatlarining har biri uchun bittadan mavjudligini ko'rsatish uchun o'z va xos funktsiyalar bo'yicha \(n\) ga obuna bo'ldik. Shuni ham yodda tutingki, biz \({c_2}\) ni o'z funksiyalariga tashladik. O'z funktsiyalari uchun bizni faqat funktsiyaning o'zi qiziqtiradi, uning oldidagi doimiy emas, shuning uchun biz uni umuman tashlab qo'yamiz.
Endi ikkinchi holatga o'tamiz.
\(\underline {\lambda = 0} \)
Bunday holda, BVP,
va differentsial tenglamani bir necha marta integrallash bizga umumiy yechimni beradi,
\[y\left( x \right) = {c_1} + {c_2}x\]Birinchi chegara shartini qo'llash,
\[0 = y\left( 0 \right) = {c_1}\]Ikkinchi chegara shartini, shuningdek, birinchi chegaraviy shartning natijalarini qo'llash,
\[0 = y\left( {2\pi } \right) = 2{c_2}\pi \]Bu erda, birinchi holatdan farqli o'laroq, biz bu nolni qanday qilish haqida tanlovimiz yo'q. Bu faqat \({c_2} = 0\) bo'lsa nolga teng bo'ladi.
Shuning uchun, ushbu BVP uchun (va bu muhim), agar bizda \(\lambda = 0\) bo'lsa, yagona yechim arzimas yechimdir va shuning uchun \(\lambda = 0\) ushbu BVP uchun xos qiymat bo'la olmaydi.
Endi yakuniy ishni ko'rib chiqaylik.
\(\underline {\lambda < 0} \)
Bu holda xarakteristik tenglama va uning ildizlari birinchi holatda bo'lgani kabi bir xil bo'ladi. Demak, bilamizki,
Biroq, biz \(\lambda < 0\) ni taxmin qilganimiz sababli, bular endi ikkita haqiqiy alohida ildizlar va shuning uchun yuqoridagi ishimizdan ushbu turdagi haqiqiy, aniq ildizlar uchun foydalansak, umumiy yechim quyidagicha bo'lishini bilamiz:
\[y\left( x \right) = {c_1}\cosh \left( {\sqrt { - \lambda } \,x} \right) + {c_2}\sinh \left( {\sqrt { - \lambda } \,x} \right)\]E'tibor bering, biz bu erda yechimning eksponensial shaklini qo'llashimiz mumkin edi, ammo bu erda yechimning giperbolik shaklidan foydalansak, ishimiz sezilarli darajada osonlashadi.
Endi, birinchi chegara shartini qo'llash,
\[0 = y\left( 0 \right) = {c_1}\cosh \left( 0 \right) + {c_2}\sinh \left( 0 \right) = {c_1}\left( 1 \right) + {c_2}\left( 0 \right) = {c_1}\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}{c_1} = 0\]Ikkinchi chegara shartini qo'llash,
\[0 = y\left( {2\pi } \right) = {c_2}\sinh \left( {2\pi \sqrt { - \lambda } } \right)\]Biz \(\lambda < 0\) deb taxmin qilganimiz uchun biz \(2\pi \sqrt { - \lambda } \ne 0\) deb bilamiz va shuning uchun biz \(\sinh \left( {2\pi \sqrt { - \lambda } } \right) \ne 0\) ni ham bilamiz. Shuning uchun, xuddi ikkinchi holatda bo'lgani kabi, bizda \({c_2} = 0\) bo'lishi kerak.
Shunday qilib, ushbu BVP uchun (yana bu muhim), agar bizda \(\lambda < 0\) bo'lsa, biz faqat arzimas yechimni olamiz va shuning uchun salbiy xos qiymatlar yo'q.
Xulosa qilib aytganda, biz ushbu BVP uchun quyidagi o'z qiymatlari/o'z funktsiyalariga ega bo'lamiz.
\[{\lambda _{\,n}} = \frac{{{n^2}}}{4}\hspace{0.25in}{y_n}\left( x \right) = \sin \left( {\frac{{n\,x}}{2}} \right)\hspace{0.25in}n = 1,2,3, \ldots \]Keling, chegara shartlari biroz boshqacha bo'lgan boshqa misolni ko'rib chiqaylik.
Yechim
Bu erda biz hosilaviy chegara shartlari bilan ishlaymiz. Ish avvalgi misol bilan deyarli bir xil, ammo biz bu erda juda ko'p tafsilotlarni keltirmaymiz. Biz oldingi misoldagidek uchta holatni ham ko'rib chiqishimiz kerak, shuning uchun keling, buni boshlaylik.
\(\underline {\lambda > 0} \)
Differensial tenglamaning umumiy yechimi oldingi misol bilan bir xil va shuning uchun bizda:
Birinchi chegara shartini qo'llash bizga,
\[0 = y'\left( 0 \right) = \sqrt \lambda \,{c_2}\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}{c_2} = 0\]Eslatib o'tamiz, biz bu erda \(\lambda > 0\) deb faraz qilamiz va shuning uchun bu faqat \({c_2} = 0\) bo'lsa nolga teng bo'ladi. Endi ikkinchi chegara sharti bizga beradi,
\[0 = y'\left( {2\pi } \right) = - \sqrt \lambda \,{c_1}\sin \left( {2\pi \sqrt \lambda } \right)\]Eslatib o'tamiz, biz arzimas echimlarni xohlamaymiz va \(\lambda > 0\), shuning uchun biz buni talab qilsak, faqat ahamiyatsiz bo'lmagan yechimni olamiz,
\[\sin \left( {2\pi \sqrt \lambda } \right) = 0\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}2\pi \sqrt \lambda = n\pi \hspace{0.25in}n = 1,2,3, \ldots \]\(\lambda \) ni yechish va biz oldingi misolda olingan ushbu BVP uchun aynan bir xil ijobiy xos qiymatlarni olishimizni ko'ramiz.
\[{\lambda _{\,n}} = {\left( {\frac{n}{2}} \right)^2} = \frac{{{n^2}}}{4}\hspace{0.25in}n = 1,2,3, \ldots \]Biroq, ushbu xos qiymatlarga mos keladigan o'z funktsiyalari:
\[{y_n}\left( x \right) = \cos \left( {\frac{{n\,x}}{2}} \right)\hspace{0.25in}n = 1,2,3, \ldots \]Shunday qilib, bu BVP uchun biz ijobiy xos qiymatlarga mos keladigan xos funktsiyalar uchun kosinuslarni olamiz.
Endi ikkinchi holat.
\(\underline {\lambda = 0} \)
Umumiy yechim:
Birinchi chegara shartini qo'llash,
\[0 = y'\left( 0 \right) = {c_2}\]Buning yordamida umumiy yechim shunday bo'ladi:
\[y\left( x \right) = {c_1}\]va shuni yodda tutingki, bu ikkinchi chegara shartini ahamiyatsiz qondiradi,
\[0 = y'\left( {2\pi } \right) = 0\]Shuning uchun, birinchi misoldan farqli o'laroq, \(\lambda = 0\) bu BVP uchun xos qiymatdir va bu xos qiymatga mos keladigan o'z funktsiyalari:
\[y\left( x \right) = 1\]Yana shuni yodda tutingki, biz o'z funksiyalari uchun ixtiyoriy doimiyni tushirdik.
Nihoyat, uchinchi ishni ko'rib chiqaylik.
\(\underline {\lambda < 0} \)
Bu erda umumiy yechim:
Birinchi chegara shartini qo'llash,
\[0 = y'\left( 0 \right) = \sqrt { - \lambda } \,{c_1}\sinh \left( 0 \right) + \sqrt { - \lambda } \,{c_2}\cosh \left( 0 \right) = \sqrt { - \lambda } \,{c_2}\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}{c_2} = 0\]Ikkinchi chegara shartini qo'llash,
\[0 = y'\left( {2\pi } \right) = \sqrt { - \lambda } \,{c_1}\sinh \left( {2\pi \sqrt { - \lambda } } \right)\]Oldingi misolda bo'lgani kabi, biz yana \(2\pi \sqrt { - \lambda } \ne 0\) va shunga o'xshash \(\sinh \left( {2\pi \sqrt { - \lambda } } \right) \ne 0\) ni bilamiz. Shuning uchun bizda \({c_1} = 0\) bo'lishi kerak.
Shunday qilib, ushbu BVP uchun bizda yana hech qanday salbiy o'z qiymatlari yo'q.
Xulosa qilib aytganda, biz ushbu BVP uchun quyidagi o'z qiymatlari/o'z funktsiyalariga ega bo'lamiz.
\[\begin{align*}{\lambda _{\,n}} & = \frac{{{n^2}}}{4} & {y_n}\left( x \right) & = \cos \left( {\frac{{n\,x}}{2}} \right)\hspace{0.25in}n = 1,2,3, \ldots \\ {\lambda _{\,0}} & = 0 & {y_0}\left( x \right) & = 1\end{align*}\]E'tibor bering, agar biz birinchisi uchun \(n\) ro'yxati bitta o'rniga noldan boshlansa, biz ularni birlashtira olamiz. Bu ko'pincha sodir bo'lmaydi, lekin bu sodir bo'lganda biz undan foydalanamiz. Shunday qilib, ushbu BVP uchun xos qiymatlar/o'z funktsiyalarining "rasmiy" ro'yxati,
\[{\lambda _{\,n}} = \frac{{{n^2}}}{4}\hspace{0.25in}{y_n}\left( x \right) = \cos \left( {\frac{{n\,x}}{2}} \right)\hspace{0.25in}n = 0,1,2,3, \ldots \]Shunday qilib, oldingi ikkita misolda biz \(\lambda \) uchun odatda turli holatlarni ko'rib chiqishimiz kerakligini ko'rdik, chunki turli qiymatlar ko'pincha turli xil umumiy echimlarga olib keladi. Biz bu erda qilgan holatlarga juda qattiq kirishmang. Biz asosan ushbu maxsus differentsial tenglamani hal qilamiz va shuning uchun bu har doim biz ko'rib chiqadigan holatlar deb taxmin qilish vasvasasi bo'ladi, ammo boshqa/turli holatlarni talab qiladigan BVPlar mavjud.
Bundan tashqari, ikkita misolda ko'rganimizdek, ba'zida bir yoki bir nechta holatlar hech qanday o'ziga xos qiymatlarni bermaydi. Bu tez-tez sodir bo'ladi, lekin biz bu ikki BVP uchun salbiy xos qiymatlarga ega emasligimiz haqida hech narsa o'qimasligimiz kerak. Salbiy o'z qiymatlariga ega bo'lgan BVPlar mavjud.
Keling, juda boshqacha chegara shartlari to'plamiga ega bo'lgan boshqa misolni ko'rib chiqaylik. Bular biz hozirgacha ko'rib chiqqan an'anaviy chegara shartlari emas, ammo keyingi bobda ular qandaydir jismoniy muammolardan kelib chiqishi mumkinligini ko'rib chiqamiz.
Yechim
Shunday qilib, bu misolda biz chegaralarda yechim yoki uning hosilasini aniqlamoqchi emasmiz. Buning o'rniga biz ikkita chegarada yechim bir xil bo'lishi kerakligini va eritmaning hosilasi ham ikkita chegarada bir xil bo'lishi kerakligini aniqlaymiz. Bundan tashqari, biz shu nuqtada ishlaganimizdek, bu turdagi chegara sharti odatda [0,L] o'rniga [-L,L] shakli oralig'ida bo'ladi.
Yuqorida aytib o'tilganidek, bunday chegaraviy shartlar ma'lum jismoniy muammolarda juda tabiiy ravishda paydo bo'ladi va biz buni keyingi bobda ko'rib chiqamiz.
Oldingi ikkita misolda bo'lgani kabi, bizda hali ham ko'rib chiqish uchun standart uchta holat mavjud.
\(\underline {\lambda > 0} \)
Bu holat uchun umumiy yechim:
Birinchi chegara shartini qo'llash va kosinusning juft funktsiya ekanligidan foydalanish (i.e.\(\cos \left( { - x} \right) = \cos \left( x \right)\)) va bu sinus toq funksiya (i.e. \(\sin \left( { - x} \right) = - \sin \left( x \right)\)). bizga beradi,
\[\begin{align*}{c_1}\cos \left( { - \pi \sqrt \lambda } \right) + {c_2}\sin \left( { - \pi \sqrt \lambda } \right) & = {c_1}\cos \left( {\pi \sqrt \lambda } \right) + {c_2}\sin \left( {\pi \sqrt \lambda } \right)\\ {c_1}\cos \left( {\pi \sqrt \lambda } \right) - {c_2}\sin \left( {\pi \sqrt \lambda } \right) & = {c_1}\cos \left( {\pi \sqrt \lambda } \right) + {c_2}\sin \left( {\pi \sqrt \lambda } \right)\\ - {c_2}\sin \left( {\pi \sqrt \lambda } \right) & = {c_2}\sin \left( {\pi \sqrt \lambda } \right)\\ 0 & = 2{c_2}\sin \left( {\pi \sqrt \lambda } \right)\end{align*}\]Bu safar, oldingi ikkita misoldan farqli o'laroq, bu bizga hech narsa aytmaydi. Bizda \(\sin \left( {\pi \sqrt \lambda } \right) = 0\) bo'lishi mumkin edi, ammo muammoning shu nuqtasida bizda \({c_2} = 0\) ham bo'lishi mumkin.
Shunday qilib, keling, ikkinchi chegara shartini qo'llaymiz va bundan biror narsa olamizmi yoki yo'qligini bilib olaylik.
\[\begin{align*} - \sqrt \lambda \,{c_1}\sin \left( { - \pi \sqrt \lambda } \right) + \sqrt \lambda \,{c_2}\cos \left( { - \pi \sqrt \lambda } \right) & = - \sqrt \lambda \,{c_1}\sin \left( {\pi \sqrt \lambda } \right) + \sqrt \lambda \,{c_2}\cos \left( {\pi \sqrt \lambda } \right)\\ \sqrt \lambda \,{c_1}\sin \left( {\pi \sqrt \lambda } \right) + \sqrt \lambda \,{c_2}\cos \left( {\pi \sqrt \lambda } \right) & = - \sqrt \lambda \,{c_1}\sin \left( {\pi \sqrt \lambda } \right) + \sqrt \lambda \,{c_2}\cos \left( {\pi \sqrt \lambda } \right)\\ \sqrt \lambda \,{c_1}\sin \left( {\pi \sqrt \lambda } \right) & = - \sqrt \lambda \,{c_1}\sin \left( {\pi \sqrt \lambda } \right)\\ 2\sqrt \lambda \,{c_1}\sin \left( {\pi \sqrt \lambda } \right) & = 0\end{align*}\]Shunday qilib, biz birinchi chegara shartini qo'llaganimizdan keyin olgan narsamizga juda o'xshash narsani olamiz. Biz \(\lambda > 0\) deb taxmin qilganimiz sababli, bu bizga \(\sin \left( {\pi \sqrt \lambda } \right) = 0\) yoki \({c_1} = 0\) ekanligini aytadi.
E'tibor bering, agar \(\sin \left( {\pi \sqrt \lambda } \right) \ne 0\) bo'lsa, bizda \({c_1} = {c_2} = 0\) bo'lishi kerak va biz ahamiyatsiz yechimga ega bo'lamiz. Shuning uchun biz \(\sin \left( {\pi \sqrt \lambda } \right) = 0\) ni talab qilishimiz kerak va xuddi oldingi ikkita misol uchun qilganimizdek, endi xos qiymatlarni olishimiz mumkin,
\[\pi \sqrt \lambda = n\pi \hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}\lambda = {n^2}\,\,\,\,n = 1,2,3, \ldots \]\(\lambda > 0\)-ni eslab, biz mumkin bo'lgan \(n\) ro'yxatini nol o'rniga bittadan boshlashimiz kerakligini ko'ramiz.
Shunday qilib, biz endi bu holat uchun xos qiymatlarni bilamiz, lekin xos funktsiyalar haqida nima deyish mumkin. Berilgan xususiy qiymat uchun yechim:
\[y\left( x \right) = {c_1}\cos \left( {n\,x} \right) + {c_2}\sin \left( {n\,x} \right)\]va bizda bu ikki konstantaning birortasi nolga yoki nolga teng ekanligiga ishonish uchun hech qanday sabab yo'q. Bunday hollarda biz har bir doimiyga mos keladigan ikkita xos funktsiyalar to'plamini olamiz. Bu holat uchun ikkita xos funksiyalar to‘plami:
\[{y_n}\left( x \right) = \cos \left( {n\,x} \right)\hspace{0.25in}{y_n}\left( x \right) = \sin \left( {n\,x} \right)\hspace{0.25in}n = 1,2,3, \ldots \]Endi ikkinchi holat.
\(\underline {\lambda = 0} \)
Umumiy yechim:
Birinchi chegara shartini qo'llash,
\[\begin{align*}{c_1} + {c_2}\left( { - \pi } \right) & = {c_1} + {c_2}\left( \pi \right)\\ 2\pi {c_2} & = 0\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}{c_2} = 0\end{align*}\]Buning yordamida umumiy yechim shunday bo'ladi:
\[y\left( x \right) = {c_1}\]va shuni yodda tutingki, bu biz yuqoridagi ikkinchi misolda ko'rganimizdek, ikkinchi chegara shartini arzimas tarzda qondiradi. Shuning uchun bizda yana bu BVP uchun xos qiymat sifatida \(\lambda = 0\) bor va bu xos qiymatga mos keladigan xos funksiyalar:
\[y\left( x \right) = 1\]Nihoyat, uchinchi ishni ko'rib chiqaylik.
\(\underline {\lambda < 0} \)
Bu erda umumiy yechim:
Birinchi chegara shartini qo‘llash va giperbolik kosinusning juft va giperbolik sinusning toq ekanligidan foydalanish,
\[\begin{align*}{c_1}\cosh \left( { - \pi \sqrt { - \lambda } } \right) + {c_2}\sinh \left( { - \pi \sqrt { - \lambda } } \right) & = {c_1}\cosh \left( {\pi \sqrt { - \lambda } } \right) + {c_2}\sinh \left( {\pi \sqrt { - \lambda } } \right)\\ - {c_2}\sinh \left( { \pi \sqrt { - \lambda } } \right) & = {c_2}\sinh \left( {\pi \sqrt { - \lambda } } \right)\\ 2{c_2}\sinh \left( {\pi \sqrt { - \lambda } } \right) & = 0\end{align*}\]Endi, bu holda biz \(\lambda < 0\) deb taxmin qilamiz va shuning uchun biz \(\pi \sqrt { - \lambda } \ne 0\) ni bilamiz, bu esa o'z navbatida bizga \(\sinh \left( {\pi \sqrt { - \lambda } } \right) \ne 0\) ekanligini aytadi. Shuning uchun bizda \({c_2} = 0\) bo'lishi kerak.
Keling, olish uchun ikkinchi chegara shartini qo'llaymiz,
\[\begin{align*}\sqrt { - \lambda } \,{c_1}\sinh \left( { - \pi \sqrt { - \lambda } } \right) & = \sqrt { - \lambda } \,{c_1}\sinh \left( {\pi \sqrt { - \lambda } } \right)\\ 2\sqrt { - \lambda } \,{c_1}\sinh \left( {\pi \sqrt { - \lambda } } \right) & = 0\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}{c_1} = 0\end{align*}\]\(\lambda \) haqidagi taxminimizga ko'ra, bizda \({c_1} = 0\) ga ega bo'lishdan boshqa ilojimiz yo'q.
Shuning uchun, bu holda yagona yechim arzimas yechimdir va shuning uchun bu BVP uchun bizda yana salbiy xos qiymatlar yo'q.
Xulosa qilib aytganda, biz ushbu BVP uchun quyidagi o'z qiymatlari/o'z funktsiyalariga ega bo'lamiz.
\[\begin{align*}{\lambda _{\,n}} & = {n^2} & {y_n}\left( x \right) & = \sin \left( {n\,x} \right) & n & = 1,2,3, \ldots \\ {\lambda _{\,n}} & = {n^2} & {y_n}\left( x \right) & = \cos \left( {n\,x} \right) & n & = 1,2,3, \ldots \\ {\lambda _{\,0}} & = 0 & {y_0}\left( x \right) & = 1\end{align*}\]E'tibor bering, biz \(\lambda > 0\) uchun bizda ikkita o'z funksiyalari to'plami borligini ularning har birini alohida sanab o'tganligini tan oldik. Bundan tashqari, biz oxirgi ikkitasini yana bitta o'z qiymatlari va o'ziga xos funktsiyalar to'plamiga birlashtira olamiz. Bunda quyidagi xos qiymatlar va xos funksiyalar to‘plami olinadi.
\[\begin{align*}{\lambda _{\,n}} & = {n^2} & {y_n}\left( x \right) & = \sin \left( {n\,x} \right) & n & = 1,2,3, \ldots \\ {\lambda _{\,n}} & = {n^2} & {y_n}\left( x \right) & = \cos \left( {n\,x} \right) & n & = 0,1,2,3, \ldots \end{align*}\]Yana bir bor, bizda salbiy o'z qiymatlari bo'lmagan misol bor. Bu biz ishlayotgan differensial tenglamaning har qanday funktsiyadan ko'ra ko'proq ekanligini ta'kidlay olmaymiz va biz salbiy xos qiymatlarni olishimiz mumkin bo'lgan misollar bo'ladi.
Endi biz faqat bitta differensial tenglama bilan ishladik, shuning uchun keling, differensial tenglamaga misol keltiramiz, bu bitta differensial tenglamaga haddan tashqari yopishib qolmaslik uchun.
Ushbu misol bilan ishlashdan oldin shuni ta'kidlab o'taylikki, biz hali ham misollarimizning katta qismini shu nuqtaga qadar ishlatgan bitta differentsial tenglama bilan ishlaymiz. Biz bitta differensial tenglamadan foydalanishga haddan tashqari kirmasligimiz uchun boshqa differensial tenglama bilan ishlayapmiz.
Yechim
Bu a Eyler differensial tenglamasi va shuning uchun biz quyidagi kvadratning ildizlarini topishimiz kerakligini bilamiz.
\[r\left( {r - 1} \right) + 3r + \lambda = {r^2} + 2r + \lambda = 0\]Bu kvadratikning ildizlari,
\[{r_{1,2}} = \frac{{ - 2 \pm \sqrt {4 - 4\lambda } }}{2} = - 1 \pm \sqrt {1 - \lambda } \]Endi biz bu erda ishlash uchun yana ba'zi holatlarga ega bo'lamiz, ammo ular avvalgi misollar bilan bir xil bo'lmaydi. Yechim ildizlarning haqiqiy aniq, juft yoki murakkab ekanligiga bog'liq bo'ladi va bu holatlar \(1 - \lambda \) belgisi/qiymatiga bog'liq bo'ladi. Shunday qilib, keling, holatlarni ko'rib chiqaylik.
\(\underline {1 - \lambda < 0,\,\,\lambda > 1} \)
Bu holda ildizlar murakkab bo'ladi va biz yechimni yozish uchun ularni quyidagicha yozishimiz kerak bo'ladi.
Ildizlarni shu tarzda yozish orqali biz \(\lambda - 1 > 0\) va shunga o'xshash \(\sqrt {\lambda - 1} \) endi haqiqiy raqam ekanligini bilamiz, bu bizga quyidagi yechimni yozish uchun kerak bo'ladi:
\[y\left( x \right) = {c_1}{x^{ - 1}}\cos \left( {\ln \left( x \right)\sqrt {\lambda - 1} } \right) + {c_2}{x^{ - 1}}\sin \left( {\ln \left( x \right)\sqrt {\lambda - 1} } \right)\]Birinchi chegara shartini qo'llash bizga,
\[0 = y\left( 1 \right) = {c_1}\cos \left( 0 \right) + {c_2}\sin \left( 0 \right) = {c_1}\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}{c_1} = 0\]Ikkinchi chegara sharti bizga beradi,
\[0 = y\left( 2 \right) = \frac{1}{2}{c_2}\sin \left( {\ln \left( 2 \right)\sqrt {\lambda - 1} } \right)\]Ushbu holatda nol (trivial) yechimdan qochish uchun bizdan quyidagilar talab qilinadi:
\[\sin \left( {\ln \left( 2 \right)\sqrt {\lambda - 1} } \right) = 0\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}\ln \left( 2 \right)\sqrt {\lambda - 1} = n\pi \hspace{0.25in}n = 1,2,3, \ldots \]Bu holat biz hozirgacha ko'rganimizdan ancha murakkabroq, ammo bundan tashqari biz xuddi shu narsani qilamiz. Shunday qilib, \(\lambda \) ni hal qilish bizga ushbu holat uchun quyidagi xos qiymatlar to'plamini beradi.
\[{\lambda _{\,n}} = 1 + {\left( {\frac{{n\pi }}{{\ln 2}}} \right)^2}\hspace{0.25in}n = 1,2,3, \ldots \]Esda tutingki, bizda \(\lambda > 1\) borligiga ishonch hosil qilish uchun biz \(n\) ro‘yxatini noldan emas, birdan boshlashimiz kerak.
Ushbu xos qiymatlarga mos keladigan xos funktsiyalar quyidagilardir:
\[{y_n}\left( x \right) = {x^{ - 1}}\sin \left( {\frac{{n\pi }}{{\ln 2}}\ln \left( x \right)} \right)\hspace{0.25in}n = 1,2,3, \ldots \]Endi ikkinchi holat.
\(\underline {1 - \lambda = 0,\,\,\,\lambda = 1} \)
Bu holda biz \({r_{\,1,2}} = - 1\) ning qo'sh ildizini olamiz va shuning uchun yechim:
Birinchi chegara shartini qo'llash,
\[0 = y\left( 1 \right) = {c_1}\]Ikkinchi chegara sharti quyidagilarni beradi:
\[0 = y\left( 2 \right) = \frac{1}{2}{c_2}\ln \left( 2 \right)\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}{c_2} = 0\]Shuning uchun ushbu holatda biz faqat nol (trivial) yechimga egamiz va demak, \(\lambda = 1\) xos qiymat emas.
Endi uchinchi (va oxirgi) holatni ko'rib chiqamiz.
\(\underline {1 - \lambda > 0,\,\,\lambda < 1} \)
Bu holat ikkita haqiqiy aniq ildizga ega bo'ladi va yechim:
Birinchi chegara shartini qo'llash,
\[0 = y\left( 1 \right) = \,{c_1} + \,{c_2}\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}{c_2} = - {c_1}\]Bundan foydalanib, bizning yechimimiz bo'ladi,
\[y\left( x \right) = {c_1}{x^{ - 1 + \sqrt {1 - \lambda } }} - {c_1}{x^{ - 1 - \sqrt {1 - \lambda } }}\]Ikkinchi chegara shartini qo'llash,
\[0 = y\left( 2 \right) = {c_1}{2^{ - 1 + \sqrt {1 - \lambda } }} - {c_1}{2^{ - 1 - \sqrt {1 - \lambda } }} = {c_1}\left( {{2^{ - 1 + \sqrt {1 - \lambda } }} - {2^{ - 1 - \sqrt {1 - \lambda } }}} \right)\]Endi, biz bilamizki, \(\lambda \ne 1\) bu holatda qavs ichidagi ikkita hadda ko'rsatkichlar bir xil emas va shuning uchun qavs ichidagi atama nolga teng emas. Bu shuni anglatadiki, biz faqat ega bo'lishimiz mumkin,
\[{c_1} = {c_2} = 0\]va shuning uchun bu holatda bizda faqat ahamiyatsiz yechim bor va \(\lambda < 1\) uchun xos qiymatlar yo'q.
Ushbu chegaraviy masala uchun yagona xos qiymatlar birinchi holatdan kelib chiqadi.
So, we’ve now worked an example using a differential equation other than the “standard” one we’ve been using to this point. As we saw in the work however, the basic process was pretty much the same. Biz turli xil echimlarni beradigan bir nechta holatlar (bu erda uchta, lekin har doim ham uchta bo'lmaydi) borligini aniqladik. Biz har bir ishni ko'rib chiqdik, noan'anaviy echimlar mumkinmi yoki yo'qmi, agar shunday bo'lsa, ushbu holatga mos keladigan o'z qiymatlari va o'z funktsiyalarini topdik.
We need to work one last example in this section before we leave this section for some new topics. Biz shu nuqtaga qadar ishlagan to'rtta misol juda oddiy edi (nisbiy bo'lishi bilan, albatta...), ammo biz ko'plab o'z qiymat/o'z funksiya muammolari juda oson ekanligini tan olmasdan ketishni istamaymiz.
Ko'pgina misollarda BVP uchun barcha mumkin bo'lgan o'z qiymatlarining to'liq ro'yxatini olish ham mumkin emas. Ko'pincha o'z qiymatlarini olish uchun echishimiz kerak bo'lgan tenglamalarni aniq echish qiyin bo'lsa-da. Shunday qilib, keling, bunday holatlarda o'z qiymatlari qanday ko'rinishi haqida hech bo'lmaganda tasavvurga ega bo'lish uchun qanday turdagi narsalarni qilish mumkinligini ko'rish uchun bir misolni ko'rib chiqaylik.
Yechim
Ushbu BVP uchun chegara shartlari biz shu paytgacha ishlaganimizdan ancha farq qiladi. Biroq, asosiy jarayon bir xil. Shunday qilib, keling, birinchi holatdan boshlaylik.
\(\underline {\lambda > 0} \)
The general yechim to the differential equation is identical to the first few examples and so we have,
Birinchi chegara shartini qo'llash bizga,
\[0 = y\left( 0 \right) = \,{c_1}\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}{c_1} = 0\]Ikkinchi chegara sharti bizga beradi,
\[\begin{align*}0 = y\left( 1 \right) + y'\left( 1 \right) & = \,{c_2}\sin \left( {\sqrt \lambda } \right) + \sqrt \lambda \,{c_2}\cos \left( {\sqrt \lambda } \right)\\ & = \,{c_2}\left( {\sin \left( {\sqrt \lambda } \right) + \sqrt \lambda \,\cos \left( {\sqrt \lambda } \right)} \right)\end{align*}\]Shunday qilib, agar biz \({c_2} = 0\) ga ruxsat bersak, biz ahamiyatsiz yechimga ega bo'lamiz va shuning uchun bu chegara shartini qondirish uchun biz buni talab qilishimiz kerak,
\[\begin{align*}0 = \sin \left( {\sqrt \lambda } \right) + \sqrt \lambda \,\cos \left( {\sqrt \lambda } \right)\\ \sin \left( {\sqrt \lambda } \right) & = - \sqrt \lambda \,\cos \left( {\sqrt \lambda } \right)\\ \tan \left( {\sqrt \lambda } \right) & = - \sqrt \lambda \end{align*}\]Endi bu tenglamaning yechimlari bor, lekin ularni olish uchun biz ba'zi raqamli usullardan foydalanishimiz kerak. Bu erda nima sodir bo'layotganini ko'rish uchun keling, bir xil grafikda \(\tan \left( {\sqrt \lambda } \right)\) va \( - \sqrt \lambda \) grafigini tuzamiz. Mana o'sha grafik va gorizontal o'q haqiqatan ham \(\sqrt \lambda \) qiymatlari ekanligini e'tiborga oling, chunki bu narsalarni ko'rishni va bizga tanish bo'lgan qadriyatlar bilan bog'lashni biroz osonlashtiradi.
Demak, bu holat uchun xos qiymatlar ikkita egri chiziq kesishgan joyda yuzaga keladi. Biz grafikda birinchi beshlikni ko'rsatdik va yana grafikda ko'rsatilgan narsa, biz qayd etganimizdek, haqiqiy o'z qiymatning kvadrat ildizidir.
Bu erda diqqat qilish kerak bo'lgan narsa shundaki, grafikda qanchalik uzoqroq bo'lsa, o'z qiymatlari tangens asimptotalariga shunchalik yaqinroq bo'ladi va shuning uchun biz bundan foydalanamiz va etarlicha katta \(n\) uchun tangens asimptotalarining (juda yaxshi ma'lum) joylashuvi bilan xos qiymatlarni taxmin qilishimiz mumkinligini aytamiz.
Taxminan foydalanishni boshlashdan oldin \(n\) qiymati qanchalik katta bo'lishi biz qanchalik aniqlikni xohlashimizga bog'liq bo'ladi, lekin biz asimptotalarning joylashuvini bilganimiz uchun va \(n\) oshgani sayin, yaqinlashishning aniqligi oshadi, shuning uchun berilgan aniqlikni tekshirish oson bo'ladi.
Ushbu misolning maqsadlari uchun biz birinchi beshtasini topdik va keyin qolgan o'z qiymatlarining yaqinlashuvidan foydalanamiz. Mana bu qiymatlar/taxminlar.
\[\begin{align*}\sqrt {{\lambda _{\,1}}} & = 2.0288 & {\lambda _{\,1}} & = 4.1160 & & \left( {2.4674} \right)\\ \sqrt {{\lambda _{\,2}}} & = 4.9132 & {\lambda _{\,2}} & = 24.1395 & & \left( {22.2066} \right)\\ \sqrt {{\lambda _{\,3}}} & = 7.9787 & {\lambda _{\,3}} & = 63.6597 & & \left( {61.6850} \right)\\ \sqrt {{\lambda _{\,4}}} & = 11.0855 & {\lambda _{\,4}} & = 122.8883 & & \left( {120.9027} \right)\\ \sqrt {{\lambda _{\,5}}} & = 14.2074 & {\lambda _{\,5}} & = 201.8502 & & \left( {199.8595} \right)\\ \sqrt {{\lambda _{\,n}}} & \approx \frac{{2n - 1}}{2}\pi & {\lambda _{\,n}} & \approx \frac{{{{\left( {2n - 1} \right)}^2}}}{4}{\pi ^2} & & n = 6,7,8, \ldots \end{align*}\]Birinchi beshdan keyin qavs ichidagi raqam asimptotaning taxminiy qiymatidir. Ko'rib turganimizdek, ular biroz pasaygan, ammo biz \(n = 5\) ga etib borganimizda, taxminiy xatolik 0,9862% ni tashkil qiladi. Shunday qilib, biz \(n = 5\) ga borganimizda 1% dan kamroq xatolik yuz berdi va bu faqat \(n\) ning katta qiymati uchun yaxshilanadi.
Bu holat uchun xos funksiyalar:
\[{y_n}\left( x \right) = \sin \left( {\sqrt {{\lambda _{\,n}}} \,x} \right)\hspace{0.25in}n = 1,2,3, \ldots \]bu erda \({\lambda _{\,n}}\) qiymatlari yuqorida berilgan.
Shunday qilib, endi bu ishning hammasi yo'lga qo'yilganligi sababli, ikkinchi ishni ko'rib chiqaylik.
\(\underline {\lambda = 0} \)
Umumiy yechim:
Birinchi chegara shartini qo'llash,
\[0 = y\left( 0 \right) = {c_1}\]Buning yordamida umumiy yechim shunday bo'ladi:
\[y\left( x \right) = {c_2}x\]Bunga ikkinchi chegara shartini qo'llash,
\[0 = y'\left( 1 \right) + y\left( 1 \right) = {c_2} + {c_2} = 2{c_2}\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}{c_2} = 0\]Shuning uchun, bu holatda biz faqat ahamiyatsiz yechimni olamiz va shuning uchun \(\lambda = 0\) xos qiymat emas. E'tibor bering, agar ikkinchi chegara sharti \(y'\left( 1 \right) - y\left( 1 \right) = 0\) bo'lganida, \(\lambda = 0\) xos qiymat bo'lardi (\(y\left( x \right) = x\) o'z funksiyalari bilan) va shuning uchun biz bu erda ishimizni juda ko'p o'qishdan ehtiyot bo'lishimiz kerak.
Nihoyat, uchinchi ishni ko'rib chiqaylik.
\(\underline {\lambda < 0} \)
Bu erda umumiy yechim:
Birinchi chegara shartini qo'llash,
\[0 = y\left( 0 \right) = {c_1}\cosh \left( 0 \right) + {c_2}\sinh \left( 0 \right) = {c_1}\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}{c_1} = 0\]Buning yordamida umumiy yechim quyidagicha bo'ladi:
\[y\left( x \right) = {c_2}\sinh \left( {\sqrt { - \lambda } \,x} \right)\]Bunga ikkinchi chegara shartini qo'llash,
\[\begin{align*}0 = y'\left( 1 \right) + y\left( 1 \right) & = \sqrt { - \lambda } {c_2}\cosh \left( {\sqrt { - \lambda } } \right) + {c_2}\sinh \left( {\sqrt { - \lambda } } \right)\\ & = {c_2}\left( {\sqrt { - \lambda } \cosh \left( {\sqrt { - \lambda } } \right) + \sinh \left( {\sqrt { - \lambda } } \right)} \right)\end{align*}\]Endi, taxminga ko'ra, biz \(\lambda < 0\) va shunga o'xshash \(\sqrt { - \lambda } > 0\) ekanligini bilamiz. Bu o'z navbatida bizga \(\sinh \left( {\sqrt { - \lambda } } \right) > 0\) ekanligini aytadi va biz \(\cosh \left( x \right) > 0\) barcha \(x\) uchun ekanligini bilamiz. Shuning uchun,
\[\sqrt { - \lambda } \cosh \left( {\sqrt { - \lambda } } \right) + \sinh \left( {\sqrt { - \lambda } } \right) \ne 0\]va shuning uchun bizda \({c_2} = 0\) bo'lishi kerak va bu uchinchi holatda yana bir bor biz ahamiyatsiz yechimga ega bo'lamiz va shuning uchun bu BVP manfiy xos qiymatlarga ega bo'lmaydi.
Xulosa qilib aytganda, ushbu BVP uchun yagona o'ziga xos qiymatlar \(\lambda > 0\) deb taxmin qilishdan kelib chiqadi va ular yuqorida keltirilgan.
Shunday qilib, biz ushbu bo'limda bir nechta o'z qiymatlari/o'z funktsiyalari misollari bilan ishladik. Ushbu bo'limni tark etishdan oldin yana bir bor ta'kidlashimiz kerakki, biz bu erda ishlashimiz mumkin bo'lgan juda ko'p turli xil muammolar mavjud va biz faqat bir nechta misollarni ko'rsatdik, shuning uchun biz sizga hamma narsani ko'rsatdik deb ishonib, bu bo'limdan uzoqlashmang.
Ushbu bo'limning maqsadi bizni keyingi bobda ko'rib chiqadigan muammolar turlariga tayyorlashdir. Bundan tashqari, keyingi bobda biz qisman differensial tenglamalarni echishning eng keng tarqalgan usullaridan birini tasvirlash uchun yana bir nechta oddiy va oddiy masalalar bilan cheklanamiz.