14.4-bo'lim: Mutlaq ekstremal
Ushbu bo'limda biz oldingi qismdan ishni kengaytirmoqchimiz. Oldingida bizdan barcha tanqidiy nuqtalarni nisbiy minimumlar, nisbiy maksimallar va/yoki egar nuqtalari sifatida topish va tasniflash taklif qilingan edi. Ushbu bo'limda biz \({\mathbb{R}^2}\) da berilgan mintaqada funktsiyaning mutlaq minimumini va/yoki mutlaq maksimalini aniqlaydigan funktsiyani optimallashtirishni xohlaymiz. E'tibor bering, biz \({\mathbb{R}^2}\)-da mintaqada ishlaymiz deganda, biz ushbu mintaqadagi ba'zi mintaqalarni ko'rib chiqmoqchimiz. xy-samolyot.
Mintaqadagi funktsiyani optimallashtirish uchun biz bir nechta ta'riflarni va haqiqatni chetlab o'tishimiz kerak. Keling, avval ta'riflarni yo'ldan chiqaraylik.
Ta'riflar
- \({\mathbb{R}^2}\)-dagi mintaqa chaqiriladi yopiq agar u o'z chegarasini o'z ichiga olsa. Mintaqa deyiladi ochiq agar u o'zining chegara nuqtalarini o'z ichiga olmasa.
- \({\mathbb{R}^2}\)-dagi mintaqa chaqiriladi chegaralangan agar u to'liq diskda bo'lishi mumkin bo'lsa. Boshqacha qilib aytganda, agar mintaqa cheklangan bo'lsa, chegaralangan bo'ladi.
Keling, yopiq ta'rifi haqida bir oz ko'proq o'ylab ko'raylik. Agar mintaqa o'z chegarasini o'z ichiga olsa, yopiq deb aytdik. Faqat bu nimani anglatadi? Keling, to'rtburchakni o'ylab ko'raylik. Quyida to'rtburchakning ikkita ta'rifi keltirilgan, biri yopiq, ikkinchisi ochiq.
\[\begin{array}{*{20}{c}}\begin{aligned}{\mbox{Open}} \,\,\,\,\,\, \\ - 5 < x < 3\\ \,\,\,1 < y < 6\end{aligned}&\begin{aligned}{\mbox{Closed}}\,\,\,\,\,\\ \hspace{0.25in} - 5 \le x \le 3\\ \,\,\,\hspace{0.25in}\,\,\,1 \le y \le 6\end{aligned}\end{array}\]Bu birinchi holatda biz diapazonlarga oxirgi nuqtalarni kiritishga ruxsat bermaymiz (i.e. biz to'rtburchakning chetlarini o'z ichiga olmaymiz) va shuning uchun biz mintaqaga to'rtburchakning chetidagi biron bir nuqtani kiritishiga ruxsat bermaymiz. Boshqacha qilib aytganda, biz mintaqaga o'z chegarasini kiritishiga ruxsat bermaymiz va shuning uchun u ochiq.
Ikkinchi holda, biz mintaqaga chekka nuqtalarni o'z ichiga olishiga ruxsat beramiz va shuning uchun uning butun chegarasi bo'ladi va shuning uchun yopiladi.
Bu quyidagi fakt tufayli muhim fikr.
Ekstremal qiymat teoremasi
Agar \({\mathbb{R}^2}\) da \(D\) ba'zi yopiq, cheklangan to'plamda uzluksiz bo'lsa, \(D\), \(\left( {{x_1},{y_1}} \right)\) va \(\left( {{x_2},{y_2}} \right)\) da nuqtalar mavjud bo'lib, \(f\left( {{x_1},{y_1}} \right)\) mutlaq maksimal va \(f\left( {{x_2},{y_2}} \right)\) esa \(f(x, y)\) funksiyasining \(D\) sohadagi mutlaq minimumi bo'ladi.
E'tibor bering, bu teorema mutlaq minimal yoki mutlaq maksimal qayerda sodir bo'lishini AYoLMAYDI. Bu bizga faqat ular mavjud bo'lishini aytadi. Shuni ham yodda tutingki, mutlaq minimal va/yoki mutlaq maksimal mintaqaning ichki qismida yoki mintaqa chegarasida bo'lishi mumkin.
Mutlaq maksimallarni topishning asosiy jarayoni biz hisob-kitob I da topilganda ishlatgan jarayon bilan deyarli bir xil. mutlaq ekstremal yagona o'zgaruvchilarning funktsiyalari. Biroq, biz hozir ikkita o'zgaruvchining funktsiyalari bilan shug'ullanayotganimizni hisobga olish uchun ba'zi protsessual o'zgarishlar bo'ladi. Mana jarayon.
Mutlaq ekstremalni topish
- Funktsiyaning \(D\) hududida joylashgan barcha kritik nuqtalarini toping va ushbu nuqtalarning har birida funktsiya qiymatini aniqlang.
- Chegarada funksiyaning barcha ekstremallarini toping. Bu, odatda, ushbu ish uchun I yondashuvni o'z ichiga oladi.
- Birinchi ikki bosqichda topilgan eng katta va eng kichik qiymatlar funksiyaning mutlaq minimumi va mutlaq maksimali hisoblanadi.
Ushbu jarayon va biz Calculus I-da qo'llagan jarayon o'rtasidagi asosiy farq shundaki, Calculus I-dagi "chegara" bor-yo'g'i ikkita nuqta edi va shuning uchun ikkinchi bosqichda juda ko'p narsa qilish kerak emas edi. Ushbu muammolar uchun ishning ko'p qismi ko'pincha ikkinchi bosqichda bo'ladi, chunki biz ko'pincha Hisob I mutlaq ekstremal muammosini bir yoki bir necha marta bajaramiz.
Keling, bir yoki ikkita misolni ko'rib chiqaylik.
Yechim
Malumot uchun avval to'rtburchakning tezkor rasmini olaylik.
Bu to'rtburchakning chegarasi quyidagi shartlar bilan berilgan.
\[\begin{align*}&{\mbox{right side :}}\hspace{0.25in}x = 1,\,\, - 1 \le y \le 1\\ & {\mbox{left side :}}\hspace{0.25in}x = - 1,\,\, - 1 \le y \le 1\\ & {\mbox{upper side :}}\hspace{0.25in}y = 1,\,\, - 1 \le x \le 1\\ & {\mbox{lower side :}}\hspace{0.25in}y = - 1,\,\, - 1 \le x \le 1\end{align*}\]Bular jarayonimizning ikkinchi bosqichida muhim ahamiyatga ega bo'ladi.
Biz buni berilgan to'rtburchak ichida joylashgan barcha muhim nuqtalarni topishdan boshlaymiz. Buning uchun bizga ikkita birinchi tartibli hosila kerak bo'ladi.
\[{f_x} = 2x - 4xy\hspace{0.5in}{f_y} = 8y - 2{x^2}\]E'tibor bering, biz tanqidiy nuqtalarni tasniflamoqchi emasmiz, chunki bizga ikkinchi tartibli hosilalar kerak emas. Kritik nuqtalarni topish uchun tizimni hal qilishimiz kerak,
\[\begin{align*}2x - 4xy & = 0\\ 8y - 2{x^2} & = 0\end{align*}\]Biz \(y\) uchun ikkinchi tenglamani yechib olamiz,
\[y = \frac{{{x^2}}}{4}\]Buni birinchi tenglamaga kiritish bizga beradi,
\[2x - 4x\left( {\frac{{{x^2}}}{4}} \right) = 2x - {x^3} = x\left( {2 - {x^2}} \right) = 0\]Bu bizga \(x = 0\) yoki \(x = \pm \sqrt 2 = \pm 1.414...\) bo'lishi kerakligini aytadi. Endi eslang, biz faqat mintaqada bizga berilgan muhim nuqtalarni xohlaymiz. Bu shuni anglatadiki, biz faqat \( - 1 \le x \le 1\) uchun muhim nuqtalarni xohlaymiz. Buni qondiradigan yagona \(x\) qiymati birinchisidir, shuning uchun biz ushbu muammo uchun oxirgi ikkitasini e'tiborsiz qoldiramiz. Shuni esda tutingki, chegarani oddiy o'zgartirish bu ikkalasini ham o'z ichiga oladi, shuning uchun kritik nuqtalar mintaqada (yoki chegarada) mavjudligini har doim tekshirishni unutmang, chunki bu ham sodir bo'lishi mumkin.
\(x = 0\) ni \(y\) tenglamasiga ulash bizga quyidagilarni beradi:
\[y = \frac{{{0^2}}}{4} = 0\]Mintaqadagi yagona muhim nuqta (va yana, bu muhim) \(\left( {0,0} \right)\). Endi biz kritik nuqtada funktsiyaning qiymatini olishimiz kerak.
\[f\left( {0,0} \right) = 4\]Oxir-oqibat, biz buni keyingi bosqichda topilgan funktsiya qiymatlari bilan taqqoslaymiz va to'rtburchakdagi funktsiyaning mutlaq ekstremasi sifatida eng katta va eng kichikni olamiz.
Endi biz bu muammoning uzoq qismiga yetib keldik. To‘g‘ri to‘rtburchak chegarasi bo‘ylab funksiyaning absolyut ekstremasini topishimiz kerak. Buning ma'nosi shundaki, biz yuqorida sanab o'tilgan to'rtburchakning har bir tomonida funktsiya nima qilayotganini ko'rib chiqishimiz kerak.
Keling, avval o'ng tomonni ko'rib chiqaylik. Yuqorida aytib o'tilganidek, o'ng tomon tomonidan belgilanadi
\[x = 1,\,\, - 1 \le y \le 1\]E'tibor bering, o'ng tomonda biz \(x = 1\) ekanligini bilamiz. Keling, yangi funktsiyani quyidagicha belgilash orqali bundan foydalanamiz:
\[g\left( y \right) = f\left( {1,y} \right) = {1^2} + 4{y^2} - 2\left( {{1^2}} \right)y + 4 = 5 + 4{y^2} - 2y\]Endi \(f\left( {x,y} \right)\) ning o‘ng tomoni bo‘ylab mutlaq ekstremasini topish \( - 1 \le y \le 1\) diapazonida \(g\left( y \right)\) ning mutlaq ekstremasini topishga teng bo‘ladi. Umid qilamanki eslash buni qanday qilish kerak Calculus I dan. Biz \(g\left( y \right)\) ning kritik nuqtalarini \( - 1 \le y \le 1\) diapazonida topamiz va keyin \(g\left( y \right)\) ni \(y\) diapazonining kritik nuqtalari va oxirgi nuqtalarida baholaymiz.
Keling, bu muammo uchun buni qilaylik.
\[g'\left( y \right) = 8y - 2\hspace{0.5in} \Rightarrow \hspace{0.25in}\,\,\,\,\,y = \frac{1}{4}\]Bu diapazonda va shuning uchun bizga quyidagi funktsiyalarni baholash kerak bo'ladi.
\[g\left( { - 1} \right) = 11\hspace{0.5in}g\left( 1 \right) = 7\hspace{0.5in}g\left( {\frac{1}{4}} \right) = \frac{{19}}{4} = 4.75\]E'tibor bering, \(g\left( y \right)\) ta'rifidan foydalanib, bular \(f\left( {x,y} \right)\) uchun funktsiya qiymatlari hamdir.
\[\begin{align*}g\left( { - 1} \right) & = f\left( {1, - 1} \right) = 11\hspace{0.5in}\\ g\left( 1 \right) & = f\left( {1,1} \right) = 7\\ g\left( {\frac{1}{4}} \right) & = f\left( {1,\frac{1}{4}} \right) = \frac{{19}}{4} = 4.75\end{align*}\]Endi biz to'rtburchakning chap tomonini bajarishimiz mumkin, bu bilan belgilanadi:
\[x = - 1,\,\, - 1 \le y \le 1\]Shunga qaramay, biz yangi funktsiyani quyidagicha aniqlaymiz,
\[g\left( y \right) = f\left( { - 1,y} \right) = {\left( { - 1} \right)^2} + 4{y^2} - 2{\left( { - 1} \right)^2}y + 4 = 5 + 4{y^2} - 2y\]E'tibor bering, bu chegara uchun biz o'ng tomonni ko'rib chiqqanimiz bilan bir xil funktsiyadir. Bu har doim ham sodir bo'lmaydi, lekin biz ushbu funktsiya uchun ishni allaqachon bajarganimizdan foydalanamiz. Biz tanqidiy nuqta \(y = \frac{1}{4}\) ekanligini bilamiz va biz bilamizki, kritik nuqtadagi funktsiya qiymati va oxirgi nuqtalar,
\[g\left( { - 1} \right) = 11\hspace{0.5in}g\left( 1 \right) = 7\hspace{0.5in}g\left( {\frac{1}{4}} \right) = \frac{{19}}{4} = 4.75\]Bu erda yagona haqiqiy farq shundaki, ular \(f\left( {x,y} \right)\) qiymatlariga o'ng tomondagidan farqli nuqtalarda mos keladi. Bu holda ular \(f\left( {x,y} \right)\) uchun quyidagi funksiya qiymatlariga mos keladi.
\[\begin{align*}g\left( { - 1} \right) & = f\left( { - 1, - 1} \right) = 11\hspace{0.5in}\\ g\left( 1 \right) & = f\left( { - 1,1} \right) = 7\\ g\left( {\frac{1}{4}} \right) & = f\left( { - 1,\frac{1}{4}} \right) = \frac{{19}}{4} = 4.75\end{align*}\]Endi biz tomonidan belgilangan yuqori tomonga qarashimiz mumkin,
\[y = 1,\,\, - 1 \le x \le 1\]Biz yana yangi funktsiyani aniqlaymiz, bundan tashqari u \(x\) funktsiyasi bo'ladi.
\[h\left( x \right) = f\left( {x,1} \right) = {x^2} + 4\left( {{1^2}} \right) - 2{x^2}\left( 1 \right) + 4 = 8 - {x^2}\]Biz \( - 1 \le x \le 1\) diapazonida \(h\left( x \right)\) ning mutlaq ekstremasini topishimiz kerak. Avval tanqidiy nuqta(lar)ni toping.
\[h'\left( x \right) = - 2x\hspace{0.5in} \Rightarrow \hspace{0.5in}x = 0\]Ushbu funktsiyaning kritik nuqta va oxirgi nuqtalardagi qiymati,
\[h\left( { - 1} \right) = 7\hspace{0.5in}h\left( 1 \right) = 7\hspace{0.5in}h\left( 0 \right) = 8\]va bular o'z navbatida \(f\left( {x,y} \right)\) uchun quyidagi funksiya qiymatlariga mos keladi
\[\begin{align*}h\left( { - 1} \right) & = f\left( { - 1,1} \right) = 7\\ h\left( 1 \right) & = f\left( {1,1} \right) = 7\\ h\left( 0 \right) & = f\left( {0,1} \right) = 8\end{align*}\]E'tibor bering, bu erda bir nechta "takrorlar" mavjud. O'ng va chap tomonlarga qaraganimizda, birinchi ikkita funktsiya qiymati allaqachon hisoblab chiqilgan. Bu tez-tez sodir bo'ladi.
Nihoyat, biz pastki tomonga g'amxo'rlik qilishimiz kerak. Bu tomon tomonidan belgilanadi,
\[y = - 1,\,\, - 1 \le x \le 1\]Bu holatda biz aniqlaydigan yangi funksiya:
\[h\left( x \right) = f\left( {x, - 1} \right) = {x^2} + 4{\left( { - 1} \right)^2} - 2{x^2}\left( { - 1} \right) + 4 = 8 + 3{x^2}\]Ushbu funktsiya uchun muhim nuqta,
\[h'\left( x \right) = 6x\hspace{0.5in} \Rightarrow \hspace{0.5in}x = 0\]Kritik nuqta va oxirgi nuqtadagi funktsiya qiymatlari:
\[h\left( { - 1} \right) = 11\hspace{0.5in}h\left( 1 \right) = 11\hspace{0.5in}h\left( 0 \right) = 8\]va \(f\left( {x,y} \right)\) uchun mos qiymatlar:
\[\begin{align*}h\left( { - 1} \right) & = f\left( { - 1, - 1} \right) = 11\\ h\left( 1 \right) & = f\left( {1, - 1} \right) = 11\\ h\left( 0 \right) & = f\left( {0, - 1} \right) = 8\end{align*}\]Ushbu (uzoq ...) jarayonning yakuniy bosqichi bu muammoda biz hisoblagan \(f\left( {x,y} \right)\) uchun barcha funktsiya qiymatlarini yig'ishdir. Mana ular,
\[\begin{align*}f\left( {0,0} \right) & = 4\hspace{0.5in} & f\left( {1, - 1} \right) & = 11\hspace{0.5in} & f\left( {1,1} \right) & = 7\\ f\left( {1,\frac{1}{4}} \right) & = 4.75\hspace{0.5in} & f\left( { - 1,1} \right) & = 7\hspace{0.5in} & f\left( { - 1, - 1} \right) & = 11\\ f\left( { - 1,\frac{1}{4}} \right) & = 4.75\hspace{0.25in} & f\left( {0,1} \right) & = 8\hspace{0.5in} & f\left( {0, - 1} \right) & = 8\end{align*}\]Mutlaq minimum \(\left( {0,0} \right)\) da, chunki eng kichik funktsiya qiymatini beradi va mutlaq maksimal \(\left( {1, - 1} \right)\) va \(\left( { - 1, - 1} \right)\) da sodir bo'ladi, chunki bu ikki nuqta eng katta funktsiya qiymatini beradi.
Bu erda mos yozuvlar uchun to'rtburchakda funktsiyaning eskizi keltirilgan.
Ushbu misol ko'rsatganidek, bu ba'zida juda uzoq muammolar bo'lishi mumkin. Keling, boshqa turdagi chegara bilan osonroq va qisqaroq muammoni ko'rib chiqaylik.
Yechim
Birinchidan, radiusi 4 bo'lgan disk muammo bayonotidagi tengsizlik bilan berilganligiga e'tibor bering. Diskning ichki qismini olish uchun "kichikroq" tengsizlik va chegarani olish uchun tenglik belgisi kiritiladi. Albatta, bu diskning chegarasi 4 radiusli doira ekanligini ham anglatadi.
Avval disk ichida joylashgan funktsiyaning muhim nuqtalarini topamiz. Bu quyidagi ikkita birinchi tartibli qisman hosilalarni talab qiladi.
\[{f_x} = 4x\hspace{0.5in}{f_y} = - 2y + 6\]Kritik nuqtalarni topish uchun biz quyidagi tizimni hal qilishimiz kerak.
\[\begin{align*}4x & = 0\\- 2y + 6 & = 0\end{align*}\]Bu aslida hal qilish uchun juda oddiy tizim. Birinchi tenglama bizga \(x = 0\) ekanligini, ikkinchisi esa \(y = 3\) ekanligini aytadi. Demak, bu funksiya uchun yagona kritik nuqta \(\left( {0,3} \right)\) va u 4 radiusli disk ichida joylashgan. Ushbu kritik nuqtadagi funktsiya qiymati,
\[f\left( {0,3} \right) = 9\]Endi biz chegaraga qarashimiz kerak. Bu avvalgi misoldan biroz farq qiladi. Bu holda bizda chegarada \(x\) va \(y\) ning belgilangan qiymatlari yo'q. Buning o'rniga bizda,
\[{x^2} + {y^2} = 16\]Buni \({x^2}\) uchun hal qilishimiz va \(y\) funksiyasini quyidagi tarzda olish uchun uni \(f\left( {x,y} \right)\) da \({x^2}\) ga ulashimiz mumkin.
\[{x^2} = 16 - {y^2}\] \[g\left( y \right) = 2\left( {16 - {y^2}} \right) - {y^2} + 6y = 32 - 3{y^2} + 6y\]Biz \( - 4 \le y \le 4\) diapazonida ushbu funktsiyaning mutlaq ekstremalini topishimiz kerak (bu disk uchun \(y\) diapazoni….). Bizga birinchi navbatda ushbu funktsiyaning muhim nuqtalari kerak bo'ladi.
\[g'\left( y \right) = - 6y + 6\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}\,\,\,y = 1\]Ushbu funktsiyaning kritik nuqtadagi qiymati va oxirgi nuqtalari:
\[g\left( { - 4} \right) = - 40\hspace{0.5in}g\left( 4 \right) = 8\hspace{0.25in}\,\,\,\,\,\,g\left( 1 \right) = 35\]Birinchi misoldan farqli o'laroq, biz \(x\) ning ularga mos keladigan qiymatlarini topishimiz kerak. Buni aylana uchun tenglamamizga \(y\) qiymatini kiritish va \(x\) ni yechish orqali amalga oshirishimiz mumkin.
\[\begin{align*} & y = - 4 : & {x^2} & = 16 - 16 = 0\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}x = 0\\ & y = 4 : &{x^2} & = 16 - 16 = 0\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}x = 0\\ & y = 1 : & {x^2} & = 16 - 1 = 15\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}x = \pm \sqrt {15} = \pm 3.87\end{align*}\]\(g\left( y \right)\) funksiya qiymatlari \(f\left( {x,y} \right)\) uchun quyidagi funksiya qiymatlariga mos keladi.
\[\begin{align*}g\left( { - 4} \right) & = - 40 & \Rightarrow & \hspace{0.25in}f\left( {0, - 4} \right) = - 40\\ g\left( 4 \right) & = 8 & \Rightarrow & \hspace{0.25in}f\left( {0,4} \right) = 8\\ g\left( 1 \right) & = 35 & \Rightarrow & \hspace{0.25in}f\left( { - \sqrt {15} ,1} \right) = 35\,\,\,\,\text{va}\,\,\,\,\,f\left( {\sqrt {15} ,1} \right) = 35\end{align*}\]E'tibor bering, uchinchisi aslida \(f\left( {x,y} \right)\) uchun ikki xil qiymatga to'g'ri keldi, chunki bu \(y\) ham \(x\) ning ikki xil qiymatini ishlab chiqardi.
Shunday qilib, ushbu qiymatlarni biz ilgari topilgan \(f\left( {x,y} \right)\) kritik nuqtasidagi funktsiya qiymatiga solishtirsak, mutlaq minimal \(\left( {0, - 4} \right)\) da, mutlaq maksimal esa \(\left( { - \sqrt {15} ,1} \right)\) va \(\left( {\sqrt {15} ,1} \right)\) da ikki marta sodir bo'lishini ko'rishimiz mumkin.
Bu erda ma'lumot olish uchun mintaqaning eskizi.
Ushbu ikkala misolda mutlaq ekstremallardan biri aslida bir nechta joyda sodir bo'lgan. Ba'zida bu sodir bo'ladi va ba'zida bunday bo'lmaydi, shuning uchun bu erda keltirilgan ikkala misolda ham sodir bo'lganligini ko'p o'qimang.
Shuni ham yodda tutingki, yuqorida aytib o'tganimizdek, mutlaq ekstremallar ko'pincha ushbu hududlarning chegaralarida sodir bo'ladi, lekin ular chegaralarda bo'lishi shart emas. Agar biz bir nechta muhim nuqtalar bilan murakkabroq misollar keltirganimizda, mutlaq ekstremal chegarada emas, balki mintaqaning ichki qismida sodir bo'lgan misollarni ko'rgan bo'lardik.