3.5-bo'lim: Ko'rsatkichli tenglamalarni yechish
Ushbu bo'limdagi har bir tenglamada muammo ko'rsatkichda o'zgaruvchining mavjudligidir. Bularni hal qilish uchun biz o'zgaruvchini eksponentdan olishimiz kerak bo'ladi. Bu xususiyat 3 va/yoki 7-dan foydalanishni anglatadi Logarifm xossalari yuqoridagi bo'lim. Aksariyat hollarda agar iloji bo'lsa, 3-mulkdan foydalanish osonroq bo'ladi. Shunday qilib, tegishli logarifmni tanlang va ikkala tomonning jurnalini oling, so'ngra soddalashtirish uchun mos bo'lgan joyda 3-xususiyatdan (yoki 7-xususiyatdan) foydalaning. E'tibor bering, ko'pincha jurnallarni olishdan oldin biroz soddalashtirish kerak bo'ladi.
Quyidagi tenglamalarning har birini yeching.
- \(2{{\bf{e}}^{4x - 2}} = 9\)
Yechim
E'tiborga olish kerak bo'lgan birinchi narsa, 3-xususiyati \({\log _b}{b^x} = x\) va \({\log _b}\left( {2{b^x}} \right) = x\) EMAS! Boshqacha qilib aytadigan bo'lsak, har ikki tomonning loglarini olishdan oldin eksponentni bir tomondan 1 (bir) koeffitsient bilan ajratib olishimiz kerak.
Bundan tashqari, foydalanish uchun tegishli jurnalni tanlashimiz kerak. Bunday holda tabiiy jurnal eng yaxshi bo'ladi, chunki muammodagi eksponensial \({{\bf{e}}^{4x - 2}}\). Shunday qilib, birinchi navbatda eksponentni bir tomondan ajratib oling.
\[\begin{align*}2{{\bf{e}}^{4x - 2}} & = 9\\ {{\bf{e}}^{4x - 2}} & = \frac{9}{2}\end{align*}\]Endi ikkala tomonning tabiiy jurnalini oling va soddalashtirish uchun Property 3 dan foydalaning.
\[\begin{align*}\ln \left( {{{\bf{e}}^{4x - 2}}} \right) & = \ln \left( {\frac{9}{2}} \right)\\ 4x - 2 & = \ln \left( {\frac{9}{2}} \right)\end{align*}\]Endi hammangiz \(4x - 2 = 9\) ni yecha olasiz, shunda yuqoridagi tenglamani yecha olasiz. Esda tutishingiz kerak bo'lgan yagona narsa shundaki, \(\ln \left( {\frac{9}{2}} \right)\) shunchaki raqam, xuddi 9 raqam bo'lgani kabi. Shunday qilib, ikkala tomonga 2 qo'shing, keyin 4 ga bo'ling (yoki \(\frac{1}{4}\) ga ko'paytiring).
\[\begin{align*}4x & = 2 + \ln \left( {\frac{9}{2}} \right)\\ x & = \frac{1}{4}\left( {2 + \ln \left( {\frac{9}{2}} \right)} \right)\\ x & = 0.8760193492\end{align*}\]E'tibor bering, tabiiy logarifm eng oson bo'lsa-da (chap tomoni yaxshi soddalashtirilganligi sababli) biz xohlaganimizda boshqa jurnallardan foydalanishimiz mumkin edi. Masalan, biz umumiy jurnalni quyidagicha ishlatishimiz mumkin edi. Esda tutingki, bu holda biz 3-xususiyatidan foydalana olmaymiz, chunki bu log va eksponentning bir xil asosga ega bo'lishini talab qiladi, bu erda bo'lmaydi. Shuning uchun biz soddalashtirish uchun Property 7 dan foydalanishimiz kerak.
\[\begin{align*}\log \left( {{{\bf{e}}^{4x - 2}}} \right) & = \log \left( {\frac{9}{2}} \right)\\ \left( {4x - 2} \right)\log {\bf{e}} & = \log \left( {\frac{9}{2}} \right)\end{align*}\]Ko‘rib turganingizdek, bu yerda muammo shundaki, bizda 7-xususiyatidan foydalangandan keyin \(\log {\bf{e}}\) qoldi. Buni kalkulyator yordamida hal qilish mumkin bo‘lsa-da, bu muammoni murakkablashtiradi, agar iloji bo‘lsa, undan qochish kerak. Yechish bizga beradi
\[\begin{align*}4x - 2 & = \frac{{\log \left( {\frac{9}{2}} \right)}}{{\log {\bf{e}}}}\\ 4x & = 2 + \frac{{\log \left( {\frac{9}{2}} \right)}}{{\log {\bf{e}}}}\\ x & = \frac{1}{4}\left( {2 + \frac{{\log \left( {\frac{9}{2}} \right)}}{{\log {\bf{e}}}}} \right)\\ x & = 0.8760193492\end{align*}\] - \({10^{{t^2} - t}} = 100\)
Yechim
Endi, bu holda eng yaxshi logarifm umumiy logarifm bo‘lib ko‘rinadi, chunki chap tomonning asosi 10 ga teng. Boshlang‘ich soddalashtirish yo‘q, shuning uchun ikkala tomonning jurnalini olib, soddalashtiring.
\[\begin{align*}\log {10^{{t^2} - t}} & = \log 100\\ {t^2} - t & = 2\end{align*}\]Ayni paytda bizda hal qilinishi mumkin bo'lgan kvadratik mavjud
\[\begin{align*}{t^2} - t - 2 & = 0\\ \left( {t - 2} \right)\left( {t + 1} \right) & = 0\end{align*}\]Shunday qilib, bu holda echimlar \(t = 2\) va \(t = - 1\) kabi ko'rinadi.
So'nggida bo'lgani kabi, bu erda ham boshqa jurnaldan foydalanishingiz mumkin, ammo bu kvadratikni echishni sezilarli darajada murakkablashtirardi.
- \(7 + 15{{\bf{e}}^{1 - 3z}} = 10\)
Yechim
Bu erda biroz ko'proq boshlang'ich soddalashtirish mavjud, ammo bundan tashqari, bu bo'limdagi birinchi muammoga o'xshaydi.
\[\begin{align*}7 + 15{{\bf{e}}^{1 - 3z}} & = 10\\ 15{{\bf{e}}^{1 - 3z}} & = 3\\ {{\bf{e}}^{1 - 3z}} & = \frac{1}{5}\end{align*}\]Endi jurnalni oling va hal qiling. Shunga qaramay, biz bu erda tabiiy logarifmadan foydalanamiz.
\[\begin{align*}\ln \left( {{{\bf{e}}^{1 - 3z}}} \right) & = \ln \left( {\frac{1}{5}} \right)\\ 1 - 3z & = \ln \left( {\frac{1}{5}} \right)\\ - 3z & = - 1 + \ln \left( {\frac{1}{5}} \right)\\ z & = - \frac{1}{3}\left( { - 1 + \ln \left( {\frac{1}{5}} \right)} \right)\\ z & = 0.{\rm{8698126372}}\end{align*}\] - \(x - x{{\bf{e}}^{5x + 2}} = 0\)
Yechim
Bu ushbu bo'limdagi oldingi muammolardan biroz farq qiladi, chunki u ko'rsatkichda ham, ko'rsatkichdan tashqarida ham \(x\) ga ega. Birinchi qadam \(x\) ni ikkala shartdan ajratib ko'rsatishdir.
\(x\) NI Ikkala shartdan ajramang!!!!
\[\begin{align*}x - x{{\bf{e}}^{5x + 2}} & = 0\\ x\left( {1 - {{\bf{e}}^{5x + 2}}} \right) & = 0\end{align*}\]Shunday qilib, endi u bilan shug'ullanish biroz osonroq. Bundan biz ikkita imkoniyatdan birini olishimizni ko'rishimiz mumkin.
\[\begin{align*}x & = 0\hspace{0.25in}{\rm{OR}}\\ 1 - {{\bf{e}}^{5x + 2}} & = 0\end{align*}\]Birinchi imkoniyatda boshqa hech narsa yo'q, agar biz ikkala tomonni \(x\) bilan ajratganimizda, biz buni o'tkazib yuborgan bo'lardik, shuning uchun ehtiyot bo'ling. Ikkinchi imkoniyatda bizda biroz ko'proq ish bor. Bu biz ushbu bo'limda qilgan birinchi bir nechta tenglamaga o'xshash.
\[\begin{align*}{{\bf{e}}^{5x + 2}} & = 1\\ 5x + 2 & = \ln 1\\ 5x + 2 & = 0\\ x & = - \frac{2}{5}\end{align*}\]Shuni unutmangki, \(\ln 1 = 0\)!
Shunday qilib, ikkita yechim \(x = 0\) va \(x = - \frac{2}{5}\).