4.8-bo'lim: Dirac delta funktsiyasi
Biz birinchi marta tanishtirganimizda Og'ir funktsiyalar Biz ularni ma'lum vaqtlarda \(g(t)\) majburlash funktsiyasini o'zgartiruvchi kalitlar deb hisoblashimiz mumkinligini ta'kidladik. Biroq, Heaviside funktsiyalari haqiqatan ham "kichik" vaqt oralig'ida "katta" kuch ta'sir qiladigan funktsiyalarni majburlash uchun mos kelmaydi.
Bunday majburlash funksiyasiga misol qilib, bolg'aning ob'ektga urishi yoki elektr tizimidagi qisqa tutashuv bo'lishi mumkin. Ushbu ikkala holatda ham juda qisqa vaqt ichida tizimga katta kuch (yoki kuchlanish) ta'sir qiladi. Dirac Delta funktsiyasi bu turdagi majburlash funktsiyalari bilan shug'ullanish uchun ishlatiladi.
Dirac Delta funktsiyasi
Dirac Delta funktsiyasini aniqlashning ko'plab usullari mavjud. Ushbu ta'riflarning ba'zilarini ko'rish uchun Wolframs-ga tashrif buyuring MathWorld. Biz bilishimiz kerak bo'lgan Dirac Delta funktsiyasining uchta asosiy xususiyati mavjud. Bular,
- \(\delta \left( {t - a} \right) = 0,\,\,\,\,t \ne a\)
- \(\displaystyle \int_{{\,a - \varepsilon }}^{{\,a + \varepsilon }}{{\delta \left( {t - a} \right)\,dt}} = 1,\hspace{0.25in}\varepsilon > 0\)
- \(\displaystyle \int_{{\,\,a - \varepsilon }}^{{\,\,a + \varepsilon }}{{f\left( t \right)\delta \left( {t - a} \right)\,dt}} = f\left( a \right),\hspace{0.25in}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\varepsilon > 0\)
\(t = a\) da Dirac Delta funksiyasi ba'zan "cheksiz" qiymatga ega deb o'ylanadi. Demak, Dirac Delta funksiyasi bitta nuqtadan tashqari hamma joyda nolga teng bo‘lgan funksiya bo‘lib, bu nuqtada uni aniqlanmagan yoki “cheksiz” qiymatga ega deb hisoblash mumkin.
E'tibor bering, ikkinchi va uchinchi xususiyatdagi integrallar, agar u oxirgi nuqtalardan biri bo'lmasa, \(t = a\) ni o'z ichiga olgan har qanday oraliq uchun haqiqiydir. Bu erda berilgan chegaralar xususiyatlarni isbotlash uchun kerak va shuning uchun ular xususiyatlarda ham berilgan. Biroq, agar biz \(t = a\) ni o'z ichiga olgan oraliqda integratsiyalashgan bo'lsak, ularning haqiqat ekanligidan foydalanamiz.
Bu juda g'alati funktsiya. U bitta nuqtadan tashqari hamma joyda nolga teng va shu bilan birga bitta nuqtani o'z ichiga olgan har qanday intervalning integrali 1 ga teng. Dirac Delta funksiyasi biz o'ylagandek haqiqiy funktsiya emas. Buning o'rniga a deb nomlangan narsaning namunasi umumlashtirilgan funktsiya or tarqatish.
Ushbu "funktsiya" ning g'alatiligiga qaramay, u to'satdan zarbalarni yoki tizimga katta kuchlarni modellashtirishda juda yaxshi ish qiladi.
IVP ni hal qilishdan oldin bizga Dirac Delta funktsiyasini o'zgartirish kerak bo'ladi. Buni olish uchun yuqoridagi uchinchi xususiyatdan foydalanishimiz mumkin.
\[\mathcal{L}\left\{ {\delta \left( {t - a} \right)} \right\} = \int_{{\,0}}^{\infty }{{{{\bf{e}}^{ - s\,t}}\delta \left( {t - a} \right)\,dt}} = {{\bf{e}}^{ - a\,s}}\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}{\mbox{provided }}a > 0\]E'tibor bering, ko'pincha ikkinchi va uchinchi xususiyatlar cheksizlik va manfiy cheksizlik chegaralari bilan beriladi, lekin ular \(t = a\) intervalning ichki qismida joylashgan har qanday interval uchun amal qiladi.
Shu bilan biz endi Dirac Delta funktsiyasini o'z ichiga olgan IVPni hal qilishimiz mumkin.
Yechim
Oldingi barcha masalalarda bo'lgani kabi, biz birinchi navbatda differentsial tenglamadagi hamma narsani Laplas konvertatsiyasini olamiz va boshlang'ich shartlarni qo'llaymiz.
\[\begin{align*}{s^2}Y\left( s \right) - sy\left( 0 \right) - y'\left( 0 \right) + 2\left( {sY\left( s \right) - y\left( 0 \right)} \right) - 15Y\left( s \right) & = 6{{\bf{e}}^{ - 9s}}\\ \left( {{s^2} + 2s - 15} \right)Y\left( s \right) + 5s + 3 & = 6{{\bf{e}}^{ - 9s}}\end{align*}\]Endi \(Y(s)\) ni hal qiling.
\[\begin{align*}Y\left( s \right) & = \frac{{6{{\bf{e}}^{ - 9s}}}}{{\left( {s + 5} \right)\left( {s - 3} \right)}} - \frac{{5s + 3}}{{\left( {s + 5} \right)\left( {s - 3} \right)}}\\ & = 6{{\bf{e}}^{ - 9s}}F\left( s \right) - G\left( s \right)\end{align*}\]Qisman kasrlar va ularning teskari o'zgarishlarini tekshirishni sizga qoldiramiz:
\[\begin{align*}F\left( s \right) & = \frac{1}{{\left( {s + 5} \right)\left( {s - 3} \right)}} = \frac{{\frac{1}{8}}}{{s - 3}} - \frac{{\frac{1}{8}}}{{s + 5}}\\ f\left( t \right) & = \frac{1}{8}{{\bf{e}}^{3t}} - \frac{1}{8}{{\bf{e}}^{ - 5t}}\end{align*}\] \[\begin{align*}G\left( s \right) & = \frac{{5s + 3}}{{\left( {s + 5} \right)\left( {s - 3} \right)}} = \frac{{\frac{9}{4}}}{{s - 3}} + \frac{{\frac{{11}}{4}}}{{s + 5}}\\ g\left( t \right) & = \frac{9}{4}{{\bf{e}}^{3t}} + \frac{{11}}{4}{{\bf{e}}^{ - 5t}}\end{align*}\]Yechim shundan iboratki,
\[\begin{align*}Y\left( s \right) & = 6{{\bf{e}}^{ - 9s}}F\left( s \right) - G\left( s \right)\\ y\left( t \right) & = 6{u_9}\left( t \right)f\left( {t - 9} \right) - g\left( t \right)\end{align*}\]Bu erda \(f(t)\) va \(g(t)\) yuqorida aniqlangan.
Yechim
Differensial tenglamadagi hamma narsaning Laplas konvertatsiyasini oling va boshlang'ich shartlarni qo'llang.
\[\begin{align*}2\left( {{s^2}Y\left( s \right) - sy\left( 0 \right) - y'\left( 0 \right)} \right) + 10Y\left( s \right) & = \frac{{3{{\bf{e}}^{ - 12s}}}}{s} - 5{{\bf{e}}^{ - 4s}}\\ \left( {2{s^2} + 10} \right)Y\left( s \right) + 2s + 4 & = \frac{{3{{\bf{e}}^{ - 12s}}}}{s} - 5{{\bf{e}}^{ - 4s}}\end{align*}\]Endi \(Y(s)\) ni hal qiling.
\[\begin{align*}Y\left( s \right) & = \frac{{3{{\bf{e}}^{ - 12s}}}}{{s\left( {2{s^2} + 10} \right)}} - \frac{{5{{\bf{e}}^{ - 4s}}}}{{2{s^2} + 10}} - \frac{{2s + 4}}{{2{s^2} + 10}}\\ & = 3{{\bf{e}}^{ - 12s}}F\left( s \right) - 5{{\bf{e}}^{ - 4s}}G\left( s \right) - H\left( s \right)\end{align*}\]Biz birinchi funktsiyani qisman qismlarga ajratishimiz kerak. Qolgan ikkitasiga ozgina ishlash kerak bo'ladi va ular tayyor bo'ladi. Tafsilotlarni tekshirish uchun sizga qoldiraman.
\[\begin{align*}F\left( s \right) & = \frac{1}{{s\left( {2{s^2} + 10} \right)}} = \frac{1}{{10}}\frac{1}{s} - \frac{1}{{10}}\frac{s}{{{s^2} + 5}}\\ f\left( t \right) & = \frac{1}{{10}} - \frac{1}{{10}}\cos \left( {\sqrt 5 \,t} \right)\end{align*}\] \[g\left( t \right) = \frac{1}{{2\sqrt 5 }}\sin \left( {\sqrt 5 \,t} \right)\] \[h\left( t \right) = \cos \left( {\sqrt 5 \,t} \right) + \frac{2}{{\sqrt 5 }}\sin \left( {\sqrt 5 \,t} \right)\]Yechim shundan iboratki,
\[\begin{align*}Y\left( s \right) & = 3{{\bf{e}}^{ - 12s}}F\left( s \right) - 5{{\bf{e}}^{ - 4s}}G\left( s \right) - H\left( s \right)\\ y\left( t \right) & = 3{u_{12}}\left( t \right)f\left( {t - 12} \right) - 5{u_4}\left( t \right)g\left( {t - 4} \right) - h\left( t \right)\end{align*}\]Bu erda \(f(t)\), \(g(t)\) va \(h(t)\) yuqorida aniqlangan.
Shunday qilib, yangi funksiya bundan mustasno, ular shu paytgacha biz ko'rgan barcha muammolar ishlagandek ishlaydi. Shuni ham yodda tutingki, eksponensial konvertatsiyaga Dirac Delta funktsiyasi tomonidan kiritilgan, ammo transformatsiyada uning qayerdan kelganligi muhim emas. Boshqacha qilib aytganda, biz teskari o'zgarishlarga o'tganimizda, u Heaviside funktsiyasi sifatida chiqdi.
Keyingiga o'tishdan oldin, keling, tez sayohat qilaylik va biz Heaviside funktsiyasi va Dirac Delta funksiyasini bog'lashimiz mumkinligini ta'kidlaymiz. Quyidagi integraldan boshlang.
\[\int_{{\, - \infty }}^{t}{{\delta \left( {u - a} \right)\,du}} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}0&{\hspace{0.25in}{\mbox{if }}t < a}\\1&{\hspace{0.25in}{\mbox{if }}t > a}\end{array}} \right.\]Biroq, bu Heaviside funktsiyasining aniq ta'rifi. Shunday qilib,
\[\int_{{\, - \infty }}^{t}{{\delta \left( {u - a} \right)\,du}} = {u_a}\left( t \right)\]Endi, hisoblashning asosiy teoremasini eslab, biz quyidagilarni olamiz:
\[{u'_a}\left( t \right) = \frac{d}{{dt}}\left( {\int_{{\, - \infty }}^{t}{{\delta \left( {u - a} \right)\,du}}} \right) = \delta \left( {t - a} \right)\]Demak, Heaviside funktsiyasining hosilasi Dirac Delta funktsiyasidir.