7.2-bo'lim: Uch o'zgaruvchili chiziqli sistemalar
Bu juda qisqa bo'lim bo'ladi, chunki u haqiqatan ham oldingi bo'limdagi usullarni qanday olish va ulardan uchta tenglama va uchta o'zgaruvchiga ega chiziqli sistemani echishda foydalanishni ko'rsatish uchun bir nechta misollardan iborat bo'ladi.
Shunday qilib, keling, misol bilan boshlaylik.
Yechim
Biz \(x\), \(y\) va \(z\) qiymatlarini bir vaqtning o'zida barcha uchta tenglamani qanoatlantiradigan qiymatlarni topishga harakat qilamiz. Biz tenglamalardan biridagi o'zgaruvchilardan birini va boshqa tenglamadan ikkita o'zgaruvchini yo'q qilish uchun bartaraf etishdan foydalanamiz. Buning sababi biz buni amalga oshirganimizdan keyin aniq bo'ladi.
Bu holda yo'q qilish usuli ikkita tenglamaga qaraganda biroz boshqacha ishlaydi. Ikki tenglamada bo'lgani kabi, biz kerakli tenglamalarni ko'paytiramiz, shunda biz juft tenglamalarni qo'shishni boshlasak, o'zgaruvchilardan birini yo'q qilishimiz mumkin.
Bunday holda, agar biz ikkinchi tenglamani 2 ga ko'paytirsak, birinchi tenglamani ikkalasiga qo'shib, ikkinchi va uchinchi tenglamadan \(y\) atamasini olib tashlash juda oson bo'ladi. Shunday qilib, birinchi navbatda ikkinchi tenglamani ikkiga ko'paytiramiz.
\[\begin{align*} x-2y+3z & =7 & \underrightarrow{\text{same}}\hspace{0.1in} & & x-2y+3z & =7 \\ 2x+y+z & =4 & \underrightarrow{\times \,\,2}\hspace{0.1in} & & 4x+2y+2z & =8 \\ -3x+2y-2z & =-10 & \underrightarrow{\text{same}}\hspace{0.1in} & & -3x+2y-2z & =-10 \\ \end{align*}\]Endi bu yangi tizim yordamida ikkinchi tenglamani birinchi va ikkinchi tenglamalar yig‘indisi bilan almashtiramiz va uchinchi tenglamani birinchi va uchinchi tenglamalar yig‘indisi bilan almashtiramiz.
Bu erda hosil bo'lgan tenglamalar sistemasi.
\[\begin{align*}x - 2y + 3z & = 7\\ 5x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, + 5z & = 15\\ - 2x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, + z & = - 3\end{align*}\]Shunday qilib, biz ikkita tenglamadan o'zgaruvchilardan birini chiqarib tashladik. Endi biz \(x\) yoki \(z\) ni ikkinchi yoki uchinchi tenglamalardan chiqarib tashlashimiz kerak. Shunga qaramay, biz buni amalga oshirish uchun yo'q qilishdan foydalanamiz. Bu holda ushlab tenglamani -5 ga ko'paytiramiz, chunki bu tenglamani is ga qo'shish orqali \(z\) ni ushbu tenglamadan foydalanishga imkon beradi.
\[\begin{align*} x-2y+3z & =7 & \underrightarrow{\text{same}} \hspace{0.1in} & & x-2y+3z & =7 \\ 5x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,+5z & =15 & \underrightarrow{\text{same}} \hspace{0.1in} & & 5x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,+5z & =15 \\ -2x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,+z & =-3 & \underrightarrow{\times \,\,-5} \hspace{0.1in} & & 10x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,-5z & =15 \\ \end{align*}\]Endi uchinchi tenglamani ikkinchi va uchinchi tenglamalar yig'indisi bilan almashtiring.
\[\begin{align*}x - 2y + 3z & = 7\\ 5x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, + 5z & = 15\\ 15x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, & = 30\end{align*}\]Endi, shu nuqtada, uchinchi tenglamani tezda echish va \(x = 2\) ni topish mumkinligiga e'tibor bering. Buni bilganimizdan so'ng, biz buni ikkinchi tenglamaga qo'shamiz va bu bizga \(z\) uchun quyidagi tarzda yechishimiz mumkin bo'lgan tenglamani beradi.
\[\begin{align*}5\left( 2 \right) + 5z & = 15\\ 10 + 5z & = 15\\ 5z & = 5\\ z & = 1\end{align*}\]Nihoyat, biz \(x\) va \(z\) ni \(y\) uchun yechish uchun ishlatishimiz mumkin bo'lgan birinchi tenglamaga almashtirishimiz mumkin. Mana o'sha ish.
\[\begin{align*}2 - 2y + 3\left( 1 \right) & = 7\\ - 2y + 5 & = 7\\- 2y & = 2\\ y & = - 1\end{align*}\]Shunday qilib, bu tizimning yechimi \(x = 2\), \(y = - 1\) va \(z = 1\).
Bu adolatli ish va bu vaqtda o'z vaqtida ham kichik ish bor edi.
kompyuterda biz tizimlarni hal qilishning usulini ko'rib chiqamiz, bu asosiy misolda qilganimiz uchun stenografiya usulidir. Ushbu usuldan foydalangan holda ish ham chigal bo'ladi, lekin uni o'zlashtirganingizdan so'ng uni bajarish biroz osonroq bo'ladi.
Oldingi misolda biz o'zgaruvchilar uchun echishni boshlamagunimizcha yo'q qilish usulidan boshqaruvmiz va keyin qolgan noma'lum o'zgaruvchilarni topish uchun o'zgaruvchilarning ma'lum narxlarini oldingi tenglamalarga almashtiramiz.
Uchta tenglama va uchta o'zgaruvchiga ega bo'lgan har bir chiziqli sistema faqat yo'q qilish usulidan foydalanmaydi, uni boshqarish usuli qo'llagan misolni, hech bo'lmaganda qisman ko'rib chiqaylik.
Yechim
Yechish jarayonini boshidan oldin, tenglamada faqat ikkita o'zgaruvchi borligidan hayajonlanmang. Tizimda ikkitadan ortiq tenglama mavjud bo'lsa, bu juda keng tarqalgan hodisa.
Aslida, biz uning faqat ikkita o'zgaruvchiga ega bo'lamiz va ulardan biri, \(y\), -1 koeffitsientiga ega. Bu tenglama \(y\) uchun osonlik bilan echiladi,
\[y = 4x + 5\]
Keyin buni birinchi va tenglamaga rejalashtirishingiz mumkin:
\[\begin{align*}2x - 4\left( {4x + 5} \right) + 5z & = - 33\\- 2x + 2\left( {4x + 5} \right) - 3z & = 19\end{align*}\]Endi, agar siz o'ylab ko'rsangiz, bu ikkita o'zgaruvchiga ega bo'lgan ikkita chiziqli tenglamalar sistemasi (\(x\) va \(z\)) va biz keyingi bo'limdagi ishimizdan bu tur tizimlarni qanday hal qilamiz.
chiqarish, bizni biroz soddalashtirishimiz kerak.
\[\begin{array}{*{20}{c}}{2x - 16x - 20 + 5z = - 33}\\{ - 2x + 8x + 10 - 3z = 19}\end{array}\hspace{0.25in} \to \hspace{0.25in}\begin{array}{*{20}{c}}{ - 14x + 5z = - 13}\\{6x - 3z = 9}\end{array}\]Soddalashtirilgan versiya boshqa bo'limda biz hal qilingan tizimlar kabi ko'rinadi. Xo'sh, bu qanday bir xil. Bu safar o'zgaruvchilar \(x\) va \(y\) o'rniga \(x\) va \(z\), lekin bu aslida farq emas. Buni hal qilish ishi bir xil bo'ladi.
Ikki chiziqli tenglamaning yangi yoki yechish uchun usuli yo'q qilish usulidan borishimiz mumkin.
Agar biz usulidan foydalanishmoqchi bo'lsak, \(z\) uchun tenglamani osonlikcha yechishimiz mumkin (\(z\) uchun eng tenglamani yechish oson tushundingizmi, to'g'rimi?) va uni birinchilamaga qo'yamiz. Bu bizga \(x\) ni topishga imkon beradi va keyin biz \(z\) va \(y\) ni topishimiz mumkin edi.
Ammo ta' olish kerakki, biz uchta chiziqli tenglamalar shuni echishda ko'pincha ikkala usuldan ham foydalanamiz. Biz faqat birinchi tenglamani 3 ga, uni 5 ga ko'paytirishimiz kerak bo'ladi.
\[\begin{align*} -14x+5z & =-13 & \underrightarrow{\times \,\,3}\hspace{0.5in} & -42x+15z=-39 \\ 6x-3z & =9 & \underrightarrow{\times \,\,5}\hspace{0.5in} & \underline{\hspace{0.25in}30x-15z=45} \\ & & & \hspace{0.5in} -12x=6 \\ \end{align*}\]Endi biz MATHOCK43X ni olish uchun \(x\) ni olish hal qilishimiz mumkin. Ikkinchi tenglamadagi koeffitsientlar kichikroq, shuning uchun keling, buni tenglamaga kiritamiz va \(z\) ni hal qilamiz. Mana o'sha ish.
\[\begin{align*}6\left( { - \frac{1}{2}} \right) - 3z & = 9\\ - 3 - 3z & = 9\\ - 3z & = 12\\ z & = - 4\end{align*}\]
Nihoyat, biz \(y\) narsani aniqlashimiz kerak. Buni qilish juda oson. rivojlanish o'tamiz, birinchi bosqichda bizdan boshqarmiz va bu bosqichda biz harakat tenglamadan olib boramiz.
\[y = 4x + 5\]
Biz \(x\) manbasini bilganimiz uchun biz qilishimiz kerak bo'lgan narsa uni ushbu tenglamaga tekshirish va \(y\) aniqlashni olishdir.
\[y = 4\left( { - \frac{1}{2}} \right) + 5 = 3\]
E'tibor bering, biz birinchi o'rinda turadigan yo'nalishni ishlatgan ko'p saqlab, bu bosqichda siz qiladigan tenglama \(x\) va \(z\) ni o'z ichiga oladi va shuning uchun uni o'zgaruvchini olish uchun har qanday harorat ham kerak bo'ladi.
OK, bu misolni yakunlash uchun bu erdaK yechim mavjud: MATHBLOC51X, \(y = 3\) va \(z = - 4\).
Yuqoridagi ikkita misolda ko'rganimizdek, uchta o'zgaruvchiga ega bo'lgan uchta chiziqli tenglamalar mavjud. Har doim shunday bo'ladi. Bularni hal qilishning yagona to'g'ri yo'li yo'q. qilish, ko'pincha ushbu qurilmalarni hal qilishda sozlash mumkin bo'lgan ba'zi tartibsizliklardan ushlab turish yo'l borligini aytdi. Shu bilan bog'liq muammolar bilan ishlaganingizdan so'ng, ba'zi tartibsizliklardan qochadi (umid qilamanki) yechim jarayoni orqali "yaxshi" yo'lni his boshlaysiz.
Bunday vaziyatlarni talqin qilish ba'zi ma'nolarda biroz qiyinroq. Yuqoridagi misollardagi bu tenglamalarning barchasi uch o'lchovli fazodagi tekisliklar tenglamalari va yuqoridagi misollardagi bu tizimlarning echimi bitta tekislik umumiy bo'lgan nuqtadir.
Shuni ham yodda tutingki, bu tizimlar uchun hech qanday yechim yoki cheksiz ko'p chiqishlar bo'lishi mumkin emas, chunki biz oldingi bo'limda ikkita tenglama tizimi bilan ko'rganmiz. barqarorni yo'lga qo'yganimizdan keyin biz bu ishlarni ko'rib chiqamiz.