2.8-bo'lim: Infinity chegaralari, II qism
Oldingida biz ko'phadlarning cheksizligi chegaralarini va/yoki ko'phadlar ishtirokidagi ratsional ifodani ko'rib chiqdik. Ushbu bo'limda biz ko'pincha cheksiz limitlarda namoyon bo'ladigan boshqa turdagi funktsiyalarni ko'rib chiqmoqchimiz. Bu erda biz ko'rib chiqadigan funktsiyalar ko'rsatkichlar, tabiiy logarifmalar va teskari tangenslardir.
Keling, eksponensial funktsiyalarni o'z ichiga olgan juda oddiy misollarni ko'rib chiqishdan boshlaylik.
Yechim
Haqiqatan ham faktlarning qayta ko'rib chiqilishi mavjud asosiy eksponensial qism ko'rib chiqish haqida, shuning uchun orqaga qaytib, ularni tekshirishni sizga qoldiramiz.
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {{\bf{e}}^x} = \infty \hspace{0.5in}\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{\bf{e}}^x} = 0\hspace{0.5in}\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {{\bf{e}}^{ - x}} = 0\hspace{0.5in}\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{\bf{e}}^{ - x}} = \infty \]Ushbu misolning asosiy nuqtasi shuni ta'kidlash ediki, agar ko'rsatkichning ko'rsatkichi chegarada cheksizlikka ketsa, ko'rsatkichli funktsiya ham chegarada cheksizlikka boradi. Xuddi shunday, agar ko'rsatkich chegarada minus cheksizlikka ketsa, eksponent limitda nolga tushadi.
Shuni ham yodda tutingki, oxirgi bo'limda chegara qiymati biz ortiqcha yoki minus cheksizlikka o'tganimizga bog'liq emas edi. Yuqoridagi misolda biz cheksizlik belgisini o'zgartirish javobni o'zgartirishi mumkinligini ko'rib chiqdik, shuning uchun oxirgi bo'limdagi ishda qilgan har qanday taxminlarga berilib qolmang!
Mana bu g'oyalarni tasvirlash uchun qisqacha misollar to'plami.
- \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {{\bf{e}}^{2 - 4x - 8{x^2}}}\)
- \(\mathop {\lim }\limits_{t \to - \infty } {{\bf{e}}^{{t^4} - 5{t^2} + 1}}\)
- \(\mathop {\lim }\limits_{z \to {0^ + }} {{\bf{e}}^{\frac{1}{z}}}\)
a \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {{\bf{e}}^{2 - 4x - 8{x^2}}}\) Yechim
Ushbu qismda biz e'tiborga olishimiz kerak bo'lgan narsa (yuqoridagi 2-faktdan foydalangan holda) eksponensialning ko'rsatkichi chegarada quyidagilarni bajaradi:
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left( {2 - 4x - 8{x^2}} \right) = - \infty \]Shunday qilib, ko'rsatkich chegarada minus cheksizlikka boradi va shuning uchun oldingi misollar to'plamidagi fikrlardan foydalangan holda eksponensial chegarada nolga borishi kerak. Demak, javob bu erda,
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {{\bf{e}}^{2 - 4x - 8{x^2}}} = 0\]b \(\mathop {\lim }\limits_{t \to - \infty } {{\bf{e}}^{{t^4} - 5{t^2} + 1}}\) Yechim
Avval shuni ta'kidlaymizki,
\[\mathop {\lim }\limits_{t \to - \infty } \left( {{t^4} - 5{t^2} + 1} \right) = \infty \]Eksponent chegarada cheksizlikka boradi va shuning uchun eksponent ham chegarada cheksizlikka borishi kerak bo'ladi. Yoki,
\[\mathop {\lim }\limits_{t \to - \infty } {{\bf{e}}^{{t^4} - 5{t^2} + 1}} = \infty \]c \(\mathop {\lim }\limits_{z \to {0^ + }} {{\bf{e}}^{\frac{1}{z}}}\) Yechim
Tashqi tomondan, bu qism bu bo'limga tegishli emas, chunki u cheksizlikda chegara emas. Biroq, bu biz ushbu misollar to'plamida ko'rib chiqayotgan g'oyalarga mos keladi.
Shunday qilib, avvalo shuni ta'kidlaymizki, oldingi bo'limdagi g'oyadan foydalangan holda,
\[\mathop {\lim }\limits_{z \to {0^ + }} \frac{1}{z} = \infty \]Esda tutingki, bu cheklovni bajarish uchun biz o'ng qo'l chegarasini bajarishimiz kerak.
Demak, eksponent chegarada cheksizlikka boradi va shuning uchun eksponent ham cheksizlikka borishi kerak.
Mana bu qismga javob.
\[\mathop {\lim }\limits_{z \to {0^ + }} {{\bf{e}}^{\frac{1}{z}}} = \infty \]Keling, eksponensiallarni o'z ichiga olgan murakkabroq misollarni ko'rib chiqaylik. Quyidagi misollar to'plamida ko'rsatkichlar murakkabroq emas, balki bir nechta eksponensial funktsiyalar bilan shug'ullanish kerak.
- \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left( {{{\bf{e}}^{10x}} - 4{{\bf{e}}^{6x}} + 3{{\bf{e}}^x} + 2{{\bf{e}}^{ - 2x}} - 9{{\bf{e}}^{ - 15x}}} \right)\)
- \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {{{\bf{e}}^{10x}} - 4{{\bf{e}}^{6x}} + 3{{\bf{e}}^x} + 2{{\bf{e}}^{ - 2x}} - 9{{\bf{e}}^{ - 15x}}} \right)\)
Shunday qilib, bu ikki chegara o'rtasidagi yagona farq shundaki, birinchisida biz ortiqcha cheksizlikka o'tishda chegarani olamiz, ikkinchisida esa minus cheksizlikka o'tamiz. Shu paytgacha biz birinchi chegaradan ikkinchi chegaraning kamida bir qismida ishni “qayta ishlatish”ga muvaffaq bo'ldik. Ko'pincha bunday bo'lmaydigan eksponentlar bilan biz ularning har birini alohida muammolar sifatida ko'rib chiqamiz.
a \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left( {{{\bf{e}}^{10x}} - 4{{\bf{e}}^{6x}} + 3{{\bf{e}}^x} + 2{{\bf{e}}^{ - 2x}} - 9{{\bf{e}}^{ - 15x}}} \right)\) Yechim
Keling, har bir qismning chegarasini olishdan boshlaylik va biz nimaga erishganimizni ko'ramiz.
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left( {{{\bf{e}}^{10x}} - 4{{\bf{e}}^{6x}} + 3{{\bf{e}}^x} + 2{{\bf{e}}^{ - 2x}} - 9{{\bf{e}}^{ - 15x}}} \right) = \infty - \infty + \infty + 0 - 0\]Oxirgi ikkita atama hech qanday muammo emas (ular keyingi qismda bo'ladi; buni ko'ryapsizmi?). Birinchi uchtasi muammodir, chunki ular bizga boshqa noaniq shaklni taqdim etadi.
Polinomlar bilan ishlashda biz undagi eng katta ko'rsatkichga ega bo'lgan atamani ajratdik. Keling, bu erda ham xuddi shunday qilaylik. Biroq, biz endi ijobiy va salbiy ko'rsatkichlar bilan shug'ullanishimiz kerak va "eng katta" ko'rsatkich deganda nimani nazarda tutamiz. Bular bilan shug'ullanayotganda, biz muammolarni keltirib chiqaradigan atamalarni ko'rib chiqamiz va "bu atamalarda eng katta ko'rsatkich nima?" Deb so'raymiz. Shunday qilib, faqat birinchi uchta atama bizga muammo tug'diradi (i.e. ularning barchasi chegarada cheksizlikka baho beradi) biz faqat shularni ko'rib chiqamiz.
Shunday qilib, 10\(x\) uchta ko'rsatkichning eng kattasi bo'lganligi sababli, biz \({{\bf{e}}^{10x}}\) ni hamma narsadan "faktor" qilamiz. Xuddi polinomlarda bo'lgani kabi, biz faktoringni, mohiyatiga ko'ra, har bir atamani \({{\bf{e}}^{10x}}\) ga bo'lish orqali qilamiz va bo'linishni soddalashtirish uchun ko'rsatkichlarni ayirish kerakligini yodda tutamiz. Masalan, oxirgi atamani ko'rib chiqaylik,
\[\frac{{ - 9{{\bf{e}}^{ - 15x}}}}{{{{\bf{e}}^{10x}}}} = - 9{{\bf{e}}^{ - 15x - 10x}} = - 9{{\bf{e}}^{ - 25x}}\]Barcha shartlar bo'yicha faktoring qilish, keyin beradi,
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left( {{{\bf{e}}^{10x}} - 4{{\bf{e}}^{6x}} + 3{{\bf{e}}^x} + 2{{\bf{e}}^{ - 2x}} - 9{{\bf{e}}^{ - 15x}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left[ {{{\bf{e}}^{10x}}\left( {1 - 4{{\bf{e}}^{ - 4x}} + 3{{\bf{e}}^{ - 9x}} + 2{{\bf{e}}^{ - 12x}} - 9{{\bf{e}}^{ - 25x}}} \right)} \right]\]E'tibor bering, bu faktoringni amalga oshirishda qolgan barcha ko'rsatkichlar endi manfiy ko'rsatkichlarga ega va biz bu chegara uchun (i.e. ijobiy cheksizlikka chiqish) bularning barchasi chegarada nolga teng bo'ladi va shuning uchun endi muammo tug'dirmaydi.
Endi biz ikkita omil chegarasini olishimiz mumkin. Birinchisi aniq cheksizlik, ikkinchisi aniq chekli son (bu holda bitta) va shuning uchun Faktlar Cheksiz limitlar bo'limi bizga quyidagi chegarani beradi,
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left( {{{\bf{e}}^{10x}} - 4{{\bf{e}}^{6x}} + 3{{\bf{e}}^x} + 2{{\bf{e}}^{ - 2x}} - 9{{\bf{e}}^{ - 15x}}} \right) = \infty \]Bu erda ishni biroz soddalashtirish uchun biz \({{\bf{e}}^{10x}}\) ni “muammo” atamalaridan (bu holda birinchi uchtasi) quyidagi tarzda hisobga olishimiz kerak edi,
\[\begin{align*}\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left( {{{\bf{e}}^{10x}} - 4{{\bf{e}}^{6x}} + 3{{\bf{e}}^x}} \right) & = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left[ {{{\bf{e}}^{10x}}\left( {1 - 4{{\bf{e}}^{ - 4x}} + 3{{\bf{e}}^{ - 9x}}} \right) + 2{{\bf{e}}^{ - 2x}} - 9{{\bf{e}}^{ - 15x}}} \right]\\ & = \left( \infty \right)\left( 1 \right) + 0 - 0\\ & = \infty \end{align*}\]Faktoringni amalga oshirish amaliyoti va oxirida qo'shimcha shartlarga ega bo'lish bilan bog'liq muammolarga yo'l qo'ymaslik uchun biz \({{\bf{e}}^{10x}}\) ni barcha shartlardan ajratib oldik. E'tibor bering, biz yozganimizda \(\left( \infty \right)\left( 1 \right)\) birinchi muddat chegarasi uchun biz haqiqatan ham foydalanamiz Faktlar cheksiz chegara bo'limidan ushbu chegarani bajaring.
b \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {{{\bf{e}}^{10x}} - 4{{\bf{e}}^{6x}} + 3{{\bf{e}}^x} + 2{{\bf{e}}^{ - 2x}} - 9{{\bf{e}}^{ - 15x}}} \right)\) Yechim
Keling, buni birinchi qismga o'xshash tarzda boshlaylik. Keling, har bir qismning chegarasini olaylik. Bu safar shuni yodda tutingki, bizning chegaramiz manfiy cheksizlikka o'tayotganligi sababli dastlabki uchta eksponensial nolga tushadi (chunki ularning ko'rsatkichlari chegarada minus cheksizlikka boradi). Oxirgi ikkita eksponensial chegarada cheksizlikka boradi (chunki ularning ko'rsatkichlari chegaradagi ortiqcha cheksizlikka boradi).
Cheklovlarni qabul qilish,
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {{{\bf{e}}^{10x}} - 4{{\bf{e}}^{6x}} + 3{{\bf{e}}^x} + 2{{\bf{e}}^{ - 2x}} - 9{{\bf{e}}^{ - 15x}}} \right) = 0 - 0 + 0 + \infty - \infty \]Shunday qilib, oxirgi ikki atama bu erda muammodir, chunki ular yana bir bor bizni noaniq shaklda qoldiradilar. Birinchi misolda bo'lgani kabi, biz oxirgi ikki atamadagi "eng katta" ko'rsatkichni hisobga olamiz. Biroq, bu safar "eng katta" ikkita raqamning kattasiga ishora qilmaydi (-2 -15 dan katta). Buning o'rniga biz noldan uzoqroq bo'lgan ko'rsatkichga murojaat qilish uchun "eng katta" dan foydalanamiz. Ushbu "eng katta" ta'rifidan foydalanish biz \({{\bf{e}}^{ - 15x}}\) ni hisobga olishimizni anglatadi.
Yana shuni yodda tutingki, buni hisobga olish uchun biz har bir atamani \({{\bf{e}}^{ - 15x}}\) ga bo'lish va keyin ko'rsatkichlarni ayirishdir. Misol sifatida birinchi davr uchun ish,
\[\frac{{{{\bf{e}}^{10x}}}}{{{{\bf{e}}^{ - 15x}}}} = {{\bf{e}}^{10x - \left( { - 15x} \right)}} = {{\bf{e}}^{25x}}\]Birinchi qismda bo'lgani kabi, biz uni faqat "muammo" atamalaridan ajratib olishimiz mumkin (i.e. oxirgi ikki shart) yoki barcha shartlar. Amaliyot uchun biz uni barcha shartlardan ajratib olamiz. Mana bu limit uchun faktoring ishi,
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {{{\bf{e}}^{10x}} - 4{{\bf{e}}^{6x}} + 3{{\bf{e}}^x} + 2{{\bf{e}}^{ - 2x}} - 9{{\bf{e}}^{ - 15x}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {{{\bf{e}}^{ - 15x}}\left( {{{\bf{e}}^{25x}} - 4{{\bf{e}}^{21x}} + 3{{\bf{e}}^{16x}} + 2{{\bf{e}}^{13x}} - 9} \right)} \right]\]Nihoyat, ikkita atamaning chegarasini olgandan so'ng (birinchisi - cheksizlik, ikkinchisi - manfiy, cheklangan son) va eslab qoling. Faktlar Cheksiz chegara bo'limidan biz chegara ekanligini ko'ramiz,
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {{{\bf{e}}^{10x}} - 4{{\bf{e}}^{6x}} + 3{{\bf{e}}^x} + 2{{\bf{e}}^{ - 2x}} - 9{{\bf{e}}^{ - 15x}}} \right) = - \infty \]Shunday qilib, ko'rsatkichli funktsiyalarning yig'indisi va/yoki farqlari bilan ishlashda biz "eng katta" ko'rsatkichli eksponentni qidiramiz va bu erda "eng katta" noldan eng uzoqdagi ko'rsatkichni bildirishini yodda tutamiz. Shuni ham yodda tutingki, agar biz ortiqcha cheksizlik chegarasini ko'rib chiqsak, faqat ijobiy ko'rsatkichli ko'rsatkichlar muammoga olib keladi, shuning uchun biz eng katta ko'rsatkichni aniqlashda ko'rib chiqiladigan yagona shartlardir. Xuddi shunday, agar biz minus cheksizlikda chegarani ko'rib chiqsak, u holda faqat manfiy ko'rsatkichli eksponentlar muammo tug'diradi va shuning uchun eng katta ko'rsatkichni aniqlashda faqat ular ko'rib chiqiladi.
Nihoyat, oldingi misoldan taxmin qilganingizdek, ko'rsatkichlar yig'indisi va/yoki farqi bilan ishlashda biz qilishimiz kerak bo'lgan yagona narsa butun ifodaning harakatini aniqlash uchun eng katta ko'rsatkichga qarashdir. Yana shuni esda tutingki, agar chegara ortiqcha cheksizlikda bo'lsa, biz faqat ijobiy ko'rsatkichli ko'rsatkichlarga qaraymiz va agar biz minus cheksizlikda chegarani ko'rib chiqsak, biz faqat manfiy ko'rsatkichli eksponensiallarga qaraymiz.
Keling, eksponensiallarni o'z ichiga olgan ba'zi ratsional funktsiyalarni ko'rib chiqaylik.
- \(\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{6{{\bf{e}}^{4x}} - {{\bf{e}}^{ - 2x}}}}{{8{{\bf{e}}^{4x}} - {{\bf{e}}^{2x}} + 3{{\bf{e}}^{ - x}}}}\)
- \(\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{6{{\bf{e}}^{4x}} - {{\bf{e}}^{ - 2x}}}}{{8{{\bf{e}}^{4x}} - {{\bf{e}}^{2x}} + 3{{\bf{e}}^{ - x}}}}\)
- \(\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{t \to - \infty } \frac{{{{\bf{e}}^{6t}} - 4{{\bf{e}}^{ - 6t}}}}{{2{{\bf{e}}^{3t}} - 5{{\bf{e}}^{ - 9t}} + {{\bf{e}}^{ - 3t}}}}\)
Oldingi misolda bo'lgani kabi, birinchi ikki qism o'rtasidagi yagona farq shundaki, chegaralardan biri plyus cheksizlikka, ikkinchisi esa minus cheksizlikka o'tadi va xuddi oldingi misolda bo'lgani kabi, har birida boshqacha ishlash kerak bo'ladi.
a \(\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{6{{\bf{e}}^{4x}} - {{\bf{e}}^{ - 2x}}}}{{8{{\bf{e}}^{4x}} - {{\bf{e}}^{2x}} + 3{{\bf{e}}^{ - x}}}}\) Yechim
Ushbu muammoni hal qilishda asosiy tushuncha oldingi bo'limdagi ratsional ifodalar bilan bir xil. Biz maxrajga qaraymiz va eksponensial funktsiyani "eng katta" ko'rsatkich bilan aniqlaymiz, keyin biz son va maxrajdan ajratamiz. Biz "eng katta" ko'rsatkichni aniqlash uchun oldingi misol bilan bir xil fikrlashdan foydalanamiz. Cheklovni ortiqcha cheksizlikda ko'rib chiqsak, biz faqat ijobiy ko'rsatkichli eksponensiallarga qaraymiz.
Shunday qilib, biz \({{\bf{e}}^{4x}}\) ni surat va maxrajdan ajratib olamiz. Bu bajarilgandan so'ng biz \({{\bf{e}}^{4x}}\) ni bekor qilishimiz va qolgan shartlar chegarasini olishimiz mumkin. Mana bu chegara uchun ish,
\[\begin{align*}\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{6{{\bf{e}}^{4x}} - {{\bf{e}}^{ - 2x}}}}{{8{{\bf{e}}^{4x}} - {{\bf{e}}^{2x}} + 3{{\bf{e}}^{ - x}}}} & = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{{{\bf{e}}^{4x}}\left( {6 - {{\bf{e}}^{ - 6x}}} \right)}}{{{{\bf{e}}^{4x}}\left( {8 - {{\bf{e}}^{ - 2x}} + 3{{\bf{e}}^{ - 5x}}} \right)}}\\ & = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{6 - {{\bf{e}}^{ - 6x}}}}{{8 - {{\bf{e}}^{ - 2x}} + 3{{\bf{e}}^{ - 5x}}}}\\ & = \frac{{6 - 0}}{{8 - 0 + 0}}\\ & = \frac{3}{4}\end{align*}\]b \(\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{6{{\bf{e}}^{4x}} - {{\bf{e}}^{ - 2x}}}}{{8{{\bf{e}}^{4x}} - {{\bf{e}}^{2x}} + 3{{\bf{e}}^{ - x}}}}\) Yechim
Bu holda biz chegarada minus cheksizlikka boramiz va shuning uchun "eng katta" ko'rsatkichni aniqlashda manfiy ko'rsatkichlar bilan maxrajdagi eksponensiallarni ko'rib chiqamiz. Ammo bu muammoda faqat bittasi bor, shuning uchun biz foydalanamiz.
Shunga qaramay, faqat maxrajga qarashni unutmang. Numeratordagi eksponensialdan foydalanmang, garchi u maxrajdagi eksponensialdan "kattaroq" bo'lsa ham. Numeratorda nima sodir bo'lishidan qat'i nazar, biz har doim faqat maxrajga qaraymiz.
Mana bu qism uchun ish.
\[\begin{align*}\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{6{{\bf{e}}^{4x}} - {{\bf{e}}^{ - 2x}}}}{{8{{\bf{e}}^{4x}} - {{\bf{e}}^{2x}} + 3{{\bf{e}}^{ - x}}}} & = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{{{\bf{e}}^{ - x}}\left( {6{{\bf{e}}^{5x}} - {{\bf{e}}^{ - x}}} \right)}}{{{{\bf{e}}^{ - x}}\left( {8{{\bf{e}}^{5x}} - {{\bf{e}}^{3x}} + 3} \right)}}\\ & = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{6{{\bf{e}}^{5x}} - {{\bf{e}}^{ - x}}}}{{8{{\bf{e}}^{5x}} - {{\bf{e}}^{3x}} + 3}}\\ & = \frac{{0 - \infty }}{{0 - 0 + 3}}\\ & = - \infty \end{align*}\]c \(\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{t \to - \infty } \frac{{{{\bf{e}}^{6t}} - 4{{\bf{e}}^{ - 6t}}}}{{2{{\bf{e}}^{3t}} - 5{{\bf{e}}^{ - 9t}} + {{\bf{e}}^{ - 3t}}}}\) Yechim
Biz bu qismdagi ishni kamroq tafsilotlar bilan bajaramiz.
\[\begin{align*}\mathop {\lim }\limits_{t \to - \infty } \frac{{{{\bf{e}}^{6t}} - 4{{\bf{e}}^{ - 6t}}}}{{2{{\bf{e}}^{3t}} - 5{{\bf{e}}^{ - 9t}} + {{\bf{e}}^{ - 3t}}}} & = \mathop {\lim }\limits_{t \to - \infty } \frac{{{{\bf{e}}^{ - 9t}}\left( {{{\bf{e}}^{15t}} - 4{{\bf{e}}^{3t}}} \right)}}{{{{\bf{e}}^{ - 9t}}\left( {2{{\bf{e}}^{12t}} - 5 + {{\bf{e}}^{6t}}} \right)}}\\ & = \mathop {\lim }\limits_{t \to - \infty } \frac{{{{\bf{e}}^{15t}} - 4{{\bf{e}}^{3t}}}}{{2{{\bf{e}}^{12t}} - 5 + {{\bf{e}}^{6t}}}}\\ & = \frac{{0 - 0}}{{0 - 5 + 0}}\\ & = 0\end{align*}\]Keyin, keling, logarifmlarni o'z ichiga olgan ba'zi asosiy chegaralarni ko'rib chiqaylik.
Yechim
Oxirgi misolda bo'lgani kabi, men ushbu qayta bayonotlarni tekshirishni sizga qoldiraman asosiy logarifm bo'limi.
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \ln x = - \infty \hspace{0.5in}\hspace{0.25in}\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \ln x = \infty \]E'tibor bering, biz birinchisi uchun o'ng qo'l chegarasini bajarishimiz kerak edi, chunki biz manfiy \(x\)-ni logarifmaga ulay olmaymiz. Bu shuni anglatadiki, normal chegara mavjud bo'lmaydi, chunki biz \(x\)-ga ikkala tomondan qarashimiz kerak va \(x\)-ning noldan chap tomonida salbiy.
Oldingi misoldan shuni ko'rishimiz mumkinki, agar jurnalning argumenti (biz jurnalni olayotgan narsa) o'ngdan nolga tushsa (i.e. har doim ijobiy) u holda log chegarada manfiy cheksizlikka o'tadi, agar argument cheksizlikka o'tsa, log ham chegarada cheksizlikka o'tadi.
Shuni ham yodda tutingki, biz logarifma chegarasiga qaray olmaymiz, chunki \(x\) minus cheksizlikka yaqinlashadi, chunki biz logarifmaga manfiy raqamlarni kirita olmaymiz.
Keling, ba'zi logarifm misollarini ko'rib chiqaylik.
- \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \ln \left( {7{x^3} - {x^2} + 1} \right)\)
- \(\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{t \to - \infty } \ln \left( {\frac{1}{{{t^2} - 5t}}} \right)\)
a \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \ln \left( {7{x^3} - {x^2} + 1} \right)\) Yechim
Shunday qilib, keling, avval jurnalning argumenti nima qilayotganini ko'rib chiqaylik,
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left( {7{x^3} - {x^2} + 1} \right) = \infty \]Jurnalning argumenti cheksizlikka boradi va shuning uchun jurnal ham chegarada cheksizlikka borishi kerak. Bu qismga javob shunday bo'ladi:
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \ln \left( {7{x^3} - {x^2} + 1} \right) = \infty \]b \(\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{t \to - \infty } \ln \left( {\frac{1}{{{t^2} - 5t}}} \right)\) Yechim
Birinchidan, shuni yodda tutingki, bu erda manfiy cheksizlikka o'tish chegarasi manfiy raqamlarni logarifmaga kirita olmasligimizni (majburiy) buzmaydi. Haqiqiy masala, jurnalning argumenti salbiy bo'ladimi yoki yo'qmi.
Ushbu bo'limda oldingi usullardan foydalangan holda biz buni ko'rishimiz mumkin,
\[\mathop {\lim }\limits_{t \to - \infty } \frac{1}{{{t^2} - 5t}} = 0\]Shuni ham ta'kidlab o'tamizki, manfiy sonlar uchun (biz bu chegarada minus cheksizlikka boramiz deb taxmin qilishimiz mumkin) maxraj har doim ijobiy bo'ladi va shuning uchun qism ham har doim ijobiy bo'ladi. Shuning uchun, argument nafaqat nolga, balki o'ngdan nolga o'tadi. Aynan shu chegarani qilishimiz kerak.
Demak, javob bu erda,
\[\mathop {\lim }\limits_{t \to - \infty } \ln \left( {\frac{1}{{{t^2} - 5t}}} \right) = - \infty \]Misollarning yakuniy to'plami sifatida teskari tangenslarni o'z ichiga olgan ba'zi chegaralarni ko'rib chiqaylik.
- \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {\tan ^{ - 1}}x\)
- \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {\tan ^{ - 1}}x\)
- \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {\tan ^{ - 1}}\left( {{x^3} - 5x + 6} \right)\)
- \(\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} {\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{1}{x}} \right)\)
Bu erdagi dastlabki ikki qism, aslida, teskari tangenslarni o'z ichiga olgan asosiy chegaralardir va ularni quyidagi teskari tangenslar eskizini ko'rib chiqish orqali osongina topish mumkin. Qolgan ikkita qism ko'proq ishtirok etadi, ammo eksponensial va logarifm chegaralarida bo'lgani kabi, biz ko'rib turganimizdek, faqat dastlabki ikki qismga murojaat qiling.
a \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {\tan ^{ - 1}}x\) Yechim
Yuqorida ta'kidlab o'tilganidek, bu erda biz qilishimiz kerak bo'lgan narsa - teskari tangensning grafigiga qarash. Buni qilish bizga chegaraning quyidagi qiymatiga ega ekanligini ko'rsatadi.
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {\tan ^{ - 1}}x = \frac{\pi }{2}\]b \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {\tan ^{ - 1}}x\) Yechim
Shunga qaramay, bu erda teskari tangensning grafigini o'rganishdan boshqa narsa qilish kerak emas.
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {\tan ^{ - 1}}x = - \frac{\pi }{2}\]c \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {\tan ^{ - 1}}\left( {{x^3} - 5x + 6} \right)\) Yechim
Xo'sh, yuqoridagi (a) qismida biz teskari tangens funktsiyaning argumenti (qavs ichidagi narsalar) ortiqcha cheksizlikka ketsa, biz chegara qiymatini bilamiz. Bunday holda (oldingi bo'limdagi usullardan foydalangan holda) bizda,
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {x^3} - 5x + 6 = \infty \]Demak, bu chegara,
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {\tan ^{ - 1}}\left( {{x^3} - 5x + 6} \right) = \frac{\pi }{2}\]d \(\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} {\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{1}{x}} \right)\) Yechim
Garchi bu chegara cheksizlik chegarasi bo'lmasa ham, biz bu erda hamon bir xil asosiy fikrni ko'rib chiqamiz. Ushbu chegara uchun qo'llanma sifatida yuqoridagi (b) qismidan foydalanamiz. dan bilamiz Cheksiz limitlar Ushbu teskari tangensning argumenti uchun quyidagi chegaraga ega bo'lgan bo'lim,
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{1}{x} = - \infty \]Demak, argument chegarada minus cheksizlikka ketganligi sababli, biz bu chegara bo'lishi kerakligini bilamiz,
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} {\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{1}{x}} \right) = - \frac{\pi }{2}\]Ushbu turdagi chegaraning aniq va matematik ta'rifini ko'rish uchun qarang Limitning ta'rifi ushbu bobning oxiridagi bo'lim.