4.14-bo'lim: Biznes ilovalari
Ushbu bobning yakuniy qismida keling, biznes olamidagi derivativlarning ba'zi qo'llanilishini ko'rib chiqaylik. Ko'pincha bu biz allaqachon ko'rib chiqqan ilovalar, ammo endi ularga biznes dunyosiga qarash bilan murojaat qilish kerak.
Keling, bir nechta optimallashtirish muammolaridan boshlaylik. Biz avvalgi bo'limlarda ularning bir nechtasini ko'rib chiqdik, shuning uchun bu erda haqiqatan ham yangi narsa yo'q, bundan tashqari ular biznes olamidan chiqmoqda.
Maksimal foyda olish uchun ular qancha kvartirani ijaraga olishlari kerak?
Yechim
Bu erda bizdan so'ralayotgan narsa - \(x\) \(0 \le x \le 250\) oralig'ida bo'lishi kerak bo'lgan cheklovga rioya qilgan holda foydani maksimal darajada oshirish.
Birinchidan, bizga \(0 \le x \le 250\) diapazoniga kiruvchi lotin va kritik nuqta(lar) kerak bo'ladi.
\[P'\left( x \right) = - 16x + 3200\hspace{0.5in} \Rightarrow \hspace{0.25in} 3200 - 16x = 0\hspace{0.25in}, \Rightarrow \hspace{0.25in} x = \frac{{3200}}{{16}} = 200\]Daromad funksiyasi uzluksiz va bizda chekli chegaralari bo'lgan interval mavjud bo'lganligi sababli, bizda mavjud bo'lgan yagona muhim nuqtani (bu maqbul javoblar oralig'ida etarlicha yaxshi) va diapazonning oxirgi nuqtalarini ulash orqali maksimal qiymatni topishimiz mumkin.
\[P\left( 0 \right) = - 80,000\hspace{0.5in}P\left( {200} \right) = 240,000\hspace{0.5in}P\left( {250} \right) = 220,000\]Demak, ular 250 ta kvartira o‘rniga atigi 200 ta xonadonni ijaraga bersalar, eng ko‘p foyda olishadi.
E'tibor bering, ushbu muammolar bilan siz barcha kvartiralarni ijaraga olish eng katta foyda keltiradi deb o'ylamasligingiz kerak. Shuni unutmangki, har xil turdagi texnik xizmat ko'rsatish xarajatlari mavjud va qancha ijarachilar kvartirani ijaraga olsalar, texnik xizmat ko'rsatish xarajatlari shunchalik ko'p bo'ladi. Ushbu tahlil bilan biz ushbu kompleks uchun hech bo'lmaganda to'liq quvvatga qarab maksimal foyda olish uchun biror narsa qilish kerakligini ko'rishimiz mumkin. Bunday tahlil ularga ijara haqini oshirish yoki texnik xizmat ko'rsatish xarajatlarini kamaytirish yo'lini topish bo'ladimi, bu maqsadga erishish uchun nima qilish kerakligini aniqlashga yordam beradi.
Shuni ham yodda tutingki, ko'pgina turar-joy majmualarida ijarachi ko'chib ketganidan keyin kamida bir nechta uylar bo'sh qoladi va shunga o'xshashlar, ular buni hisobga olish uchun maksimal foydaning to'liq quvvatdan biroz pasayishini xohlashlari mumkin. Shunga qaramay, maksimal foyda har doim diapazonning yuqori chegarasida bo'ladi deb o'ylamaslikning yana bir sababi.
Keling, ushbu yo'nalishdagi yana bir muammoni tezda ko'rib chiqaylik.
Ishlab chiqarish xarajatlarini minimallashtirish uchun kuniga qancha vidjet ishlab chiqarishi kerak?
Yechim
Bu erda biz \(x\) \(0 \le x \le 60,000\) oralig'ida bo'lishi kerak bo'lgan cheklovga bog'liq xarajatlarni minimallashtirishimiz kerak. Shuni esda tutingki, bu holda xarajat funktsiyasi chap oxirgi nuqtada uzluksiz emas va shuning uchun minimal qiymatni topish uchun biz faqat tanqidiy nuqtalar va oxirgi nuqtalarni xarajat funktsiyasiga ulay olmaymiz.
Xarajat funksiyasining birinchi juft hosilalarini olaylik.
\[C'\left( x \right) = 0.08 - \frac{{200,000,000}}{{{x^2}}}\hspace{0.5in}C''\left( x \right) = \frac{{400,000,000}}{{{x^3}}}\]Xarajatlar funktsiyasining muhim nuqtalari:
\[\begin{align*}0.08 - \frac{{200,000,000}}{{{x^2}}} & = 0\\ 0.08{x^2} & = 200,000,000\\ {x^2} & = 2,500,000,000\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}x = \pm \sqrt {2,500,000,000} = \pm \,50,000\end{align*}\]Endi, aniqki, bu parametrda salbiy qiymat hech qanday ma'noga ega emas va shuning uchun bizda mumkin bo'lgan echimlar oralig'ida bitta muhim nuqta bor: 50 000.
Endi, \(x > 0\) ikkinchi lotin ijobiy bo'lsa va shuning uchun mumkin bo'lgan echimlar oralig'ida funktsiya har doim konkav bo'ladi va shuning uchun 50 000 vidjet ishlab chiqarish mutlaq minimal ishlab chiqarish xarajatlarini beradi.
dan eslang Optimallashtirish bo'limda biz mutlaq ekstremani aniqlash uchun ikkinchi hosiladan qanday foydalanishimiz mumkinligini muhokama qildik, garchi biz undan haqiqatan ham nisbiy ekstrema olsak ham.
Endi biz avvalgi ikkita misoldan biznesga oid ilovalar faqat biz ko'rib chiqqan ilovalar, lekin ularga biznesning "burilishlari" bor degan fikr bilan chiqib ketmasligimiz kerak.
Ish dunyosida va qaysidir darajada ushbu bo'limning nuqtasi bo'lgan hisob-kitoblar uchun juda real ilovalar mavjud. E'tibor bering, ushbu ilovalarni va ularning barcha nozik tomonlarini haqiqatan ham o'rganish uchun siz ikki yoki uchta biznes kursini o'tashingiz kerak. Ushbu bo'limda biz shunchaki sirtni tirnaymiz va ish dunyosidagi hisob-kitoblarning ba'zi haqiqiy qo'llanilishi va ilovalardagi ba'zi asosiy "buzz" so'zlari haqida tasavvurga ega bo'lamiz.
Keling, quyidagi misolni ko'rib chiqishdan boshlaylik.
Quyidagi savollarning har biriga javob bering.
- 301 ishlab chiqarish qancha turadist vidjet?
- \(x = 300\) da tannarxning o'zgarish tezligi qanday?
a 301 ishlab chiqarish qancha turadist vidjet? Yechim
Biz shunchaki \(C\left( {301} \right)\) ni hisoblay olmaymiz, chunki bu 301 ta vidjetni ishlab chiqarishga ketadigan xarajatdir, ayni paytda biz 301 ta vidjetni ishlab chiqarishning haqiqiy narxini qidiramiz.st vidjet. Boshqacha qilib aytganda, biz bu erda qidirayotgan narsamiz,
\[C\left( {301} \right) - C\left( {300} \right) = 97,695.91 - 97,400.00 = 295.91\]Shunday qilib, 301 ni ishlab chiqarish narxist vidjet $295,91.
b \(x = 300\) da tannarxning o'zgarish tezligi qanday? Yechim
Ushbu qismda biz qilishimiz kerak bo'lgan narsa hosilani olish va keyin \(C'\left( {300} \right)\) ni hisoblash.
\[C'\left( x \right) = 350 - 0.18x\hspace{0.5in} \Rightarrow \hspace{0.5in}C'\left( {300} \right) = 296.00\]Xo'sh, bu misolda biz nimani o'rgandik? Qo'shimcha mahsulot ishlab chiqarish xarajatlari deyiladi marjinal xarajat va biz yuqoridagi misolda ko'rganimizdek, marjinal xarajat o'zgarish tezligi bilan taxmin qilinadi. xarajat funktsiyasi, \(C\left( x \right)\). Shunday qilib, biz belgilaymiz marjinal xarajatlar funktsiyasi xarajat funksiyasining hosilasi yoki \(C'\left( x \right)\). Keling, buning tezkor misolini ko'rib chiqaylik.
\(x = 200\), \(x = 300\) va \(x = 400\) da marjinal xarajat qancha?
Yechim
Shunday qilib, bizga hosila kerak va keyin hosilaning ba'zi qiymatlarini hisoblashimiz kerak bo'ladi.
\[\begin{align*}C'\left( x \right) & = - 10 - 0.02x + 0.0006{x^2}\\ C'\left( {200} \right) & = 10\hspace{0.5in}C'\left( {300} \right) = 38\hspace{0.5in}C'\left( {400} \right) = 78\end{align*}\]Shunday qilib, 201 ni ishlab chiqarish uchunst vidjet taxminan 10 dollar turadi. 301 ishlab chiqarish uchunst vidjet taxminan 38 dollar turadi. Nihoyat, 401-ni ishlab chiqarish uchunst vidjet taxminan 78 dollar turadi.
Shuni ta'kidlash kerakki, \(C'\left( n \right)\) \({\left( {n + 1} \right)^{{\mbox{st}}}}\) mahsulotini ishlab chiqarishning taxminiy narxidir va n emas.th ko'rinishi mumkin bo'lgan narsa!
Endi e'tiborimizni quyidagilarga qaratamiz o'rtacha xarajat funktsiyasi. Agar \(C\left( x \right)\) ba'zi bir ob'ekt uchun xarajat funktsiyasi bo'lsa, o'rtacha xarajat funksiyasi,
\[\overline{C}\left( x \right) = \frac{{C\left( x \right)}}{x}\]Mana yuqoridagi 4-misoldan o'rtacha xarajat funksiyasining eskizi.
Bundan ko'rishimiz mumkinki, o'rtacha xarajat funksiyasi mutlaq minimumga ega. Bundan tashqari, bu mutlaq minimal \(\overline C'\left( x \right) = 0\) kritik nuqtada sodir bo'lishini ko'rishimiz mumkin, chunki u erda gorizontal tangens aniq bo'ladi.
Endi biz o'rtacha xarajat funktsiyasini olishimiz, uni farqlashimiz va keyin muhim nuqtani topishimiz mumkin. Biroq, bu o'rtacha xarajat funktsiyasi o'rtacha xarajat funktsiyalari uchun odatiy holdir, shuning o'rniga keling, yuqoridagi umumiy formulani ko'rsatkich qoidasi yordamida farqlaylik va bizda nima borligini bilib olaylik.
\[\overline{C}'\left( x \right) = \frac{{x\,C'\left( x \right) - C\left( x \right)}}{{{x^2}}}\]Endi, yuqorida aytib o'tganimizdek, mutlaq minimum \(\overline C'\left( x \right) = 0\) qachon sodir bo'ladi va bu o'z navbatida, qachon sodir bo'ladi:
\[x\,C'\left( x \right) - C\left( x \right) = 0\hspace{0.5in} \Rightarrow \hspace{0.5in}C'\left( x \right) = \frac{{C\left( x \right)}}{x} = \overline C\left( x \right)\]Shunday qilib, biz odatdagi o'rtacha xarajat funktsiyasi uchun marjinal xarajat o'rtacha xarajatlarga teng bo'lganda minimal o'rtacha xarajatni olamiz.
Shuni ta'kidlash kerakki, barcha o'rtacha xarajat funktsiyalari bunday ko'rinmaydi va shuning uchun bu har doim shunday bo'ladi deb o'ylamasligingiz kerak.
Keling, daromad va foyda funktsiyalariga o'tamiz. Birinchidan, agar \(x\) birliklariga talab mavjud bo'lsa, ba'zi tovarlarni sotish mumkin bo'lgan narx \(p\left( x \right)\) tomonidan berilgan deb faraz qilaylik. Bu funktsiya odatda yoki deyiladi talab funktsiyasi yoki narx funktsiyasi.
daromad funktsiyasi keyin \(x\) buyumlarini sotish orqali qancha pul ishlab topiladi va bu,
\[R\left( x \right) = x\,p\left( x \right)\]foyda funktsiyasi keyin,
\[P\left( x \right) = R\left( x \right) - C\left( x \right) = x\,p\left( x \right) - C\left( x \right)\]Ehtiyot bo'ling, talab funktsiyasi, \(p\left( x \right)\) - kichik \(p\) va foyda funktsiyasi, \(P\left( x \right)\) - katta harf \(P\). Yomon belgi bo'lishi mumkin, lekin u erda.
Nihoyat, marjinal daromad funktsiyasi \(R'\left( x \right)\) va marjinal foyda funktsiyasi Bu \(P'\left( x \right)\) va agar yana bitta birlik sotilsa, ular mos ravishda daromad va foydani ifodalaydi.
Keling, ulardan foydalanish misolini tezda ko'rib chiqaylik.
va vidjetlar uchun talab funksiyasi tomonidan berilgan,
\[p\left( x \right) = 200 - 0.005x\hspace{0.5in}0 \le x \le 10000\]2500 ta vidjet sotilganda va 7500 ta vidjet sotilganda marjinal xarajat, marjinal daromad va marjinal foydani aniqlang. Tasavvur qiling, kompaniya aynan o'zi ishlab chiqargan narsani sotadi.
Yechim
OK, biz qilishimiz kerak bo'lgan birinchi narsa - bizga kerak bo'ladigan barcha turli funktsiyalarni olish. Bu erda daromad va foyda funktsiyalari.
\[\begin{align*}R\left( x \right) & = x\left( {200 - 0.005x} \right) = 200x - 0.005{x^2}\\ P\left( x \right) & = 200x - 0.005{x^2} - \left( {75,000 + 100x - 0.03{x^2} + 0.000004{x^3}} \right)\\ & = - 75,000 + 100x + 0.025{x^2} - 0.000004{x^3}\end{align*}\]Endi barcha marjinal funktsiyalar,
\[\begin{align*}C'\left( x \right) & = 100 - 0.06x + 0.000012{x^2}\\ R'\left( x \right) & = 200 - 0.01x\\ P'\left( x \right) & = 100 + 0.05x - 0.000012{x^2}\end{align*}\]2500 ta vidjet sotilganda marjinal funktsiyalar:
\[C'\left( {2500} \right) = 25\hspace{0.5in}R'\left( {2500} \right) = 175\hspace{0.5in}P'\left( {2500} \right) = 150\]7500 sotilganda marjinal funktsiyalar:
\[C'\left( {7500} \right) = 325\hspace{0.5in}R'\left( {7500} \right) = 125\hspace{0.5in}P'\left( {7500} \right) = - 200\]Shunday qilib, 2501 ni ishlab chiqarish va sotishdast vidjetni ishlab chiqarish kompaniyaga taxminan 25 dollarga tushadi va ular qo'shimcha 175 dollar daromad va 150 dollar foyda ko'radi.
Boshqa tomondan, ular 7501 ni ishlab chiqarish va sotishdast vidjet qo'shimcha 325 dollar turadi va ular qo'shimcha 125 dollar daromad oladilar, lekin 200 dollar foyda yo'qotadilar.
Biz ushbu bo'limni maksimal foyda haqida qisqacha muhokama qilish bilan yakunlaymiz. Agar biz maksimal foyda \(P'\left( x \right) = 0\) kritik nuqtada sodir bo'ladi deb taxmin qilsak, biz quyidagilarni aytishimiz mumkin:
\[P'\left( x \right) = R'\left( x \right) - C'\left( x \right) = 0\hspace{0.5in} \Rightarrow \hspace{0.5in}R'\left( x \right) = C'\left( x \right)\]Shunda biz bilamizki, bu maksimal bo'ladi, biz ham foyda har doim bo'g'iq bo'lgan yoki,
\[P''\left( x \right) = R''\left( x \right) - C''\left( x \right) < 0\hspace{0.5in} \Rightarrow \hspace{0.5in}R''\left( x \right) < C''\left( x \right)\]Shunday qilib, agar biz \(R''\left( x \right) < C''\left( x \right)\) ekanligini bilsak, agar \(R'\left( x \right) = C'\left( x \right)\) yoki marjinal xarajat marjinal daromadga teng bo'lsa, biz foydani maksimal darajada oshiramiz.
Ushbu bo'limda biz hisob-kitoblarni o'z ichiga olgan biznes olamidagi ba'zi g'oyalarni qisqacha ko'rib chiqdik. Shunga qaramay, shuni ta'kidlash kerakki, bu erda yana ko'p narsa bor va bu ilovalar qanday amalga oshirilayotganini ko'rish uchun siz haqiqatan ham biznes kurslarini o'tashingiz kerak. Ushbu bo'limning maqsadi faqat fanlardan boshqa sohada hisoblash qanday qo'llanilishi haqida bir nechta fikrlarni berish edi.