7-bob: Oliy tartibli differentsial tenglamalar
Ushbu bobda biz yuqori tartibli differentsial tenglamalarni ko'rib chiqamiz. Ushbu bobda yuqori tartibli differensial tenglamalar muhokama qilinganda ko'pchilik darsliklardagidan ko'proq bo'ladi.
Biz, albatta, bu erda ko'pchilik darsliklar qiladigan materialni yoritamiz. Biroq, oldingi barcha boblarda bizning barcha misollarimiz 2 edind tartibli differentsial tenglamalar yoki \(2 \times 2\) differentsial tenglamalar sistemalari. Shunday qilib, ushbu bobda biz 3 ta bilan bog'liq bir nechta misollarni keltiramizrd Laplas transformlari va seriyalari bilan tartibli yoki undan yuqori differensial tenglamalar, shuningdek, differensial tenglamalarning ba'zi kattaroq tizimlarini muhokama qilish.
Quyida ushbu bobdagi mavzularning qisqacha ro'yxati keltirilgan.
Asosiy tushunchalar - Ushbu bo'limda biz yuqori tartibli chiziqli differensial tenglamalarni echishning asosiy g'oyalarini qisqacha ko'rib chiqish bilan bobni boshlaymiz. Superpozitsiya printsipi, chiziqli mustaqil funktsiyalar va Wronskian uchun yangilangan ta'riflar/faktlar kiritiladi.
Bir jinsli differensial tenglamalar – Ushbu bo'limda biz 2n tartibli, chiziqli, bir jinsli differensial tenglamalarni yechish g'oyalarini yuqori tartiblarga kengaytiramiz. Ko'rib turganimizdek, jarayonning aksariyati ikki martadan ko'proq sodir bo'ladigan takroriy haqiqiy ildizlarga bir nechta tabiiy kengaytmalar bilan bir xil. Shuningdek, biz takroriy murakkab ildizlar bilan qanday kurashishni muhokama qilishimiz kerak, bu endi mumkin. Bundan tashqari, biz yuqori tartibli holatlarda asosiy qiyinchilik oddiygina xarakterli polinomning barcha ildizlarini topish ekanligini ko'ramiz.
Aniqlanmagan koeffitsientlar – Bu bo‘limda biz aniqlanmagan koeffitsientlarni yuqori tartibli differensial tenglamalarda qo‘llash biz uni faqat bitta kichik tabiiy kengaytmali 2n tartibli differensial tenglamalarda qo‘llaganimizdan farq qilmasligini ko‘rsatish uchun tezkor misol bilan ishlaymiz.
Parametrlarning o'zgarishi - Ushbu bo'limda biz yuqori tartibli differentsial tenglamalar uchun parametrlarni o'zgartirish jarayonini batafsil muhokama qilamiz. Shuningdek, biz ushbu holatlarda qo'llanilishi mumkin bo'lgan formulani ishlab chiqamiz. Bundan tashqari, yuqori tartibli differensial tenglamalarda parametrlarning o'zgarishini qo'llash bilan bog'liq ish ba'zida juda ko'p bo'lishi mumkinligini ko'ramiz.
Laplas o'zgarishlari – Bu boʻlimda biz 3rd tartibli differensial tenglamadagi differensial tenglamani yechish uchun Laplas oʻzgartirishlari yordamida tezkor misol bilan ishlaymiz, shunchaki tartib 2nd dan yuqori boʻlgan birini koʻrib chiqdik. Ko'rib turganimizdek, umumiy formuladan olishimiz mumkin bo'lgan \(y'''\) ning Laplas konvertatsiyasi uchun formulaga ehtiyojdan tashqari, yuqori tartibli differensial tenglamalar uchun Laplas konvertatsiyasidan qanday foydalanishda haqiqiy farq yo'q.
Differensial tenglamalar sistemalari – Ushbu boʻlimda biz muhokama qilgan gʻoyalarni \(2 \times 2\) differensial tenglamalar sistemasini \(3 \times 3\) oʻlchamli tizimlargacha kengaytirishni tez koʻrib chiqamiz. Ko'rib turganimizdek, ular asosan biz qanday qilishni bilgan narsalarning tabiiy kengaytmalari. Biz, shuningdek, \(4 \times 4\) tizimlar haqida bir nechta qisqacha izoh beramiz.
Yechimlar seriyasi – Ushbu bo‘limda biz yuqori tartibli differensial tenglamalar uchun ketma-ket yechimlarni topish jarayoni 2n tartibli differensial tenglamalarda qo‘llaniladigan jarayon bilan deyarli bir xil ekanligini ko‘rsatadigan tezkor misol bilan ishlaymiz.