1. ta'rif
Yuqorida aytib o'tganimdek, siz shu paytgacha kompleks sonlarni ko'rgansiz va \(i = \sqrt { - 1} \) va shunga o'xshash \({i^2} =- 1\) ni bilasiz deb o'ylayman. Bu ko'pchilik odamlar birinchi marta algebra sinfida (yoki ular kompleks sonlarni birinchi marta ko'rgan joyda) ko'rgan g'oya va \(i = \sqrt { - 1} \) manfiy sonlarning kvadrat ildizlari bilan quyidagi tarzda shug'ullanishimiz uchun aniqlangan,
\[\sqrt { - 100} = \sqrt {\left( {100} \right)\left( { - 1} \right)} = \sqrt {100} \,\,\sqrt { - 1} = \sqrt {100} \,\,i = 10\,i\]Men qilmoqchi bo'lgan narsa ko'proq berishdir matematik kompleks sonlarning ta’rifi va \({i^2} = - 1\) (demak, \(i = \sqrt { - 1} \) ni bu ta’rifning natijasi sifatida ko‘rish mumkinligini ko‘rsating. Shuningdek, kompleks sonlar uchun arifmetikani qanday aniqlashimizni ko‘rib chiqamiz.
Bu erda biz nima qilmoqchi bo'lganimiz siz allaqachon ko'rgan narsangizdan biroz orqada qolgandek tuyuladi, lekin aslida kompleks sonlarning aniqroq va matematik ta'rifi. Shuni ham yodda tutingki, ushbu bo'lim ushbu hujjatning qolgan qismlarini tushunish uchun haqiqatan ham talab qilinmaydi. Bu erda faqat sizga kompleks sonlarni aniqlashning boshqa usulini ko'rsatish uchun.
Shunday qilib, kompleks sonning ta'rifini beraylik.
Ikkita haqiqiy \(a\) va \(b\) sonini hisobga olib, biz \(z\) kompleks raqamini quyidagicha aniqlaymiz:
\[z = a + bi\]E'tibor bering, biz hozirda \(i\) nima ekanligini aniqlamadik. \(a\) raqami deyiladi haqiqiy qismi \(z\) va \(b\) raqami deyiladi xayoliy qism \(z\) va ko'pincha quyidagicha belgilanadi:
\[{\mathop{\rm Re}\nolimits} z = a \hspace{0.5in} {\mathop{\rm Im}\nolimits} z = b\]Davom etishdan oldin ko'rib chiqishimiz kerak bo'lgan bir nechta maxsus holatlar mavjud. Birinchidan, haqiqiy qismi nolga teng bo'lgan kompleks sonni ko'rib chiqaylik,
\[z = 0 + bi = bi\]Bunday hollarda kompleks sonni a deb ataymiz sof xayoliy raqam.
Keling, nol xayoliy qismga ega bo'lgan kompleks sonni ko'rib chiqaylik,
\[z = a + 0i = a\]Bu holda kompleks son haqiqatda haqiqiy son ekanligini ko'rishimiz mumkin. Shuning uchun biz haqiqiy sonlarni murakkab sonlarning kichik to'plami deb hisoblashimiz mumkin.
Keyinchalik murakkab sonlar bilan qo'shish va ko'paytirishni qanday qilishimizni aniqlashimiz kerak. \({z_1} = a + bi\) va \({z_2} = c + di\) ikkita kompleks sonlarni hisobga olib, qo‘shish va ko‘paytirishni quyidagicha aniqlaymiz:
\begin{align} {z_1} + {z_2} & = \left( {a + c} \right) + \left( {b + d} \right)i \\ {z_1}{z_2} & = \left( {ac - bd} \right) + \left( {ad + cb} \right)i \end{tekislash}Endi, agar siz ushbu nuqtadan oldin kompleks sonlarni ko'rgan bo'lsangiz, ehtimol bu o'sha paytda murakkab sonlarni qo'shish va ko'paytirish uchun berilgan formulalar ekanligini eslaysiz. Biroq, o'sha paytda sizga berilgan ko'paytirish formulasi to'liq hosil qilish uchun \({i^2} = - 1\) dan foydalanishni talab qildi va bu bo'lim uchun biz bu haqiqat ekanligini hali bilmaymiz. Aslida, yuqorida aytib o'tilganidek, \({i^2} = - 1\) bu ta'rifning natijasi bo'ladi, chunki biz yaqinda ko'ramiz.
Yuqorida biz haqiqiy sonlarni kompleks sonlarning kichik to'plami sifatida ko'rishimiz mumkinligini ta'kidladik. E'tibor bering, kompleks sonlarni qo'shish va ko'paytirish formulalari standart haqiqiy son formulalarini ham beradi. Masalan, ikkita kompleks sonni hisobga olgan holda,
\[{z_1} = a + 0i \hspace{0.5in} {z_2} = c + 0i\]formulalar quyida ko'rsatilganidek, haqiqiy sonlar uchun to'g'ri formulalarni beradi.
\begin{align}{z_1} + {z_2} & = \left( {a + c} \right) + \left( {0 + 0} \right)i = a + c\\ {z_1}{z_2} & = \left( {ac - \left( 0 \right)\left( 0 \right)} \right) + \left( {a\left( 0 \right) + c\left( 0 \right)} \right)i = ac\end{hizalang}Ushbu bo'limda qilinadigan oxirgi narsa \({i^2} = - 1\) ko'paytirish ta'rifining natijasi ekanligini ko'rsatishdir. Biroq, buni amalga oshirishdan oldin, murakkab sonlarning vakolatlari haqiqiy sonlar uchun bo'lgani kabi ishlashini tan olishimiz kerak. Boshqacha qilib aytganda, agar \(n\) musbat butun son bo'lsa, biz eksponentsiyani quyidagicha aniqlaymiz:
\[{z^n} = \underbrace {z \cdot z \cdot \cdots z}_{n{\rm{ times}}}\]Shunday qilib, keling, \({i^2}\) ni ko'rib chiqishdan boshlaylik, eksponentatsiya ta'rifidan foydalaning va bunda ko'paytirish ta'rifidan foydalaning. Buni qilish,
\[\begin{align}{i^2} & = i \cdot i\\ & = \left( {0 + 1i} \right)\left( {0 + 1i} \right)\\ & = \left( {\left( 0 \right)\left( 0 \right) - \left( 1 \right)\left( 1 \right)} \right) + \left( {\left( 0 \right)\left( 1 \right) + \left( 0 \right)\left( 1 \right)} \right)i\\ & = - 1\end{align}\]Shunday qilib, biz yuqorida qilganimizdek, ko'paytirishni aniqlab, biz bu haqiqiy haqiqat ekanligini aytish o'rniga, ta'rif natijasida ushbu \({i^2} = - 1\) ni olamiz. Agar biz \(\sqrt{\,\,\,\,\,} \) ni standart kvadrat ildiz deb olsak, i.e. radikal ostidagi miqdorni olish uchun biz nimani kvadratga aylantirdik, biz \(i = \sqrt { - 1} \) ekanligini ko'rishimiz mumkin.