9.3-bo'lim: Parametrik tenglamali maydon
Ushbu bo'limda parametrik tenglamalar bilan berilgan parametrik egri chiziq ostidagi maydonni aniqlash formulasini topamiz,
\[x = f\left( t \right)\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}y = g\left( t \right)\]Bundan tashqari, \(t\) \(\alpha \) dan \(\beta \) ga oshgani sayin egri chiziq aynan bir marta kuzatilgan degan taxminni qo'shimcha qilishimiz kerak.
Biz buni avvalgi bo'limda birinchi hosilani topganimizdek qilamiz. Avval \(a \le x \le b\) da \(y = F\left( x \right)\) ostidagi maydonni qanday topishni eslaymiz.
\[A = \int_{{\,a}}^{{\,b}}{{F\left( x \right)\,dx}}\]Endi biz \(x = f\left( t \right)\) parametrik tenglamasini integraldagi almashtirish sifatida ko‘rib chiqamiz. Shuningdek, biz \(a = f\left( \alpha \right)\) va \(b = f\left( \beta \right)\) ni ushbu formulaning maqsadlari uchun qabul qilamiz. Bu har doim shunday bo'ladi deb taxmin qilish uchun hech qanday sabab yo'q va shuning uchun agar aksincha bo'lsa (\(b = f\left( \alpha \right)\) va \(a = f\left( \beta \right)\)) tegishli formulani keyinroq beramiz.
Shunday qilib, agar bu almashtirish bo'ladigan bo'lsa, bizga kerak bo'ladi,
\[dx = f'\left( t \right)\,dt\]Buni yuqoridagi maydon formulasiga kiritish va ularning tegishli \(t\) qiymatlari chegaralarini o'zgartirishga ishonch hosil qilish bizga,
\[A = \int_{{\,\alpha }}^{{\,\beta }}{{F\left( {f\left( t \right)} \right)\,f'\left( t \right)dt}}\]Biz \(F\left( x \right)\) nima ekanligini bilmaganimiz uchun biz bundan foydalanamiz
\[y = F\left( x \right) = F\left( {f\left( t \right)} \right) = g\left( t \right)\]va biz xohlagan formulaga erishamiz.
Parametrik egri chiziq ostidagi maydon, Formula I
Endi, agar bizda \(b = f\left( \alpha \right)\) va \(a = f\left( \beta \right)\) bo'lsa, formula shunday bo'ladi,
Parametrik egri chiziq ostidagi maydon, II formula
Keling, misol bilan ishlaylik.
Yechim
Birinchidan, ushbu muammo uchun parametrni \(\theta \) ga almashtirganimizga e'tibor bering. Bu biz har doim parametr sifatida \(t\) ga ega bo'lib qolmasligimiz uchun qilingan.
Endi, agar xohlasak, egri chiziq berilgan diapazon uchun bir marta aniqlanganligini tekshirish uchun buni grafik qilishimiz mumkin. Ushbu misoldan keyin biz ushbu egri chiziqni batafsil ko'rib chiqamiz, shuning uchun bu erda uning grafigini chizmaymiz.
Bu misolda parametrik tenglamalarni formulaga ulashdan boshqa narsa yo'q. Biroq, bizga birinchi navbatda \(x\) uchun parametrik tenglamaning hosilasi kerak bo'ladi.
\[\frac{{dx}}{{d\theta }} = 6\left( {1 - \cos \theta } \right)\]Keyin hudud,
\[\begin{align*}A & = \int_{{\,0}}^{{\,2\pi }}{{36{{\left( {1 - \cos \theta } \right)}^2}\,d\theta }}\\ & = 36\int_{{\,0}}^{{\,2\pi }}{{1 - 2\cos \theta + {{\cos }^2}\theta \,d\theta }}\\ & = 36\int_{{\,0}}^{{\,2\pi }}{{\frac{3}{2} - 2\cos \theta + \frac{1}{2}\cos \left( {2\theta } \right)\,d\theta }}\\ & = 36\left. {\left( {\frac{3}{2}\theta - 2\sin \theta + \frac{1}{4}\sin \left( {2\theta } \right)} \right)} \right|_0^{2\pi }\\ & = 108\pi \end{align*}\]Oldingi misolda biz ishlatgan parametrik egri chiziq (cheklovsiz) a deyiladi sikloid. Umumiy shaklda sikloid:
\[x = r\left( {\theta - \sin \theta } \right)\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}y = r\left( {1 - \cos \theta } \right)\]Tsikloid quyidagi holatni ifodalaydi. \(r\) radiusli g'ildirakni ko'rib chiqaylik. Dastlab g'ildirakning yerga tegib turgan nuqtasi \(P\) deb nomlansin. Keyin g'ildirakni o'ngga aylantirishni boshlang. G'ildirak o'ng tomonga aylanganda \(P\) nuqtasining yo'lini belgilang. \(P\) nuqtasi kuzatuvchi yo'l sikloid deb ataladi va yuqoridagi tenglamalar bilan berilgan. Ushbu tenglamalarda biz \(\theta\) ni \(P\) nuqtasi aylangan burchak sifatida tasavvur qilishimiz mumkin.
Bu erda turli joylarda ko'rsatilgan g'ildirak bilan chizilgan sikloid. Ko'k nuqta g'ildirakdagi \(P\) nuqtasi bo'lib, biz egri chiziqni aniqlash uchun foydalanamiz.
Ushbu eskizdan biz sikloidning bir yoyi \(0 \le \theta \le 2\pi \) diapazonida kuzatilganligini ko'rishimiz mumkin. \(P\) nuqtasi \(2\pi \) burchagi bo'ylab aylangandan so'ng yana erga qaytadi deb hisoblasangiz, bu mantiqiy bo'ladi.