13.4-bo'lim: Yuqori tartibli qisman hosilalar
Bizda bitta o'zgaruvchining funksiyalari bo'lgan yuqori tartibli hosilalarimiz bo'lgani kabi, bizda ham bir nechta o'zgaruvchining funksiyalarining yuqori tartibli hosilalari bo'ladi. Biroq, bu safar bizda ko'proq imkoniyatlar bo'ladi, chunki bizda bir nechta o'zgaruvchilar bor.
Ikki oʻzgaruvchining funksiyasini koʻrib chiqing, \(f\left( {x,y} \right)\), chunki birinchi tartibli qisman hosilalarning ikkalasi ham \(x\) va \(y\) funksiyalaridir, biz oʻz navbatida har birini \(x\) yoki \(y\) ga nisbatan farqlashimiz mumkin. Bu shuni anglatadiki, ikkita o'zgaruvchining funktsiyasi uchun jami to'rtta ikkinchi tartibli hosilalar mavjud bo'ladi. Mana ular va biz ularni belgilash uchun ishlatadigan belgilar.
\[\begin{align*}{\left( {{f_x}} \right)_x} & = {f_{x\,x}} = \frac{\partial }{{\partial x}}\left( {\frac{{\partial f}}{{\partial x}}} \right) = \frac{{{\partial ^2}f}}{{\partial {x^2}}}\\ {\left( {{f_x}} \right)_y} & = {f_{x\,y}} = \frac{\partial }{{\partial y}}\left( {\frac{{\partial f}}{{\partial x}}} \right) = \frac{{{\partial ^2}f}}{{\partial y\partial x}}\\ {\left( {{f_y}} \right)_x} & = {f_{y\,x}} = \frac{\partial }{{\partial x}}\left( {\frac{{\partial f}}{{\partial y}}} \right) = \frac{{{\partial ^2}f}}{{\partial x\partial y}}\\ {\left( {{f_y}} \right)_y} & = {f_{y\,y}} = \frac{\partial }{{\partial y}}\left( {\frac{{\partial f}}{{\partial y}}} \right) = \frac{{{\partial ^2}f}}{{\partial {y^2}}}\end{align*}\]Ikkinchi va uchinchi darajali qisman hosilalar ko'pincha aralash qisman hosilalar deb ataladi, chunki biz bir nechta o'zgaruvchilarga nisbatan hosilalarni olamiz. Shuni ham yodda tutingki, biz hosilalarni qabul qilish tartibi ularning har biri uchun belgi bilan berilgan. Agar biz obuna yozuvidan foydalansak, e.g. \({f_{x\,y}}\), keyin biz chapdan o'ngga farqlaymiz. Boshqacha qilib aytganda, bu holda biz avval \(x\) ga, keyin esa \(y\) ga nisbatan farqlaymiz. Kasr belgisi bilan, e.g. \(\frac{{{\partial ^2}f}}{{\partial y\partial x}}\), buning aksi. Bunday hollarda biz maxraj bo'ylab o'ngdan chapga harakat qilishni farqlaymiz. Shunday qilib, yana, bu holatda biz avval \(x\), keyin esa \(y\) ga nisbatan farqlaymiz.
Keling, bir misolni tez ko'rib chiqaylik.
Yechim
Bizga birinchi navbatda birinchi tartibli hosilalar kerak bo'ladi, shuning uchun ular mana.
\[\begin{align*}{f_x}\left( {x,y} \right) & = - 2\sin \left( {2x} \right) - 2x{{\bf{e}}^{5y}}\\ {f_y}\left( {x,y} \right) & = - 5{x^2}{{\bf{e}}^{5y}} + 6y\end{align*}\]Endi ikkinchi tartibli hosilalarni olamiz.
\[\begin{align*}{f_{xx}} & = - 4\cos \left( {2x} \right) - 2{{\bf{e}}^{5y}}\\ {f_{xy}} & = - 10x{{\bf{e}}^{5y}}\\ {f_{yx}} & = - 10x{{\bf{e}}^{5y}}\\ {f_{yy}} & = - 25{x^2}{{\bf{e}}^{5y}} + 6\end{align*}\]E'tibor bering, biz \(\left( {x,y} \right)\) ni lotinlardan chiqarib tashladik. Bu juda standart va biz buni ko'pincha shu vaqtdan boshlab qilamiz. Ko'p hollarda biz uni birinchi tartibli hosilalar uchun ham tashlab qo'yamiz.
Endi shuni ham ta'kidlaymizki, bu holda \({f_{xy}} = {f_{yx}}\). Bu tasodif emas. Agar funktsiya "etarlicha yaxshi" bo'lsa, bu har doim shunday bo'ladi. Xo'sh, "etarlicha yoqimli" nima? Quyidagi teorema bizga aytadi.
Clairaut teoremasi
Faraz qilaylik, \(f\) \(\left( {a,b} \right)\) nuqtasini o'z ichiga olgan \(D\) diskida aniqlangan. Agar \({f_{xy}}\) va \({f_{yx}}\) funksiyalari ushbu diskda uzluksiz bo'lsa, u holda,
\[{f_{xy}}\left( {a,b} \right) = {f_{yx}}\left( {a,b} \right)\]Endi, disk ishi va biz ma'lum bir nuqta uchun teorema berganimizdan juda hayajonlanmang. Ushbu sinfdagi deyarli har bir misolda, agar ikkita aralash ikkinchi tartibli qisman hosilalar uzluksiz bo'lsa, ular teng bo'ladi.
Yechim
Bizga birinchi navbatda ikkita birinchi tartibli hosila kerak bo'ladi.
\[\begin{align*}{f_x}\left( {x,y} \right) & = {{\bf{e}}^{ - {x^2}{y^2}}} - 2{x^2}{y^2}{{\bf{e}}^{ - {x^2}{y^2}}}\\ {f_y}\left( {x,y} \right) & = - 2y{x^3}{{\bf{e}}^{ - {x^2}{y^2}}}\end{align*}\]Endi ikkita aralash ikkinchi tartibli qisman hosilalarni hisoblang.
\[\begin{align*}{f_{xy}}\left( {x,y} \right) & = - 2y{x^2}{{\bf{e}}^{ - {x^2}{y^2}}} - 4{x^2}y{{\bf{e}}^{ - {x^2}{y^2}}} + 4{x^4}{y^3}{{\bf{e}}^{ - {x^2}{y^2}}} = - 6{x^2}y{{\bf{e}}^{ - {x^2}{y^2}}} + 4{x^4}{y^3}{{\bf{e}}^{ - {x^2}{y^2}}}\\ {f_{yx}}\left( {x,y} \right) & = - 6y{x^2}{{\bf{e}}^{ - {x^2}{y^2}}} + 4{y^3}{x^4}{{\bf{e}}^{ - {x^2}{y^2}}}\end{align*}\]Albatta, ular bir xil.
Hozircha biz faqat ikkinchi tartibli hosilalarni ko'rib chiqdik. Albatta, yuqori tartibli hosilalar ham mavjud. Bu yerda ikkita oʻzgaruvchi funksiyasining uchinchi tartibli qisman hosilalari keltirilgan.
\[\begin{align*}{f_{x\,y\,x}} & = {\left( {{f_{xy}}} \right)_x} = \frac{\partial }{{\partial x}}\left( {\frac{{{\partial ^2}f}}{{\partial y\partial x}}} \right) = \frac{{{\partial ^3}f}}{{\partial x\partial y\partial x}}\\ {f_{y\,x\,x}} & = {\left( {{f_{yx}}} \right)_x} = \frac{\partial }{{\partial x}}\left( {\frac{{{\partial ^2}f}}{{\partial x\partial y}}} \right) = \frac{{{\partial ^3}f}}{{\partial {x^2}\partial y}}\end{align*}\]E'tibor bering, ikkalasi uchun biz \(y\) ga nisbatan bir marta va \(x\) ga nisbatan ikki marta farqlaymiz. Biz buni amalga oshirishimiz mumkin bo'lgan yana bir uchinchi tartibli qisman hosila mavjud, \({f_{x\,x\,y}}\). Clairaut teoremasining kengaytmasi mavjud bo'lib, agar ularning uchtasi uzluksiz bo'lsa, ularning barchasi teng bo'lishi kerak,
\[{f_{x\,x\,y}} = {f_{x\,y\,x}} = {f_{y\,x\,x}}\]Shu nuqtaga qadar biz faqat ikkita o'zgaruvchining funksiyalarini ko'rib chiqdik, ammo shu nuqtaga qadar qilgan barcha narsalarimiz funktsiyada mavjud bo'lgan o'zgaruvchilar sonidan qat'iy nazar ishlaydi va bu holatlarning barchasi uchun Kler teoremasining tabiiy kengaytmalari mavjud. Masalan,
\[{f_{x\,z}}\left( {x,y,z} \right) = {f_{z\,x}}\left( {x,y,z} \right)\]ikkala hosila ham uzluksiz bo'lishi sharti bilan.
Umuman olganda, biz Clairaut teoremasini har qanday funktsiya va aralash qisman hosilalarga kengaytirishimiz mumkin. Yagona talab shundaki, har bir hosilada biz har bir o'zgaruvchiga nisbatan bir xil sonni farqlaymiz. Boshqacha qilib aytadigan bo'lsak, agar biz davomiylik shartiga javob bersak, quyidagilar teng bo'ladi
\[{f_{s\,s\,r\,t\,s\,r\,r}} = {f_{t\,r\,s\,r\,s\,s\,r}}\]chunki har bir holatda biz \(t\) ga nisbatan bir marta, \(s\) uch marta va \(r\) ga nisbatan uch marta farqlaymiz.
Keling, ikkitadan ortiq o'zgaruvchining hosilalari va funktsiyalari yuqori (baribir ikkitadan yuqori tartib) bilan bir nechta misol keltiraylik.
- \(f\left( {x,y,z} \right) = {z^3}{y^2}\ln \left( x \right)\) uchun \({f_{x\,x\,y\,z\,z}}\) toping
- \(f\left( {x,y} \right) = {{\bf{e}}^{xy}}\) uchun \(\displaystyle \frac{{{\partial ^3}f}}{{\partial y\partial {x^2}}}\) toping
a \(f\left( {x,y,z} \right) = {z^3}{y^2}\ln \left( x \right)\) uchun \({f_{x\,x\,y\,z\,z}}\) toping Yechim
Bunday holda, biz chapdan o'ngga farqlashimizni unutmang. Mana bu qismning hosilalari.
\[{f_x} = \frac{{{z^3}{y^2}}}{x}\] \[{f_{xx}} = - \frac{{{z^3}{y^2}}}{{{x^2}}}\] \[{f_{xxy}} = - \frac{{2{z^3}y}}{{{x^2}}}\] \[{f_{xxyz}} = - \frac{{6{z^2}y}}{{{x^2}}}\] \[{f_{xxyzz}} = - \frac{{12zy}}{{{x^2}}}\]b \(f\left( {x,y} \right) = {{\bf{e}}^{xy}}\) uchun \(\displaystyle \frac{{{\partial ^3}f}}{{\partial y\partial {x^2}}}\) toping Yechim
Bu erda biz o'ngdan chapga farq qilamiz. Mana bu funktsiyaning hosilalari.
\[\frac{{\partial f}}{{\partial x}} = y{{\bf{e}}^{xy}}\] \[\frac{{{\partial ^2}f}}{{\partial {x^2}}} = {y^2}{{\bf{e}}^{xy}}\] \[\frac{{{\partial ^3}f}}{{\partial y\partial {x^2}}} = 2y{{\bf{e}}^{xy}} + x{y^2}{{\bf{e}}^{xy}}\]