12.10-bo'lim: Egrilik
Ushbu bo'limda biz qisqacha muhokama qilmoqchimiz egrilik silliq egri chiziq (esda tutingki, silliq egri chiziq uchun \(\vec r'\left( t \right)\) uzluksiz va \(\vec r'\left( t \right) \ne 0\) kerak). Egrilik egri chiziqning ma'lum bir nuqtada yo'nalishini qanchalik tez o'zgartirishini o'lchaydi.
Egri chiziq uchun egrilikni aniqlash uchun bir nechta formulalar mavjud. Egrilikning rasmiy ta'rifi:
\[\kappa = \left\| {\frac{{d\,\vec T}}{{ds}}} \right\|\]bu yerda \(\vec T\) birlik tangensi va \(s\) yoy uzunligi. Eslatib o'tamiz, biz a oldingi bo'lim yoy uzunligi nuqtai nazaridan olish uchun egri chiziqni qanday qilib qayta parametrlash kerak.
Umuman olganda, egrilikning rasmiy ta'rifidan foydalanish oson emas, shuning uchun biz foydalanishimiz mumkin bo'lgan ikkita muqobil formulalar mavjud. Mana ular.
Egrilik uchun formulalar
Ularni ham hal qilish unchalik oson bo'lmasligi mumkin, lekin hech bo'lmaganda biz birlik tangensini qayta parametrlashimiz shart emas.
Yechim
Orqaga bo'limi tangens vektorini kiritganimizda biz ushbu funktsiya uchun tangens va birlik tangens vektorlarini hisobladik. Bular edi,
\[\begin{align*}\vec r'\left( t \right) & = \left\langle {1,3\cos t, - 3\sin t} \right\rangle \\ \vec T\left( t \right) & = \left\langle {\frac{1}{{\sqrt {10} }},\frac{3}{{\sqrt {10} }}\cos t, - \frac{3}{{\sqrt {10} }}\sin t} \right\rangle \end{align*}\]Birlik tangensining hosilasi,
\[\vec T'\left( t \right) = \left\langle {0, - \frac{3}{{\sqrt {10} }}\sin t, - \frac{3}{{\sqrt {10} }}\cos t} \right\rangle \]Ikki vektorning kattaliklari,
\[\begin{align*}\left\| {\vec r'\left( t \right)} \right\| & = \sqrt {1 + 9{{\cos }^2}t + 9{{\sin }^2}t} = \sqrt {10} \\ \left\| {\vec T'\left( t \right)} \right\| & = \sqrt {0 + \frac{9}{{10}}{{\sin }^2}t + \frac{9}{{10}}{{\cos }^2}t} = \sqrt {\frac{9}{{10}}} = \frac{3}{{\sqrt {10} }}\end{align*}\]Keyin egrilik,
\[\kappa = \frac{{\left\| {\vec T'\left( t \right)} \right\|}}{{\left\| {\vec r'\left( t \right)} \right\|}} = \frac{{{}^{3}/{}_{{\sqrt {10} }}}}{{\sqrt {10} }} = \frac{3}{{10}}\]Bu holda egrilik doimiy bo'ladi. Bu shuni anglatadiki, egri chiziq bo'ylab har bir nuqtada bir xil tezlikda yo'nalishni o'zgartiradi. Ushbu egri chiziq spiral ekanligini eslab, bu natija mantiqiy bo'ladi.
Yechim
Bunday holda, egrilikning ikkinchi shakli, ehtimol, eng oson bo'ladi. Bu erda hosilalarning birinchi juftligi.
\[\vec r'\left( t \right) = 2t\,\vec i + \,\vec k\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}\vec r''\left( t \right) = 2\,\vec i\]Keyinchalik, bizga o'zaro faoliyat mahsulot kerak.
\[\begin{align*}\vec r'\left( t \right) \times \vec r''\left( t \right) & = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\vec i}&{\vec j}&{\vec k}\\{2t}&0&1\\2&0&0\end{array}} \right|\,\,\,\,\,\begin{array}{*{20}{c}}{\vec i}&{\vec j}\\{2t}&0\\2&0\end{array}\\ & = 2\vec j\end{align*}\]Kattaliklari,
\[\left\| {\vec r'\left( t \right) \times \vec r''\left( t \right)} \right\| = 2\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}\left\| {\vec r'\left( t \right)} \right\| = \sqrt {4{t^2} + 1} \]\(t\) ning istalgan qiymatidagi egrilik u holda,
\[\kappa = \frac{2}{{{{\left( {4{t^2} + 1} \right)}^{\frac{3}{2}}}}}\]Bu erda biz ham ko'rib chiqishimiz mumkin bo'lgan alohida holat mavjud. Faraz qilaylik, bizda \(y = f\left( x \right)\) tomonidan berilgan egri chiziq bor va biz uning egriligini topmoqchimiz.
Biz birinchi marta ko'rganimizda ko'rganimizdek vektor funktsiyalari buni quyidagicha yozishimiz mumkin,
\[\vec r\left( x \right) = x\,\vec i + f\left( x \right)\vec j\]Agar egrilik uchun ikkinchi formuladan foydalansak, egrilikning quyidagi formulasiga erishamiz.
\[\kappa = \frac{{\left| {f''\left( x \right)} \right|}}{{{{\left( {1 + {{\left[ {f'\left( x \right)} \right]}^2}} \right)}^{\frac{3}{2}}}}}\]