2.4-bo'lim: Bernulli differentsial tenglamalari
Ushbu bo'limda biz differensial tenglamalarni shaklda ko'rib chiqamiz,
\[y' + p\left( x \right)y = q\left( x \right){y^n}\]bu erda \(p(x)\) va \(q(x)\) biz ishlayotgan intervaldagi uzluksiz funksiyalar va \(n\) haqiqiy sondir. Bu shakldagi differensial tenglamalar deyiladi Bernulli tenglamalari.
Avval e'tibor bering, agar \(n = 0\) yoki \(n = 1\) bo'lsa, unda tenglama chiziqli bo'ladi va biz bu holatlarda uni qanday hal qilishni allaqachon bilamiz. Shuning uchun, ushbu bo'limda biz \(n\) qiymatlari uchun ushbu ikkitadan boshqa echimlarni ko'rib chiqamiz.
Bularni hal qilish uchun biz birinchi navbatda differensial tenglamani \({y^n}\) ga bo'lib olamiz,
\[{y^{ - n}}\,y' + p\left( x \right){y^{1 - n}} = q\left( x \right)\]Endi biz \(v = {y^{1 - n}}\) almashtirish usulidan foydalanib, buni \(v\) nuqtai nazaridan differentsial tenglamaga aylantiramiz. Ko'rib turganimizdek, bu biz hal qila oladigan differentsial tenglamaga olib keladi.
Biroq, \(y'\) lotin bilan ishlashda biz bundan ehtiyot bo'lishimiz kerak. Biz almashtirish nuqtai nazaridan \(y'\) nima ekanligini aniqlashimiz kerak. Buni qilish birinchi qarashda ko'rinadiganidan osonroq. Biz qilishimiz kerak bo'lgan narsa - \(x\) ga nisbatan almashtirishning ikkala tomonini farqlash. Esda tutingki, \(v\) ham, \(y\) ham \(x\) funksiyasi va shuning uchun biz o‘ng tomonda zanjir qoidasidan foydalanishimiz kerak. Agar siz hisob-kitoblaringizni eslasangiz, bu shunchaki ekanligini eslaysiz bilvosita farqlash. Shunday qilib, hosila olish bizga beradi,
\[v' = \left( {1 - n} \right){y^{ - n}}y'\]Endi buni va bizning almashtirishimizni differentsial tenglamaga kiritsak,
\[\frac{1}{{1 - n}}v' + p\left( x \right)v = q\left( x \right)\]Bu a chiziqli differensial tenglama Buni biz \(v\) uchun hal qila olamiz va qo'limizda bo'lgandan so'ng biz \(v\) ni almashtirishimizga qayta ulash va \(y\) ni yechish orqali asl differensial tenglamaning yechimini ham olishimiz mumkin.
Keling, bir misolni ko'rib chiqaylik.
Yechim
Shunday qilib, biz qilishimiz kerak bo'lgan birinchi narsa - buni "to'g'ri" shaklga kiritish va bu hamma narsani \({y^2}\) ga bo'lish demakdir. Buni qilish,
\[{y^{ - 2}}\,y' + \frac{4}{x}{y^{ - 1}} = {x^3}\]Bu erda bizga kerak bo'ladigan almashtirish va hosila,
\[v = {y^{ - 1}}\hspace{0.25in}v' = - {y^{ - 2}}y'\]Ushbu almashtirish bilan differentsial tenglama quyidagicha bo'ladi:
\[ - v' + \frac{4}{x}v = {x^3}\]Shunday qilib, yuqorida ta'kidlab o'tilganidek, bu biz qanday hal qilishni biladigan chiziqli differentsial tenglamadir. Biz bu haqda batafsil ma'lumot beramiz, so'ngra ushbu bo'limdagi qolgan misollar uchun tafsilotlarni to'ldirishingiz uchun qoldiramiz. Agar sizga chiziqli differensial tenglamalarni yechish bo'yicha yangi bilim kerak bo'lsa, unga qayting. bo'limi tez ko'rib chiqish uchun.
Mana bu differentsial tenglamaning yechimi.
\[v' - \frac{4}{x}v = - {x^3}\hspace{0.25in}\,\,\,\, \Rightarrow \hspace{0.25in}\mu \left( x \right) = {{\bf{e}}^{\int{{ - \,\,\frac{4}{x}\,dx}}}} = {{\bf{e}}^{ - 4\,\,\ln \left| x \right|}} = {x^{ - 4}}\] \[\begin{align*}\int{{{{\left( {{x^{ - 4}}v} \right)}^\prime }\,dx}} & = \int{{ - {x^{ - 1}}\,dx}}\\ {x^{ - 4}}v & = - \ln \left| x \right| + c\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}v\left( x \right) = c{x^4} - {x^4}\ln x\end{align*}\]E'tibor bering, biz \(x > 0\) deb taxmin qilganimiz uchun logarifmada \(x\)-dagi mutlaq qiymat satrlarini tushirdik.
Endi biz integratsiya konstantasini aniqlashimiz kerak. Bu ikki usuldan birida amalga oshirilishi mumkin. Biz yuqoridagi yechimni \(y\) nuqtai nazaridan yechimga aylantirishimiz va keyin asl boshlang'ich shartdan foydalanishimiz yoki boshlang'ich shartni \(v\) nuqtai nazaridan boshlang'ich holatga aylantirishimiz va undan foydalanishimiz mumkin. Chunki biz baribir yechimni \(y\)-ga aylantirishimiz kerak va bu unchalik ko'p ish qo'shmaydi, biz buni shunday qilamiz.
Shunday qilib, \(y\) nuqtai nazaridan yechimni olish uchun biz qilishimiz kerak bo'lgan yagona narsa almashtirishni qayta ulash.
\[{y^{ - 1}} = {x^4}\left( {c - \ln x} \right)\]Bu nuqtada biz \(y\) uchun echishimiz va keyin boshlang'ich shartni qo'llashimiz yoki boshlang'ich shartni qo'llashimiz va keyin \(y\) uchun echishimiz mumkin. Biz buni odatda keyingi yondashuv bilan qilamiz, shuning uchun olish uchun dastlabki shartni qo'llaymiz,
\[{\left( { - 1} \right)^{ - 1}} = c{2^4} - {2^4}\ln 2\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}c = \ln 2 - \frac{1}{{16}}\]\(c\)-ga ulanish va \(y\)-ni hal qilish,
\[y\left( x \right) = \frac{1}{{{x^4}\left( {\ln 2 - \frac{1}{{16}} - \ln x} \right)}} = \frac{{ - 16}}{{{x^4}\left( {1 + 16\ln x - 16\ln 2} \right)}} = \frac{{ - 16}}{{{x^4}\left( {1 + 16\ln \frac{x}{2}} \right)}}\]E'tibor bering, biz yechimda biroz soddalashtirdik. Bu amal qilish oralig'ini topishga yordam beradi.
Amal qilish oralig'ini topishdan oldin, biz yuqorida aytib o'tdikki, biz asl boshlang'ich shartni \(v\) uchun boshlang'ich shartga aylantirishimiz mumkin. Keling, buni qanday qilish haqida qisqacha gapiraylik. Buning uchun biz faqat \(x = 2\) ni almashtirishga ulab, so'ngra dastlabki holatni ishlatishimiz kerak. Buni qilish,
\[v\left( 2 \right) = {y^{ - 1}}\left( 2 \right) = {\left( { - 1} \right)^{ - 1}} = - 1\]Shunday qilib, bu holda biz \(v\) uchun \(y\) uchun bir xil qiymatga ega bo'ldik. Agar siz muammolarni shu tarzda hal qilishni tanlagan bo'lsangiz, bu umuman sodir bo'lishini kutmang.
OK, endi yechimning amal qilish oralig'ini topamiz. Birinchidan, biz \(x > 0\) ekanligini allaqachon bilamiz va bu manfiy sonlarning logarifmlariga ega bo'lish va \(x = 0\) da nolga bo'lish muammolaridan qochamiz. Shunday qilib, biz tashvishlanishimiz kerak bo'lgan narsa - ikkinchi muddatda nolga bo'linish va bu qaerda sodir bo'ladi,
\[\begin{align*}1 + 16\ln \frac{x}{2} & = 0\\ \ln \frac{x}{2} & = - \frac{1}{{16}}\\ \frac{x}{2} & = {{\bf{e}}^{ - \,\frac{1}{{16}}}}\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}x = 2{{\bf{e}}^{ - \,\frac{1}{{16}}}} \approx 1.8788\end{align*}\]Ikki mumkin bo'lgan amal qilish oralig'i,
\[0 < x < 2{{\bf{e}}^{ - \,\frac{1}{{16}}}}\hspace{0.25in}2{{\bf{e}}^{ - \,\frac{1}{{16}}}} < x < \infty \]va ikkinchisi boshlang'ich shartni o'z ichiga olganligi sababli biz amal qilish oralig'i \(2{{\bf{e}}^{ - \,\frac{1}{{16}}}} < x < \infty \) ekanligini bilamiz.
Mana yechimning grafigi.
Keling, yana bir nechta misol keltiramiz va yuqorida aytib o'tilganidek, biz ushbu bosqichga kelganimizda chiziqli differensial tenglamani hal qilishni sizga qoldiramiz.
Yechim
Bu erda qilishimiz kerak bo'lgan birinchi narsa - \({y^2}\) ga ko'paytirish va biz chiziqli differensial tenglama uchun kerak bo'ladigan shaklga narsalarni olish uchun biroz qayta tartibga solamiz. Bu beradi,
\[{y^2}\,y' - 5{y^3} = {{\bf{e}}^{ - 2\,x}}\]Bu yerdagi almashtirish va uning hosilasi,
\[v = {y^3}\hspace{0.25in}v' = 3{y^2}y'\]O'zgartirishni differentsial tenglamaga kiritish,
\[\frac{1}{3}v' - 5v = {{\bf{e}}^{ - 2\,x}}\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}v' - 15v = 3{{\bf{e}}^{ - 2\,x}}\hspace{0.25in}\mu \left( x \right) = {{\bf{e}}^{ - 15\,x}}\]Biz biroz o'zgartirdik va chiziqli differensial tenglama yechimi uchun integrallashtiruvchi omilni berdik. Yechilganimizdan so'ng, biz olamiz,
\[v\left( x \right) = c{{\bf{e}}^{15\,x}} - \frac{3}{{17}}{{\bf{e}}^{ - 2\,x}}\]Endi \(y\)-ga qayting.
\[{y^3} = c{{\bf{e}}^{15\,x}} - \frac{3}{{17}}{{\bf{e}}^{ - 2\,x}}\]\(c\) uchun boshlang'ich shartni qo'llash va echish,
\[8 = c - \frac{3}{{17}}\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}c = \frac{{139}}{{17}}\]\(c\) ni ulash va \(y\) ni hal qilish,
\[y\left( x \right) = {\left( {\frac{{139{{\bf{e}}^{15\,x}} - 3{{\bf{e}}^{ - 2\,x}}}}{{17}}} \right)^{\frac{1}{3}}}\]Ushbu yechim uchun \(x\) muammoli qiymatlari yo'q va shuning uchun amal qilish oralig'i barcha haqiqiy raqamlardir. Mana yechimning grafigi.
Yechim
Avval differentsial tenglamani to'g'ri shaklda oling va keyin almashtirishni yozing.
\[6{y^{ - 4}}y' - 2{y^{ - 3}} = x\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}v = {y^{ - 3}}\hspace{0.25in}v' = - 3{y^{ - 4}}y'\]O'zgartirishni differentsial tenglamaga kiritish,
\[ - 2v' - 2v = x\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}\,\,v' + v = - \frac{1}{2}x\hspace{0.25in}\mu \left( x \right) = {{\bf{e}}^{\,x}}\]Yana, biz biroz o'zgartirdik va chiziqli differentsial tenglamani echish uchun zarur bo'lgan integrallashtiruvchi omilni berdik. Chiziqli differensial tenglamani yechishda,
\[v\left( x \right) = - \frac{1}{2}\left( {x - 1} \right) + c{{\bf{e}}^{ - \,x}}\]Endi \(y\)-ga qaytish uchun almashtiring.
\[{y^{ - 3}} = - \frac{1}{2}\left( {x - 1} \right) + c{{\bf{e}}^{ - \,x}}\]Endi biz boshlang'ich shartni qo'llashimiz va \(c\) ni hal qilishimiz kerak.
\[ - \frac{1}{8} = \frac{1}{2} + c\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}c = - \frac{5}{8}\]\(c\)-ni ulash va \(y\)-ni hal qilish,
\[y\left( x \right) = - \frac{2}{{{{\left( {4x - 4 + 5{{\bf{e}}^{ - \,x}}} \right)}^{\frac{1}{3}}}}}\]Keyinchalik, amal qilish oralig'i haqida o'ylashimiz kerak. Bunday holda, biz tashvishlanishimiz kerak bo'lgan yagona narsa - nol masalalarga bo'linish va hisoblash yordamining qandaydir shakllaridan (masalan, Maple yoki Mathematica) foydalanish, biz yechimimizning maxraji hech qachon nolga teng bo'lmasligini ko'ramiz va shuning uchun bu yechim barcha haqiqiy sonlar uchun amal qiladi.
Mana yechimning grafigi.
Shu nuqtaga qadar biz faqat n butun son (ijobiy va manfiy) bo'lgan misollar bilan ishladik va shuning uchun biz n butun son bo'lmagan tez misol bilan ishlashimiz kerak.
Yechim
Keling, birinchi navbatda differentsial tenglamani to'g'ri shaklga keltiramiz.
\[y' + \frac{1}{x}y = {y^{\frac{1}{2}}}\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}{y^{ - \,\frac{1}{2}}}y' + \frac{1}{x}{y^{\frac{1}{2}}} = 1\]Shunda almashtirish,
\[v = {y^{\frac{1}{2}}}\hspace{0.25in}v' = \frac{1}{2}{y^{ - \,\frac{1}{2}}}y'\]Endi almashtirishni differentsial tenglamaga ulang,
\[2v' + \frac{1}{x}v = 1\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}\,\,\,\,\,\,\,\,\,v' + \frac{1}{{2x}}v = \frac{1}{2}\hspace{0.25in}\mu \left( x \right) = {x^{\frac{1}{2}}}\]Oldingi misollarni bajarganimizdek, biz bir oz qayta tartibga solishni amalga oshirdik va chiziqli differentsial tenglamani echish uchun zarur bo'lgan integrallashtiruvchi omilni berdik. Buni hal qilish bizga beradi,
\[v\left( x \right) = \frac{1}{3}x + c{x^{ - \,\frac{1}{2}}}\]\(y\) nuqtai nazaridan bu,
\[{y^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{3}x + c{x^{ - \,\frac{1}{2}}}\]\(c\) uchun boshlang'ich shartni qo'llash va echish,
\[0 = \frac{1}{3} + c\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}c = - \frac{1}{3}\]\(c\) uchun ulanish va \(y\) uchun hal qilish bizga yechim beradi.
\[y\left( x \right) = {\left( {\frac{1}{3}x - \frac{1}{3}{x^{ - \,\frac{1}{2}}}} \right)^2} = \frac{{{x^3} - 2{x^{\frac{3}{2}}} + 1}}{{9x}}\]E'tibor bering, biz hamma narsani ko'paytirdik va bu erda amal qilish oralig'i aniq bo'lishi uchun barcha salbiy ko'rsatkichlarni ijobiy ko'rsatkichlarga aylantirdik. Ildiz (hisobdagi ikkinchi hadda) va maxrajdagi \(x\) tufayli biz yechim mavjud bo'lishi uchun \(x > 0\) talab qilishimiz kerakligini ko'rishimiz mumkin va u barcha ijobiy \(x\) lar uchun mavjud bo'ladi va shuning uchun bu ham amal qilish oralig'i.
Mana yechimning grafigi.
