10.15-bo'lim: Quvvat seriyalari va funktsiyalari
Oxirgi bo'limni biz seriyalarning ilovalari haqida o'ylashni boshlayotganimizni aytib, ochdik va keyin darhol bo'limni yana konvergentsiya haqida gapirib o'tkazdik. Endi seriyalarning ilovalaridan boshlash vaqti keldi.
Ushbu bo'lim bilan biz quvvat seriyalari bilan funktsiyalarni qanday ko'rsatish haqida gapira boshlaymiz. Nima uchun buni qilishni xohlashimiz mumkinligi haqidagi tabiiy savolga, buni qanday qilishni o'rganganimizdan so'ng, bir necha bo'limda javob beriladi.
Keling, qanday qilishni allaqachon bilganimizdan boshlaylik, garchi biz ushbu seriyani birinchi marta uchratganimizda, biz uni quvvat seriyasi deb o'ylamaganmiz va u funktsiyani ifodalaganini tan olmaganmiz.
Geometrik qator ekanligini eslang
\[\sum\limits_{n = 0}^\infty {a{r^n}} = \frac{a}{{1 - r}}\hspace{0.5in}{\mbox{provided }}\left| r \right| < 1\]Shuni ham unutmangki, agar \(\left| r \right| \ge 1\) seriyasi ajralib chiqadi.
Endi, agar biz \(a = 1\) va \(r = x\) ni olsak, bu shunday bo'ladi,
\[\begin{equation}\sum\limits_{n = 0}^\infty {{x^n}} = \frac{1}{{1 - x}}\hspace{0.5in}{\mbox{provided }}\left| x \right| < 1 \label{eq:eq1}\end{equation}\]Buni aylantirsak, biz funktsiyani ifodalashimiz mumkinligini ko'ramiz
\[\begin{equation}f\left( x \right) = \frac{1}{{1 - x}} \label{eq:eq2}\end{equation}\]quvvat seriyasi bilan
\[\begin{equation}\sum\limits_{n = 0}^\infty {{x^n}} \hspace{0.5in}{\mbox{provided }}\left| x \right| < 1 \label{eq:eq3}\end{equation}\]Ushbu qoida muhim ahamiyatga ega. Funktsiyaga biz \(x = 1\) dan boshqa istalgan raqamni aniq kiritishimiz mumkin, ammo \(\left| x \right| < 1\) bo'lsagina konvergent quvvat seriyasini olamiz. Bu \(\eqref{eq:eq1}\) dagi tenglik faqat \(\left| x \right| < 1\) bo'lgandagina amal qiladi degan ma'noni anglatadi. \(x\) ning boshqa har qanday qiymati uchun tenglik bajarilmaydi. Shuni ham yodda tutingki, biz ushbu quvvat seriyasining yaqinlashuv radiusi \(R = 1\) va yaqinlashuv oralig'i \(\left| x \right| < 1\) ekanligini tan olish uchun ham foydalanishimiz mumkin.
Bu konvergentsiya g'oyasi bu erda muhim ahamiyatga ega. Biz ko'plab funktsiyalarni quvvat seriyasi sifatida ifodalaymiz va namoyishlar ko'pincha faqat \(x\) diapazoni uchun amal qilishini va \(x\) qiymatlari bo'lishi mumkinligini tan olish muhim bo'ladi, biz quvvat seriyasi tasviriga ulab bo'lmaydigan funktsiyaga ulashingiz mumkin.
Ushbu bo'limda biz funktsiyalarni \(\eqref{eq:eq2}\) bilan bog'lash mumkin bo'lgan quvvat seriyalari bilan ifodalashga e'tibor qaratamiz.
Shunday qilib, umid qilamizki, biz ba'zan quvvat seriyalari bilan ishlashda qilishimiz kerak bo'lgan ba'zi manipulyatsiya turlari bilan tanishamiz.
Shunday qilib, keling, bir nechta misollarga o'taylik.
Yechim
Bu erda qilishimiz kerak bo'lgan narsa bu funktsiyani \(\eqref{eq:eq2}\) bilan bog'lashdir. Bu aslida ko'rinadiganidan osonroq. Eslatib o'tamiz, \(\eqref{eq:eq2}\)-dagi \(x\) oddiygina o'zgaruvchidir va har qanday narsani ifodalashi mumkin. Shunday qilib, \(g\left( x \right)\)-ni tezda qayta yozish shuni beradi,
\[g\left( x \right) = \frac{1}{{1 - \left( { - {x^3}} \right)}}\]va shuning uchun \(g\left( x \right)\)-dagi \( - {x^3}\) \(\eqref{eq:eq2}\)-dagi \(x\) bilan bir xil o'rinni egallaydi. Shuning uchun, biz qilishimiz kerak bo'lgan yagona narsa \(x\)-ni \(\eqref{eq:eq3}\)-ga almashtirish va bizda \(g\left( x \right)\) uchun quvvat seriyasi tasviri mavjud.
\[g\left( x \right) = \sum\limits_{n = 0}^\infty {{{\left( { - {x^3}} \right)}^n}} \hspace{0.5in}{\mbox{provided }}\left| { - {x^3}} \right| < 1\]E'tibor bering, biz \(x\) ni quvvat seriyasida ham, konvergentsiya oralig'ida ham almashtirdik.
Endi biz qilishimiz kerak bo'lgan narsa - biroz soddalashtirish.
\[g\left( x \right) = \sum\limits_{n = 0}^\infty {{{\left( { - 1} \right)}^n}{x^{3n}}} \hspace{0.5in}{\mbox{provided }}{\left| x \right|^3} < 1\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}\left| x \right| < 1\]Demak, bu holda yaqinlashish oralig'i dastlabki darajalar qatori bilan bir xil bo'ladi. Bu odatda sodir bo'lmaydi. Ko'pincha yaqinlashuvning yangi oralig'i konvergentsiyaning dastlabki oralig'idan farq qiladi.
Yechim
Bu funksiya oldingi funksiyaga o'xshaydi. Farqi - bu surat va birinchi qarashda muhim farq bo'lib ko'rinadi. \(\eqref{eq:eq2}\) hisoblagichida \(x\) mavjud emasligi sababli, biz bu funktsiyani u bilan bog'lay olmaymiz.
Ammo, endi biz birinchi misolni ishlaganimizdan so'ng, bu juda oddiy, chunki biz ushbu misoldagi javob natijasini ishlatishimiz mumkin. Buni qanday qilishni ko'rish uchun avval funksiyani biroz qayta yozamiz.
\[h\left( x \right) = 2{x^2}\,\frac{1}{{1 + {x^3}}}\]Endi, birinchi misoldan bizda ikkinchi muddat uchun kuch qatori bor, shuning uchun funksiyani quyidagicha yozish uchun foydalanamiz:
\[h\left( x \right) = 2{x^2}\sum\limits_{n = 0}^\infty {{{\left( { - 1} \right)}^n}{x^{3n}}} \hspace{0.5in}{\mbox{provided }}\left| x \right| < 1\]E'tibor bering, \(x\) ning seriyadan tashqarida mavjudligi uning konvergentsiyasiga ta'sir qilmaydi va shuning uchun yaqinlashuv oralig'i bir xil bo'lib qoladi.
Oxirgi qadam koeffitsientni seriyaga kiritishdir va biz bajaramiz. Buni qilganimizda, \(x\)-ni ham birlashtirganingizga ishonch hosil qiling. Biz odatda quvvat seriyasida faqat bitta \(x\) ni xohlaymiz.
\[h\left( x \right) = \sum\limits_{n = 0}^\infty {2{{\left( { - 1} \right)}^n}{x^{3n + 2}}} \hspace{0.5in}{\mbox{provided }}\left| x \right| < 1\]Oldingi misolda ko'rganimizdek, bizga yordam berish uchun ko'pincha oldingi natijalardan foydalanishimiz mumkin. Bu esda tutilishi kerak bo'lgan muhim g'oya, chunki u ko'pincha ishimizni sezilarli darajada soddalashtirishi mumkin.
Yechim
Shunday qilib, bizda hisoblagichda \(x\) bor. Shunday qilib, oxirgi misolda bo'lgani kabi, keling, buni hisobga olamiz va bizda nima qolganligini ko'rib chiqamiz.
\[f\left( x \right) = x\,\,\frac{1}{{5 - x}}\]Biz uchun kuch qator vakillik bo'lsa edi
\[g\left( x \right) = \frac{1}{{5 - x}}\]biz \(f\left( x \right)\) uchun quvvat seriyali tasvirini olishimiz mumkin.
Shunday qilib, keling, birini topamiz. Biz birinchi navbatda \(\eqref{eq:eq2}\) dan foydalanish uchun maxrajdagi raqam bitta bo'lishi kerakligini payqashimiz kerak. Buni olish juda oson.
\[g\left( x \right) = \frac{1}{5}\,\,\frac{1}{{1 - \frac{x}{5}}}\]Endi kuch seriyasining tasvirini olish uchun faqat \(\eqref{eq:eq3}\)-dagi \(x\)-ni \(\frac{x}{5}\) bilan almashtirish kerak. Buni qilish,
\[g\left( x \right) = \frac{1}{5}\,\,\sum\limits_{n = 0}^\infty {{{\left( {\frac{x}{5}} \right)}^n}} \hspace{0.5in}{\mbox{provided }}\left| {\frac{x}{5}} \right| < 1\]Keling, seriyada biroz soddalashtiramiz.
\[\begin{align*}g\left( x \right) & = \frac{1}{5}\,\,\sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{{{x^n}}}{{{5^n}}}} \\ & = \sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{{{x^n}}}{{{5^{n + 1}}}}} \end{align*}\]Ushbu qator uchun yaqinlashish oralig'i,
\[\left| {\frac{x}{5}} \right| < 1\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}\frac{1}{5}\left| x \right| < 1\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}\left| x \right| < 5\]Xo'sh, bu \(g\left( x \right)\) uchun quvvat seriyasining namoyishi uchun ish edi, keling, asl funktsiya uchun quvvat seriyasining ko'rinishini topamiz. Buning uchun biz qilishimiz kerak bo'lgan yagona narsa \(g\left( x \right)\) uchun quvvat seriyasining ko'rinishini \(x\) ga ko'paytirishdir va biz bunga ega bo'lamiz.
\[\begin{align*}f\left( x \right) & = x\,\,\frac{1}{{5 - x}}\\ & = x\sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{{{x^n}}}{{{5^{n + 1}}}}} \\ & = \sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{{{x^{n + 1}}}}{{{5^{n + 1}}}}} \end{align*}\]Konvergentsiya oralig'i o'zgarmaydi va shuning uchun \(\left| x \right| < 5\) bo'ladi.
Shunday qilib, umid qilamizki, endi bizda ba'zi funktsiyalar uchun quvvat seriyasining ko'rinishini qanday topish haqida fikrimiz bor. To'g'ri, barcha funktsiyalar \(\eqref{eq:eq2}\) bilan bog'liq bo'lishi mumkin, ammo bu boshlanish.
Endi biz vaqti-vaqti bilan qilishimiz kerak bo'lgan kuch seriyalarining boshqa manipulyatsiyasini ko'rib chiqishimiz kerak. Biz kuch seriyalarining differentsiatsiyasi va integratsiyasini muhokama qilishimiz kerak.
Keling, kuch seriyalarini farqlashdan boshlaylik,
\[f\left( x \right) = \sum\limits_{n = 0}^\infty {{c_n}{{\left( {x - a} \right)}^n}} = {c_0} + {c_1}\left( {x - a} \right) + {c_2}{\left( {x - a} \right)^2} + {c_3}{\left( {x - a} \right)^3} + \cdots \]Endi biz bilamizki, agar biz atamalarning cheklangan yig'indisini farqlasak, har bir shartni farqlash va keyin ularni qayta qo'shish kerak. Cheksiz summalar bilan biz ehtiyot bo'lishimiz kerak bo'lgan ba'zi nozikliklar mavjud, ammo ular bu kurs doirasidan tashqarida.
Ammo biz uchun ma'lumki, agar \(f\left( x \right)\) quvvat seriyasining ko'rinishi \(R > 0\) ning yaqinlashuv radiusiga ega bo'lsa, kuch seriyasining terminlar bo'yicha differensiallashuvi atamasi ham \(R\) ning yaqinlashuv radiusiga ega bo'ladi va (bundan ham muhimi) hosila olinganda ham aynan o'sha \(R\) yaqinlashish radiusiga ega bo'lgan darajali qator hosil bo'ladi.
Yana shuni ta'kidlashimiz kerakki, agar biz kuch seriyasi bilan shug'ullanmasak, seriyaning hosilasini olish uchun seriyaning har bir atamasini farqlay olmasligimiz yoki bo'lmasligimiz mumkin.
Demak, bularning barchasi biz uchun nimani anglatadi,
\[f'\left( x \right) = \frac{d}{{dx}}\sum\limits_{n = 0}^\infty {{c_n}{{\left( {x - a} \right)}^n}} = {c_1} + 2{c_2}\left( {x - a} \right) + 3{c_3}{\left( {x - a} \right)^2} + \cdots = \sum\limits_{n = 1}^\infty {n{c_n}{{\left( {x - a} \right)}^{n - 1}}} \]Ushbu seriyaning boshlang'ich qiymatiga e'tibor bering. U \(n = 0\) dan \(n = 1\) ga o'zgartirildi. Bu birinchi atamaning hosilasi nolga teng ekanligini va shuning uchun hosilada emasligini tan olishdir. E'tibor bering, shundan beri n=0 Yuqoridagi seriyaning muddati ham nolga teng, agar ma'lum bir muammo uchun kerak bo'lsa, seriyani \(n = 0\) da boshlashimiz mumkin. Umuman olganda, bu sinfda bu amalga oshirilmaydi.
Endi biz yuqori tartibli hosilalar uchun formulalarni topishimiz mumkin.
\[\begin{align*}f''\left( x \right) & = \sum\limits_{n = 2}^\infty {n\left( {n - 1} \right){c_n}{{\left( {x - a} \right)}^{n - 2}}} \\ f'''\left( x \right) & = \sum\limits_{n = 3}^\infty {n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right){c_n}{{\left( {x - a} \right)}^{n - 3}}} \\ & etc.\end{align*}\]Yana bir bor e'tibor bering, \(n\) ning boshlang'ich qiymati har bir differensiatsiyada o'zgarib turadi, bu asl seriyadan atama nolga teng ekanligini tan olish uchun.
Endi integratsiya haqida qisqacha gapiraylik. Farqlashda bo'lgani kabi, bizda cheksiz seriyalar mavjud bo'lganda, biz faqat integratsiya atamasidan ehtiyot bo'lishimiz kerak. Xuddi lotinlarga o'xshab, biz kuch seriyalari bilan ishlayotgan ekanmiz, seriyaning integralini olish uchun seriya shartlarini birlashtira olamiz. Boshqacha aytganda,
\[\begin{align*}\int{{f\left( x \right)\,dx}} & = \int{{\sum\limits_{n = 0}^\infty {{c_n}{{\left( {x - a} \right)}^n}} \,dx}}\\ & = \sum\limits_{n = 0}^\infty {\int{{{c_n}{{\left( {x - a} \right)}^n}\,dx}}} \,\\ & = C + \sum\limits_{n = 0}^\infty {{c_n}\frac{{{{\left( {x - a} \right)}^{n + 1}}}}{{n + 1}}} \end{align*}\]E'tibor bering, biz ketma-ketlikdan tashqarida bo'lgan \(C\) integratsiya doimiysini olamiz.
Keling, bir yoki ikkita misolga o'tishdan oldin farqlash va integratsiya g'oyalarini umumlashtiramiz.
Quvvat seriyasini farqlash va integratsiyalash
Agar \(f\left( x \right) = \sum\limits_{n = 0}^\infty {{c_n}{{\left( {x - a} \right)}^n}} \) \(R > 0\) ning yaqinlashuv radiusiga ega bo'lsa, u holda,
\[f'\left( x \right) = \sum\limits_{n = 1}^\infty {n{c_n}{{\left( {x - a} \right)}^{n - 1}}} \hspace{0.5in}\int{{f\left( x \right)\,dx}} = C + \sum\limits_{n = 0}^\infty {{c_n}\frac{{{{\left( {x - a} \right)}^{n + 1}}}}{{n + 1}}} \]va bu ikkalasi ham \(R\) ning yaqinlashuv radiusiga ega.
Endi keling, ushbu faktlardan qanday qilib funktsiyalarning kuch seriyali tasvirlarini yaratish uchun foydalanish mumkinligini ko'rib chiqaylik.
Yechim
Bu muammoni hal qilish uchun buni e'tiborga olaylik
\[\frac{1}{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}} = \frac{d}{{dx}}\left( {\frac{1}{{1 - x}}} \right)\]Keyin bizda kuch seriyasining tasviri bor
\[\frac{1}{{1 - x}}\]Biz qilishimiz kerak bo'lgan narsa - \(g\left( x \right)\) uchun quvvat seriyasining ko'rinishini olish uchun ushbu quvvat seriyasini farqlash.
\[\begin{align*}g\left( x \right) & = \frac{1}{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}}\\ & = \frac{d}{{dx}}\left( {\frac{1}{{1 - x}}} \right)\\ & = \frac{d}{{dx}}\left( {\sum\limits_{n = 0}^\infty {{x^n}} } \right)\\ & = \sum\limits_{n = 1}^\infty {n{x^{n - 1}}} \end{align*}\]Keyin asl kuch seriyasi \(R = 1\) hosilasining yaqinlashuv radiusiga ega bo'lganligi sababli, shuning uchun g(x), shuningdek \(R = 1\) ning yaqinlashuv radiusiga ega bo'ladi.
Yechim
Bunday holda, biz buni e'tiborga olishimiz kerak
\[\int{{\frac{1}{{5 - x}}\,dx}} = - \ln \left( {5 - x} \right)\]va keyin biz uchun kuch seriyali vakili borligini eslaylik
\[\frac{1}{{5 - x}}\]Esda tutingki, biz 3-misolda buning tasvirini topdik. Shunday qilib,
\[\begin{align*}\ln \left( {5 - x} \right) & = - \int{{\frac{1}{{5 - x}}\,dx}}\\ & = - \int{{\sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{{{x^n}}}{{{5^{n + 1}}}}} \,dx}}\\ & = C - \sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{{{x^{n + 1}}}}{{\left( {n + 1} \right){5^{n + 1}}}}} \end{align*}\]Biz \(x\) qiymatini kiritish orqali \(C\) integrasiya konstantasini topishimiz mumkin. Yaxshi tanlov \(x = 0\), chunki bu seriyani baholashni osonlashtiradi.
\[\begin{align*}\ln \left( {5 - 0} \right) & = C - \sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{{{0^{n + 1}}}}{{\left( {n + 1} \right){5^{n + 1}}}}} \\ & \ln \left( 5 \right) = C\end{align*}\]Demak, yakuniy javob:
\[\ln \left( {5 - x} \right) = \ln \left( 5 \right) - \sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{{{x^{n + 1}}}}{{\left( {n + 1} \right){5^{n + 1}}}}} \]E'tibor bering, bunday seriyadan tashqarida doimiy o'tirish yaxshidir. Darhaqiqat, uni seriyaga kiritishning iloji yo'q, shuning uchun bundan hayajonlanmang.
Nihoyat, 3-misoldagi quvvat seriyasining tasviri \(R=5\) ning yaqinlashish radiusiga ega bo'lganligi sababli, bu seriya ham \(R=5\) yaqinlashuv radiusiga ega bo'ladi.