7.4-bo'lim: Kengaytirilgan matritsa haqida ko'proq
Ushbu bobning birinchi qismida biz ikkita tenglama sistemasini echishda ba'zi maxsus holatlar mavjudligini ko'rdik. Biz hech qanday yechim bo'lishi shart emasligini va bizda cheksiz ko'p echimlar bo'lishi mumkinligini ko'rdik. Ushbu bo'limda biz buni umumiy tenglamalar sistemalariga umumlashtiramiz va tizimni yechish uchun kengaytirilgan matritsalardan foydalanganda bu holatlarni qanday hal qilishni ko'rib chiqamiz.
Avvaliga quyidagi faktni keltiramiz.
Yechimlarning mumkin bo'lgan raqamlari
Har qanday tenglamalar sistemasini hisobga olsak, uni hal qilishning uchta varianti mavjud.
- Yechim bo'lmaydi.
- Aynan bitta yechim bo'ladi.
- Cheksiz ko'p echimlar bo'ladi.
Biz ikkita tenglamani ko'rib chiqayotganimizda aynan shu imkoniyatlarni topdik. Ma'lum bo'lishicha, bizda qancha tenglama borligi muhim emas. Bu uchta imkoniyat hali ham mavjud.
Keling, hal qilish uchun kengaytirilgan matritsa usulidan foydalanganda birinchi va oxirgi imkoniyatni qanday aniqlash mumkinligini ko'rib chiqaylik. Oldingida biz kengaytirilgan matritsani quyidagi shaklga aylantirish uchun qator operatsiyalaridan foydalanmoqchi ekanligimizni aytdik:
\[\left[ {\begin{array}{rr|r}1&0&h\\0&1&k\end{array}} \right]\hspace{0.25in}\text{yoki}\hspace{0.25in}\left[ {\begin{array}{rrr|r}1&0&0&p\\0&1&0&q\\0&0&1&r\end{array}} \right]\]tizimda mavjud bo'lgan tenglamalar soniga bog'liq. Ma'lum bo'lishicha, biz ushbu ko'rsatmaga "iloji bo'lsa" kvalifikatsiyasini qo'shishimiz kerak edi, chunki buni qilish har doim ham mumkin emas. Aslida, agar uni ushbu shakllardan biriga kiritishning iloji bo'lmasa, biz tizimni hal qilish uchun birinchi yoki oxirgi imkoniyatda ekanligimizni bilib olamiz.
Ba'zi misollarga kirishdan oldin, keling, kengaytirilgan matritsaning ushbu shakllariga asoslangan yechim nima ekanligini qanday bilganimizni ko'rib chiqaylik. Keling, ikkita tenglama holati bilan ishlaylik.
Chunki,
\[\left[ {\begin{array}{rr|r}1&0&h\\0&1&k\end{array}} \right]\]kengaytirilgan matritsa bo'lib, biz har doim tenglamalarga aylantira olamiz. Har bir satr tenglamani ifodalaydi va birinchi ustun tenglamadagi \(x\) koeffitsienti, ikkinchi ustun esa tenglamadagi \(y\) koeffitsienti hisoblanadi. Yakuniy ustun tenglamaning o'ng tomonida bo'ladigan doimiydir.
Shunday qilib, agar biz buni ushbu ish uchun qilsak, biz olamiz,
\[\begin{align*}\left( 1 \right)x + \left( 0 \right)y & = h\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}\,\,\,\,x = h\\ \left( 0 \right)x + \left( 1 \right)y & = k\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}\,\,\,\,y = k\end{align*}\]va bu biz oldingi bo'limda yechim ekanligini aytgan edik.
Kengaytirilgan matritsani yana tenglamalarga aylantirish g'oyasi quyidagi misollarda muhim ahamiyatga ega bo'ladi.
Bu haqda gapirganda, keling, bir nechta misollarni ko'rib chiqaylik. Biz yechimlarning maxsus holatlarini bergan birinchi bo'limda ko'rib chiqqan ikkita tenglamalar sistemasidan boshlaymiz.
- \(\begin{align*}x - y &= 6\\ - 2x + 2y & = 1\end{align*}\)
- \(\begin{align*}2x + 5y &= - 1\\ - 10x - 25y & = 5\end{align*}\)
a \(\begin{align*}x - y &= 6\\ - 2x + 2y & = 1\end{align*}\) Yechim
Endi, bizda allaqachon Buni ishlab chiqdik, shuning uchun biz bu tizimga hech qanday yechim yo'qligini bilamiz. Buni bilib, keling, kengaytirilgan matritsa usulidan foydalanishga harakat qilganimizda bizga nima berishini ko'rib chiqaylik.
Biz kengaytirilgan matritsadan boshlaymiz.
\[\require{color} \left[ {\begin{array}{rr|r}1&{ - 1}&6\\{\color{Red} - 2}&2&1\end{array}} \right]\]E'tibor bering, bizda yuqori chap burchakda allaqachon 1 bor, shuning uchun u bilan hech narsa qilishimiz shart emas. Shunday qilib, biz -2 ni 0 ga aylantirishimiz kerak.
\[\require{color} \left[ {\begin{array}{rr|r}1&{ - 1}&6\\{\color{Red} - 2}&2&1\end{array}} \right]\begin{array}{*{20}{c}}{{R_2} + 2{R_1} \to {R_2}}\\ \to \end{array}\left[ {\begin{array}{rr|r}1&{ - 1}&6\\0&{\color{Red} 0}&{13}\end{array}} \right]\]Endi keyingi qadam pastki o'ng burchakda 1ni olish bo'lishi kerak, ammo pastki chap burchakdagi nolni o'zgartirmasdan buni qilishning hech qanday usuli yo'q. Bu muammo, chunki bizda bu nuqtada nol va pastki o'ng burchakda bitta bo'lishi kerak. Bu bizga shuni aytadiki, bu kengaytirilgan matritsa shaklini qo'yish mumkin emas.
Endi tenglamalarga qayting va bu holatda nima borligini ko'ring.
\[\begin{align*}x - y & = 6\\ 0 & = 13\,\,\,???\end{align*}\]Birinchi qator faqat birinchi tenglamaga aylanadi. Biroq, ikkinchi qator yana bema'nilikka aylanadi. Biz bu to'g'ri emasligini bilamiz, shuning uchun hech qanday yechim yo'q. Esingizda bo'lsin, agar biz mantiqiy bo'lmagan tenglamaga ega bo'lgan nuqtaga erishsak, bizda yechim yo'q.
E'tibor bering, agar biz olgan bo'lsak
\[\left[ {\begin{array}{rr|r}1&{ - 1}&6\\0&1&0\end{array}} \right]\]Biz yaxshi bo'lardik, chunki oxirgi qator \(y = 0\) tenglamasini qaytaradi, shuning uchun bu holat va ushbu tizim uchun biz olgan narsalar o'rtasida adashmang.
b \(\begin{align*}2x + 5y &= - 1\\ - 10x - 25y & = 5\end{align*}\) Yechim
Bu holda biz bilish birinchi bo'limdan boshlab, bu tizimning cheksiz ko'p echimlari mavjud. Keling, yechim uchun kengaytirilgan matritsa usulidan foydalanganda nimaga erishganimizni ko'rib chiqaylik.
Mana ushbu tizim uchun kengaytirilgan matritsa.
\[\require{color} \left[ {\begin{array}{rr|r}{\color{Red} 2}&5&{ - 1}\\{ - 10}&{ - 25}&5\end{array}} \right]\]Bunday holda, biz birinchi navbatda yuqori chap burchakda 1ni olishimiz kerak va buni kasrlardan saqlaydigan oson yo'l bo'lmaydi, shuning uchun biz birinchi qatorni 2 ga bo'lamiz.
\[\require{color} \left[ {\begin{array}{rr|r}{\color{Red} 2}&5&{ - 1}\\{ - 10}&{ - 25}&5\end{array}} \right]\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{1}{2}{R_1}}\\ \to \end{array}\left[ {\begin{array}{rr|r}1&{\frac{5}{2}}&{ - \frac{1}{2}}\\{\color{Red} - 10}&{ - 25}&5\end{array}} \right]\]Endi biz pastki chap burchakda nolni olishimiz mumkin.
\[\require{color} \left[ {\begin{array}{rr|r}1&{\frac{5}{2}}&{ - \frac{1}{2}}\\{\color{Red} - 10}&{ - 25}&5\end{array}} \right]\begin{array}{*{20}{c}}{{R_2} + 10{R_1} \to {R_2}}\\ \to \end{array}\left[ {\begin{array}{rr|r}1&{\frac{5}{2}}&{ - \frac{1}{2}}\\0&{\color{Red} 0}&0\end{array}} \right]\]Endi, birinchi qismda bo'lgani kabi, biz bu qatordagi birinchi nolni o'zgartirmasdan, qizil nol o'rniga hech qachon 1 ni qo'lga kirita olmaymiz. Biroq, bu birinchi qismda paydo bo'lgan bema'nilik emas. Keling, tenglamalarga qaytaylik.
\[\begin{align*}x + \frac{5}{2}y & = - \frac{1}{2}\\ 0 & = 0\end{align*}\]Oxirgi tenglama haqiqiy tenglamadir va shuning uchun buning hech qanday yomon joyi yo'q. Bunday holda bizda cheksiz ko'p echimlar mavjud.
Eslatib o'tamiz, hal qilish uchun biz hali ham ozgina ish qilishimiz kerak. O'zgaruvchilardan biri uchun tenglamalardan birini yechamiz. Shuni yodda tutingki, agar biz kengaytirilgan matritsadan tenglamadan foydalansak, buni qilish juda oson.
\[x = - \frac{5}{2}y - \frac{1}{2}\]Keyin yechimni quyidagicha yozamiz:
\[\begin{array}{*{20}{c}}\begin{aligned}x & = - \frac{5}{2}t - \frac{1}{2}\\ y & = t\end{aligned}&{\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\mbox{where }}t{\mbox{ is any real number}}}\end{array}\]Biz \(t\) ni tanlab, uni \(x\) tenglamasiga kiritish orqali yechim topamiz. E'tibor bering, bu biz birinchi bo'limda olgan tenglamalar to'plami emas. Bu yaxshi. Cheksiz ko'p echimlar mavjud bo'lganda, barcha echimlarni tavsiflaydigan tenglamalarni yozishning bir nechta usullari mavjud.
Keling, oldingi misollar to'plamida o'rganganimizni umumlashtiramiz. Birinchidan, agar bizda oxirgisidan tashqari barcha yozuvlar nolga teng bo'lsa va oxirgi yozuv nolga teng bo'lmasa, biz to'xtab qolamiz va tizimda hech qanday yechim bo'lmaydi.
Keyinchalik, agar biz barcha nollardan iborat qatorni olsak, bizda cheksiz ko'p echimlar bo'ladi. Keyin yechimni olish uchun biroz ko'proq ish qilishimiz kerak bo'ladi va tenglamalar soni qancha ish qilishimiz kerakligini aniqlaydi.
Keling, uchta tenglamali ba'zi tizimlar qanday ishlashini ko'rib chiqaylik. Yechimsiz holat bir xil bo'ladi, lekin cheksiz yechim ishi biroz ish qilishi kerak.
Yechim
Mana ushbu tizim uchun kengaytirilgan matritsa.
\[\require{color} \left[ {\begin{array}{rrr|r}{\color{Red} 3}&{ - 3}&{ - 6}&{ - 3}\\2&{ - 2}&{ - 4}&{10}\\{ - 2}&3&1&7\end{array}} \right]\]Biz birinchi qatorni 3 ga bo'lish orqali yuqori chap burchakda 1 ni olishimiz mumkin.
\[\require{color} \left[ {\begin{array}{rrr|r}{\color{Red} 3}&{ - 3}&{ - 6}&{ - 3}\\2&{ - 2}&{ - 4}&{10}\\{ - 2}&3&1&7\end{array}} \right]\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{1}{3}{R_1}}\\ \to \end{array}\left[ {\begin{array}{rrr|r}1&{ - 1}&{ - 2}&{ - 1}\\{\color{Red} 2}&{ - 2}&{ - 4}&{10}\\{\color{Red} - 2}&3&1&7\end{array}} \right]\]Keyinchalik, biz bu raqam ostidagi ikkita raqamni nolga tenglashtiramiz.
\[\require{color} \left[ {\begin{array}{rrr|r}1&{ - 1}&{ - 2}&{ - 1}\\{\color{Red} 2}&{ - 2}&{ - 4}&{10}\\{\color{Red} - 2}&3&1&7\end{array}} \right]\begin{array}{*{20}{c}}{{R_2} - 2{R_1} \to {R_2}}\\{{R_3} + 2{R_1} \to {R_3}}\\ \to \end{array}\left[ {\begin{array}{rrr|r}1&{ - 1}&{ - 2}&{ - 1}\\0&0&0&{12}\\0&1&{ - 3}&5\end{array}} \right]\]Va biz to'xtashimiz mumkin. O'rta qator nolga teng bo'lmagan yakuniy yozuvdan tashqari barcha nolga teng. E'tibor bering, agar u nol bo'lmasa, raqam qanday bo'lishi muhim emas.
Ushbu turdagi qatorga erishganimizdan so'ng, tizimda hech qanday yechim bo'lmasligini bilamiz va shuning uchun uzoqqa borish uchun hech qanday sabab yo'q.
Xo'sh, keling, kengaytirilgan matritsa usuli bilan cheksiz sonli yechimlari bo'lgan uchta tenglamalar sistemasini qanday echishimizni ko'rib chiqaylik. Ushbu misol, shuningdek, tizimlar haqida qiziqarli fikrni ko'rsatadi.
Yechim
E'tibor bering, ushbu tizim oldingi misoldagi tizim bilan deyarli bir xil. Faqatgina farq ikkinchi tenglamadagi tenglik belgisining o'ng tomonidagi raqamdir. Ushbu tizimda u -2 va oldingi misolda 10 edi. Bitta raqamni o'zgartirish biz oladigan yechim turini butunlay o'zgartiradi. Ko'pincha bunday oddiy o'zgarish biz oladigan yechim turiga ta'sir qilmaydi, lekin ba'zi kamdan-kam hollarda bo'lishi mumkin.
Jarayonning dastlabki ikki bosqichi oldingi qism bilan bir xil bo'lgani uchun biz ularni muhokama qilmaymiz. Mana ular.
\[\require{color} \left[ {\begin{array}{rrr|r}{\color{Red} 3}&{ - 3}&{ - 6}&{ - 3}\\2&{ - 2}&{ - 4}&{ - 2}\\{ - 2}&3&1&7\end{array}} \right]\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{1}{3}{R_1}}\\ \to \end{array}\left[ {\begin{array}{rrr|r}1&{ - 1}&{ - 2}&{ - 1}\\{\color{Red} 2}&{ - 2}&{ - 4}&{ - 2}\\{\color{Red} - 2}&3&1&7\end{array}} \right]\begin{array}{*{20}{c}}{{R_2} - 2{R_1} \to {R_2}}\\{{R_3} + 2{R_1} \to {R_3}}\\ \to \end{array}\left[ {\begin{array}{rrr|r}1&{ - 1}&{ - 2}&{ - 1}\\0&0&0&0\\0&1&{ - 3}&5\end{array}} \right]\]Bizda barcha nollarning qatori bor, shuning uchun bizda cheksiz ko'p echimlar borligini darhol bilamiz. Ikkala tenglama holatidan farqli o'laroq, biz to'xtamaymiz. Bir nechta satr amallari yordamida biz ikkinchi ustunni oxirgi shaklda bo'lishi kerak bo'lgan ko'rinishga keltira olamiz, shuning uchun buni qilaylik.
\[\require{color} \left[ {\begin{array}{rrr|r}1&{ - 1}&{ - 2}&{ - 1}\\0&{\color{Red} 0}&0&0\\0&1&{ - 3}&5\end{array}} \right]\begin{array}{*{20}{c}}{{R_2} \to {R_3}}\\ \to \end{array}\left[ {\begin{array}{rrr|r}1&{\color{Red} - 1}&{ - 2}&{ - 1}\\0&1&{ - 3}&5\\0&0&0&0\end{array}} \right]\begin{array}{*{20}{c}}{{R_1} + {R_2} \to {R_1}}\\ \to \end{array}\left[ {\begin{array}{rrr|r}1&0&{ - 5}&4\\0&1&{ - 3}&5\\0&0&0&0\end{array}} \right]\]Bunday holda, biz ikkinchi ustunni kerakli ko'rinishga keltira oldik va uchinchi ustun hech qachon to'g'ri ko'rinmaydi. Biroq, vaziyat teskari bo'lishi mumkin va biz uchinchi ustunni to'g'ri ko'rsatishimiz mumkin, ikkinchisi esa to'g'ri ko'rinmaydi. Har bir tizim boshqacha.
Bu nuqtaga yetganimizdan keyin biz tenglamalarga qaytamiz.
\[\begin{align*}x - 5z & = 4\\ y - 3z & = 5\end{align*}\]Endi bu ikkala tenglamada \(z\) mavjud va shuning uchun biz uni har bir tenglamaning boshqa tomoniga o'tkazamiz.
\[\begin{align*}x & = 5z + 4\\ y & = 3z + 5\end{align*}\]Bu shuni anglatadiki, biz \(z\) qiymatini bepul tanlaymiz va yechimni quyidagicha yozamiz:
\[\begin{array}{*{20}{c}}\begin{aligned}x & = 5t + 4\\ y & = 3t + 5\\ z & = t\end{aligned}&{\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\mbox{where}}\,\,\,t{\mbox{ is any real number}}}\end{array}\]\(t\) ni tanlashning cheksiz ko'p usullari mavjud bo'lgani uchun bu tizim uchun cheksiz ko'p echimlar mavjud.