7.8-bo'lim: Noto'g'ri integrallar
Ushbu bo'limda biz bir nechta turli xil integrallarni ko'rib chiqishimiz kerak. Bularning ikkalasi ham noto'g'ri integral deb ataladigan integrallarga misollardir.
Keling, biz ko'rib chiqmoqchi bo'lgan birinchi turdagi noto'g'ri integrallardan boshlaylik.
Cheksiz interval
Bunday integralda integratsiya chegaralaridan biri yoki ikkalasi cheksizdir. Bunday hollarda integratsiya oralig'i cheksiz intervaldan ortiq deyiladi.
Keling, ushbu integrallarni qanday hal qilishimizni ko'rsatadigan misolni ko'rib chiqaylik.
Yechim
Bu etarlicha begunoh ko'rinadigan integraldir. Biroq, cheksizlik haqiqiy raqam emasligi sababli, biz odatdagidek birlasha olmaymiz va javob olish uchun cheksizlikni "ulay olmaymiz".
Ushbu integralni qanday amalga oshirishni ko'rish uchun buni hudud muammosi deb hisoblaylik. Shunday qilib, integral nima ekanligini so'rash o'rniga, \(\left[ {1,\,\infty } \right)\) oralig'ida \(f\left( x \right) = \frac{1}{{{x^2}}}\) ostidagi maydon nima ekanligini so'raylik.
Biz hali ham buni uddalay olmayapmiz, ammo keling, bir oz orqaga chekinamiz va buning o'rniga \(t > 1\) va \(t\) cheklangan \(\left[ {1,t} \right]\) oralig'ida \(f\left( x \right)\) ostidagi maydon nima ekanligini so'raylik. Bu biz qila oladigan muammo.
\[{A_{\,t}} = \int_{{\,\,1}}^{{\,t}}{{\frac{1}{{{x^2}}}\,dx}} = \left. { - \frac{1}{x}} \right|_1^t = 1 - \frac{1}{t}\]Endi biz \({A_t}\) chegarasini olib, \(\left[ {1,\,\infty } \right)\) da \(f\left( x \right)\) ostidagi maydonni olishimiz mumkin, chunki \(t\) cheksizlikka boradi.
\[A = \mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } {A_{\,t}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } \left( {1 - \frac{1}{t}} \right) = 1\]Keyin biz integralning o'zini shunday qilamiz.
\[\begin{align*}\int_{{\,\,1}}^{{\,\infty }}{{\frac{1}{{{x^2}}}\,dx}} & = \mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } \int_{{\,\,1}}^{{\,t}}{{\frac{1}{{{x^2}}}\,dx}}\\ & = \mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } \left. {\left( { - \frac{1}{x}} \right)} \right|_1^t\\ & = \mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } \left( {1 - \frac{1}{t}} \right) = 1\end{align*}\]Shunday qilib, biz bunday integrallarni umumiy tarzda ko'rib chiqamiz. Biz cheksizlikni o'zgaruvchi bilan almashtiramiz (odatda \(t\)), integralni bajaramiz va keyin \(t\) cheksizlikka o'tishi bilan natija chegarasini olamiz.
Yon eslatmada, cheksiz oraliqdagi egri chiziq ostidagi maydon biz taxmin qilgandek cheksiz emasligiga e'tibor bering. Aslida, bu hayratlanarli darajada kichik raqam edi. Albatta, bu har doim ham shunday bo'lmaydi, lekin shuni ta'kidlash kerakki, cheksiz oraliqdagi barcha maydonlar cheksiz maydonlarni keltirib chiqarmaydi.
Keling, ba'zi ta'riflarni yo'ldan chiqaraylik. Biz bu integrallarni chaqiramiz konvergent agar bog'langan chegara mavjud bo'lsa va cheklangan son bo'lsa (i.e. bu ortiqcha yoki minus cheksizlik emas) va turlicha agar tegishli chegara mavjud bo'lmasa yoki (ortiqcha yoki minus) cheksizlik bo'lsa.
Endi cheksiz intervallar bilan ishlash usulini rasmiylashtiramiz. Biz ko'rib chiqishimiz kerak bo'lgan uchta holat mavjud.
Cheksiz intervalli integrallar
- Agar har bir \(t > a\) uchun \( \displaystyle \int_{{\,a}}^{{\,t}}{{f\left( x \right)\,dx}}\) mavjud bo'lsa,
\[\int_{{\,a}}^{{\,\,\infty }}{{f\left( x \right)\,dx}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } \int_{{\,a}}^{{\,t}}{{f\left( x \right)\,dx}}\]
chegara mavjud va cheklangan bo'lsa.
- Agar har bir \(t < b\) uchun \( \displaystyle \int_{{\,t}}^{{\,b}}{{f\left( x \right)\,dx}}\) mavjud bo'lsa,
\[\int_{{\, - \infty }}^{{\,\,b}}{{f\left( x \right)\,dx}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to \, - \infty } \int_{{\,t}}^{{\,b}}{{f\left( x \right)\,dx}}\]
chegaralar mavjud va cheklangan bo'lsa.
- Agar \( \displaystyle \int_{{\, - \infty }}^{{\,c}}{{f\left( x \right)\,dx}}\) va \( \displaystyle \int_{{\,c}}^{{\,\,\infty }}{{f\left( x \right)\,dx}}\) ikkalasi ham konvergent bo'lsa,
\[\int_{{\, - \infty }}^{{\,\infty }}{{f\left( x \right)\,dx}} = \int_{{\, - \infty }}^{{\,c}}{{f\left( x \right)\,dx}} + \int_{{\,c}}^{{\,\infty }}{{f\left( x \right)\,dx}}\]
Bu erda \(c\) istalgan raqam. Shuni ham yodda tutingki, bu integral ham yaqinlashish uchun ikkala integralning yaqinlashishini talab qiladi. Agar ikkala integraldan biri divergent bo'lsa, bu integral ham shunday bo'ladi.
Keling, yana bir nechta misollarni ko'rib chiqaylik.
Yechim
Shunday qilib, biz qiladigan birinchi narsa integralni chegaraga aylantirishdir.
\[\int_{{\,\,1}}^{{\,\infty }}{{\frac{1}{x}\,dx}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } \int_{{\,\,1}}^{{\,t}}{{\frac{1}{x}\,dx}}\]Endi integral va chegarani bajaring.
\[\begin{align*}\int_{{\,\,1}}^{{\,\infty }}{{\frac{1}{x}\,dx}} & = \mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } \left. {\ln \left( x \right)} \right|_1^t\\ & = \mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } \left( {\ln \left( t \right) - \ln 1} \right)\\ & = \infty \end{align*}\]Demak, chegara cheksiz va shuning uchun integral divergent hisoblanadi.
Agar maydon nuqtai nazaridan fikrlashga qaytadigan bo'lsak, \(\left[ {1,\,\infty } \right)\) oralig'ida \(g\left( x \right) = \frac{1}{x}\) ostidagi maydon cheksiz ekanligiga e'tibor bering. Bu \(f\left( x \right) = \frac{1}{{{x^2}}}\) ostidagi maydondan farqli o'laroq, juda kichik edi. Haqiqatan ham bu ikki funktsiya o'rtasida unchalik katta farq yo'q, lekin ular ostidagi maydonda katta farq bor. Biz buni aslida quyidagi faktga kengaytirishimiz mumkin.
\(\displaystyle \frac{1}{x^p}\) integralining konvergentsiyasi
Agar \(a > 0\) bo'lsa
\[\int_{{\,a}}^{{\,\infty }}{{\frac{1}{{{x^p}}}\,dx}}\]agar \(p > 1\) konvergent va \(p \le 1\) bo'lsa divergent bo'ladi.
Bu haqiqatga e'tibor qaratish kerak bo'lgan narsa shundaki, agar integral etarlicha tez nolga tushsa, u holda integral yaqinlashadi. Qanchalik tez yetarli? Agar biz ushbu faktdan qo'llanma sifatida foydalansak, \(\frac{1}{x}\) nolga qaraganda tezroq nolga o'tadigan integrallar yaqinlashishi mumkin.
Keling, yana bir nechta misollarni ko'rib chiqaylik.
Yechim
Agar siz ularni qanday qilishni bilsangiz, bu muammolarni hal qilish uchun juda ko'p narsa yo'q. Biz integralni chegara/integral juftligiga aylantiramiz, integralni va keyin chegarani baholaymiz.
\[\begin{align*}\int_{{\, - \infty }}^{{\,0}}{{\frac{1}{{\sqrt {3 - x} }}\,dx}} & = \mathop {\lim }\limits_{t \to - \infty } \int_{{\,t}}^{{\,0}}{{\frac{1}{{\sqrt {3 - x} }}\,dx}}\\ & = \mathop {\lim }\limits_{t \to - \infty } \left. { - 2\sqrt {3 - x} } \right|_t^0\\ & = \mathop {\lim }\limits_{t \to - \infty } \left( { - 2\sqrt 3 + 2\sqrt {3 - t} } \right)\\ & = - 2\sqrt 3 + \infty \\ & = \infty \end{align*}\]Demak, chegara cheksiz va shuning uchun bu integral divergent hisoblanadi.
Yechim
Bu holda biz ikkala chegarada ham cheksizlikka egamiz. Cheksiz limitlar bilan ishlash uchun biz foydalanadigan jarayon integralda faqat bitta cheksiz chegarani talab qiladi va shuning uchun biz integralni ikkita alohida integralga bo'lishimiz kerak bo'ladi. Biz har qanday nuqtada integralni ajratishimiz mumkin, shuning uchun \(x = 0\) ni tanlaylik, chunki bu baholash jarayoni uchun qulay nuqta bo'ladi. U holda integral,
\[\int_{{\, - \infty }}^{{\,\infty }}{{x{{\bf{e}}^{ - {x^2}}}\,dx}} = \int_{{\, - \infty }}^{{\,0}}{{x{{\bf{e}}^{ - {x^2}}}\,dx}} + \int_{{\,0}}^{{\,\infty }}{{x{{\bf{e}}^{ - {x^2}}}\,dx}}\]Endi biz har bir chegarani alohida ko'rib chiqishimiz kerak.
\[\begin{align*}\int_{{\, - \infty }}^{{\,0}}{{x{{\bf{e}}^{ - {x^2}}}\,dx}} & = \mathop {\lim }\limits_{t \to - \infty } \int_{{\,t}}^{{\,0}}{{x{{\bf{e}}^{ - {x^2}}}\,dx}}\\ & = \mathop {\lim }\limits_{t \to - \infty } \left. {\left( { - \frac{1}{2}{{\bf{e}}^{ - {x^2}}}} \right)} \right|_t^0\\ & = \mathop {\lim }\limits_{t \to - \infty } \left( { - \frac{1}{2} + \frac{1}{2}{{\bf{e}}^{ - {t^2}}}} \right)\\ & = - \frac{1}{2}\end{align*}\]Demak, birinchi integral konvergent hisoblanadi. E'tibor bering, bu ikkinchi integral ham yaqinlashishini anglatmaydi. Shunday qilib, keling, buni ko'rib chiqaylik.
\[\begin{align*}\int_{{\,0}}^{{\,\infty }}{{x{{\bf{e}}^{ - {x^2}}}\,dx}} & = \mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } \int_{{\,0}}^{{\,t}}{{x{{\bf{e}}^{ - {x^2}}}\,dx}}\\ & = \mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } \left. {\left( { - \frac{1}{2}{{\bf{e}}^{ - {x^2}}}} \right)} \right|_0^t\\ & = \mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } \left( { - \frac{1}{2}{{\bf{e}}^{ - {t^2}}} + \frac{1}{2}} \right)\\ & = \frac{1}{2}\end{align*}\]Bu integral konvergent va shuning uchun ikkalasi ham yaqinlashuvchi bo'lganligi sababli, bizdan ko'rib chiqishimiz so'ralgan integral ham yaqinlashadi va uning qiymati:
\[\int_{{\, - \infty }}^{{\,\infty }}{{x{{\bf{e}}^{ - {x^2}}}\,dx}} = \int_{{\, - \infty }}^{{\,0}}{{x{{\bf{e}}^{ - {x^2}}}\,dx}} + \int_{{\,0}}^{{\,\infty }}{{x{{\bf{e}}^{ - {x^2}}}\,dx}} = - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 0\]Yechim
Avval chegaraga aylantiring.
\[\begin{align*}\int_{{\, - 2}}^{{\,\infty }}{{\sin x\,dx}} & = \mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } \int_{{\, - 2}}^{{\,t}}{{\sin x\,dx}}\\ & = \mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } \left. {\left( { - \cos x} \right)} \right|_{ - 2}^t\\ & = \mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } \left( {\cos 2 - \cos t} \right)\end{align*}\]Bu chegara mavjud emas va shuning uchun integral farqlanadi.
Cheksiz vaqt oralig'ida ishlaydigan Calculus II sinfidagi ko'pgina misollarda chegara mavjud yoki cheksizdir. Biroq, oldingi misolda ko'rsatilgandek, mavjud bo'lmagan cheklovlar mavjud, shuning uchun ular haqida unutmang.
Uzluksiz integral
Endi biz ushbu bo'limda ko'rib chiqiladigan ikkinchi turdagi noto'g'ri integrallarni ko'rib chiqishimiz kerak. Bular uzluksiz integrallarga ega bo'lgan integrallardir. Bu erda jarayon asosan bitta nozik farq bilan bir xil. Mana bu integrallar uchun umumiy holatlarni ko'rib chiqamiz.
Uzluksiz integralli integrallar
- Agar \(f\left( x \right)\) \(\left[ {a,b} \right)\) oralig'ida uzluksiz bo'lsa va \(x = b\) da uzluksiz bo'lsa, u holda,
\[\int_{{\,a}}^{{\,\,b}}{{f\left( x \right)\,dx}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to {b^ - }} \int_{{\,a}}^{{\,t}}{{f\left( x \right)\,dx}}\]
chegara mavjud va cheklangan bo'lsa. Shuni ham yodda tutingki, biz bu erda chap chegaradan foydalanishimiz kerak, chunki integratsiya oralig'i to'liq yuqori chegaraning chap tomonida.
- Agar \(f\left( x \right)\) \(\left( {a,b} \right]\) oralig'ida uzluksiz bo'lsa va \(x = a\) da uzluksiz bo'lsa, u holda,
\[\int_{{\,a}}^{{\,\,b}}{{f\left( x \right)\,dx}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to {a^ + }} \int_{{\,t}}^{{\,b}}{{f\left( x \right)\,dx}}\]
chegara mavjud va cheklangan bo'lsa. Bunday holda, biz bu erda o'ng chegaradan foydalanishimiz kerak, chunki integratsiya oralig'i butunlay pastki chegaraning o'ng tomonida.
- Agar \(f\left( x \right)\) \(x = c\) da uzluksiz bo'lmasa, bu erda \(a < c < b\) va \( \displaystyle \int_{{\,a}}^{{\,c}}{{f\left( x \right)\,dx}}\) va \( \displaystyle \int_{{\,c}}^{{\,\,b}}{{f\left( x \right)\,dx}}\) ikkalasi ham yaqinlashsa,
\[\int_{{\,a}}^{b}{{f\left( x \right)\,dx}} = \int_{{\,a}}^{{\,c}}{{f\left( x \right)\,dx}} + \int_{{\,c}}^{{\,b}}{{f\left( x \right)\,dx}}\]
Cheksiz intervalli holatda bo'lgani kabi, bu integral ham yaqinlashishi uchun integrallarning HAR IKKINI yaqinlashishini talab qiladi. Agar ikkala integraldan biri divergent bo'lsa, bu integral ham shunday bo'ladi.
- Agar \(f\left( x \right)\) \(x = a\) va \(x = b\) da uzluksiz bo'lsa va \( \displaystyle \int_{{\,a}}^{{\,c}}{{f\left( x \right)\,dx}}\) va \( \displaystyle \int_{{\,c}}^{{\,\,b}}{{f\left( x \right)\,dx}}\) ikkalasi ham konvergent bo'lsa,
\[\int_{{\,a}}^{b}{{f\left( x \right)\,dx}} = \int_{{\,a}}^{{\,c}}{{f\left( x \right)\,dx}} + \int_{{\,c}}^{{\,b}}{{f\left( x \right)\,dx}}\]
Bu erda \(c\) istalgan raqam. Shunga qaramay, bu integral ham yaqinlashishi uchun integrallarning ikkalasi ham yaqinlashishini talab qiladi.
E'tibor bering, bu holatlarda chegaralar haqiqatan ham o'ng yoki chap qo'l chegaralari bo'lishi kerak. Biz integratsiya oralig'ida ishlayotganimiz uchun biz ushbu intervalda qolishimizga ishonch hosil qilishimiz kerak. Bu shuni anglatadiki, biz intervalda qolishimizga ishonch hosil qilish uchun bir tomonlama cheklovlardan foydalanamiz.
Keling, bu turdagi integrallarga bir nechta misol keltiraylik.
Yechim
Muammo nuqtasi yuqori chegaradir, shuning uchun biz yuqoridagi birinchi holatdamiz.
\[\begin{align*}\int_{{\,0}}^{{\,3}}{{\frac{1}{{\sqrt {3 - x} }}\,dx}} &= \mathop {\lim }\limits_{t \to {3^ - }} \int_{{\,0}}^{{\,t}}{{\frac{1}{{\sqrt {3 - x} }}\,dx}}\\ & = \mathop {\lim }\limits_{t \to {3^ - }} \left. {\left( { - 2\sqrt {3 - x} } \right)} \right|_0^t\\ & = \mathop {\lim }\limits_{t \to {3^ - }} \left( {2\sqrt 3 - 2\sqrt {3 - t} } \right)\\ & = 2\sqrt 3 \end{align*}\]Chegara mavjud va chekli va shuning uchun integral yaqinlashadi va integralning qiymati \(2\sqrt 3 \).
Yechim
Bu integral \(x = 0\) da uzluksiz emas va shuning uchun biz o'sha nuqtada integralni bo'lishimiz kerak bo'ladi.
\[\int_{{\, - 2}}^{{\,3}}{{\frac{1}{{{x^3}}}\,dx}} = \int_{{\, - 2}}^{{\,0}}{{\frac{1}{{{x^3}}}\,dx}} + \int_{{\,0}}^{{\,3}}{{\frac{1}{{{x^3}}}\,dx}}\]Endi biz ushbu integrallarning har birini ko'rib chiqishimiz va ularning yaqinlashishini aniqlashimiz kerak.
\[\begin{align*}\int_{{\, - 2}}^{{\,0}}{{\frac{1}{{{x^3}}}\,dx}} & = \mathop {\lim }\limits_{t \to {0^ - }} \int_{{\, - 2}}^{{\,t}}{{\frac{1}{{{x^3}}}\,dx}}\\ & = \mathop {\lim }\limits_{t \to {0^ - }} \left. {\left( { - \frac{1}{{2{x^2}}}} \right)} \right|_{ - 2}^t\\ & = \mathop {\lim }\limits_{t \to {0^ - }} \left( { - \frac{1}{{2{t^2}}} + \frac{1}{8}} \right)\\ & = - \infty \end{align*}\]Shu nuqtada biz tugatdik. Integrallardan biri divergent, ya'ni biz ko'rib chiqishimiz so'ralgan integral divergent. Biz hatto ikkinchi integral bilan bezovta qilishimiz shart emas.
Ushbu bo'limni tark etishdan oldin shuni ta'kidlab o'taylikki, biz ushbu ikkala holatni o'z ichiga olgan integrallarga ham ega bo'lishimiz mumkin. Quyidagi integralni ko'rib chiqing.
Yechim
Bu cheksiz oraliqdagi integral bo'lib, unda uzluksiz integral ham mavjud. Ushbu integralni bajarish uchun biz uni ikkita integralga bo'lishimiz kerak, shuning uchun har bir integral faqat bitta uzilish nuqtasini o'z ichiga oladi. Shuni yodda tutish kerakki, biz ushbu bo'limda ishlayotgan barcha jarayonlar har bir integral faqat bitta muammo nuqtasini o'z ichiga oladi.
Biz uni istalgan joyda ajratishimiz mumkin, lekin baholash uchun qulay bo'lgan qiymatni tanlashimiz mumkin.
\[\int_{{\,0}}^{{\,\infty }}{{\frac{1}{{{x^2}}}\,dx}} = \int_{{\,0}}^{{\,1}}{{\frac{1}{{{x^2}}}\,dx}} + \int_{{\,1}}^{{\,\infty }}{{\frac{1}{{{x^2}}}\,dx}}\]Misoldagi integral konvergent bo'lishi uchun bizga ikkalasi ham yaqinlashishi kerak. Agar biri yoki ikkalasi divergent bo'lsa, butun integral ham divergent bo'ladi.
Bizga ma'lumki, ikkinchi integral yuqoridagi cheksiz intervalli qismda berilgan fakt orqali yaqinlashadi. Shunday qilib, biz birinchi integralni tekshirishimiz kerak.
\[\begin{align*}\int_{{\,0}}^{{\,1}}{{\frac{1}{{{x^2}}}\,dx}} & = \mathop {\lim }\limits_{t \to {0^ + }} \int_{{\,t}}^{{\,1}}{{\frac{1}{{{x^2}}}\,dx}}\\ & = \mathop {\lim }\limits_{t \to {0^ + }} \left. {\left( { - \frac{1}{x}} \right)} \right|_t^1\\ & = \mathop {\lim }\limits_{t \to {0^ + }} \left( { - 1 + \frac{1}{t}} \right)\\ & = \infty \end{align*}\]Demak, birinchi integral divergent va shuning uchun butun integral divergent hisoblanadi.