1.5-bo'lim: Trig tenglamalarni kalkulyator yordamida yechish, I qism
Oldingida biz trig tenglamalarini echishni boshladik. U erda biz hal qilgan tenglamalar bilan bog'liq yagona muammo shundaki, ularning deyarli barchasi bir nechta "standart" burchaklardan kelib chiqqan echimlarga ega edi va, albatta, u erda oddiy bo'lmagan ko'plab tenglamalar mavjud. Shunday qilib, ushbu bo'limda biz yana bir nechta trig tenglamalarni ko'rib chiqamiz, ularning aksariyati hal qilish uchun kalkulyatordan foydalanishni talab qiladi (er-xotinga kalkulyator kerak bo'lmaydi).
Ushbu bo'limda biz kalkulyatorlardan foydalanayotganimiz avvalgi bo'limdagi muammolar muhim emasligini anglatmaydi. Ushbu bo'limda trig tenglamalarni yechishning asosiy g'oyalari ma'lum va biz bu erda ularga qaytib borishimiz shart emas deb taxmin qilinadi. Xususan, tenglamaning barcha javoblarini topishga yordam berish uchun birlik doirasidan foydalanishingiz mumkin deb taxmin qilinadi (garchi bu erda jarayon biz ko'rib turganimizdek biroz boshqacha bo'lsa ham) va javoblarni ma'lum bir oraliqda topishingiz mumkin deb taxmin qilinadi. Agar siz ushbu g'oyalar bilan tanish bo'lmasangiz, avval oldingi bo'limga o'ting va ushbu muammolarni ko'rib chiqing.
Muammolarni hal qilishdan oldin biz to'g'ri javoblarni olishimiz uchun kalkulyatorlarimiz qanday ishlashini ko'rib chiqishimiz kerak. Kalkulyatorlar ajoyib vositadir, lekin ular qanday ishlashini va ularning javoblarini qanday izohlashni bilmasangiz, jiddiy muammolarga duch kelishingiz mumkin.
Birinchidan, oldingi bo'limlarda ta'kidlab o'tilganidek, biz bu erda qiladigan hamma narsa radyanlarda bo'ladi, shuning uchun ushbu bo'limdagi muammolarni hal qilishdan oldin kalkulyatoringiz radianga o'rnatilganligiga ishonch hosil qiling. Bundan tashqari, biz bu erda ishda aniqlik uchun 4 ta kasrdan foydalanamiz. Agar xohlasangiz, ko'proq foydalanishingiz mumkin, ammo bu sinfda biz har doim kamida 4 o'nlik aniqlikdan foydalanamiz.
Keyinchalik, va eng muhimi, kalkulyatorlarning teskari trig funktsiyalariga qanday javob berishini tushunishimiz kerak. Ushbu sharhda biz teskari trig funktsiyalarini ko'rib chiqmadik, lekin ular faqat teskari funktsiyalardir va biz sharhda teskari funktsiyalar haqida bir oz gaplashdik. bo'limi. Yagona haqiqiy farq shundaki, biz hozir trig funktsiyalaridan foydalanmoqdamiz. Biz ulardan faqat uchtasini ko'rib chiqamiz va ular:
\[\begin{array}{lcl}{\mbox{Inverse Cosine}} & : & {\cos ^{ - 1}}\left( x \right) = \arccos \left( x \right)\\ {\mbox{Inverse Sine}} & : & {\sin ^{ - 1}}\left( x \right) = \arcsin \left( x \right)\\ {\mbox{Inverse Tangent}} & : & {\tan ^{ - 1}}\left( x \right) = \arctan \left( x \right)\end{array}\]Ko'rinib turganidek, odatda ishlatiladigan ikkita turli xil belgilar mavjud. Ushbu eslatmalarda biz birinchi shakldan foydalanamiz, chunki u biroz ixchamroq. Hozirgi kunda ko'pgina kalkulyatorlarda ushbu uchta tugma uchun tugmalar bo'ladi, shuning uchun sizda ham shunday ekanligiga ishonch hosil qiling.
Endi biz kalkulyatorlar bunga qanday javob berishini hal qilishimiz kerak. Masalan, biz kalkulyatorimiz \({\cos ^{ - 1}}\left( {{\frac{3}{4}}} \right)\) ni hisoblashini xohladik deylik. Birinchidan, esda tutingki, kalkulyator hisoblayotgan narsa burchak, masalan, \(x\), biz \({\frac{3}{4}}\) qiymatini olish uchun kosinusga ulaymiz yoki
\[x = {\cos ^{ - 1}}\left( {\frac{3}{4}} \right)\hspace{0.5in} \Rightarrow \hspace{0.5in}\cos \left( x \right) = \frac{3}{4}\]Boshqacha qilib aytganda, biz teskari trig funktsiyasini hisoblash uchun kalkulyatorimizdan foydalansak, biz haqiqatan ham oddiy trig tenglamasini hal qilamiz.
Bizning kalkulyatorimiz \({\cos ^{ - 1}}\left( {{\frac{3}{4}}} \right)\) ni hisoblash va shuning uchun \(\cos \left( x \right) = {\frac{3}{4}}\) ni hal qilish imkonini beradi,
\[x = {\cos ^{ - 1}}\left( {\frac{3}{4}} \right) = 0.7227\]Oldingidan bilamizki, bunga cheksiz ko'p javoblar bo'lishi kerak, shu jumladan \(\left[ {0,2\pi } \right]\) oralig'idagi ikkinchi burchak. Biroq, bizning kalkulyatorimiz bizga faqat bitta javob berdi. Boshqa burchaklarni qanday aniqlash mumkinligi quyidagi misollarda ko'rib chiqiladi, shuning uchun biz bu erda bu haqda batafsil gapirmaymiz. Ammo shuni ta'kidlashimiz kerakki, kalkulyatorlar faqat bitta javob beradi va bizda raqamni kalkulyatorga ulashdan ko'ra ko'proq ish qilishimiz kerak.
Biz \(\cos \left( x \right) = {\frac{3}{4}}\) ning cheksiz ko'p echimlari bo'lishi kerakligini bilganimiz sababli, keyingi savolni berishimiz kerak: kalkulyator qanday javobni qaytarishga qaror qildi? Nega boshqalaridan biri emas, bu biri? Har safar bir xil javob beradimi?
Teskari trig funksiyalarini hisoblashda kalkulyator qanday javob berishini aniqlaydigan qoidalar mavjud. Barcha kalkulyatorlar quyidagi diapazonlarda javob beradi.
\[0 \le {\cos ^{ - 1}}\left( x \right) \le \pi \hspace{0.5in} - \frac{\pi }{2} \le {\sin ^{ - 1}}\left( x \right) \le \frac{\pi }{2}\hspace{0.5in} - \frac{\pi }{2} < {\tan ^{ - 1}}\left( x \right) < \frac{\pi }{2}\]Agar siz birlik doirasiga qaytsangiz va biz kosinusni gorizontal o'q deb hisoblaganimizni eslasangiz, biz aylananing yuqori yarmida kosinusning barcha mumkin bo'lgan qiymatlarini qamrab olishimizni ko'ramiz va bu teskari kosinus uchun yuqorida berilgan diapazondir. Xuddi shunday, biz sinusni birlik doirasidagi vertikal o'q deb hisoblaganimiz sababli, biz birlik doirasining o'ng yarmida sinusning barcha mumkin bo'lgan qiymatlarini qamrab olishimizni ko'ramiz va bu yuqorida berilgan diapazondir.
Tangens diapazoni uchun tangens funksiyasining grafigiga qarang va biz yuqorida keltirilgan diapazonda tangensning bir novdasi qoplanganligini ko'ramiz va shuning uchun biz teskari tangens uchun foydalanamiz. Shuni ham yodda tutingki, biz oxirgi nuqtalarni teskari tangens diapazoniga kiritmaymiz, chunki u erda tangens mavjud emas.
Shunday qilib, agar biz ushbu qoidalarni eslay olsak, \(\left[ {0,2\pi } \right]\) da har bir yechim uchun ishlaydigan qolgan burchakni aniqlay olamiz.
Yakuniy tezkor mavzu sifatida shuni ta'kidlaymizki, ba'zida ba'zi bir asosiy burchaklarning o'nli ko'rinishlarini eslab qolish foydali bo'ladi. Demak, ular shu yerda,
\[\frac{\pi }{2} = 1.5708\hspace{0.5in}\pi = 3.1416\hspace{0.5in}\frac{{3\pi }}{2} = 4.7124\hspace{0.5in}2\pi = 6.2832\]Ulardan foydalanib, biz \({\cos ^{ - 1}}\left( {{\frac{3}{4}}} \right)\) birinchi kvadrantda bo'lishi kerakligini tezda ko'rishimiz mumkin, chunki 0,7227 0 va 1,5708 oralig'ida. Qolgan burchaklarni aniqlashga borganimizda, bu katta yordam beradi
Shunday qilib, yana bir bor ta'kidlab o'tamizki, kalkulyatorlar bizga katta yordam beradigan ajoyib vosita ekanligini ta'kidlay olmaymiz, lekin ular qanday ishlashini tushunmasangiz, ko'pincha muammolarga noto'g'ri javob olasiz.
Shunday qilib, bularning barchasidan tashqari, keling, birinchi muammomizni ko'rib chiqaylik.
Yechim
OK, bu erda birinchi qadam oldingi bo'limdagi muammolar bilan bir xil. Biz birinchi navbatda kosinusni bir tomondan ajratib olishimiz kerak, so'ngra birinchi javobni olish uchun kalkulyatorimizdan foydalaning.
\[\cos \left( t \right) = \frac{3}{4}\hspace{0.5in} \Rightarrow \hspace{0.5in}t = {\cos ^{ - 1}}\left( {\frac{3}{4}} \right) = 0.7227\]Shunday qilib, biz yuqorida ushbu bo'limning ochilish muhokamasida foydalanganmiz. O'sha paytda biz cheksiz ko'p javoblar borligini va ularni qanday topishni keyinroq ko'rib chiqamiz. Xo'sh, bu vaqt hozir.
Birinchidan, ushbu misol uchun birlik doirasini tez ko'rib chiqaylik.
Biz topgan burchak aylanada ko'rsatilgan va biz bilgan boshqa burchak ham javob bo'lishi kerak. Bu erda bu burchakni topish avvalgi bo'limdagi kabi oson. Birinchi kvadrantdagi chiziq segmenti musbat \(x\) o'qi bilan 0,7227 radian burchak hosil qilganligi sababli, to'rtinchi kvadrantdagi chiziq segmenti ham shunday bo'ladi. Bu shuni anglatadiki, biz ikkinchi burchak sifatida -0,7227 yoki \(2\pi - 0.7227 = 5.5605\) dan foydalanishimiz mumkin. Qaysi biri siz tanlaganingizga bog'liq. Biz minus belgisini yo'qotib qo'ymaslik uchun har doim ijobiy burchakdan foydalanamiz.
Shunday qilib, bir soniya intervalni e'tiborsiz qoldirib, barcha mumkin bo'lgan echimlar,
\[\begin{align*} \begin{aligned}t & = 0.7227 + 2\pi n\\ t & = 5.5605 + 2\pi n\end{aligned} & {\hspace{0.5in}n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots }\end{align*}\]Endi biz qilishimiz kerak bo'lgan narsa, intervalda bo'lgan burchakni aniqlash uchun \(n\) qiymatlarini ulashdir. Mana buning uchun ish.
\[\begin{array}{lclcl}n = - 2 & : & \hspace{0.25in}t = \require{cancel} \xcancel{{ - 11.8437}} & \hspace{0.25in}\text{va}\hspace{0.25in} & - 7.0059\\ n = - 1 & : & \hspace{0.25in}t = - 5.5605 & \hspace{0.25in}\text{va}\hspace{0.25in} & - 0.7227\\ n = 0 & : & \hspace{0.25in}t = 0.7227 & \hspace{0.25in}\text{va}\hspace{0.25in} & 5.5605\\ n = 1 & : & \hspace{0.25in}t = 7.0059 & \hspace{0.25in}\text{va}\hspace{0.25in} & \xcancel{{11.8437}}\end{array}\]Demak, berilgan oraliqda bu tenglamaning yechimlari,
\[t = - 7.0059,\,\, - 5.5605,\,\,\, - 0.7227,\,\,\,0.7227,\,\,\,5.5605,\,\,\,7.0059\]E'tibor bering, oldingi misolda bizda ikkinchi burchak uchun foydalanish uchun burchak tanlovi bor edi. U erdagi burchaklarni tanlash \(n\) qiymati(lar)iga ham ta'sir qiladi, biz barcha yechimlarni olish uchun foydalanishimiz kerak. Oxir-oqibat, tanlangan burchakdan qat'i nazar, biz bir xil echimlar ro'yxatini olamiz, ammo echimlarni beradigan \(n\) qiymati (lar)i bizning tanlovimizga qarab har xil bo'ladi.
Bundan tashqari, yuqoridagi misolda biz ushbu bo'limdagi qolgan misollarda ko'rsatganimizdan ko'ra, bularning qanday ishlashini eslatish uchun biroz ko'proq tushuntirish berdik.
Yechim
Xo'sh, keling, avval ushbu muammoning teskari kosinus qismini hal qilaylik.
\[\cos \left( {3\,t} \right) = - \frac{7}{{10}}\hspace{0.5in}\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.5in}3t = {\cos ^{ - 1}}\left( { - \frac{7}{{10}}} \right) = 2.3462\]Bizga hali ham "3" kerakligini unutmang!
Keling, ushbu muammo uchun tezkor birlik doirasini ko'rib chiqaylik. Ko'rib turganimizdek, 2,3462 radian burchak ikkinchi kvadrantda va bizga kerak bo'lgan boshqa burchak uchinchi kvadrantda. Biz bu ikkinchi burchakni xuddi oldingi misolda topganimizdek topishimiz mumkin. Biz -2.3462 yoki \(2\pi - 2.3462 = 3.9370\) dan foydalanishimiz mumkin. Oldingi misolda bo'lgani kabi, biz ijobiy tanlovdan foydalanamiz, ammo bu faqat afzallik masalasidir. Agar xohlasangiz, salbiydan foydalanishingiz mumkin.
Shunday qilib, endi muammoni hal qilaylik. Birinchidan, bizga kerak bo'lgan 3\(t\) qiymatlari ekanligini tan olaylik,
\[\begin{align*} \begin{aligned}3t & = 2.3462 + 2\pi n\\ 3t & = 3.9370 + 2\pi n\end{aligned} & {\hspace{0.5in}n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots }\end{align*}\]Endi biz 3 bilan to'g'ri ishlashimiz kerak, shuning uchun trig tenglamasining barcha echimlarini olish uchun uni ajrating.
\[\begin{align*} \begin{aligned}t & = 0.7821 + \frac{{2\pi n}}{3}\\ t & = 1.3123 + \frac{{2\pi n}}{3}\end{aligned} & {\hspace{0.5in}n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots }\end{align*}\]Nihoyat, berilgan oraliqdagi qiymatlarni olishimiz kerak.
\[\begin{array}{lclcl}n = - 2 & : & \hspace{0.25in}t = \require{cancel} \xcancel{{ - 3.4067}} & \hspace{0.25in}{\rm{and}}\hspace{0.25in} & \xcancel{{ - 2.8765}}\\ n = - 1 & : & \hspace{0.25in}t = - 1.3123 & \hspace{0.25in}{\rm{and}}\hspace{0.25in} & - 0.7821\\ n = 0 & : & \hspace{0.25in}t = 0.7821 & \hspace{0.25in}{\rm{and}}\hspace{0.25in} & 1.3123\\ n = 1 & : & \hspace{0.25in}t = 2.8765 & \hspace{0.25in}{\rm{and}}\hspace{0.25in} & 3.4067\\ n = 2 & : & \hspace{0.25in}t = 4.9709 & \hspace{0.25in}{\rm{and}}\hspace{0.25in} & \xcancel{{5.5011}}\end{array}\]Bu tenglamaning yechimlari berilgan oraliqda,
\[t = - 1.3123,\,\, - 0.7821,\,\,0.7821,\,\,1.3123,\,\,2.8765,\,\,3.4067,\,\,4.9709\]Biz kosinuslar bilan bir nechta asosiy masalalarni bajardik, endi sinuslar bilan tenglamalarni echish qanday ishlashini ko'rib chiqamiz.
Yechim
Keling, avval kalkulyatorni ishga tushiraylik, chunki farq bu erda emas.
\[\sin \left( {\frac{x}{2}} \right) = \frac{1}{6}\hspace{0.5in} \Rightarrow \hspace{0.5in}\frac{x}{2} = {\sin ^{ - 1}}\left( {\frac{1}{6}} \right) = 0.1674\]Mana bu misol uchun birlik doirasi.
Bu holda ikkinchi burchakni topish uchun biz birinchi kvadrantdagi chiziq musbat \(x\) o'qi bilan 0,1674 burchak hosil qilishini va shuning uchun ikkinchi kvadrantdagi burchak manfiy \(x\) o'qi bilan 0,1674 burchak hosil qilishini payqashimiz mumkin. Shunday qilib, agar biz ijobiy \(x\) o'qidan boshlasak, biz yarim inqilobni aylantiramiz va keyin 0,1674 ga qaytamiz. Shunday qilib, biz kutayotgan burchak \(\pi - 0.1674 = 2.9742\).
Bu misol uchun yechimning qolgan qismi. Shu nuqtadan boshlab, siz bu ishni ko'p tushuntirishsiz bajarishingiz mumkin deb taxmin qilamiz.
\[\begin{align*}\begin{aligned}\frac{x}{2} & = 0.1674 + 2\pi n\\ & \\ \frac{x}{2} & = 2.9742 + 2\pi n\end{aligned} & {\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}} &\begin{aligned}x & = 0.3348 + 4\pi n\\ x & = 5.9484 + 4\pi n\end{aligned} & {\hspace{0.25in} n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots }\end{align*}\] \[\begin{array}{lclcl}n = - 2 & : & \hspace{0.25in} & x = \require{cancel} \xcancel{{ - 24.7980}} & \hspace{0.25in}{\rm{and}}\hspace{0.25in} & - 19.1844\\ n = - 1 & : & \hspace{0.25in} & x = - 12.2316 & \hspace{0.25in}{\rm{and}}\hspace{0.25in} & - 6.6180\\ n = 0 & : & \hspace{0.25in} & x = 0.3348 & \hspace{0.25in}{\rm{and}}\hspace{0.25in} & 5.9484\\ n = 1 & : & \hspace{0.25in} & x = 12.9012 & \hspace{0.25in}{\rm{and}}\hspace{0.25in} & 18.5148\\ n = 2 & : & \hspace{0.5in} & x = 25.4676 & \hspace{0.25in}{\rm{and}}\hspace{0.25in} & \xcancel{{31.0812}}\end{array}\]U holda bu tenglamaning yechimlari,
\[x = - 19.1844,\,\, - 12.2316,\,\, - 6.6180,\,\,0.3348,\,\,5.9484,\,\,12.9012,\,\,18.5148,\,\,25.4676\]Yechim
Siz hozirgacha bularni yaxshi bilishingiz kerak, shuning uchun biz bu haqda ko'p izoh bermaymiz. Qani boshladik.
\[\sin \left( {5z} \right) = - \frac{2}{3}\hspace{0.5in} \Rightarrow \hspace{0.5in}5z = {\sin ^{ - 1}}\left( { - \frac{2}{3}} \right) = - 0.7297\]
Yaxshi, bu bilan biz boshqalarga qaraganda biroz ko'proq ish qilamiz. Birinchi burchak uchun biz kalkulyatorimiz bergan javobdan foydalanishimiz mumkin edi. Biroq, minus belgilarini yo'qotish oson, shuning uchun biz \(2\pi - 0.7297 = 5.5535\) dan foydalanamiz. Shunga qaramay, kalkulyator javobidagi minus belgisini yo'qotishdan tashvishlanishdan boshqa hech qanday sabab yo'q. Agar siz kalkulyatordan foydalanmoqchi bo'lsangiz, javob berishga xush kelibsiz. Ikkinchi burchak uchun uchinchi va to'rtinchi kvadrantdagi chiziqlar \(x\) o'qi bilan 0,7297 burchak hosil qilishini ta'kidlaymiz. Shunday qilib, agar biz musbat \(x\) o'qidan boshlasak, biz yarim aylanishni aylantiramiz va keyin ikkinchi burchak uchun 0,7297 ni qo'shamiz. Shuning uchun ikkinchi burchak \(\pi + 0.7297 = 3.8713\).
Mana bu misol uchun ishning qolgan qismi.
\[\begin{align*}\begin{aligned}5z & = 5.5535 + 2\pi n\\ 5z & = 3.8713 + 2\pi n\end{aligned} &{\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}} &\begin{aligned}z & = 1.1107 + \frac{{2\pi n}}{5}\\ z & = 0.7743 + \frac{{2\pi n}}{5}\end{aligned} & {\hspace{0.25in} n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots }\end{align*}\] \[\begin{array}{lclcl}n = - 1 & : & \hspace{0.25in} & x = \require{cancel} \xcancel{{ - 0.1460}} & \hspace{0.25in}{\rm{and}}\hspace{0.25in} & \xcancel{{ - 0.4823}}\\ n = 0 & : & \hspace{0.25in} & \xcancel{{x = 1.1107}} & \hspace{0.25in}{\rm{and}}\hspace{0.25in} & 0.7743\end{array}\]Demak, bu holda biz 0,7743 ning yagona yechimini olamiz.
E'tibor bering, oldingi misolda biz faqat bitta yechim oldik. Bu ba'zida sodir bo'ladi, shuning uchun tashvishlanmang. Shuni ham yodda tutingki, bu yechimni bergan ikkinchi burchak edi va shuning uchun agar biz boshqa burchaklar haqida qayg'urmasdan kalkulyatorimizga tayanganimizda, biz bu yechimga erishmagan bo'lardik. Yana shuni ta'kidlab bo'lmaydiki, kalkulyatorlar ajoyib vosita bo'lsa-da, agar biz natijani qanday qilib to'g'ri talqin qilish/foydalanishni tushunmasak, yechimni noto'g'ri qabul qilishimiz mumkin (va ko'pincha).
Shu paytgacha biz faqat sinus va kosinusga tegishli misollar bilan ishladik. Endi ular qanday ishlashini ko'rish uchun boshqa trig funktsiyalarini o'z ichiga olgan bir nechta misollarni ko'rib chiqamiz.
Yechim
Bir qarashda, bu muammo misoldan oldingi jumlaga zid bo'lib tuyuladi. Biroq, bu haqiqatan ham emas.
Birinchidan, agar tenglamada bir nechta trig funksiyasi mavjud bo'lsa, bizga faqat bitta trig funktsiyasini o'z ichiga olgan tenglamalarni olish usuli kerak bo'ladi. Buni amalga oshirishning ko'plab usullari mavjud, ular biz boshlayotgan tenglama turiga bog'liq. Bunday holda, biz ikkala tomonni kosinusga bo'lishimiz mumkin va biz tenglamada bitta tangensni olamiz. Endi biz bu haqiqatan ham sinus yoki kosinusni o'z ichiga olmaydigan tenglama ekanligini ko'rishimiz mumkin.
Shunday qilib, keling, ushbu misoldan boshlaylik.
\[\frac{{\sin \left( {2x} \right)}}{{\cos \left( {2x} \right)}} = \tan \left( {2x} \right) = - \frac{5}{9}\hspace{0.5in} \Rightarrow \hspace{0.5in}2x = {\tan ^{ - 1}}\left( { - \frac{5}{9}} \right) = - 0.5071\]Endi, birlik doirasi tangenslarni o'z ichiga olmaydi, ammo biz undan \(\left[ {0,2\pi } \right]\) diapazonidagi ikkinchi burchakni tasvirlash uchun foydalanishimiz mumkin.
Bu erda biz izlayotgan burchaklar \(\frac{{{\rm{sine}}}}{{{\rm{cosine}}}}\) koeffitsienti bir xil bo'lgan burchaklardir. Tangensning bir xil qiymatini oladigan ikkinchi burchak berilgan nuqtaga to'liq qarama-qarshi bo'ladi. Bu burchak uchun sinus va kosinusning qiymatlari bir xil, faqat ular qarama-qarshi belgilarga ega bo'ladi. Biroq, qismda belgilardagi farq bekor qilinadi va biz tangensning bir xil qiymatini olamiz. Shunday qilib, ikkinchi burchak har doim birinchi burchak va \(\pi \) bo'ladi.
Ikkinchi burchakni olishdan oldin shuni ham ta'kidlab o'tamizki, oldingi misol kabi biz birinchi burchak uchun \(2\pi - 0.5071 = 5.7761\) dan foydalanamiz. Shunga qaramay, bu faqat bizning kalkulyator javobimizdagi minus belgisini yo'qotish xavotiri bilan bog'liq. Kalkulyatorimiz bizga bergan asl burchak bilan ishni xuddi shunday osonlik bilan bajarishimiz mumkin edi.
Endi bu erda biz tasodifiy o'zgarishlar kiritayotganga o'xshaymiz va hech qanday sababsiz narsalarni qilamiz. Biz foydalanmoqchi bo'lgan ikkinchi burchak,
\[\pi + \left( { - 0.5071} \right) = \pi - 0.5071 = 2.6345\]Bu erda kalkulyator javobidan foydalanganimiz yuqoridagi birinchisi uchun boshqa burchakdan foydalanganimizga ziddek tuyuladi. Buni qilishning sababi \(\left[ {0,2\pi } \right]\) diapazonidagi ikkinchi burchakni berishdir. Agar biz ikkinchi burchakni topish uchun 5.7761 dan foydalansak, \(\pi + 5.7761 = 8.9177\) ni olardik. Bu mutlaqo qabul qilinadigan javob; ammo, u \(2\pi \) (6.2832) dan kattaroq va umumiy qoida boshlang'ich burchaklarni iloji boricha kichikroq tutishdir.
Mana tenglamaning barcha yechimlari.
\[\begin{align*}\begin{aligned}2x & = 5.7761 + 2\pi n\\ 2x & = 2.6345 + 2\pi n\end{aligned} & {\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}} & \begin{aligned}x & = 2.8881 + \pi n\\ x & = 1.3173 + \pi n\end{aligned} & {\hspace{0.25in}n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots }\end{align*}\] \[\begin{array}{lclcl}n = - 4 & : & \hspace{0.25in} & x = - 9.6783 & \hspace{0.25in}{\rm{and}}\hspace{0.25in} & \require{cancel} \xcancel{{ - 11.2491}}\\ n = - 3 & : & \hspace{0.25in} & x = - 6.5367 & \hspace{0.25in}{\rm{and}}\hspace{0.25in} & - 8.1075\\ n = - 2 & : & \hspace{0.25in} & x = - 3.3951 & \hspace{0.25in}{\rm{and}}\hspace{0.25in} & - 4.9659\\ n = - 1 & : & \hspace{0.25in} & x = - 0.2535 & \hspace{0.25in}{\rm{and}}\hspace{0.25in} & - 1.8243\\ n = 0 & : & \hspace{0.25in} & \require{cancel} \xcancel{{x = 2.8881}} & \hspace{0.25in}{\rm{and}}\hspace{0.25in} & \xcancel{{1.3173}}\end{array}\]Bu tenglamaning yettita yechimi:
\[ - 0.2535,\,\,\,\, - 1.8243,\,\,\,\, - 3.3951,\,\,\, - 4.9659,\,\,\, - 6.5367,\,\,\,\, - 8.1075,\,\,\,\, - 9.6783\]Shuni ham yodda tutingki, biz \(n = 0\) hisobini qilishimiz shart emas edi, chunki berilgan oraliqdan biz faqat salbiy javoblarni xohlayotganimizni ko'rishimiz mumkin edi va bu aniq javoblar beradi.
Davom etishdan oldin oldingi misol haqida bir masalani hal qilishimiz kerak. U erda qo'llaniladigan yechim usuli "standart" yechim usuli emas. Chunki ikkinchi burchak faqat \(\pi \) va birinchi burchakka qo'shilgan bo'lsa, biz ikkinchi burchakka \(\pi \) ni qo'shsak, biz birinchi burchakni ifodalovchi chiziqqa qaytgan bo'lardik, hal qilishning eng standart usuli bu faqat birinchi burchakka \(\pi n\) qo'shishdir.
Agar kalkulyatordan foydalansangiz, bu javob beradi,
\[2x = - 0.5071 + \pi n,\quad n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots \]Agar kalkulyatorga mos keladigan musbat burchakdan foydalanilsa, bu javob beradi,
\[2x = 5.7761 + \pi n,\quad n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots \]Keyin quyidagi yechimlar to'plamidan birini 2 ga bo'ling,
\[\begin{align*}x & = - 0.2535 + \frac{{\pi n}}{2},\quad n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots \\ x & = 2.8881 + \frac{{\pi n}}{2},\quad n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots \end{align*}\]Ushbu yechimlarning har biri biz misolda keltirilgan yechimlar to'plami bilan bir xil (ba'zi \(n\)-larni ulash va buni tekshirishni sizga qoldiramiz). Xo'sh, nega biz oldingi misoldagi usuldan foydalanmadik? Oddiy. Oldingi misoldagi usul kosinus va sinus uchun yechim usulini yaqinroq aks ettiradi (i.e. Ularning ikkalasi ham, odatda, ikkita burchak to'plamini beradi) va shuning uchun trig tenglamalarni echishda qulay bo'lmagan talabalar uchun bu "izchil" yechim usulini beradi.
Bugungi kunda ko'pgina kalkulyatorlar faqat teskari sinus, teskari kosinus va teskari tangensni bajarishi mumkin. Shunday qilib, keling, boshqa trig funktsiyalaridan birini ishlatadigan misolni ko'rib chiqaylik.
Yechim
Biz buni xuddi boshqalarni qilganimizdek boshlaymiz.
\[\sec \left( {3t} \right) = - \frac{{10}}{7}\hspace{0.5in}\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.5in}3t = {\sec ^{ - 1}}\left( { - \frac{{10}}{7}} \right)\]Endi biz muammoga erishamiz. Yuqorida ta'kidlab o'tilganidek, ko'plab kalkulyatorlar teskari sekant bilan ishlay olmaydi, shuning uchun bizga buning uchun boshqa echim usuli kerak bo'ladi. Bu erda yechimni yakunlash uchun biz sekantning kosinus bo'yicha ta'rifini eslaymiz va uni kosinus ishtirokidagi tenglamaga aylantiramiz va biz bu turdagi trig tenglamalarni qanday echishni allaqachon bilamiz.
\[\frac{1}{{\cos \left( {3t} \right)}} = \sec \left( {3t} \right) = - \frac{{10}}{7}\hspace{0.5in} \Rightarrow \hspace{0.5in}\cos \left( {3t} \right) = - \frac{7}{{10}}\]Endi biz bu tenglamani yuqoridagi ikkinchi misolda hal qildik, shuning uchun biz bu erda ishimizni takrorlamaymiz. Yechim,
\[\begin{align*}\begin{aligned}t & = 0.7821 + \frac{{2\pi n}}{3}\\ t & = 1.3123 + \frac{{2\pi n}}{3}\end{aligned} &{\hspace{0.25in}n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots }\end{align*}\]Bizga bu muammoni hal qilish uchun vaqt berilmagan, shuning uchun bu erda boshqa hech narsa qilish kerak emas.
Ushbu bo'limdagi qolgan misollar uchun biz bo'sh joyni tejash uchun oraliqda echimlarni topa olmaymiz. Agar siz bizga intervallar berilgan dastlabki bir nechta misollardagi ishni kuzatib borgan bo'lsangiz, agar interval berilgan bo'lsa, qolgan misollardan birini bajarishingiz mumkin.
Bundan tashqari, biz endi qolgan echimlarga birlik doiralarining eskizlarini kiritmaymiz. Quyidagi misollardagi da'volarni tekshirish uchun yuqoridagi eskizlardan birlik doiralarini chizish uchun qo'llanma sifatida foydalanishingiz mumkin deb taxmin qilamiz.
Keyingi uchta misol kalkulyatorni talab qilmaydi, lekin yetarlicha muhim yoki agar siz ularga duch kelsangiz va ularni boshqa joyda ko'rmagan bo'lsangiz, talabalar ushbu bo'limga qo'shishlari uchun etarli muammolarni keltirib chiqaradi.
Yechim
Haqiqatan ham bu muammoni hal qilish uchun juda ko'p narsa yo'q. Biroq, u shu paytgacha qilingan barcha boshqalardan farq qiladi. Shu nuqtaga qadar bajarilgan boshqa barcha narsalar \(\left[ {0,2\pi } \right]\) oralig'ida tenglamaning echimi bo'lgan ikkita burchakka ega edi. Bu faqat bitta. Agar siz ishonchingiz komil bo'lmasa, bu tez birlik doirasini chizing va kosinus -1 bo'lgan faqat bitta burchak mavjudligini ko'rasiz.
Mana bu tenglamaning yechimi.
\[4\theta = \pi + 2\pi n\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}\theta = \frac{\pi }{4} + \frac{{\pi n}}{2}\hspace{0.25in}n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots \]Yechim
Shunga qaramay, bu muammo juda ko'p emas. Birlik doiradan foydalanib, bu tenglamaning yechimlari ekanligini ko'rish unchalik qiyin emas,
\[\begin{align*}\begin{aligned}\frac{\alpha }{7} & = 0 + 2\pi n\\ & \\ \frac{\alpha }{7} & = \pi + 2\pi n\end{aligned} & {\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}} & \begin{aligned}\alpha & = 14\pi n\\ \alpha & = 7\pi + 14\pi n\end{aligned} & \hspace{0.25in}{n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots }\end{align*}\]Ushbu keyingi misolda ba'zi trig tenglamalarni echishda tushunish kerak bo'lgan muhim nuqta bor.
Yechim
Ushbu misol sinus va kosinusning ba'zi xususiyatlarini eslatish uchun mo'ljallangan. Eslatib o'tamiz, \( - 1 \le \sin \left( \theta \right) \le 1\) va \( - 1 \le \cos \left( \theta \right) \le 1\). Shuning uchun, sinus hech qachon 1 dan katta bo'lmagani uchun u 2 bo'lishi mumkin emas. HECH YERIMLARI YO‘Q bu tenglamaga!
Shuni yodda tutish kerakki, barcha trig tenglamalar yechimga ega emas.
Ushbu hujjat Internetda ko'rish uchun tayyorlanayotganligi sababli, sahifa hajmini (va shuning uchun brauzerda yuklash vaqtini) minimal darajada ushlab turish uchun biz ushbu bo'limni ikkiga bo'lamiz. Keyingida biz biroz "murakkab" tenglamalarni ko'rib chiqamiz. Garchi, siz ko'rib turganingizdek, ular birinchi qarashda ko'rinadigan darajada murakkab emas.