1.2-bo'lim: Mutlaq qiymat

1. \(\left| 5 \right|\) va \(\left| { - 123} \right|\) ni baholang
   
   Yechim

   Ushbu baholashni amalga oshirish uchun biz mutlaq qiymat ta'rifini esga olishimiz kerak.

   \[\left| p \right| = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\,\,\,p\hspace{0.25in}{\rm{if }}\,p \ge 0}\\{ - p\hspace{0.25in}{\rm{if }}\,p < 0}\end{array}} \right.\]

   Ushbu ta'rif bilan baholash oson.

   \begin{align*}\left| 5 \right| & = 5\hspace{0,25in}\hspace{0,25in}\hspace{0,25in} & \hspace{0,25in} & {\rm{chunki }}\,5 \ge 0\\ \left| { -123} \right| & = - \left( { - 123} \right) = 123 & \hspace{0,25in} & {\rm{chunki }} -123 < 0\end{align*}

   Esda tutingki, mutlaq qiymat nolga teng bo'lmagan har qanday raqamni oladi va uning ijobiy ekanligiga ishonch hosil qiladi.

2. \(\left| {3 - 8x} \right|\) dan mutlaq qiymat satrlarini olib tashlang
   
   Yechim

   Bu birinchi misoldan bir oz farq qiladi. Biz birinchi navbatda ular bilan juda keng tarqalgan xatoni bartaraf etishimiz kerak.

   \[\left| {3 - 8x} \right| \ne 3 + 8x\]

   Mutlaq qiymat faqat barcha minus belgilarini ortiqcha belgilarga o'zgartirmaydi. Esda tutingki, mutlaq qiymat raqamni oladi va uning ijobiy yoki nolga teng ekanligiga ishonch hosil qiladi. Bunga ishonch hosil qilish uchun raqamni ulab ko‘ring, \(x = - 10\) deb ayting

   \[83 = \left| {83} \right| = \left| {3 + 80} \right| = \left| {3 - 8\left( { - 10} \right)} \right| \ne 3 + 8\left( { - 10} \right) = 3 - 80 = - 77\]

   Bunda ikkita noto‘g‘ri narsa bor. Birinchidan, bu ikki raqam bir xil bo'lishga yaqin emasligi, shuning uchun to'g'ri bo'lishi mumkin emas. Shuni ham yodda tutingki, agar mutlaq qiymat nolga teng bo'lmagan raqamlarni ijobiy qilish kerak bo'lsa, qanday qilib biz undan -77 ga ega bo'lishimiz mumkin? Ulardan biri sizga bu to'g'ri emasligini ko'rsatishi kerak, lekin ular birgalikda buni qilishda haqiqiy muammolarni ko'rsatadilar, shuning uchun buni qilmang!

   Biroq, bu biz mutlaq qiymat chiziqlarini yo'q qila olmaymiz degani emas. Biz faqat \(x\) ning qaysi qiymatlari musbat sonlar berishini va \(x\) ning qaysi qiymatlari manfiy sonlarni berishini aniqlashimiz kerak. Buni bilganimizdan so'ng, biz mutlaq qiymat chiziqlarini yo'q qilishimiz mumkin. Avval quyidagilarga e'tibor bering (qanday qilishni eslaysiz Tengsizliklarni yechish to'g'rimi?)

   \begin{align*}3 - 8x & \ge 0\hspace{0,25 dyuym} \Rightarrow \hspace{0,25 dyuym}3 \ge 8x\hspace{0,25 dyuym}\,\,\,\,\, \Rightarrow \hspace{0,25 dyuym}\,\,\,\,\} 8x & < 0\hspace{0,25 dyuym} \Rightarrow \hspace{0,25 dyuym}3 < 8x\hspace{0,25 dyuym}\,\,\,\,\, \Rightarrow \hspace{0,25 dyuym}\,\,\,\,x > \frac{3}{8*}\end

   Shunday qilib, agar \(x \le \frac{3}{8}\) keyin \(3 - 8x \ge 0\) va \(x > \frac{3}{8}\) bo'lsa, \(3 - 8x < 0\). Ushbu ma'lumot bilan biz endi mutlaq qiymat chiziqlarini yo'q qilishimiz mumkin.

   \[\left| {3 - 8x} \right| = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\,\,\,\,\,\,\,3 - 8x\hspace{0.25in}{\rm{if }}\,x \le \frac{3}{8}}\\{ - \left( {3 - 8x} \right)\hspace{0.25in}{\rm{if }}\,x > \frac{3}{8}}\end{array}} \right.\]

   Or,

   \[\left| {3 - 8x} \right| = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\,\,\,3 - 8x\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}{\rm{if }}\,x \le \frac{3}{8}}\\{ - 3 + 8x\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}{\rm{if }}\,x > \frac{3}{8}}\end{array}} \right.\]

   Shunday qilib, biz hali ham mutlaq qiymat satrlarini yo'q qila olamiz, lekin biz ikkita turli formulaga ega bo'lamiz va biz foydalanadigan formula bizda mavjud bo'lgan \(x\) qiymatiga bog'liq bo'ladi.

   Ba'zida sizdan hisob-kitob darsida bunday ishni bajarishingiz so'raladi, shuning uchun vaqt kelganda buni qilishingiz juda muhim.

3. Mutlaq qiymatning iloji boricha ko'proq xususiyatlarini sanab o'ting.
   
   Yechim

   Bu erda mutlaq qiymatning bir nechta asosiy xususiyatlari mavjud.

   \[\left| p \right| \ge 0\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}\left| { - p} \right| = \left| p \right|\]

   Bular qandaydir ma'noga ega bo'lishi kerak. Birinchisi, mutlaq qiymat ta'rifi natijalarini oddiygina takrorlashdir. Boshqacha qilib aytganda, mutlaq qiymat natijaning ijobiy yoki nolga teng ekanligiga ishonch hosil qiladi (agar \(p\) = 0 bo'lsa). Ikkinchisi ham ta'rifning natijasidir. Mutlaq qiymatni olish ijobiy miqdor yoki nolga olib kelganligi sababli, u erda minus belgisi bor yoki yo'qligi muhim emas.

   Biz mutlaq qiymatni mahsulotlar va ko'rsatkichlar bilan quyidagicha ishlatishimiz mumkin

   \[\left| {ab} \right| = \left| a \right|\,\,\left| b \right|\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}\left| {\frac{a}{b}} \right| = \frac{{\left| a \right|}}{{\left| b \right|}}\]

   E'tibor bering, men bu erda summalarni (yoki farqlarni) qo'shmaganman. Buning sababi, umuman olganda

   \[\left| {a + b} \right| \ne \left| a \right| + \left| b \right|\]

   Bunga ishonch hosil qilish uchun quyidagi misolni ko'rib chiqing

   \[7 = \left| { - 7} \right| = \left| {2 - 9} \right| = \left| {2 + \left( { - 9} \right)} \right| \ne \left| 2 \right| + \left| { - 9} \right| = 2 + 9 = 11\]

   Ikkisi teng emasligi aniq. Bu ko'pincha uchburchak tengsizligi deb ataladigan narsaga olib keladi. Uchburchak tengsizligi

   \[\left| {a + b} \right| \le \left| a \right| + \left| b \right|\]

   Uchburchak tengsizligi hisob kursida unchalik tez-tez ishlatilmaydi, lekin bu mutlaq qiymatga ega bo'lgan yaxshi xususiyat, shuning uchun men uni qo'shishni o'yladim.