8.1-bo'lim: Chegaraviy qiymat muammolari
Ushbu bo'limni boshlashdan oldin, biz chegara muammolari mavzusining sirtini tirnamoqchi ekanligimizni aniq aytishimiz kerak. Chegaraviy muammolar mavzusida biz butun sinfni bag'ishlashimiz mumkin bo'lgan materiallar etarli. Ushbu bo'limning maqsadi chegaraviy muammolar g'oyasini qisqacha (va biz juda qisqacha) ko'rib chiqish va keyingi bobda ba'zi bir asosiy qisman differentsial tenglamalarni bajarishimizga imkon beradigan etarli ma'lumot berishdir.
Endi, bu yo'ldan tashqarida, biz qilishimiz kerak bo'lgan birinchi narsa chegara muammosi (qisqacha BVP) deganda nimani nazarda tutayotganimizni aniqlashdir. Boshlang'ich qiymatli masalalar bilan biz differentsial tenglamaga ega bo'ldik va biz yechimning qiymatini va bir xil nuqtada tegishli hosilalarni ko'rsatdik (birgalikda boshlang'ich shartlar deb ataladi). Masalan, ikkinchi tartibli differensial tenglama uchun dastlabki shartlar:
\[y\left( {{t_0}} \right) = {y_0}\hspace{0.25in}y'\left( {{t_0}} \right) = {y'_0}\]Chegaraviy muammolar bilan biz differentsial tenglamaga ega bo'lamiz va biz funktsiyani va/yoki hosilalarni aniqlaymiz. boshqacha nuqtalar, biz ularni chegara qiymatlari deb ataymiz. Bu erda deyarli ko'rib chiqiladigan ikkinchi tartibli differensial tenglamalar uchun chegara sharoitlari uchun quyida keltirilganlardan istalgan biri ishlatilishi mumkin va bo'ladi.
\[\begin{equation}y\left( {{x_0}} \right) = {y_0}\hspace{0.25in}y\left( {{x_1}} \right) = {y_1}\label{eq:eq1}\end{equation}\] \[\begin{equation}y'\left( {{x_0}} \right) = {y_0}\hspace{0.25in}y'\left( {{x_1}} \right) = {y^{\prime}_1}\label{eq:eq2}\end{equation}\] \[\begin{equation}y'\left( {{x_0}} \right) = {y^{\prime}_0}\hspace{0.25in}y\left( {{x_1}} \right) = {y_1}\label{eq:eq3}\end{equation}\] \[\begin{equation}y\left( {{x_0}} \right) = {y_0}\hspace{0.25in}y'\left( {{x_1}} \right) = {y_1}\label{eq:eq4}\end{equation}\]Yuqorida aytib o'tilganidek, biz faqat ikkinchi tartibli differentsial tenglamalarni ko'rib chiqamiz. Biz, shuningdek, chiziqli differentsial tenglamalar bilan cheklanamiz. Shunday qilib, bu erda muhokama qilish uchun biz deyarli faqat shakldagi differentsial tenglamalarni ko'rib chiqamiz,
\[\begin{equation}y'' + p\left( x \right)y' + q\left( x \right)y = g\left( x \right)\label{eq:eq5}\end{equation}\]\(\eqref{eq:eq1}\) - \(\eqref{eq:eq4}\) da berilgan chegara shartlari to'plamidan biri bilan birga. Biz ba'zan turli xil chegara shartlarini ko'rib chiqamiz, ammo differentsial tenglama har doim shunday bo'ladi, bu shaklda yozilishi mumkin.
Tez orada biz boshlang'ich qiymat muammolari haqida bilgan narsalarimizning ko'pini ko'rib chiqamiz. Albatta, biz \(\eqref{eq:eq5}\) ni koeffitsientlar doimiy bo'lsa va ba'zi hollarda ular bo'lmagan holda hal qila olamiz. Bularning hech biri o'zgarmaydi. O'zgarishlar (va ehtimol muammolar) biz boshlang'ich shartlardan chegara shartlariga o'tganimizda paydo bo'ladi.
Birinchi o'zgarishlardan biri biz avvalgi boblarda doimo ko'rgan ta'rifdir. Avvalgi boblarda biz barcha \(x\) uchun \(g\left( x \right) = 0\) bo‘lsa, differentsial tenglama bir hil bo‘lishini aytgan edik. Bu erda biz chegaraviy muammo ekanligini aytamiz bir hil agar \(g\left( x \right) = 0\) dan tashqari bizda \({y_0} = 0\) va \({y_1} = 0\) ham mavjud (biz foydalanadigan chegara shartlaridan qat'iy nazar). Agar ulardan birortasi nolga teng bo'lmasa, biz BVPni chaqiramiz bir hil bo'lmagan.
Shuni yodda tutish kerakki, biz bir jinsli (yoki bir jinsli bo'lmagan) deganda, biz nafaqat differensial tenglamaning o'zi, balki chegara shartlari haqida ham nimadir aytamiz.
Biz bu erda ko'rishimiz kerak bo'lgan eng katta o'zgarish chegaraviy qiymat muammosini hal qilish uchun borganimizda sodir bo'ladi. Chiziqli boshlang'ich qiymatli masalalarni hal qilishda juda yumshoq sharoitlarda noyob yechim kafolatlanadi. Biz bu g'oyani faqat birinchi darajali IVP-lar uchun ko'rib chiqdik, ammo bu g'oya yuqori darajadagi IVP-larga ham tegishli. Unda bo'limi noyob yechimni kafolatlash uchun zarur bo'lgan yagona narsa ba'zi bir asosiy uzluksizlik shartlari ekanligini ko'rdik. Chegaraviy muammolar bilan biz ko'pincha yechimga ega bo'lamiz yoki hatto chegara shartlari o'rniga boshlang'ich shartlarga ega bo'lsak, noyob echimni beradigan juda chiroyli differentsial tenglamalar uchun ham cheksiz ko'p echimlarga ega bo'lamiz.
Ularning ba'zilarini hal qilishdan oldin, keling, nima uchun bular haqida birinchi navbatda gaplashayotganimiz haqidagi savolga to'xtalib o'tamiz. Ba'zi bir qisman differentsial tenglamalarni echish jarayonida keyingi bobda ko'rib turganimizdek, biz echilishi kerak bo'lgan chegaraviy muammolarga duch kelamiz. Aslida, yechim jarayonining katta qismi BVP yechimi bilan bog'liq bo'ladi. Bunday hollarda chegara shartlari barning ikkala uchidagi harorat yoki barning har ikki uchidagi issiqlik oqimi kabi narsalarni ifodalaydi. Yoki ular tebranuvchi ipning uchlari joylashishini ifodalaydi. Demak, u erdagi chegaraviy shartlar, albatta, qandaydir jarayonning chegarasida shartlar bo'ladi.
Shunday qilib, ba'zi asosiy narsalardan tashqari, keling, bir nechta chegaraviy muammolarga yechim topaylik. Shuni ham yodda tutingki, bu erda hali hech qanday yangilik yo'q. Biz bilish differensial tenglamani qanday yechish kerak va biz shartlarni qo'llash orqali konstantalarni qanday topishni bilamiz. Yagona farq shundaki, bu erda biz boshlang'ich shartlar o'rniga chegara shartlarini qo'llaymiz.
Yechim
Mayli, bu echilishi kerak bo'lgan oddiy differentsial tenglama va shuning uchun biz buni sizga umumiy yechim ekanligini tekshirish uchun qoldiramiz:
\[y\left( x \right) = {c_1}\cos \left( {2x} \right) + {c_2}\sin \left( {2x} \right)\]Endi biz qilishimiz kerak bo'lgan narsa chegara shartlarini qo'llashdir.
\[\begin{align*} - 2 & = y\left( 0 \right) = {c_1}\\ 10 & = y\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = {c_2}\end{align*}\]Yechim shundan iboratki,
\[y\left( x \right) = - 2\cos \left( {2x} \right) + 10\sin \left( {2x} \right)\]Yuqorida aytib o'tganimizdek, ba'zi chegaraviy muammolarning yechimlari yoki cheksiz echimlari bo'lmasligi mumkin, biz ularga bir nechta misollarni bu erda ham keltirganimiz ma'qul. Ushbu keyingi misollar to'plami, shuningdek, ushbu boshqa imkoniyatlarga o'tish uchun BVP o'zgarishi qanchalik kichik ekanligini ko'rsatadi.
Yechim
Biz birinchi misoldagi kabi bir xil differensial tenglama bilan ishlayapmiz, shuning uchun bizda hali ham bor:
\[y\left( x \right) = {c_1}\cos \left( {2x} \right) + {c_2}\sin \left( {2x} \right)\]Chegara shartlarini qo'llaganimizda, biz olamiz,
\[\begin{align*} - 2 & = y\left( 0 \right) = {c_1}\\ - 2 & = y\left( {2\pi } \right) = {c_1}\end{align*}\]Shunday qilib, bu holda, oldingi misoldan farqli o'laroq, ikkala chegara shartlari ham bizda \({c_1} = - 2\) bo'lishi kerakligini aytadi va ularning hech biri bizga \({c_2}\) haqida hech narsa aytmaydi. Shuni yodda tutingki, biz so'ragan narsa bu ikkita chegaraviy shartni qondiradigan differensial tenglamaning yechimidir va quyidagi funktsiya buni amalga oshiradi,
\[y\left( x \right) = - 2\cos \left( {2x} \right) + {c_2}\sin \left( {2x} \right)\]Boshqacha qilib aytadigan bo'lsak, \({c_2}\) qiymatidan qat'i nazar, biz yechimga ega bo'lamiz va shuning uchun bu holda biz chegaraviy masala uchun cheksiz ko'p echimlarni olamiz.
Yechim
Shunga qaramay, bizda quyidagi umumiy yechim bor,
\[y\left( x \right) = {c_1}\cos \left( {2x} \right) + {c_2}\sin \left( {2x} \right)\]Bu safar chegara shartlari bizga beradi,
\[\begin{align*} - 2 & = y\left( 0 \right) = {c_1}\\ 3 & = y\left( {2\pi } \right) = {c_1}\end{align*}\]Bunday holda, bizda bir qator chegara shartlari mavjud bo'lib, ularning har biri qondirish uchun \({c_1}\) ning boshqa qiymatini talab qiladi. Biroq, bu mumkin emas va bu holatda ham bor yechim yo'q.
Shunday qilib, 2 va 3-misollar bilan biz chegara shartlarining bir-biriga va 1-misolga nisbatan ozgina o'zgarishi yechimning tabiatini butunlay o'zgartirishi mumkinligini ko'rishimiz mumkin. Ushbu uchta misolda bir xil differensial tenglama ishlatilgan va shunga qaramay, turli xil boshlang'ich shartlar to'plami, yechimlar yo'q, bitta yechim yoki cheksiz ko'p echimlar berdi.
E'tibor bering, bunday xatti-harakatlar har doim ham oldindan aytib bo'lmaydi. Agar biz \(y\left( 0 \right)\) va \(y\left( {2\pi } \right)\) shartlaridan foydalansak, chegara muammosini hal qilishning yagona yo'li, agar bizda mavjud bo'lsa,
\[y\left( 0 \right) = a\hspace{0.25in}y\left( {2\pi } \right) = a\]\(a\) ning istalgan qiymati uchun. Shuni ham yodda tutingki, agar bizda ushbu chegara shartlari mavjud bo'lsa, biz cheksiz ko'p echimlarga ega bo'lamiz.
Biz shu nuqtaga qadar ishlagan barcha misollar bir xil differentsial tenglama va bir xil turdagi chegara shartlarini o'z ichiga oladi, shuning uchun bu erda yana bir nechta misollar borligiga ishonch hosil qilish uchun yana bir nechta ishlaylik. Shuni ham yodda tutingki, ularning har biri bilan biz mumkin bo'lgan yechim xatti-harakatlarini ko'rsatish uchun chegara shartlarini biroz o'zgartirishimiz mumkin (i.e. nol, bitta yoki cheksiz ko'p echimlar).
Yechim
Ushbu differentsial tenglamaning umumiy yechimi:
\[y\left( x \right) = {c_1}\cos \left( {\sqrt 3 \,x} \right) + {c_2}\sin \left( {\sqrt 3 \,x} \right)\]Chegaraviy shartlarni qo'llash,
\[\begin{align*}7 & = y\left( 0 \right) = {c_1}\\ 0 & = y\left( {2\pi } \right) = {c_1}\cos \left( {2\sqrt 3 \,\pi } \right) + {c_2}\sin \left( {2\sqrt 3 \,\pi } \right)\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}{c_2} = - 7\cot \left( {2\sqrt 3 \,\pi } \right)\end{align*}\]Bunday holda biz bitta yechimga erishamiz,
\[y\left( x \right) = 7\cos \left( {\sqrt 3 \,x} \right) - 7\cot \left( {2\sqrt 3 \,\pi } \right)\sin \left( {\sqrt 3 \,x} \right)\]Yechim
Bu erda umumiy yechim:
\[y\left( x \right) = {c_1}\cos \left( {5x} \right) + {c_2}\sin \left( {5x} \right)\]va chegara shartlarini qo'llash uchun hosila kerak bo'ladi,
\[y'\left( x \right) = - 5{c_1}\sin \left( {5x} \right) + 5{c_2}\cos \left( {5x} \right)\]Chegaraviy shartlarni qo'llash,
\[\begin{align*}6 & = y'\left( 0 \right) = 5{c_2}\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}{c_2} = \frac{6}{5}\\ - 9 & = y'\left( \pi \right) = - 5{c_2}\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}{c_2} = \frac{9}{5}\end{align*}\]Bu mumkin emas va bu holatda ham bor yechim yo'q.
Shu nuqtaga qadar ishlagan barcha misollar bir hil bo'lmagan, chunki chegara shartlaridan kamida bittasi nolga teng bo'lmagan. Keling, bir hil bo'lmagan misolni ko'rib chiqaylik, bu erda differensial tenglama ham bir hil bo'lmagan bir nechta bir hil misollar bilan ishlashdan oldin.
Yechim
Ushbu differensial tenglamaning to'ldiruvchi yechimi:
\[{y_c}\left( x \right) = {c_1}\cos \left( {3\,x} \right) + {c_2}\sin \left( {3\,x} \right)\]Foydalanish Aniqlanmagan koeffitsientlar or Parametrlarning o'zgarishi ma'lum bir yechim ekanligini ko'rsatish oson (tafsilotlarni tekshirish uchun sizga qoldiramiz),
\[{Y_P}\left( x \right) = \frac{1}{8}\cos x\]Umumiy yechim va uning hosilasi (chunki bu bizga chegara shartlari uchun kerak bo'ladi)
\[\begin{align*}y\left( x \right) & = {c_1}\cos \left( {3\,x} \right) + {c_2}\sin \left( {3\,x} \right) + \frac{1}{8}\cos x\\ y'\left( x \right) & = - 3{c_1}\sin \left( {3\,x} \right) + 3{c_2}\cos \left( {3\,x} \right) - \frac{1}{8}\sin x\end{align*}\]Chegaraviy shartlarni qo'llash,
\[\begin{align*}5 & = y'\left( 0 \right) = 3{c_2}\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}{c_2} = \frac{5}{3}\\ - \frac{5}{3} & = y\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = - {c_2}\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}{c_2} = \frac{5}{3}\end{align*}\]Chegara shartlari bizda \({c_2} = \frac{5}{3}\) bo'lishi kerakligini aytadi va ular bizga \({c_1}\) haqida hech narsa aytmaydi va shuning uchun uni o'zboshimchalik bilan tanlash mumkin. Yechim shundan iboratki,
\[y\left( x \right) = {c_1}\cos \left( {3\,x} \right) + \frac{5}{3}\sin \left( {3\,x} \right) + \frac{1}{8}\cos x\]va BVP uchun cheksiz ko'p echimlar bo'ladi.
Keling, keyingi bo'limga o'tganimizdan keyin ishlashga yordam beradigan bir nechta bir xil misollarni ishlab chiqaylik.
Yechim
Bu erda umumiy yechim:
\[y\left( x \right) = {c_1}\cos \left( {2x} \right) + {c_2}\sin \left( {2x} \right)\]Chegaraviy shartlarni qo'llash,
\[\begin{align*}0 & = y\left( 0 \right) = {c_1}\\ 0 & = y\left( {2\pi } \right) = {c_1}\end{align*}\]So \({c_2}\) is arbitrary and the yechim is,
\[y\left( x \right) = {c_2}\sin \left( {2x} \right)\]va bu holda biz cheksiz ko'p echimlarga ega bo'lamiz.
Yechim
Bu holatda umumiy yechim:
\[y\left( x \right) = {c_1}\cos \left( {\sqrt 3 \,x} \right) + {c_2}\sin \left( {\sqrt 3 \,x} \right)\]Chegaraviy shartlarni qo'llash,
\[\begin{align*}0 & = y\left( 0 \right) = {c_1}\\ 0 & = y\left( {2\pi } \right) = {c_2}\sin \left( {2\sqrt 3 \,\pi } \right)\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}{c_2} = 0\end{align*}\]Bu holda biz ikkala konstantani ham nolga teng deb topdik va shuning uchun yechim:
\[y\left( x \right) = 0\]In the previous example the yechim was \(y\left( x \right) = 0\). E'tibor bering, bu har doim \(\eqref{eq:eq5}\) tomonidan berilgan har qanday bir hil tizimga va \(\eqref{eq:eq1}\) - \(\eqref{eq:eq4}\) tomonidan berilgan har qanday (bir hil) chegara shartlariga yechim bo'ladi. Because of this we usually call this yechim the ahamiyatsiz yechim. Sometimes, as in the case of the last example the trivial yechim is the only yechim however we generally prefer solutions to be non-trivial. Bu keyingi bo'limda asosiy g'oya bo'ladi.
Before we leave this section an important point needs to be made. Har bir misolda, bitta istisnodan tashqari, biz hal qilgan differensial tenglama quyidagi ko'rinishda edi:
\[y'' + \lambda y = 0\]Bundan bitta istisno bu differensial tenglamani hal qildi, faqat u bir hil differensial tenglama emas edi va shuning uchun biz bu asosiy differentsial tenglamani qandaydir tarzda yechdik.
So, there are probably several natural questions that can arise at this point. Barcha BVPlar ushbu differentsial tenglamani o'z ichiga oladimi va agar bo'lmasa, nega biz boshqa barcha mumkin bo'lgan differentsial tenglamalarni istisno qilish uchun uni echish uchun ko'p vaqt sarfladik?
The answers to these questions are fairly simple. First, this differential equation is most definitely not the only one used in boundary value problems. It does however exhibit all of the behavior that we wanted to talk about here and has the added bonus of being very easy to solve. Shunday qilib, ushbu differensial tenglamadan deyarli foydalanish orqali biz muhokama qilishimiz kerak bo'lgan muhim xatti-harakatni ko'rishimiz va muhokama qilishimiz mumkin va bizni ko'plab potentsial tartibsiz yechim tafsilotlari va yoki tartibsiz echimlardan xalos qiladi. Vaqti-vaqti bilan biz ushbu bobning qolgan qismida boshqa differentsial tenglamalarni ko'rib chiqamiz, lekin biz hali ham deyarli faqat shu bilan ishlaymiz.
There is another important reason for looking at this differential equation. Keyingi bobga o‘tib, qisman differensial tenglamalarni echishga qisqacha nazar tashlasak, biz u yerda ishlayotgan misollarning deyarli barchasi aynan shu differentsial tenglamaga to‘g‘ri kelishini ko‘ramiz. Bundan tashqari, bu masalalarda biz ba'zi bir "haqiqiy" muammolar bilan shug'ullanamiz, ular aslida joylarda hal qilinadi va shuning uchun misollar uchun shunchaki "to'qilgan" muammolar emas. Admittedly they will have some simplifications in them, but they do come close to realistic problem in some cases.