Asosiy tarkibga o'tish

12.12-bo'lim: Silindrsimon koordinatalar

Ikki o'lchovli fazoda bo'lgani kabi standart \(\left( {x,y,z} \right)\) koordinatalar tizimi Dekart koordinata tizimi deb ataladi. Ushbu bobning oxirgi ikki qismida biz uch o'lchovli fazo uchun ba'zi bir muqobil koordinata tizimlarini ko'rib chiqamiz.

Biz silindrsimon koordinatalar tizimidan boshlaymiz. Bu juda oddiy, chunki u kengaytmadan boshqa narsa emas qutb koordinatalari uch o'lchamga. Bu nafaqat qutb koordinatalarining kengaytmasi, balki biz uni uchinchi o'lchovga kengaytiramiz, xuddi Dekart koordinatalarini uchinchi o'lchamga kengaytiramiz. Biz qiladigan yagona narsa - uchinchi koordinata sifatida \(z\) qo'shish. \(r\) va \(\theta\) qutb koordinatalari bilan bir xil.

Mana \({\mathbb{R}^3}\) dagi nuqtaning eskizi.

Fazoviy koordinatalar sistemasi va egri chiziq grafigi

\(x\) va \(y\) konversiyalari biz qutb koordinatalarini ko‘rib chiqqanimizda ishlatgan konversiyalardir. Shunday qilib, silindrsimon koordinatalarda nuqta bo'lsa, Dekart koordinatalarini quyidagi konvertatsiyalar yordamida topish mumkin.

Silindrni kartezianga aylantirish formulalari

\[\begin{align*}x & = r\cos \theta \\ y & = r\sin \theta \\ z & = z\end{align*}\]

Uchinchi tenglama faqat \(z\) nuqtaning Dekart va qutb koordinatalari bir xil ekanligini tan olishdir.

Xuddi shunday, agar bizda Dekart koordinatalarida nuqta bo'lsa, silindrsimon koordinatalarni quyidagi konvertatsiyalar yordamida topish mumkin.

Dekartdan silindrga aylantirish formulalari

\[\begin{align*}r & = \sqrt {{x^2} + {y^2}} \hspace{0.5in}{\mbox{OR}}\hspace{0.5in}{r^2} = {x^2} + {y^2}\\ \theta & = {\tan ^{ - 1}}\left( {\frac{y}{x}} \right)\\ z & = z\end{align*}\]

Keling, silindrsimon koordinatalarda ba'zi sirtlarni tez ko'rib chiqaylik.

1-misol Quyidagi tenglamalarning har biri uchun sirtni aniqlang.
  1. \(r = 5\)
  2. \({r^2} + {z^2} = 100\)
  3. \(z = r\)
a \(r = 5\) Yechim

Ikki o'lchovda biz bu radiusi 5 bo'lgan doira ekanligini bilamiz. Biz hozir uch o'lchamdamiz va tenglamada \(z\) yo'qligi sababli, bu uning erkin o'zgarishiga ruxsat berilganligini anglatadi. Shunday qilib, har qanday \(z\) uchun biz \(z\) o'qida markazlashtirilgan 5 radiusli doiraga ega bo'lamiz.

Boshqacha qilib aytadigan bo'lsak, biz \(z\) o'qi markazida joylashgan 5 radiusli silindrga ega bo'lamiz.


b \({r^2} + {z^2} = 100\) Yechim

Dekart koordinatalariga qaytsak, bu tenglamani aniqlash oson bo'ladi.

\[\begin{align*}{r^2} + {z^2} & = 100\\ {x^2} + {y^2} + {z^2} & = 100\end{align*}\]

Demak, bu radiusi 10 bo'lgan koordinata markazida joylashgan shar.


c \(z = r\) Yechim

Shunga qaramay, agar biz Kartezianga qaytsak, bu juda yomon bo'lmaydi. Oxir-oqibat aniq bo'ladigan sabablarga ko'ra, avval ikkala tomonni kvadratga aylantiramiz, so'ngra aylantiramiz.

\[\begin{align*}{z^2} & = {r^2}\\ {z^2} & = {x^2} + {y^2}\end{align*}\]

Bo'limdan boshlab kvadrat yuzalar bu konusning tenglamasi ekanligini bilamiz.