6.1-bo'lim: Eksponensial funksiyalar
Keling, ushbu bo'limni eksponensial funktsiyaning ta'rifi bilan boshlaylik.
Ko'rsatkichli funktsiyaning ta'rifi
Agar \(b\) \(b > 0\) va \(b \ne 1\) kabi har qanday raqam bo'lsa, u holda eksponensial funktsiya shakldagi funktsiyadir,
\[f\left( x \right) = {b^x}\]bu erda \(b\) deyiladi asos va \(x\) har qanday haqiqiy son bo'lishi mumkin.
E'tibor bering, \(x\) hozir ko'rsatkichda va asos sobit sondir. Bu biz hozirgacha ko'rgan narsadan mutlaqo ziddir. Shu nuqtaga qadar baza o'zgaruvchi bo'ldi, ko'p hollarda \(x\) va ko'rsatkich qat'iy son edi. Biroq, bu farqlarga qaramay, bu funktsiyalar biz o'rganganlari bilan bir xil tarzda baholanadi. Tez orada eksponensial funksiyalarning ba'zi misollarini ko'rib chiqamiz.
Ushbu bo'limga juda uzoqqa kirishdan oldin \(b\)-dagi cheklovlarni ko'rib chiqishimiz kerak. Biz bitta va noldan qochamiz, chunki bu holda funktsiya quyidagicha bo'ladi:
\[f\left( x \right) = {0^x} = 0\hspace{0.25in}\text{va}\hspace{0.25in}\,\,\,\,\,f\left( x \right) = {1^x} = 1\]va bular doimiy funktsiyalardir va ular umumiy eksponensial funktsiyalarga ega bo'lgan bir xil xususiyatlarga ega bo'lmaydi.
Keyinchalik, funktsiyani baholashdan murakkab qiymatlarni olmaslik uchun biz manfiy raqamlardan qochamiz. Misol uchun, agar biz \(b = - 4\) ga ruxsat bergan bo'lsak, funktsiya shunday bo'ladi:
\[f\left( x \right) = {\left( { - 4} \right)^x}\hspace{0.25in} \Rightarrow \,\hspace{0.25in}\,\,\,\,f\left( {\frac{1}{2}} \right) = {\left( { - 4} \right)^{\frac{1}{2}}} = \sqrt { - 4} \]va siz ko'rib turganingizdek, kompleks sonlarni beradigan ba'zi funktsiyalarni baholash mavjud. Biz faqat funktsiyani baholashdan haqiqiy raqamlar paydo bo'lishini xohlaymiz va shuning uchun bunga ishonch hosil qilish uchun \(b\) manfiy son bo'lmasligini talab qilamiz.
Keling, bir nechta grafiklarni ko'rib chiqaylik. Bu grafiklardan ko‘rsatkichli funksiyalarning ko‘pgina xossalarini olishimiz mumkin bo‘ladi.
Yechim
Yaxshi, bizda bu grafiklar qanday ko‘rinishi haqida hech qanday ma’lumot yo‘qligi sababli \(x\) ning ba’zi qiymatlarini tanlashimiz va ba’zi funksiyalarni baholashimiz kerak bo‘ladi. Eksponensial funktsiyalar bilan funktsiyani baholash, barcha funktsiyalarni baholash shu nuqtaga qadar qanday ishlagan bo'lsa, xuddi shunday ishlaydi. Chapdagi qavs ichida nima bo'lishidan qat'i nazar, biz o'ng tarafdagi barcha \(x\)-larni almashtiramiz.
Mana bu ikki funktsiya uchun ba'zi baholashlar,
| \(x\) | \(f\left( x \right) = {2^x}\) | \(g\left( x \right) = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^x}\) |
|---|---|---|
| -2 | \(f\left( { - 2} \right) = {2^{ - 2}} = \frac{1}{{{2^2}}} = \frac{1}{4}\) | \(g\left( { - 2} \right) = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{ - 2}} = {\left( {\frac{2}{1}} \right)^2} = 4\) |
| -1 | \(f\left( { - 1} \right) = {2^{ - 1}} = \frac{1}{{{2^1}}} = \frac{1}{2}\) | \(g\left( { - 1} \right) = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{ - 1}} = {\left( {\frac{2}{1}} \right)^1} = 2\) |
| 0 | \(f\left( 0 \right) = {2^0} = 1\) | \(g\left( 0 \right) = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^0} = 1\) |
| 1 | \(f\left( 1 \right) = {2^1} = 2\) | \(g\left( 1 \right) = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^1} = \frac{1}{2}\) |
| 2 | \(f\left( 2 \right) = {2^2} = 4\) | \(g\left( 2 \right) = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} = \frac{1}{4}\) |
Mana ikkita grafikning eskizi.
Shuni ham yodda tutingki, biz \(g\left( x \right)\) ni quyidagi tarzda yozishimiz mumkin edi:
\[g\left( x \right) = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^x} = \frac{1}{{{2^x}}} = {2^{ - x}}\]Ba'zan biz bunday eksponensial funktsiyani ko'ramiz va shuning uchun bu ikki shakl o'rtasida o'tish imkoniyatiga ega bo'lish muhimdir.
Endi eksponensial funksiyalarning ayrim xossalari haqida gapiraylik.
\(f\left( x \right) = {b^x}\) xususiyatlari
- \(f\left( x \right)\) grafigi har doim \(\left( {0,1} \right)\) nuqtasini o'z ichiga oladi. Boshqacha qilib aytganda, \(f\left( 0 \right) = 1\), \(b\) qiymatidan qat'i nazar.
- Har bir mumkin bo'lgan \(b\) uchun bizda \({b^x} > 0\) mavjud. E'tibor bering, bu \({b^x} \ne 0\) ekanligini anglatadi.
- Agar \(0 < b < 1\) bo'lsa, chapdan o'ngga harakat qilganimizda \({b^x}\) grafigi kamayadi. Ushbu xususiyatni tekshirish uchun yuqoridagi \({\left( {\frac{1}{2}} \right)^x}\) grafigini tekshiring.
- Agar \(b > 1\) bo'lsa, chapdan o'ngga siljiganimizda \({b^x}\) grafigi ortadi. Ushbu xususiyatni tekshirish uchun yuqoridagi \({2^x}\) grafigini tekshiring.
- Agar \({b^x} = {b^y}\), keyin \(x = y\)
Yakuniysidan tashqari bu xususiyatlarning barchasi birinchi misoldagi grafiklardan osongina tekshirilishi mumkin. Biz yakuniy mulkni muhokama qilishni bir necha bo'limga to'xtatamiz, bu erda biz undan foydalanamiz.
Ushbu bo'limda yakuniy mavzu sifatida biz maxsus eksponensial funktsiyani muhokama qilishimiz kerak. Aslida, bu juda o'ziga xosdirki, ko'pchilik uchun bu eksponensial funktsiyadir. Mana,
\[f\left( x \right) = {{\bf{e}}^x}\]bu erda \({\bf{e}} = 2.718281828 \ldots \). \(f\left( x \right) = {b^x}\) va \(f\left( x \right) = {{\bf{e}}^x}\) o'rtasidagi farqga e'tibor bering. Birinchi holda \(b\) yuqorida berilgan cheklovlarga javob beradigan har qanday raqamdir e juda aniq raqam. Shuni ham e'tiborga oling e yakunlovchi kasr emas.
Ushbu maxsus eksponensial funktsiya juda muhim va ko'p sohalarda tabiiy ravishda paydo bo'ladi. Yuqorida ta'kidlab o'tilganidek, bu funktsiya shunchalik tez-tez paydo bo'ladiki, agar siz eksponensial funktsiyalar haqida gapirsangiz, ko'pchilik bu funktsiya haqida o'ylaydi. Ushbu bobning yakuniy qismida ushbu funktsiyaning ba'zi ilovalarini ko'rib chiqamiz.
Keling, ushbu funktsiyaning tezkor grafigini olamiz.
Yechim
Keling, avval ushbu funktsiya uchun qiymatlar jadvalini tuzamiz.
| \(x\) | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 |
| \(f(x)\) | 0.1353… | 0.3679… | 1 | 2.718… | 7.389… |
Ushbu baholashni olish uchun (\(x = 0\) bundan mustasno) kalkulyatordan foydalanishingiz kerak bo'ladi. Aslida, bu misolning bir qismi. Kalkulyatoringizni ishga tushirishingiz va bu raqamlarni tekshirishingiz mumkinligiga ishonch hosil qiling.
Mana bu grafikning eskizi.
E'tibor bering, bu \({\bf{e}} = 2.718281827 \ldots > 1\) dan beri biz kutishimiz kerak bo'lgan ortib borayotgan grafikdir.
Keyingiga o'tishdan oldin ishlashimiz kerak bo'lgan bitta yakuniy misol bor. Bu misol grafik jarayonidan ko'ra eksponensial funktsiyalarni baholash jarayoni haqida ko'proq. Eksponensial funktsiyalarni baholashda juda ehtiyot bo'lishimiz kerak.
Yechim
Mana bu funksiya uchun qiymatlarning tezkor jadvali.
| \(x\) | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
| >\(g(x)\) | 32.945… | 9.591… | 1 | -2.161… | -3.323… |
Yuqorida aytib o'tganimizdek, bu misol grafikdan ko'ra ko'proq baholash jarayoni haqida edi, shuning uchun keling, buni amalga oshirishingiz mumkinligiga ishonch hosil qilish uchun birinchisini ko'rib chiqaylik.
\[\begin{align*}g\left( { - 1} \right) & = 5{{\bf{e}}^{1 - \left( { - 1} \right)}} - 4\\ & = 5{{\bf{e}}^2} - 4\\ & = 5\left( {7.389} \right) - 4\end{align*}\]E'tibor bering, eksponensial funktsiyalarni baholashda biz har qanday koeffitsientga (bu holda 5) ko'paytirishdan oldin, birinchi navbatda, eksponentsiyani bajarishimiz kerak. Bundan tashqari, biz bu erda faqat 3 kasrdan foydalandik, chunki biz faqat grafik chizamiz. Ko'pgina ilovalarda biz ushbu hisoblashlarda ko'proq o'nlik kasrlardan foydalanishni xohlaymiz.
Bu erda grafikning eskizi.
E'tibor bering, bu grafik biz yuqorida sanab o'tgan barcha xususiyatlarni buzadi. Bu yaxshi. Bu xususiyatlar faqat \(f\left( x \right) = {b^x}\) yoki \(f\left( x \right) = {{\bf{e}}^x}\) shaklidagi funksiyalar uchun amal qiladi. Bizda bu funktsiyada ko'p narsa bor va shuning uchun yuqorida yozilganidek, xususiyatlar bu funktsiyaga mos kelmaydi.