2.11-bo'lim: Chiziqli tengsizliklar
Shu nuqtaga qadar ushbu bobda biz tenglamalarni echishga e'tibor qaratdik. Endi viteslarni biroz almashtirish va tengsizliklarni hal qilish haqida o'ylashni boshlash vaqti keldi. Tengsizliklarni echishdan oldin biz bir nechta asosiy narsalarni ko'rib chiqishimiz kerak.
Matematik karerangizning ushbu bosqichida siz buni bilasiz deb taxmin qilinadi
\[a < b\]Bu \(a\) \(b\) dan qat'iy kamroq bo'lgan ba'zi bir raqam ekanligini anglatadi. Bundan tashqari, siz buni bilasiz deb taxmin qilinadi
\[a \ge b\]degani, \(a\) \(b\) dan qat'iy kattaroq yoki \(b\) ga to'liq teng bo'lgan raqamdir. Xuddi shunday, siz qolgan ikkita tengsizlik bilan qanday kurashishni bilasiz deb taxmin qilinadi. > (kattaroq) va \( \le \) (dan kichik yoki teng).
Biz muhokama qilmoqchi bo'lgan narsa - bu ba'zi notatsion muammolar va ba'zi nozikliklar, ular ba'zan o'quvchilar tengsizliklar bilan ishlashni boshlaganlarida paydo bo'ladi.
Birinchidan, esda tutingki, biz \(a\) \(b\) dan kichik deganda, biz \(a\) son qatorida \(b\) ning chap tomonida ekanligini nazarda tutamiz. Shunday qilib,
\[ - 1000 < 0\]haqiqiy tengsizlikdir.
Keyinchalik, \( \le \) va \( \ge \) ni qanday to'g'ri talqin qilishni unutmang. Quyidagi ikkalasi ham haqiqiy tengsizlikdir.
\[4 \le 4\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}\hspace{0.25in} - 6 \le 4\]Birinchi holatda 4 4 ga teng va shuning uchun u 4 ga "kam yoki teng" bo'ladi. Ikkinchi holda -6 4 dan qat'iy kichik va shuning uchun 4 ga "kam yoki teng". Eng keng tarqalgan xato birinchi tengsizlik haqiqiy tengsizlik emas, deb qaror qilishdir. Shuningdek, ushbu talqinni qabul qilmaslik va uni < va/yoki > ga tarjima qilishdan ehtiyot bo'ling. Masalan,
\[4 < 4\]haqiqiy tengsizlik emas, chunki 4 4 ga teng va 4 dan kam emas.
Nihoyat, biz ko'p narsalarni ko'ramiz ikki tomonlama tengsizliklar Ushbu bo'limda va keyingi bo'limlarda biz ular haqida unuta olmaymiz. Quyidagi ikki barobar tengsizlik.
\[ - 9 < 5 \le 6\]Ikki tengsizlikda biz ikkala tengsizlik bir vaqtning o'zida to'g'ri bo'lishi kerakligini aytamiz. Bu holda 5 aniq -9 dan katta va shu bilan birga 6 dan kichik yoki teng bo'ladi. Shuning uchun bu qo'sh tengsizlik haqiqiy tengsizlikdir.
Boshqa tomondan,
\[10 \le 5 < 20\]haqiqiy tengsizlik emas. 5 ning 20 dan kichik ekanligi to'g'ri bo'lsa (demak, ikkinchi tengsizlik to'g'ri), 5 ning 10 dan katta yoki teng ekanligi to'g'ri emas (shuning uchun birinchi tengsizlik to'g'ri emas). Agar qo'shaloq tengsizlikdagi tengsizliklardan bittasi ham to'g'ri bo'lmasa, butun tengsizlik to'g'ri emas. Bu nuqta siz hozir tushunganingizdan ham muhimroqdir. Keyingida biz ko'plab talabalar ikkita tengsizlikni birlashtirib bo'lmaydigan qo'sh tengsizlikka birlashtirishga harakat qiladigan vaziyatlarni ko'rib chiqamiz, shuning uchun ehtiyot bo'ling.
Biz muhokama qilishimiz kerak bo'lgan keyingi mavzu - bu g'oya intervalli belgi. Intervalli belgi tengsizliklar uchun juda yaxshi stenografiya bo'lib, ushbu bobning keyingi bir necha bo'limlarida keng qo'llaniladi.
Intervalli belgilarni aniqlashning eng yaxshi usuli quyidagi jadvaldir. Jadvalda uchta ustun mavjud. Har bir qatorda tengsizlik, tengsizlikni ifodalovchi grafik va nihoyat berilgan tengsizlik uchun intervalli yozuv mavjud.
| Tengsizlik | Grafik | Interval belgisi |
|---|---|---|
| \[a \le x \le b\] | ![This sketch is a horizontal arrow pointing right. There are two points labeled on the arrow. The point labeled as “a” is on the left and the point labeled as “b” is on the right. Both of the labels are below the arrow. The portion of the horizontal arrow between these two points has been darkened to make it stand out. On the arrow above the “a” is a [ and above the “b” is a ].](/Classes/Alg/SolveLinearInequalities_Files/image001.webp){kind=small} |
\[\left[ {a,b} \right]\] |
| \[a < x < b\] |  |
\[\left( {a,b} \right)\] |
| \[a \le x < b\] |  |
\[\left[ {a,b} \right)\] |
| \[a < x \le b\] | ![This sketch is a horizontal arrow pointing right. There are two points labeled on the arrow. The point labeled as “a” is on the left and the point labeled as “b” is on the right. Both of the labels are below the arrow. The portion of the horizontal arrow between these two points has been darkened to make it stand out. On the arrow above the “a” is a ( and above the “b” is a ].](/Classes/Alg/SolveLinearInequalities_Files/image004.webp){kind=small} |
\[\left( {a,b} \right]\] |
| \[x > a\] |  |
\[\left( {a,\infty } \right)\] |
| \[x \ge a\] |  |
\[\left[ {a,\infty } \right)\] |
| \[x < b\] |  |
\[\left( { - \infty ,b} \right)\] |
| \[x \le b\] | ![This sketch is a horizontal arrow pointing right. There are two points labeled on the arrow. The point labeled as “a” is on the left and the point labeled as “b” is on the right. Both of the labels are below the arrow. The portion of the horizontal arrow to the left of b is darkened to make it stand out. On the arrow above the “b” is a ] and there is nothing on the arrow above the “a”.](/Classes/Alg/SolveLinearInequalities_Files/image008.webp){kind=small} |
\[\left( { - \infty ,b} \right]\] |
Esda tutingki, “[” yoki “]” qavs so‘nggi nuqtani kiritishimizni bildiradi, “(” yoki “)” qavs esa oxirgi nuqtani o‘z ichiga olmaydi.
Jadvaldagi dastlabki to'rtta tengsizlik bilan intervalli belgi aslida raqamlar chizig'i bo'lmagan grafikdan boshqa narsa emas. Yakuniy to'rtta tengsizlik bilan intervalli yozuv deyarli grafikdir, bundan tashqari raqamlar chizig'ining to'g'ri qismini olishimizga ishonch hosil qilish uchun tegishli cheksizlik qo'shishimiz kerak. Shuni ham yodda tutingki, cheksizliklar hech qachon qavs olmaydi. Ular faqat qavs oladi.
Tengsizliklarni yechishga o'tishdan oldin intervalli belgiga yakuniy eslatma berishimiz kerak. Har doim esda tutingki, biz tengsizlik uchun intervalli yozuvni yozayotganda, chapdagi raqam ikkitadan kichik bo'lishi kerak.
Endi chiziqli tengsizliklarni echish haqida o'ylashni boshlash vaqti keldi. Tengsizliklarni yechishda quyidagi faktlardan foydalanamiz. E'tibor bering, faktlar < uchun berilgan. Biroq, qolgan uchta tengsizlik uchun ekvivalent faktlar to'plamini yozishimiz mumkin.
- Agar \(a < b\) bo'lsa, \(a + c < b + c\) va \(a - c < b - c\) istalgan \(c\) raqami uchun. Boshqacha qilib aytganda, biz tengsizlikning ikkala tomoniga raqam qo'shishimiz yoki ayirishimiz mumkin va biz tengsizlikning o'zini o'zgartirmaymiz.
- Agar \(a < b\) va \(c > 0\), keyin \(ac < bc\) va \(\frac{a}{c} < \frac{b}{c}\). Shunday qilib, \(c\) musbat son bo'lsa, biz tengsizlikni o'zgartirmasdan, tengsizlikning ikkala tomonini songa ko'paytirishimiz yoki bo'lishimiz mumkin.
- Agar \(a < b\) va \(c < 0\), keyin \(ac > bc\) va \(\frac{a}{c} > \frac{b}{c}\). Bu holda, oldingi faktdan farqli o'laroq, \(c\) manfiy bo'lsa, ikkala tomonni tengsizlikka \(c\) ga ko'paytirish yoki bo'lishda tengsizlikning yo'nalishini o'zgartirishimiz kerak.
Bu biz chiziqli tenglamalarni echishda foydalangan faktlar bilan deyarli bir xil. Yagona haqiqiy istisno uchinchi faktdir. Bu muhim fakt, chunki u ko'pincha tengsizliklarni hal qilishda eng noto'g'ri ishlatiladigan va/yoki unutilgan faktdir.
Agar siz \(c\) belgisi ikkinchi va uchinchi faktlar uchun muhim ekanligiga ishonchingiz komil bo'lmasa, quyidagi raqam misolini ko'rib chiqing.
\[ - 3 < 5\]Umid qilamanki, biz hammamiz bu haqiqiy tengsizlik ekanligiga rozi bo'lamiz. Endi ikkala tomonni 2 ga va -2 ga ko'paytiring.
\[\begin{align*}- 3 & < 5\hspace{0.5in} & - 3 & < 5\\ - 3\left( 2 \right) & < 5\left( 2 \right)\hspace{0.5in} & - 3\left( { - 2} \right) & > 5\left( { - 2} \right)\\ - 6 & < 10 \hspace{0.5in} & 6 & > - 10\end{align*}\]Albatta, musbat songa ko'paytirilganda tengsizlikning yo'nalishi bir xil bo'lib qoladi, ammo manfiy songa ko'paytirilganda tengsizlikning yo'nalishi o'zgaradi.
OK, keling, ba'zi tengsizliklarni hal qilaylik. Biz faqat bitta tengsizlikka ega bo'lgan tengsizliklardan boshlaymiz. Boshqacha qilib aytadigan bo'lsak, biz keyingi misollar to'plami uchun qo'shaloq tengsizliklarni yechishda to'xtab qolamiz.
Bu erda biz eslashimiz kerak bo'lgan narsa shundaki, biz o'zgaruvchining tengsizlikka almashtira oladigan va haqiqiy tengsizlikni olishimiz mumkin bo'lgan barcha qiymatlarini aniqlashni so'raymiz. Bu shuni anglatadiki, bizning yechimlarimiz ko'p hollarda tengsizlik bo'ladi.
- \( - 2\left( {m - 3} \right) < 5\left( {m + 1} \right) - 12\)
- \(2\left( {1 - x} \right) + 5 \le 3\left( {2x - 1} \right)\)
Munozarani ko'rsatish
Yagona chiziqli tengsizliklarni echish chiziqli tenglamalarni echishda deyarli bir xil jarayonga amal qiladi. Biz ikkala tomonni soddalashtiramiz, bir tomonda o'zgaruvchi va boshqa tomonda raqamlar bilan barcha shartlarni olamiz, so'ngra yechimni olish uchun ikkala tomonni o'zgaruvchining koeffitsientiga ko'paytiramiz/bo'lamiz. Esda tutishingiz kerak bo'lgan yagona narsa, agar siz manfiy songa ko'paytirsangiz/bo'lsangiz, tengsizlikning yo'nalishini o'zgartiring.
a \( - 2\left( {m - 3} \right) < 5\left( {m + 1} \right) - 12\) Yechim
Haqiqatan ham bu erda yuqorida ko'rsatilgan jarayonni kuzatishdan boshqa ko'p narsa qilish kerak emas.
\[\begin{align*} - 2\left( {m - 3} \right) & < 5\left( {m + 1} \right) - 12\\ - 2m + 6 & < 5m + 5 - 12\\ - 7m & < - 13\\ m & > \frac{{13}}{7}\end{align*}\]Bu erda tengsizlikning yo'nalishi o'zgarganini tushundingiz, shunday emasmi? Biz "-7" ga bo'lindik va shuning uchun biz yo'nalishni o'zgartirishimiz kerak edi. Yechimning tengsizlik shakli \(m > \frac{{13}}{7}\). Ushbu yechim uchun intervalli belgi \(\left( {\frac{{13}}{7},\infty } \right)\).
b \(2\left( {1 - x} \right) + 5 \le 3\left( {2x - 1} \right)\) Yechim
Shunga qaramay, bu erda qiladigan ko'p narsa yo'q.
\[\begin{align*}2\left( {1 - x} \right) + 5 & \le 3\left( {2x - 1} \right)\\ 2 - 2x + 5 & \le 6x - 3\\ 10 & \le 8x\\ \frac{{10}}{8} & \le x\\ \frac{5}{4} & \le x\end{align*}\]Endi, bu tengsizlik bilan biz o'zgaruvchini o'ng tomonda, an'anaviy ravishda chap tomonda tugatdik. Shunday qilib, o'zgaruvchini chap tomonga olish uchun narsalarni almashtiramiz. E'tibor bering, javobni o'zgartirmasligimiz uchun tengsizlikning yo'nalishini o'zgartirishimiz kerak. Shunday qilib, bu erda tengsizlik uchun tengsizlik yozuvi.
\[x \ge \frac{5}{4}\]Yechimning interval belgisi \(\left[ {\frac{5}{4},\infty } \right)\).
Keling, ba'zi bir juft tengsizliklarni hal qilaylik. Bu erdagi jarayon bir xil yo'llar bilan yagona tengsizliklarni echishga o'xshaydi, ammo boshqa yo'llar bilan juda farq qiladi. Ikkita tengsizlik mavjud bo'lganligi sababli, tengsizlikning "bir tomonida" o'zgaruvchilarni va boshqa tomonidagi raqamlarni olishning hech qanday usuli yo'q. Agar biz bir yoki ikkita misol qilsak, bularning qanday ishlashini tushunish osonroq bo'ladi, shuning uchun buni qilaylik.
- \( - 6 \le 2\left( {x - 5} \right) < 7\)
- \( - 3 < \frac{3}{2}\left( {2 - x} \right) \le 5\)
- \( - 14 < - 7\left( {3x + 2} \right) < 1\)
a \( - 6 \le 2\left( {x - 5} \right) < 7\) Yechim
Bu yerdagi jarayon yakka tengsizliklar uchun jarayonga juda o'xshaydi, lekin biz birinchi navbatda bir nechta joyda ehtiyot bo'lishimiz kerak. Bu holatda bizning birinchi qadamimiz o'rta muddatda har qanday qavsni tozalash bo'ladi.
\[ - 6 \le 2x - 10 < 7\]Endi biz \(x\) ni o'rta muddatda o'z-o'zidan va faqat ikkita tashqi atamadagi raqamlarni xohlaymiz. Buning uchun kerak bo'lganda qo'shamiz / ayirish / ko'paytirish / bo'lish. Bu erda eslashimiz kerak bo'lgan yagona narsa, agar biz o'rta muddatga biror narsa qilsak, ikkala shartga ham xuddi shunday qilishimiz kerak. Bu nuqtada tez-tez uchraydigan xatolardan biri, masalan, o'rtasiga biror narsa qo'shish va uni faqat ikki tomondan biriga qo'shishdir.
OK, biz barcha uch qismga 10 qo'shamiz va keyin barcha uch qismni ikkiga bo'lamiz.
\[\begin{array}{c} 4 \le 2x < 17\\ 2 \le x < \displaystyle \frac{{17}}{2}\end{array}\]Bu javobning tengsizlik shakli. Javobning intervalli yozuv shakli \(\left[ {2,\frac{{17}}{2}} \right)\).
b \( - 3 < \frac{3}{2}\left( {2 - x} \right) \le 5\) Yechim
Bu holda biz qilishimiz kerak bo'lgan birinchi narsa barcha uch qismni 2 ga ko'paytirish orqali aniq kasrlarni chiqarishdir. Keyin birinchi qismda qilganimizdek davom etamiz.
\[\begin{array}{c} - 6 < 3\left( {2 - x} \right) \le 10\\ - 6 < 6 - 3x \le 10\\ - 12 < - 3x \le 4\end{array}\]Endi biz bu erda to'liq ishlamadik, lekin keyingi bosqichda juda ehtiyot bo'lishimiz kerak. Ushbu bosqichda biz barcha uch qismni -3 ga bo'lishimiz kerak. Ammo shuni esda tutingki, agar biz tengsizlikning ikkala tomonini manfiy songa bo'lsak, biz tengsizlikning yo'nalishini o'zgartirishimiz kerak. Biz uchun bu ikkala tengsizlik bu erda yo'nalishni o'zgartirishi kerakligini anglatadi.
\[4 > x \ge - \frac{4}{3}\]Demak, yechimning tengsizlik shakli mavjud. Yechim uchun intervalli belgi bilan ehtiyot bo'lishimiz kerak. Birinchidan, intervalli belgi \(\left( {4, - \frac{4}{3}} \right]\) emas. Esda tutingki, intervalli belgilarda kichikroq raqam har doim chap tomonda bo'lishi kerak! Shuning uchun yechim uchun to'g'ri intervalli belgi \(\left[ { - \frac{4}{3},4} \right)\) hisoblanadi.
Shuni ham yodda tutingki, bu yechimning tengsizlik shakli bilan ham mos keladi. Tengsizlik bizga \(x\) 4 va \( - \frac{4}{3}\) yoki, ehtimol, \( - \frac{4}{3}\) ning o'zi o'rtasidagi istalgan raqam ekanligini va intervalli belgi bizga aytayotgan narsa ekanligini aytadi.
Bundan tashqari, agar xohlasak, chap tomonda kichikroq raqamni olish uchun tengsizlikni aylantirilishi mumkin. Mana bu shakl,
\[ - \frac{4}{3} \le x < 4\]Buni qilayotganda, tengsizliklarni ham to'g'ri hal qilishga ishonch hosil qiling.
c \( - 14 < - 7\left( {3x + 2} \right) < 1\) Yechim
Bunga unchalik emas. Oldingi ikkitasini qilganimizdek davom etamiz.
\[\begin{array}{c} - 14 < - 21x - 14 < 1\\ 0 < - 21x < 15\end{array}\]Tomonlardan biri endi nolga teng ekanligidan hayajonlanmang. Bu muammo emas. Shunga qaramay, oxirgi qismda bo'lgani kabi, biz salbiy raqamga bo'linamiz va shuning uchun tengsizliklar yo'nalishini o'zgartirishni unutmang.
\[\begin{array}{c} \displaystyle 0 > x > - \frac{{15}}{{21}}\\ \displaystyle 0 > x > - \frac{5}{7}\hspace{0.25in}{\mbox{OR}}\hspace{0.25in} - \frac{5}{7} < x < 0\end{array}\]Ikkinchi qatordagi tengsizliklardan biri yechim uchun ishlaydi. Yechimning intervalli belgisi \(\left( { - \frac{5}{7},0} \right)\).
Ikki tomonlama tengsizliklarni yechishda asl muammodagi tengsizliklarga e'tibor bering. Bu yerda tez-tez uchraydigan xatolardan biri - tengsizliklardan biri < yoki > bo'lgan, ikkinchisi esa \( \le \) yoki \( \ge \) bo'lgan masaladan boshlashdir, chunki biz oldingi misolning dastlabki ikki qismida bo'lganmiz, so'ngra yakuniy javobga ko'ra ikkalasi ham < yoki > yoki ikkalasi ham \( \le \) yoki \( \ge \). Boshqacha qilib aytganda, to'satdan ikkala tengsizlikni ham bir xil qilish oson. Bu bilan ehtiyot bo'ling.
Biz bu erda ishlashni istagan oxirgi misol bor.
Yechim
Bu birinchi qarashda ko'rinadiganidan osonroq. Biz haqiqatan ham qiladigan narsa - berilgan tengsizlikdan boshlaymiz va keyin ikkinchi tengsizlikka o'xshab ko'rinish uchun o'rta atamani manipulyatsiya qilamiz. Yana shuni esda tutishimiz kerakki, biz o'rta muddatga nima qilsak, ikkita tashqi atama uchun ham qilishimiz kerak.
Shunday qilib, avval hamma narsani 2 ga ko'paytiramiz.
\[ - 2 < 2x < 8\]Endi hamma narsaga 3 qo'shing.
\[1 < 2x + 3 < 11\]Endi bizda muammolar bayonidagi ikkinchi tengsizlik bilan bir xil boʻlgan oʻrta atama bor va shuning uchun biz faqat \(a\) va \(b\) ni tanlashimiz kerak. Bu tengsizlikdan biz \(a = 1\) va \(b = 11\) ekanligini ko'rishimiz mumkin.