9.1-bo'lim: Parametrik tenglamalar va egri chiziqlar
Shu nuqtaga qadar (Ikkala Calculus I va Calculus II da) biz deyarli faqat \(y = f\left( x \right)\) yoki \(x = h\left( y \right)\) ko‘rinishidagi funksiyalarni ko‘rib chiqdik va biz ishlab chiqqan deyarli barcha formulalar funksiyalar shu ikki shakldan birida bo‘lishini talab qiladi. Muammo shundaki, biz ko'rib chiqmoqchi bo'lgan barcha egri chiziqlar yoki tenglamalar bu shaklga osongina tushmaydi.
Masalan, aylanani olaylik. \(r\) radiusi bo‘lgan koordinata boshida joylashgan aylana tenglamasini yozish yetarlicha oson.
\[{x^2} + {y^2} = {r^2}\]Biroq, biz hech qachon yuqoridagi shakllarning birida aylana tenglamasini bitta tenglama sifatida yoza olmaymiz. Albatta, biz \(x\) yoki \(y\) uchun quyidagi ikkita formulada ko'rsatilgandek hal qilishimiz mumkin.
\[y = \pm \sqrt {{r^2} - {x^2}} \hspace{0.5in}\hspace{0.25in}x = \pm \sqrt {{r^2} - {y^2}} \]lekin bularning har birida aslida ikkita funktsiya mavjud. Har bir formula doiraning bir qismini beradi.
\[\begin{align*}y & = \sqrt {{r^2} - {x^2}} & \hspace{0.15in} & \left( {{\mbox{top}}} \right) \hspace{0.75in}\ & x & = \sqrt {{r^2} - {y^2}} & \hspace{0.15in} & \left( {{\mbox{right side}}} \right)\\ y & = - \sqrt {{r^2} - {x^2}} & \hspace{0.15in} & \left( {{\mbox{bottom}}} \right)\hspace{0.75in} & x & = - \sqrt {{r^2} - {y^2}} & \hspace{0.15in} & \left( {{\mbox{left side}}} \right)\end{align*}\]Afsuski, biz odatda butun doira ustida ishlaymiz yoki shunchaki uning bir qismi ustida ishlaymiz, deb ayta olmaymiz. Agar biz ushbu qismlardan faqat bittasini qisqartira olsak ham, funktsiya bilan ishlash ko'pincha juda yoqimsiz bo'ladi.
Bundan tashqari, biz faqat \(x\) va \(y\) nuqtai nazaridan bitta tenglama sifatida yozib bo'lmaydigan juda ko'p egri chiziqlar mavjud. Shunday qilib, ushbu muammolarning ba'zilarini hal qilish uchun biz kiritamiz parametrik tenglamalar. \(y\) ni \(x\) (\(y = f\left( x \right)\)) yoki \(x\) ni \(y\) (\(x = h\left( y \right)\)) ko'rinishida belgilash o'rniga biz \(x\) va \(y\) ni uchinchi o'zgaruvchi bo'yicha quyidagi parametr sifatida aniqlaymiz,
\[x = f\left( t \right)\hspace{0.5in}y = g\left( t \right)\]Ushbu uchinchi o'zgaruvchi odatda \(t\) bilan belgilanadi (bu erda qilganimiz kabi), lekin albatta bo'lishi shart emas. Ba'zan biz foydalanadigan \(t\) qiymatlarini cheklab qo'yamiz, ba'zida esa cheklamaymiz. Bu ko'pincha muammoga va biz nima qilmoqchi ekanligimizga bog'liq bo'ladi.
\(t\) ning har bir qiymati biz chiza oladigan \(\left( {x,y} \right) = \left( {f\left( t \right),g\left( t \right)} \right)\) nuqtasini belgilaydi. \(t\) ni barcha mumkin bo'lgan qiymatlar bo'lishiga ruxsat berish orqali oladigan ballar to'plami parametrik tenglamalarning grafigi bo'lib, deyiladi. parametrik egri chiziq.
Parametrik egri chiziq nima ekanligini tasavvur qilish uchun bizda doimiy harakatda bo'lgan katta suv idishimiz bor va biz stol tennisi to'pini idishga tashlaymiz. \(\left( {x,y} \right) = \left( {f\left( t \right),g\left( t \right)} \right)\) nuqtasi \(t\) vaqtida stol tennisi to'pining tankdagi joylashuvini ifodalaydi va parametrik egri chiziq stol tennisi to'pining barcha joylarining izi bo'ladi. E'tibor bering, bu har doim ham to'g'ri o'xshashlik emas, lekin dastlab parametrik egri chiziq nima ekanligini tasavvur qilish uchun foydalidir.
Parametrik egri chiziqni chizish har doim ham oson ish emas. Parametrik egri chizishning bir usulini ko'rish uchun misolni ko'rib chiqaylik. Ushbu misol, shuningdek, nima uchun bu usul odatda eng yaxshi emasligini ko'rsatadi.
Yechim
Ushbu nuqtada parametrik egri chiziqni chizish uchun yagona variantimiz \(t\) qiymatlarini tanlash, ularni parametrik tenglamalarga ulash va keyin nuqtalarni chizishdir. Shunday qilib, keling, \(t\)-ni ulaymiz.
| \(t\) | \(x\) | \(y\) |
|---|---|---|
| -2 | 2 | -5 |
| -1 | 0 | -3 |
| \( - \frac{1}{2}\) | \( - \frac{1}{4}\) | -2 |
| 0 | 0 | -1 |
| 1 | 2 | 1 |
Shu nuqtada berilishi kerak bo'lgan birinchi savol, biz qilgan \(t\) qiymatlaridan, ayniqsa uchinchi tanlovdan foydalanishni qanday bildik? Afsuski, bu savolga hozircha aniq javob yo'q. Egri chiziq qanday ko'rinishi haqida yaxshi tasavvurga ega ekanligimizga ishonch hosil qilmagunimizcha, biz shunchaki \(t\)-ni tanlaymiz. \(t\) ning "yaxshi" qiymatlarini tanlash bilan bog'liq bu muammo parametrik egri chiziqlarni chizishning ushbu usulini eng yomon tanlovlardan biriga aylantiradi. Ba'zan bizda boshqa tanlov bo'lmaydi, lekin agar tanlovimiz bo'lsa, undan qochishimiz kerak.
Biz \(t\) ning ushbu qiymatlari qanday tanlanganligini tushuntirishga yordam beradigan muqobil grafik usulini keyingi misollarda muhokama qilamiz.
Egri chiziqni chizishdan oldin bizda yana bir fikr bor. Parametrik egri chiziqlarga ega harakat yo'nalishi. Harakat yo'nalishi \(t\) ni oshirish orqali beriladi. Shunday qilib, parametrik egri chiziqlarni chizishda biz harakat yo'nalishini ko'rsatadigan o'qlarni ham kiritamiz. Biz ko'pincha grafada aniq nuqtalarni bergan \(t\) qiymatini, shuningdek, ushbu nuqtani bergan \(t\) qiymatini aniq ko'rsatish uchun beramiz.
Mana bu parametrik egri chiziqning eskizi.
Shunday qilib, bizda o'ngga ochiladigan parabola borga o'xshaydi.
Ushbu misolni yakunlashdan oldin biz avval muhokama qilishimiz kerak bo'lgan muhim va nozik bir nuqta bor. E'tibor bering, biz eskizning bir qismini \(t = - 2\) va \(t = 1\) ga mos keladigan nuqtalarning o'ng tomoniga qo'shishga ishonch hosil qildik, bu erda eskizning qismlari borligini ko'rsatish uchun. Agar biz eskizni o'sha nuqtalarda to'xtatgan bo'lsak, bu nuqtalarning o'ng tomonida egri chiziqning hech qanday qismi yo'qligini ko'rsatamiz va aniq bo'ladi. Biz bu nuqtalarning hech birini hisoblamadik.
Bu ahamiyatsiz nuqtadek tuyulishi mumkin, ammo keyingi misolda ko'rib turganimizdek, bu biz o'ylagandan ham muhimroqdir.
Ushbu grafikni chizishning ancha oson usulini ko'rib chiqishdan oldin parametr bo'yicha cheklovlar masalasini ko'rib chiqaylik. Oldingi misolda bizda parametr bo'yicha hech qanday cheklovlar yo'q edi. Parametr bo'yicha cheklovlarsiz grafik yuqoridagi eskizda ko'rsatilganidek, har ikki yo'nalishda davom etadi.
Biz ko'pincha parametr bo'yicha cheklovlarga ega bo'lamiz va bu parametrik tenglamalarning eskiziga ta'sir qiladi. Ushbu effektni ko'rish uchun oldingi misolning biroz o'zgarishini ko'rib chiqaylik.
Yechim
E'tibor bering, bu erda yagona farq \(t\)-da cheklovlar mavjudligidir. Bu chegaralarning barchasi bizga \(t\) qiymatini ushbu diapazondan tashqarida qabul qila olmasligimizni bildiradi. Shuning uchun parametrik egri chiziq yuqoridagi egri chiziqning faqat bir qismi bo'ladi. Mana bu misol uchun parametrik egri chiziq.
E'tibor bering, biz ushbu eskiz bilan \(t\) diapazonining oxirgi nuqtalaridan kelib chiqadigan nuqtalarda eskizni boshladik va to'xtatdik. Buni oldingi misoldagi eskiz bilan taqqoslang, bu erda biz hisoblagan "boshlash" va "tugash" nuqtalarining o'ng tomonida eskizning bir qismi bor edi.
Bu holda egri chiziq \(t = - 1\) da boshlanadi va \(t = 1\) da tugaydi, oldingi misolda esa egri chiziq biz hisoblagan eng to'g'ri nuqtalardan boshlanmagan. Biz eskizlarimizda aniq bo'lishimiz kerakki, egri chiziq bir nuqtada boshlanadi/tugaydimi yoki bu nuqta biz hisoblagan birinchi/oxirgi nuqta bo'lsa.
Endi ushbu parametrik egri chiziqni chizishning osonroq usulini ko'rib chiqish vaqti keldi. Bu usul ko'p hollarda, lekin barchasida emas, parametrik tenglamalardan parametrni yo'q qilishimiz va faqat \(x\) va \(y\) ishtirokidagi funksiyani olishimiz mumkinligidan foydalanadi. Biz buni ba'zan deb ataymiz algebraik tenglama uni asl parametrik tenglamalardan farqlash uchun. Ushbu usul bilan ikkita kichik muammo bo'ladi, ammo bu muammolarni hal qilish oson bo'ladi. Shuni ta'kidlash kerakki, biz buni har doim ham qila olmaymiz.
Parametrni qanday yo'q qilishimiz bizda mavjud bo'lgan parametrik tenglamalarga bog'liq bo'ladi. Keling, biz hozirgacha ishlagan parametrik tenglamalar to'plamining parametrini qanday yo'q qilishni ko'rib chiqaylik.
Yechim
Parametrni yo'q qilishning eng oson usullaridan biri bu parametr uchun tenglamalardan birini (bu holda \(t\)) oddiygina echish va uni boshqa tenglamaga almashtirishdir. E'tibor bering, bu parametrni yo'q qilishning eng oson usuli bo'lsa-da, bu odatda eng yaxshi usul emas, chunki biz tez orada ko'ramiz.
Bunday holda biz \(y\)-ni \(t\) uchun osongina echishimiz mumkin.
\[t = \frac{1}{2}\left( {y + 1} \right)\]Buni \(x\) tenglamasiga kiritish quyidagi algebraik tenglamani beradi,
\[x = {\left( {\frac{1}{2}\left( {y + 1} \right)} \right)^2} + \frac{1}{2}\left( {y + 1} \right) = \frac{1}{4}{y^2} + y + \frac{3}{4}\]Albatta, bizning algebra bilimlarimizdan shuni ko'ramizki, bu parabola o'ngga ochiladi va \(\left( { - \frac{1}{4}, - 2} \right)\) da cho'qqisiga ega bo'ladi.
Biz buning eskizi bilan bezovta qilmaymiz, chunki biz buni allaqachon bir marta chizganmiz va bu erda gap baribir parametrni yo'q qilish edi.
Ushbu misolni tark etishdan oldin, keling, bitta muammoni hal qilaylik.
Birinchi misolda biz tasodifiy bo'lib, jadvalimizda foydalanish uchun \(t\) qiymatlarini, ayniqsa uchinchi qiymatni tanladik. Haqiqatan ham \(t = - \frac{1}{2}\) ni tanlash uchun hech qanday sabab yo'q edi. Biroq, bu \(t\) ning eng muhim tanlovidir, chunki u cho'qqisini beradi.
Haqiqat shundaki, ushbu materialni yozishda biz birinchi navbatda bu muammoni hal qildik, keyin orqaga qaytdik va birinchi muammoni hal qildik. Nuqtalarni chizish, odatda, ko'pchilik odamlar birinchi navbatda grafiklarni qurishni o'rganish usulidir va u yo'nalish kabi ba'zi muhim tushunchalarni tasvirlaydi, shuning uchun buni birinchi navbatda eslatmalarda qilish mantiqiy edi. Amalda, bu misol ko'pincha birinchi bo'lib amalga oshiriladi.
Shunday qilib, biz \(t\) qiymatlarini qanday oldik? Keling, tepadan boshlaylik, chunki bu grafikdagi eng muhim nuqtadir. Bizda cho'qqining \(x\) va \(y\) koordinatalari mavjud va bu koordinatalar uchun \(x\) va \(y\) parametrik tenglamalari ham mavjud. Shunday qilib, cho'qqi uchun koordinatalarni parametrik tenglamalarga kiriting va \(t\) ni hal qiling. Buni qilish,
\[\begin{array}{ll}{ - \frac{1}{4} = {t^2} + t}\\{ - 2 = 2t - 1}\end{array}\hspace{0.5in} \Rightarrow \hspace{0.5in}\begin{array}{ll}{t = - \frac{1}{2}\,\,\,\left( {{\mbox{double root}}} \right)}\\{t = - \frac{1}{2}}\end{array}\]Shunday qilib, biz ko'rib turganimizdek, bu ikkala koordinatani ham beradigan \(t\) qiymati \(t = - \frac{1}{2}\). E'tibor bering, \(x\) parametrik tenglamasi ikki tomonlama ildiz berdi va bu ko'pincha sodir bo'lmaydi. Ko'pincha biz bu tenglamadan ikkita aniq ildiz olgan bo'lardik. Aslida, har bir tenglamadan \(t\) ning bir nechta qiymatlarini olish odatiy hol emas.
Biroq, shuni aytishimiz mumkinki, \(t\) qiymati(lar)i ikkala yechim to'plamida ham paydo bo'ladi va bu biz ushbu nuqta uchun kerakli \(t\). Oxir-oqibat biz keyingi bo'limda bu sodir bo'lgan misolni ko'ramiz.
Endi, bu ishdan ko'ramizki, agar biz \(t = - \frac{1}{2}\) dan foydalansak cho'qqisini olamiz va shuning uchun biz \(t\) qiymatini 1-misoldagi jadvalga kiritdik. \(t\) qiymatiga ega bo'lgach, jadvalni tugatish uchun ikkala tomondan \(t\) ning ikkita butun qiymatini tanladik.
Ushbu bo'limdagi keyingi misollarda ko'rib turganimizdek, ma'lum nuqtalarni beradigan \(t\) qiymatlarini aniqlash biz muntazam ravishda qilishimiz kerak bo'lgan narsadir. Biroq, bu misolda ko'rsatilganidek, bu juda oddiy. Biz qilishimiz kerak bo'lgan narsa - bu vaqt ichida unchalik qiyin bo'lmasligi kerak bo'lgan (odatda) juda asosiy tenglamani hal qilish.
Parametrni o'chirib tashlaganimizdan so'ng, parametrik egri chiziqning eskizini olish juda oddiy ko'rinadi. Biz qilishimiz kerak bo'lgan narsa parametrni yo'q qilish orqali topilgan tenglamaning grafigini tuzishdir. Yuqorida aytib o'tilganidek, bu usulda ikkita kichik muammo mavjud. Birinchisi - harakat yo'nalishi. Faqat \(x\) va \(y\) ni o'z ichiga olgan tenglama parametrik egri chiziqning harakat yo'nalishini BERMAYDI. Bu, odatda, hal qilish oson muammo. Keling, oxirgi misoldagi parametrik tenglamalarning hosilalarini tez ko'rib chiqaylik. Ular,
\[\begin{align*}\frac{{dx}}{{dt}} & = 2t + 1\\ \frac{{dy}}{{dt}} & = 2\end{align*}\]Endi biz qilishimiz kerak bo'lgan narsa bizning Hisob-kitob I bilimimizni eslab qolishdir. \(y\) ning \(t\) ga nisbatan hosilasi aniq har doim ijobiydir. Birinchi hosilaning talqinlaridan biri o'zgarish tezligi ekanligini eslab, endi bilamizki, \(t\) oshgani sayin \(y\) ham oshishi kerak. Shuning uchun, biz \(t\) oshgani sayin egri chiziqni pastdan yuqoriga siljitishimiz kerak, chunki bu \(t\) oshgani sayin har doim ortib borayotgan \(y\) ni beradigan yagona yo'nalishdir.
E'tibor bering, \(x\) hosilasi bu tahlil uchun unchalik foydali emas, chunki u ham ijobiy, ham salbiy bo'ladi, shuning uchun \(x\) \(t\) qiymatiga qarab ham ortadi, ham kamayadi. Bu yo'nalishga unchalik yordam bermaydi, chunki har ikki yo'nalishdagi egri chiziqqa rioya qilish \(x\) ning o'sishi va kamayishini ko'rsatadi.
Ba'zi hollarda tenglamalardan faqat bittasi, masalan, ushbu misol yo'nalishni beradi, boshqa hollarda esa ulardan birini ishlatish mumkin. Ba'zi hollarda yo'nalishni aniqlash uchun ikkala hosila ham kerak bo'lishi mumkin. Bu har doim parametrik tenglamalarning individual to'plamiga bog'liq bo'ladi.
Parametrni yo'q qilish bilan bog'liq ikkinchi muammo eng yaxshi misolda tasvirlangan, chunki biz qolgan misollarda bu muammo bilan shug'ullanamiz.
Yechim
Ushbu muammoning parametrini yo'q qilishni davom ettirishdan oldin, nima uchun faqat \(t\)-ni tanlash va nuqtalarni chizish yaxshi fikr emasligini yana bir bor ko'rib chiqaylik.
Muammo bayonotidagi \(t\) diapazonini hisobga olib, quyidagi \(t\) to'plamidan foydalanamiz.
| \(t\) | \(x\) | \(y\) |
|---|---|---|
| 0 | 5 | 0 |
| \(\frac{\pi }{2}\) | 0 | 2 |
| \(\pi \) | -5 | 0 |
| \(\frac{{3\pi }}{2}\) | 0 | -2 |
| \(2\pi \) | 5 | 0 |
Endi biz so'rashimiz kerak bo'lgan savol - bu parametrik tenglamalar to'plamining grafigini aniq chizish uchun bizda etarli nuqta bormi? Quyida faqat shu besh nuqtaga asoslangan parametrik tenglamaning ba'zi mumkin bo'lgan grafiklarining ba'zi eskizlari keltirilgan.
Sinus/kosinusning tabiatini hisobga olgan holda, siz olmos va kvadratni yo'q qilish vasvasasiga tushishingiz mumkin, ammo ular berilgan nuqtalardan o'tadigan grafiklar ekanligini inkor etib bo'lmaydi. Birinchi va to'rtinchi grafiklarning ikkalasi ham bir oz egrilikka ega va shuning uchun siz tenglamalardagi sinus/kosinusni hisobga olgan holda ulardan biri to'g'ri deb taxmin qilishingiz mumkin. Oxirgi grafik ham biroz bema'ni, lekin u berilgan nuqtalar orqali o'tadigan grafikni ko'rsatadi.
Shunga qaramay, sinus/kosinusning tabiatini inobatga olgan holda, ehtimol siz to'g'ri grafik birinchi yoki to'rtinchi grafik deb taxmin qilasiz. Biroq, bu hozir bo'lishi mumkin bo'lgan hamma narsa. Bir taxmin. Hech narsa parametrik egri chiziq ushbu besh nuqtadan ikkitadan biri bo'lishini aniq aytmaydi. Bu bir nechta nuqtalar asosida parametrik egri chiziqlarni chizish xavfi. Agar biz oldindan qanday grafik bo'lishini bilmasak, biz haqiqatan ham taxmin qilamiz.
Shu o'rinda shuni ta'kidlash kerakki, sinuslar va/yoki kosinuslarni o'z ichiga olgan parametrik tenglamalar to'plamini qurish juda oson, lekin grafikda hech qanday egrilik yo'q. Siz ko'pincha parametrik tenglamalardan egri chiziqning shakli haqida ba'zi taxminlar qilishingiz mumkin, lekin afsuski, har doim ham to'g'ri taxmin qila olmaysiz. Parametrik tenglamalar grafigini tuzishda alohida parametrik tenglamalarning xatti-harakatlarini qabul qilmaslik uchun ehtiyot bo'lish kerak va shunchaki xatti-harakatlar parametrik tenglamalar to'plamining egri chizig'iga aylanadi deb taxmin qilish kerak.
Bundan tashqari, umuman olganda, parametrik egri chiziqlarni chizish uchun nuqtalarni chizishdan qochishimiz kerak, chunki bu ba'zan noto'g'ri grafiklarga olib keladi. Eng yaxshi usul, agar buni amalga oshirish mumkin bo'lsa, parametrni yo'q qilishdir. Ushbu misolni boshlashdan oldin ta'kidlanganidek, biz hal qilishimiz kerak bo'lgan parametrni yo'q qilish bilan bog'liq muammolar mavjud. Oxir-oqibat biz bu masalani muhokama qilamiz. Hozircha parametrni yo'q qilishni davom ettiramiz.
Biz avvalgi bo'limda bo'lgani kabi parametrni yo'q qilishdan boshlaymiz. Biz \(t\) uchun tenglamalardan birini yechamiz va uni boshqa tenglamaga kiritamiz. Masalan, biz quyidagilarni qilishimiz mumkin:
\[t = {\cos ^{ - 1}}\left( {\frac{x}{5}} \right)\hspace{0.5in} \Rightarrow \hspace{0.5in}y = 2\sin \left( {{{\cos }^{ - 1}}\left( {\frac{x}{5}} \right)} \right)\]Buni qilishda muammoni ko'ra olasizmi? Buni qilish, albatta, oson, lekin biz buni grafik qilgandan ko'ra nuqtalarni chizish orqali asl parametrik tenglamalarni to'g'ri chizish imkoniyatiga egamiz!
Parametrni parametrik tenglamalardan olib tashlashning ko'plab usullari mavjud va \(t\) uchun echish odatda buni qilishning eng yaxshi usuli emas. Ko'pincha buni qilish oson bo'lsa-da, ko'p hollarda biz deyarli imkonsiz bo'lgan tenglamaga duch kelamiz.
Xo'sh, bu erda parametrni qanday yo'q qilishimiz mumkin? Bunday holda, biz qilishimiz kerak bo'lgan narsa - juda yaxshi trig identifikatorini va ellips tenglamasini eslash. Eslatib o'tamiz,
\[{\cos ^2}t + {\sin ^2}t = 1\]Keyin parametrik tenglamalardan biz olamiz,
\[\cos t = \frac{x}{5}\hspace{0.5in}\sin t = \frac{y}{2}\]Keyin, yuqoridagi trig identifikatoridan va ushbu tenglamalardan foydalanib, biz olamiz,
\[1 = {\cos ^2}t + {\sin ^2}t = {\left( {\frac{x}{5}} \right)^2} + {\left( {\frac{y}{2}} \right)^2} = \frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{4}\]Shunday qilib, biz endi bilamizki, biz ellipsga ega bo'lamiz.
Endi misol bilan davom etaylik. Biz parametrik tenglamalar ellipsni tasvirlashini aniqladik, lekin biz shunchaki ellipsni chizib, uni bajara olmaymiz.
Birinchidan, algebraik tenglama ellips bo'lganligi parametrik egri chiziq to'liq ellips ekanligini anglatmaydi. Parametrik egri chiziq ellipsning faqat bir qismi bo'lishi har doim ham mumkin. Parametrik egri ellipsning qancha qismini qamrab olishini aniqlash uchun parametrik tenglamalarga qaytaylik va ular \(x\) va \(y\) dagi har qanday cheklovlar haqida bizga nima deyishini bilib olaylik. Sinus va kosinus haqidagi bilimimizga asoslanib, biz quyidagilarga egamiz:
\[\begin{align*} & - 1 \le \cos t \le 1\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in} - 5 \le 5\cos t \le 5\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}\,\, - 5 \le x \le 5\\ & - 1 \le \sin t \le 1\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in} - 2 \le 2\sin t \le 2 \,\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}\,\, - 2 \le y \le 2\end{align*}\]Shunday qilib, sinus/kosinusdan boshlab va asosiy algebraik manipulyatsiyalar yordamida \(x\) va \(y\) tenglamasini “yaratish” orqali biz parametrik tenglamalar \(x\) va \(y\) uchun yuqoridagi chegaralarni amalga oshirishini olamiz. Bunday holda, bular \(x\) va \(y\) ning to'liq chegaralari bo'lib, biz to'liq ellipsning grafigini olamiz.
Bu yuqorida aytib o'tilgan ikkinchi potentsial muammo. Parametrik egri chiziq har doim ham algebraik egri chiziqning to'liq grafigini aniqlay olmaydi. Parametrik tenglamalar yordamida algebraik egri chiziqning qanchasi chizilganligini aniqlash uchun biz har doim parametrik egri chiziq tomonidan qo'llaniladigan \(x\) va \(y\) chegaralarini topishimiz kerak.
Shuning uchun, bu holda, biz parametrik tenglamalardan to'liq ellipsni olishimizni endi bilamiz. Misolning qolgan qismini davom ettirishdan oldin, har doim ham algebraik tenglamaning to'liq grafigini olamiz deb o'ylamaslikdan ehtiyot bo'ling. Ba'zida, albatta, biz to'liq grafikni ololmaydigan paytlar bo'ladi va biz haqiqatda qancha grafik olishimizni aniqlash uchun shunga o'xshash tahlil qilishimiz kerak bo'ladi. Buning misolini keyinroq ko'rib chiqamiz.
Shuni ham yodda tutingki, \(t\) ning muammo bayonotida berilgan har qanday chegaralari algebraik tenglamaning grafigining qancha qismi olishimizga ham ta'sir qilishi mumkin. Biroq, bu holda, biz muammoning boshida hisoblagan qiymatlar jadvaliga asoslanib, biz haqiqatan ham \(0 \le t \le 2\pi \) diapazonida to'liq ellipsni olishimizni ko'rishimiz mumkin. Biroq, bu har doim ham shunday bo'lmaydi, shuning uchun \(t\)-da mavjud bo'lishi mumkin bo'lgan har qanday cheklovlarga e'tibor bering!
Keyinchalik, parametrik egri chiziq uchun harakat yo'nalishini aniqlashimiz kerak. Eslatib o'tamiz, barcha parametrik egri chiziqlar harakat yo'nalishiga ega va ellips tenglamasi bizga harakat yo'nalishi haqida hech narsa aytmaydi.
Harakat yo'nalishini bilish uchun biz yuqorida hisoblagan qiymatlar jadvalidan harakat yo'nalishini olish uchun ishlatish jozibali. Bunday holda, biz egri chiziq soat miliga teskari yo'nalishda harakat qilishini taxmin qilamiz (va ha, bu hammasi - taxmin). Biz to'g'ri bo'lardik. Bunday holda, biz to'g'ri bo'lamiz! Muammo shundaki, keyingi misolda ko'rib turganimizdek, qiymatlar jadvali harakat yo'nalishini aniqlashda chalg'ituvchi bo'lishi mumkin.
Shuning uchun, harakat yo'nalishini aniqlash uchun qiymatlar jadvalidan foydalanmaslik yaxshiroqdir. Harakat yo'nalishini to'g'ri aniqlash uchun biz 3-misoldan keyin muhokama qilgan yo'nalishni aniqlashning bir xil usulidan foydalanamiz. Boshqacha qilib aytganda, biz parametrik tenglamalarning hosilasini olamiz va harakat yo'nalishini aniqlash uchun Hisob I va trig haqidagi bilimlarimizdan foydalanamiz.
Parametrik tenglamalarning hosilalari,
\[\frac{{dx}}{{dt}} = - 5\sin t\hspace{0.5in}\frac{{dy}}{{dt}} = 2\cos t\]Endi, \(t = 0\) da biz \(\left( {5,0} \right)\) nuqtasidamiz va agar biz \(t\) ni ko‘paytirishni boshlasak, nima bo‘lishini ko‘rib chiqamiz. Keling, \(t\) ni \(t = 0\) dan \(t = \frac{\pi }{2}\) ga oshiraylik. \(t\) diapazonida biz sinus har doim ijobiy ekanligini bilamiz va shuning uchun \(x\) tenglamasining hosilasidan biz \(x\) \(t\) diapazonida kamayishi kerakligini ko'ramiz.
Biroq, bu parametrik egri chiziqning yo'nalishini aniqlashga yordam bermaydi. \(\left( {5,0} \right)\)-dan boshlab, soat yo'nalishi bo'yicha yoki teskari yo'nalishda harakat qilishimizdan qat'i nazar, \(x\) kamayishi kerak, shuning uchun biz \(x\) hosilasidan hech narsa o'rganmadik.
Boshqa tomondan, \(y\) parametrik tenglamasidan olingan hosila bizga yordam beradi. Shunga qaramay, biz \(t\) ni \(t = 0\) dan \(t = \frac{\pi }{2}\) ga oshirganimizda, kosinus ijobiy bo'lishini bilamiz va shuning uchun \(y\) bu diapazonda ortib borishi kerak. Biroq, bu faqat soat miliga teskari yo'nalishda harakat qilsak bo'lishi mumkin. Agar biz \(\left( {5,0} \right)\) nuqtasidan soat yo'nalishi bo'yicha harakat qilsak, \(y\) kamayishi kerakligini ko'rishimiz mumkin!
Shuning uchun, birinchi kvadrantda biz soat miliga teskari yo'nalishda harakat qilishimiz kerak. Keling, ikkinchi kvadrantga o'tamiz.
Shunday qilib, biz hozir \(\left( {0,2} \right)\) nuqtasidamiz va biz \(t\) ni \(t = \frac{\pi }{2}\) dan \(t = \pi \) ga oshiramiz. \(t\) ning ushbu diapazonida biz bilamizki, kosinus manfiy, sinus esa ijobiy bo'ladi. Shuning uchun, parametrik tenglamalarning hosilalaridan biz \(x\) hali ham kamayib borayotganini va \(y\) ham kamayib borishini ko'rishimiz mumkin.
Ushbu kvadrantda \(y\) hosilasi bizga hech narsa aytmaydi, chunki \(y\) \(\left( {0,2} \right)\) dan o'tish uchun shunchaki kamayishi kerak. Biroq, \(x\) kamayishi uchun, biz bilganimizdek, bu kvadrantda yo'nalish hali ham soat miliga teskari aylanishda harakatlanishi kerak.
Biz hozir \(\left( { - 5,0} \right)\) damiz va \(t\) ni \(t = \pi \) dan \(t = \frac{{3\pi }}{2}\) ga oshiramiz. \(t\) ning ushbu diapazonida biz bilamizki, kosinus manfiy (va shuning uchun \(y\) kamayadi) va sinus ham salbiy (va shuning uchun \(x\) ortib boradi). Shuning uchun biz soat miliga teskari harakatda davom etamiz.
4 uchunth kvadrant biz \(\left( {0, - 2} \right)\) dan boshlaymiz va \(t\) ni \(t = \frac{{3\pi }}{2}\) dan \(t = 2\pi \) ga oshiramiz. \(t\) ning ushbu diapazonida biz bilamizki, kosinus musbat (va shuning uchun \(y\) ortib boradi) va sinus salbiy (va shuning uchun \(x\) ortib boradi). Shunday qilib, oldingi uchta kvadrantda bo'lgani kabi, biz soat miliga teskari harakatda davom etamiz.
Ushbu nuqtada biz \(t\) diapazonini qamrab oldik va muammo bayonida bizga berilgan edi va to'liq diapazonda harakat soat miliga teskari yo'nalishda edi.
Endi biz parametrik egri chiziqni to'liq chizishimiz mumkin, shuning uchun eskiz.
OK, bu juda uzoq misol edi. Ushbu turdagi muammolarning aksariyati uzoq davom etmaydi. Bizda bir nechta muhim g'oyalarni yo'lga qo'yishimiz uchun ko'p narsalarni muhokama qilishimiz kerak edi. Ushbu bo'limdagi qolgan misollar ko'p vaqt talab qilmasligi kerak.
Endi parametrik tenglamalar haqidagi muhim g'oyani ko'rsatadigan yana bir misolni ko'rib chiqamiz.
Yechim
E'tibor bering, ushbu parametrik tenglamalar va 4-misoldagilardan farqi shundaki, biz \(t\) ni 3\(t\) bilan almashtirdik. We can eliminate the parameter here in the same manner as we did in the previous example.
\[\cos \left( {3t} \right) = \frac{x}{5}\hspace{0.5in}\sin \left( {3t} \right) = \frac{y}{2}\]Keyin olamiz,
\[1 = {\cos ^2}\left( {3t} \right) + {\sin ^2}\left( {3t} \right) = {\left( {\frac{x}{5}} \right)^2} + {\left( {\frac{y}{2}} \right)^2} = \frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{4}\]So, we get the same ellipse that we did in the previous example. Shuni ham yodda tutingki, biz \(x\) va \(y\)-da aynan bir xil chegaralarga ega ekanligimizni aniqlash uchun parametrik tenglamalar bo'yicha bir xil tahlil qilishimiz mumkin. Ya'ni,
\[ - 5 \le x \le 5\hspace{0.5in}\hspace{0.25in} - 2 \le y \le 2\]Trig tenglamalarida \(t\) ni 3\(t\) ga o'zgartirish hech qanday parametrik egri chiziqni o'zgartirmaydi. Biroq, bu to'g'ri emas. Egri chiziq kichik, ammo muhim tarzda o'zgaradi, biz buni yaqinda muhokama qilamiz.
Before discussing that small change the 3\(t\) brings to the curve let’s discuss the direction of motion for this curve. Biz oxirgi misolda \(t\) qiymatlarini tanlash va chizilgan nuqtalarni topish uchun tenglamalarga ulanish noto'g'ri fikr ekanligini aytgan bo'lsak ham, buni har qanday yo'l bilan qilaylik.
Given the range of \(t\)’s from the problem statement the following set looks like a good choice of \(t\)’s to use.
| \(t\) | \(x\) | \(y\) |
|---|---|---|
| 0 | 5 | 0 |
| \(\frac{\pi }{2}\) | 0 | -2 |
| \(\pi \) | -5 | 0 |
| \(\frac{{3\pi }}{2}\) | 0 | 2 |
| \(2\pi \) | 5 | 0 |
Shunday qilib, oxirgi misoldagi qiymatlar/nuqtalar jadvalidagi yagona o'zgarish barcha nolga teng bo'lmagan \(y\) qiymatlarining o'zgartirilgan belgisidir. From a quick glance at the values in this table it would look like the curve, in this case, is moving in a clockwise direction. Lekin bu to'g'rimi? Recall we said that these tables of values can be misleading when used to determine direction and that’s why we don’t use them.
Keling, birinchi taassurotimiz to'g'ri yoki yo'qligini bilib olaylik. To'g'ri yo'nalishni olish uchun hosila ishni bajarish orqali biz birinchi taassurotimizni tekshirishimiz mumkin. Keling, faqat \(y\) parametrik tenglamasi bilan ishlaylik, chunki \(x\) avvalgi misoldagi kabi muammoga ega bo'ladi. \(y\) parametrik tenglamasining hosilasi:
\[\frac{{dy}}{{dt}} = 6\cos \left( {3t} \right)\]Endi, agar biz oldingi misolda bo'lgani kabi \(t = 0\) dan boshlasak va \(t\) ni ko'paytirishni boshlasak. \(t = 0\) da lotin aniq musbat va shuning uchun \(t\) (hech bo'lmaganda dastlab) ortishi \(y\) ni ham ortib borishiga majbur qiladi. Buning yagona yo'li, agar egri chiziq dastlab soat miliga teskari yo'nalishda chizilgan bo'lsa.
Endi biz \(t\) ni yanada oshirganimizda nima sodir bo‘lishini ko‘rib chiqishni davom ettirishimiz mumkin, lekin parametrik egri chiziq bilan ishlaganda to‘liq ellips (bu shunday) va trig funksiyalarining argumenti ko‘rinishga ega. nt har qanday doimiy \(n\) uchun yo'nalish o'zgarmaydi, shuning uchun biz boshlang'ich yo'nalishni bilganimizdan so'ng, u doimo shu yo'nalishda harakat qilishini bilamiz. E'tibor bering, bu faqat bizda mavjud ko'rinishdagi parametrik tenglamalar uchun to'g'ri. Keyingi misollarda har xil parametrik tenglamalar uchun bu endi to'g'ri bo'lmasligi mumkinligini ko'ramiz.
Xo'sh, ushbu tahlildan biz egri chiziqni soat miliga teskari yo'nalishda kuzatish kerakligini ko'rishimiz mumkin. Bu yuqoridagi qiymatlar jadvalidagi taxminimizga to'g'ridan-to'g'ri ziddir va shuning uchun biz ko'rishimiz mumkinki, bu holda jadval bizni noto'g'ri yo'nalishga olib kelgan bo'lishi mumkin. Shunday qilib, yana bir bor, jadvallar odatda egri chiziqda bo'lishi kerak bo'lgan bir nechta nuqtalardan tashqari parametrik egri chiziq haqida deyarli har qanday haqiqiy ma'lumotni olish uchun unchalik ishonchli emas. Bundan tashqari, jadvallar kamdan-kam hollarda foydalidir va odatda keyingi misollarda ko'rib chiqilmaydi.
Xo'sh, nima uchun bizning stolimiz yo'nalish haqida noto'g'ri taassurot qoldirdi? Eslatib o'tamiz, avvalroq 3\(t\) faqat \(t\) ga nisbatan egri chiziqning kichik, ammo muhim o'zgarishiga olib kelishini aytib o'tgan edik? Keling, bu o'zgarish nima ekanligini ko'rib chiqaylik, chunki u bizning qadriyatlar jadvalimiz bilan "nima noto'g'ri bo'lganiga" javob beradi.
Keling, \(t = 0\) ga qarashdan boshlaylik. \(t = 0\) da biz \(\left( {5,0} \right)\) nuqtasida turibmiz va keling, \(t\) ning qaysi qiymatlari bizni bu nuqtaga qaytarganini so‘raylik. Biz 3-misolda \(t\) qiymat(lar)ini qanday aniqlashni ko'rib chiqdik, bu bizni ma'lum nuqtalarga qo'ydi va xuddi shu jarayon bu erda kichik o'zgartirishlar bilan ishlaydi.
Ushbu misolda bo'lgani kabi \(x\) va \(y\) tenglamalariga qarash o'rniga, faqat \(x\) tenglamasini ko'rib chiqaylik. Buning sababi shundaki, biz ellipsda \(y\) koordinatasi nolga teng bo'lgan ikkita nuqta borligini ta'kidlaymiz, \(\left( {5,0} \right)\) va \(\left( { - 5,0} \right)\). Agar biz \(y\) koordinatasini nolga tenglashtirsak, biz faqat \(\left( {5,0} \right)\) da bo'lgan \(t\) qiymatlarini xohlaganimizda, ikkala nuqtada joylashgan barcha \(t\) larni topamiz.
Shunday qilib, beshning \(x\) koordinatasi faqat shu nuqtada paydo bo'lganligi sababli, bizni shu nuqtaga qo'yadigan \(t\) qiymatlarini aniqlash uchun \(x\) parametrik tenglamasidan foydalanishimiz mumkin. Buni bajarish quyidagi tenglama va yechimni beradi,
\[\begin{align*}5 & = 5\cos \left( {3t} \right)\,\\ 3t & = {\cos ^{ - 1}}\left( 1 \right) = 0 + 2\pi n\hspace{0.25in}\,\,\, \to \hspace{0.25in}\,\,\,\,\,\,t = \frac{2}{3}\pi n\,\,\,\,\,\,n = 0, \pm 1, \pm 2, \pm 3, \ldots \end{align*}\]Shuni unutmangki, trig tenglamani yechishda biz “\( + 2\pi n\)” ga qo'shishimiz kerak, bu erda \(n\) soat miliga teskari yo'nalishda (musbat \(n\)) va soat mili yo'nalishi bo'yicha (manfiy \(n\)) to'liq aylanishlar sonini ifodalaydi, biz equ barcha mumkin bo'lgan yechimni olishimiz mumkin.
Keling, \(n = 0\) dan boshlab \(n\) ning bir nechta qiymatlarini kiritamiz. Bu holda bizga \(n\) manfiy kerak emas, chunki bularning barchasi salbiy \(t\) ga olib keladi va ular muammo bayonida berilgan \(t\) diapazonidan tashqariga chiqadi. \(t\) ning dastlabki bir necha qiymatlari shundan iboratki,
\[\begin{align*}n & = 0\hspace{0.25in} : \hspace{0.25in} t = 0\\ n & = 1\hspace{0.25in}:\hspace{0.25in}t = \frac{{2\pi }}{3}\\ n & = 2\hspace{0.25in}:\hspace{0.25in}t = \frac{{4\pi }}{3}\\ n & = 3\hspace{0.25in}:\hspace{0.25in}t = \frac{{6\pi }}{3} = 2\pi \end{align*}\]Bu erda to'xtashimiz mumkin, chunki \(t\) ning barcha boshqa qiymatlari ushbu muammoda berilgan \(t\) diapazonidan tashqarida bo'ladi.
Xo'sh, bu bizga nimani bildiradi? 4-misolda, argument faqat \(t\) bo'lganida, ellips \(0 \le t \le 2\pi \) oralig'ida aniq bir marta aniqlangan. Biroq, biz argumentni 3\(t\) ga o'zgartirganimizda (va bu muammo uchun egri chiziq har doim soat miliga teskari yo'nalishda kuzatilishini eslatib o'tsak) biz \(\left( {5,0} \right)\) ning "boshlanish" nuqtasini oldingi misolga qaraganda ikki marta ko'proq bosib o'tamiz.
Aslida, bu egri chiziq uchta alohida vaqtni kuzatadi. Birinchi iz \(0 \le t \le \frac{{2\pi }}{3}\) diapazonida yakunlandi. Ikkinchi iz \(\frac{{2\pi }}{3} \le t \le \frac{{4\pi }}{3}\) diapazonida, uchinchi va oxirgi iz esa \(\frac{{4\pi }}{3} \le t \le 2\pi \) diapazonida yakunlanadi. Boshqacha qilib aytganda, argumentni \(t\) dan 3\(t\) ga o‘zgartirish iz tezligini oshiradi va egri chiziq endi \(0 \le t \le 2\pi \) oralig‘ida uch marta kuzatiladi!
Shuning uchun jadval noto'g'ri taassurot qoldiradi. Jadvaldagi nuqtalardan noto'g'ri taassurot paydo bo'lishiga olib keladigan kuzatuv tezligi oshdi. Jadval shuni ko'rsatadiki, \(t\) qiymatining har bir jufti o'rtasida ellipsning to'rtdan bir qismi soat yo'nalishi bo'yicha chizilgan, aslida esa u soat miliga teskari yo'nalishda ellipsning to'rtdan uch qismini chizadi.
Mana egri chiziqning yakuniy eskizi va bu avvalgi eskizdan unchalik farq qilmasligiga e'tibor bering. Faqatgina farqlar \(t\) qiymatlari va biz kiritgan turli nuqtalardir. Biz \(t\) ning turli qiymatlari uchun egri chiziq qayerda ekanligini ko'rsatish uchun turli nuqtalarda \(t\) ning yana bir nechta qiymatlarini qo'shdik, lekin umuman olganda, bu kerak emas.
Shunday qilib, biz oxirgi ikkita misolda qaysidir ma'noda bir xil grafikni bergan ikkita parametrik tenglamalar to'plamini ko'rdik. Shunga qaramay, ular grafikni bir necha marta kuzatganligi sababli, biz ularni hech bo'lmaganda qandaydir tarzda turli xil parametrik egri chiziqlar deb o'ylashimiz kerak. Bu biz tashvishlanmasligimiz kerak bo'lgan farq kabi ko'rinishi mumkin, ammo keyingi bo'limlarda ko'rib turganimizdek, bu juda muhim farq bo'lishi mumkin. Ba'zi keyingi bo'limlarda bizga aynan bir marta chizilgan egri chiziq kerak bo'ladi.
Boshqa muammolarga o'tishdan oldin, keling, \(t\) ni o'zgartirish orqali nima sodir bo'lishini qisqacha tan olaylik. nt bu turdagi parametrik tenglamalarda. Biz faqat sinuslar va kosinuslarni o'z ichiga olgan parametrik tenglamalar bilan ishlayotganimizda va agar biz argumentni \(t\) dan o'zgartirsak, ikkalasi ham bir xil argumentga ega bo'ladi. nt biz shunchaki egri chiziqning tezligini o'zgartiramiz. \(n > 1\) bo'lsa tezlikni oshiramiz va \(n < 1\) bo'lsa tezlikni pasaytiramiz.
Keling, yana bir nechta misollarni ko'rib chiqaylik.
Yechim
Biz avvalgi ikkita misolda bo'lgani kabi parametrni ham yo'q qilishimiz mumkin. Biroq, shuni ta'kidlashimiz kerakki, \(x\) allaqachon \({\sin ^2}t\) ni o'z ichiga oladi va shuning uchun biz \(x\) ni kvadratga solishimiz shart emas. Biroq, biz oldingi ikkita misolda kerak bo'lganidek, \(y\) ni kvadratga solishimiz kerak.
\[x + \frac{{{y^2}}}{4} = {\sin ^2}t + {\cos ^2}t = 1\hspace{0.5in} \Rightarrow \hspace{0.5in}x = 1 - \frac{{{y^2}}}{4}\]Bu holda algebraik tenglama chapga ochiladigan paraboladir.
Biz bu parametrik egri chiziqni chizishda juda ehtiyot bo'lishimiz kerak. Biz butun parabolani olmaymiz. \(y\) ning barcha mumkin bo'lgan qiymatlari uchun parabolaning algebraik shaklining eskizi mavjud bo'ladi. Biroq, parametrik tenglamalar \(x\) va \(y\) ni sinus va kosinus nuqtai nazaridan aniqladi va biz ularning diapazonlari cheklanganligini bilamiz va shuning uchun biz \(x\) va \(y\) ning barcha mumkin bo'lgan qiymatlarini bu erda olmaymiz. Shunday qilib, avval biz oldingi misollarda bo'lgani kabi \(x\) va \(y\) uchun cheklovlarni olamiz. Buni qilish,
\[\begin{array}{ccccc} - 1 \le \sin t \le 1 & \hspace{0.25in}\Rightarrow \hspace{0.25in} & 0 \le {\sin ^2}t \le 1 & \hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in} & 0 \le x \le 1\\ - 1 \le \cos t \le 1 & \hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in} & - 2 \le 2\cos t \le 2 & \hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in} & - 2 \le y \le 2\end{array}\]Demak, bundan ko'rinib turibdiki, biz parabolaning algebraik tenglama bilan aniqlangan qisminigina olamiz. Quyida parametrik egri chiziq qoplaydigan parabola qismining qisqacha chizmasi keltirilgan.
Parametrik egri chiziqning eskizini tugatish uchun bizga egri chiziqning harakat yo'nalishi ham kerak. Biroq, bunga kirishdan oldin, keling, oldinga sakrab o'taylik va bir iz uchun \(t\) diapazonini aniqlaymiz. Buni amalga oshirish uchun bizni har bir so'nggi nuqtaga qo'yadigan \(t\)-ni bilishimiz kerak va biz avvalgi misolda qo'llagan protseduramizga amal qilishimiz mumkin. Yagona farq shundaki, bu safar \(x\) o'rniga \(y\) parametrik tenglamasidan foydalanamiz, chunki egri chiziqning ikkita oxirgi nuqtasining \(y\) koordinatalari har xil, \(x\) koordinatalari esa bir xil.
Shunday qilib, bizda eng yuqori nuqta uchun,
\[\begin{align*}2 & = 2\cos t\\ t & = {\cos ^{ - 1}}\left( 1 \right) = 0 + 2\pi n = 2\pi n,\hspace{0.25in}n = 0, \pm 1, \pm 2, \pm 3, \ldots \end{align*}\]Agar \(n\) ning ba'zi qiymatlarini kiritsak, egri chiziq eng yuqori nuqtada bo'ladi,
\[t = \ldots , - 4\pi , - 2\pi ,0,2\pi ,4\pi , \ldots \]Xuddi shunday, bizda pastki nuqta uchun,
\[\begin{align*} - 2 & = 2\cos t\\ t & = {\cos ^{ - 1}}\left( { - 1} \right) = \pi + 2\pi n,\hspace{0.25in}n = 0, \pm 1, \pm 2, \pm 3, \ldots \end{align*}\]Shunday qilib, biz pastki nuqtada bo'lishini ko'ramiz,
\[t = \ldots , - 3\pi , - \pi ,\pi ,3\pi , \ldots \]Shunday qilib, agar biz \(t = 0\) dan boshlasak, biz yuqori nuqtadamiz va \(t\) ni oshiramiz, biz \(t = \pi \) ga yetguncha egri chiziq bo'ylab pastga qarab harakatlanishimiz kerak, shu nuqtada biz hozir pastki nuqtadamiz. Bu shuni anglatadiki, biz egri chiziqni \(0 \le t \le \pi \) oralig'ida aniq bir marta kuzatamiz.
Biroq, bu egri chiziqni aniqlaydigan yagona diapazon emas. E'tibor bering, agar \(t\)-ni \(t = \pi \)-dan yana oshirsak, biz \(t = 2\pi \)-ga yetguncha egri chiziq bo'ylab yuqoriga qaytishimiz kerak va biz endi yuqori nuqtaga qaytdik. \(t\) ni \(t = 3\pi \) ga yetguncha yana oshirsak, biz yana pastki nuqtaga yetgunimizcha egri chiziqdan pastga tushiramiz, va hokazo. Ushbu tahlildan biz bitta iz uchun yana ikkita \(t\) diapazonini olishimiz mumkin,
\[\pi \le t \le 2\pi \hspace{0.5in}2\pi \le t \le 3\pi \]Ko'rib turganingizdek, \(t\) ning cheksiz ko'p diapazonlari mavjud, biz egri chiziqning bir izi uchun foydalanishimiz mumkin. Ulardan har biri bu muammo uchun maqbul javoblar bo'ladi.
E'tibor bering, bir iz uchun \(t\) diapazonini aniqlash jarayonida biz ushbu egri chiziq uchun harakat yo'nalishini ham aniqlashga muvaffaq bo'ldik. \(0 \le t \le \pi \) diapazonida \(t = 0\) ning yuqori nuqtasidan \(t = \pi \) ning pastki nuqtasiga o'tish uchun egri chiziq bo'ylab pastga qarab harakat qilishimiz kerak edi. Biroq, \(t = 2\pi \) da biz egri chiziqning yuqori nuqtasiga qaytdik va u erga borish uchun yo'l bo'ylab sayohat qilishimiz kerak. Biz shunchaki yuqori nuqtaga sakrab chiqa olmaymiz yoki u erga borish uchun boshqa yo'lni tanlay olmaymiz. Barcha sayohatlar chizilgan yo'lda amalga oshirilishi kerak. Bu shuni anglatadiki, biz orqaga qaytishimiz kerak edi yo'lga yuqoriga. \(t\)-ni yanada oshirish bizni yo'ldan pastga, keyin yana yuqoriga olib boradi va hokazo.
Boshqacha qilib aytadigan bo'lsak, bu yo'l ikkala yo'nalishda ham chizilgan, chunki biz \(t\)-ga hech qanday cheklovlar qo'ymayapmiz va shuning uchun biz \(t\) ning barcha mumkin bo'lgan qiymatlaridan foydalanyapmiz deb taxmin qilishimiz kerak. Agar biz \(t\)-dan foydalanishga cheklovlar qo'yganimizda, biz haqiqatan ham faqat bitta yo'nalishda harakat qilishimiz mumkin edi. Biroq, bu parametrik tenglamalarning o'zi emas, balki faqat biz foydalanayotgan \(t\) diapazonining natijasi bo'ladi.
E'tibor bering, bu holatda egri chiziq har ikki yo'nalishda ham chiqib ketishini aniqlash uchun yuqoridagi ishlarni bajarishimiz shart emas edi. \(x\) va \(y\) parametrik tenglamalari sinus yoki kosinusni o'z ichiga oladi va biz bu ikkala funktsiyaning tebranishini bilamiz. Bu, o'z navbatida, \(x\) va \(y\) ham tebranishini bildiradi. Ushbu egri chiziqda sodir bo'lishining yagona yo'li bu egri chiziqni har ikki yo'nalishda kuzatishdir.
Sinus/kosinusning tebranish xususiyati egri chiziqni har ikki yo'nalishda ham kuzatishga majburlashi haqidagi yuqoridagi mulohazalardan ehtiyot bo'ling. U faqat ushbu misolda ishlatilishi mumkin, chunki egri chiziqlarning "boshlang'ich" nuqtasi va "tugash" nuqtasi turli joylarda joylashgan. Egri chiziqdagi "oxirgi" nuqtalarning biridan ikkinchisiga o'tishning yagona yo'li egri chiziq bo'ylab qarama-qarshi yo'nalishda orqaga qaytishdir.
Buni 4-misoldagi ellips bilan taqqoslang. U holda parametrik tenglamalarda ham sinus/kosinus mavjud edi. Biroq, egri chiziq ikkala yo'nalishda emas, balki faqat bir yo'nalishda kuzatilgan. 4-misolda biz to'liq ellipsning grafigini tuzgan edik va shuning uchun grafani qayerda chizishni boshlamasligimizdan qat'iy nazar, biz oxir-oqibat grafikning biron bir qismini qayta kuzatmasdan "boshlang'ich" nuqtaga qaytamiz. 4-misolda biz to'liq ellipsni kuzatayotganimizda \(x\) ham, \(y\) ham ularning ikkita "oxirgi nuqtasi" o'rtasida tebranadi, lekin buning sodir bo'lishi uchun egri chiziqning o'zi ikkala yo'nalishda ham kuzatilmaydi.
Asosan, biz faqat sinus/kosinusning tebranish xususiyatidan foydalanishimiz mumkin, agar egri chiziq har xil nuqtalarda boshlanib, tugasa, har ikki yo'nalishda ham egri chiziq bo'lishini aniqlashimiz mumkin. Agar boshlang'ich/tugash nuqtasi bir xil bo'lsa, biz harakatning haqiqiy yo'nalishini aniqlash uchun odatda to'liq lotin argumentidan o'tishimiz kerak.
Shunday qilib, ushbu muammoni tugatish uchun quyida parametrik egri chiziqning eskizi keltirilgan. E'tibor bering, biz har ikki yo'nalishda ham yo'nalish o'qlarini qo'yganmiz, bu ikkala yo'nalishda ham kuzatilishini aniq ko'rsatish uchun. Harakat yoʻnalishini koʻrsatish uchun biz \(t\) ning bir nechta qiymatlarini ham qoʻydik.
Shu paytgacha biz \(t\) ning etarlicha katta diapazonini oladigan bo'lsak, parametrni yo'q qilish orqali olingan to'liq grafikni aniqlaydigan misollarni ko'rdik. Biroq, oldingi misolda biz endi bu har doim ham shunday bo'lmasligini ko'rdik. Egri chiziqning faqat bir qismini doimiy ravishda kuzatib boradigan parametrik tenglamalar to'plamiga ega bo'lish mumkin emas. Biz odatda parametrik tenglama tomonidan o'rnatilgan \(x\) va \(y\) cheklovlarini izlash orqali bu sodir bo'lishini aniqlashimiz mumkin.
Ob'ekt yoki zarrachaning yo'lini tasvirlash uchun ko'pincha parametrik tenglamalardan foydalanamiz. Keling, bunga misolni ko'rib chiqaylik.
Ushbu zarrachaning yo'lini to'liq tasvirlab bering. Buni yoʻlning eskizini chizish, \(x\) va \(y\) da chegaralarni aniqlash va \(t\) diapazonini berish orqali bajaring, ular uchun yoʻl aniq bir marta aniqlanadi (agar u bir necha marta aniqlansa).
Yechim
Bu safar parametrni yo'q qilish biroz boshqacha bo'ladi. Bu safar bizda faqat kosinuslar bor va biz bundan o'z foydamiz uchun foydalanamiz. Biz kosinus uchun \(x\) tenglamasini yechishimiz va uni \(y\) tenglamasiga kiritishimiz mumkin. Bu beradi,
\[\cos \left( {2t} \right) = \frac{x}{3}\hspace{0.5in}y = 1 + {\left( {\frac{x}{3}} \right)^2} = 1 + \frac{{{x^2}}}{9}\]Bu safar algebraik tenglama yuqoriga ochiladigan paraboladir. Shuningdek, bizda \(x\) va \(y\) uchun quyidagi cheklovlar mavjud.
\[\begin{array}{ccccc} - 1 \le \cos \left( {2t} \right) \le 1 & \hspace{0.25in} & - 3 \le 3\cos \left( {2t} \right) \le 3 & \hspace{0.5in} & - 3 \le x \le 3\\ 0 \le {\cos ^2}\left( {2t} \right) \le 1 & \hspace{0.25in} & 1 \le 1 + {\cos ^2}\left( {2t} \right) \le 2 & \hspace{0.25in} & 1 \le y \le 2\end{array}\]Shunday qilib, biz yana egri chiziqning faqat bir qismini kuzatamiz. Parabolaning parametrik egri chiziq qoplaydigan qismining qisqacha chizmasi.
Endi, oldingi misolda muhokama qilganimizdek, \(x\) va \(y\) parametrik tenglamalari ham kosinusni o‘z ichiga oladi, chunki biz \(x\) ham, \(y\) ham tebranishlari kerakligini bilamiz va egri chiziqning “boshlash” va “tugash” nuqtalari bir xil emasligi sababli \(x\) va \(y\) parametrlarining o'zgarishini ifodalashning yagona yo'lidir. egri chiziqning har ikki yo'nalishda ham chiqishi uchundir.
Muammoni hal qilish uchun biz faqat bitta iz uchun \(t\) diapazonini aniqlashimiz kerak. Egri chiziqdagi "tugash" nuqtalari bir xil \(y\) qiymatiga va turli \(x\) qiymatlariga ega bo'lgani uchun biz ushbu qiymatlarni aniqlash uchun \(x\) parametrik tenglamasidan foydalanishimiz mumkin. Mana o'sha ish.
\[\begin{array}{ll} \begin{aligned}x = 3: \\ \\ \\ \end{aligned} &\begin{aligned}3 & = 3\cos \left( {2t} \right)\\ 1 & = \cos \left( {2t} \right)\\ 2t & = 0 + 2\pi n\hspace{0.25in}\, \to \hspace{0.25in}t = \pi n\hspace{0.25in}\,\,\,n = 0, \pm 1, \pm 2, \pm 3, \ldots \end{aligned}\end{array}\] \[\begin{array}{ll}\begin{aligned}x = -3: \\ \\ \\ \\ \end{aligned} &\begin{aligned} - 3 & = 3\cos \left( {2t} \right)\\ - 1 & = \cos \left( {2t} \right)\\ 2t & = \pi + 2\pi n\hspace{0.25in}\, \to \hspace{0.25in}t = \frac{1}{2}\pi + \pi n\hspace{0.25in}\,\,\,n = 0, \pm 1, \pm 2, \pm 3, \ldots \end{aligned}\end{array}\]Shunday qilib, biz \(t = \ldots , - 2\pi , - \pi ,0,\pi ,2\pi , \ldots \) da o'ng oxirgi nuqtada bo'lamiz va \(t = \ldots , - \frac{3}{2}\pi , - \frac{1}{2}\pi ,\frac{1}{2}\pi ,\frac{3}{2}\pi , \ldots \) da chap oxirgi nuqtada bo'lamiz. Shunday qilib, bu holda bir iz uchun \(t\) ning cheksiz ko'p diapazonlari mavjud. Mana ulardan bir nechtasi.
\[ - \frac{1}{2}\pi \le t \le 0\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}0 \le t \le \frac{1}{2}\pi \hspace{0.25in}\hspace{0.25in}\frac{1}{2}\pi \le t \le \pi \]Bu erda \(t\) ning bir nechta qiymatlari bilan zarracha yo'lining yakuniy eskizi.
Shu o'rinda kichik bir ogohlantirish berishimiz kerak. Ulardagi g'oyalar tufayli biz egri chiziq qismlarini bir necha marta qaytaradigan parametrik egri chiziqlarga e'tibor qaratdik. Biroq, bu har doim sodir bo'ladi, deb o'ylamang. Ko'pchilik, agar bo'lmasa, parametrik egri chiziqlar faqat bir marta aniqlanadi. Biz ko'rib chiqqan birinchi narsa bunga yaxshi misoldir. Ushbu parametrik egri chiziq hech qachon o'zining biron bir qismini takrorlamaydi.
Davom etishdan oldin ushbu bo'limda muhokama qilinadigan bitta yakuniy mavzu mavjud. Hozirgacha biz parametrik tenglamalardan boshladik va parametrik egri chiziqni aniqlash uchun parametrni yo'q qildik.
Biroq, ba'zida biz boshqa yo'ldan borishni xohlaymiz. Agar funktsiya yoki tenglama berilgan bo'lsa, biz uning uchun parametrik tenglamalar to'plamini yozishni xohlashimiz mumkin. Bunday hollarda biz aytamizki parametrlash funktsiya.
Misol sifatida 4 va 5-misollarni oladigan bo'lsak, buni ellipslar (va shuning uchun doiralar) uchun qilishimiz mumkin. Ellips berilgan
\[\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\]u uchun parametrik tenglamalar to'plami bo'ladi,
\[x = a\cos t\hspace{1.0in}y = b\sin t\]Ushbu parametrik tenglamalar to'plami \(\left( {a,0} \right)\) nuqtasidan boshlab ellipsni aniqlaydi va soat miliga teskari yo'nalishda izlanadi va \(0 \le t \le 2\pi \) oralig'ida aynan bir marta chiziladi. Bu juda muhim parametrik tenglamalar to'plami, chunki u ellips va/yoki doiralar bilan bog'liq ba'zi mavzularda doimiy ravishda qo'llaniladi.
Har bir egri chiziqni bir nechta usulda parametrlash mumkin. Quyidagilardan har biri ham bir xil ellipsni parametrlashtiradi.
\[\begin{align*}x & = a\cos \left( {\omega \,t} \right)\hspace{0.5in} & y & = b\sin \left( {\omega \,t} \right)\\ x & = a\sin \left( {\omega \,t} \right)\hspace{0.5in} & y & = b\cos \left( {\omega \,t} \right)\\ x & = a\cos \left( {\omega \,t} \right)\hspace{0.5in} & y & = - b\sin \left( {\omega \,t} \right)\end{align*}\]\(\omega \) mavjudligi 5-misolda ko'rganimizdek ellipsning aylanish tezligini o'zgartiradi. Shuni ham yodda tutingki, oxirgi ikkitasi soat yo'nalishi bo'yicha harakat yo'nalishi bo'yicha ellipslarni aniqlaydi (buni tekshirishni xohlashingiz mumkin). Shuni ham yodda tutingki, ularning barchasi bir joyda boshlanmaydi (agar biz \(t = 0\) ni boshlang'ich nuqtasi deb hisoblasak).
Albatta, ellipsning ko'plab parametrlari mavjud, ammo siz bu fikrni tushunasiz. Shuni yodda tutish kerakki, har bir parametr egri chiziqni bir marta \(t\) ning potentsial boshqa diapazoni bilan aniqlaydi. Har bir parametrlash harakatning turli yo'nalishlari bilan aylanishi va turli nuqtalarda boshlanishi mumkin.
Siz ma'lum bir joydan boshlanadigan va harakatning ma'lum bir yo'nalishiga ega bo'lgan ellipsning parametrlarini belgilashingiz kerakligini bilib olishingiz mumkin va shuning uchun endi bilasizki, ba'zi ish bilan siz o'zingiz xohlagan xatti-harakatni beradigan parametrik tenglamalar to'plamini yozishingiz mumkin.
Keling, yana bir nechta muhim parametrlarni yozamiz va \(t\) ning harakat yo'nalishi, boshlang'ich nuqtasi va diapazoni haqidagi barcha sharhlar (agar mavjud bo'lsa) hali ham to'g'ri.
Birinchidan, aylana ellipsning maxsus holatidan boshqa narsa emasligi sababli biz \(r\) radiusining boshiga markazlashgan doira uchun parametrik tenglamalarni olish uchun ellipsni parametrlashdan foydalanishimiz mumkin. Doirani parametrlashning mumkin bo'lgan usullaridan biri:
\[x = r\cos t\hspace{1.0in}y = r\sin t\]Va nihoyat, hech qanday sabab yo'qdek tuyulishi mumkin bo'lsa ham, biz \(y = f\left( x \right)\) yoki \(x = h\left( y \right)\) ko'rinishida funktsiyalarni parametrlashimiz mumkin. Bunday hollarda biz ularni quyidagi tarzda parametrlashtiramiz:
\[\begin{align*}x & = t\hspace{1.0in} & x & = h\left( t \right)\\ y & = f\left( t \right)\hspace{1.0in} & y & = t\end{align*}\]Ayni paytda bu kabi funksiyani parametrlashtirish unchalik foydali bo‘lmasligi mumkin, lekin funksiyaning o‘rniga parametrlashtirish bilan ishlash osonroq bo‘ladigan yoki hatto talab qilinishi mumkin bo‘lgan ko‘plab holatlar mavjud. Afsuski, bu holatlarning deyarli barchasi Calculus III kursida uchraydi.