Bu qiyalik kesishuvi shaklidagi chiziq

\[y = mx + b\]

Bu holda chiziq \(\left(0,b\right)\) ning \(y\) kesishmasi va \(m\) qiyaligiga ega. Esda tutingki, nishab deb o'ylash mumkin

\[m = \frac{{{\rm{rise}}}}{{{\rm{run}}}}\]

E'tibor bering, agar qiyalik salbiy bo'lsa, biz ko'tarilishni pasayish deb o'ylaymiz.

Nishab bizga chiziqning ikkinchi nuqtasini olish imkonini beradi. Chiziq va qiyalikning istalgan nuqtasiga ega bo'lgach, biz to'g'ridan-to'g'ri harakatlanamiz yugur va yuqoriga/pastga ko'tarilish belgisiga qarab. Bu chiziqdagi ikkinchi nuqta bo'ladi.

Bu holda biz \(\left(0,3\right)\) chiziqdagi nuqta va qiyaligi \( - \frac{2}{5}\) ekanligini bilamiz. Shunday qilib, \(\left(0,3\right)\) dan boshlab biz 5 o'ngga harakat qilamiz (i.e. \(0 \to 5\)) va pastga 2 (i.e. \(3 \to 1\)) chiziqdagi ikkinchi nuqta sifatida \(\left(5,1\right)\) ni olish uchun. Chiziqda ikkita nuqtani olganimizdan so'ng, biz qilishimiz kerak bo'lgan yagona narsa ikkita nuqtani chizish va ularni chiziq bilan bog'lashdir.

Mana bu chiziqning eskizi.

Mutlaq qiymat nima ekanligini o'zimizga eslatishdan tashqari, bu muammo uchun juda ko'p narsa yo'q. Eslatib o'tamiz, mutlaq qiymat funksiyasi quyidagicha aniqlanadi:

\[\left| x \right| = \left\{ {\begin{array}{rl}x & {{\mbox{if }}x \ge 0}\\{ - x} & {{\mbox{if }}x < 0}\end{array}} \right.\]

Keyin grafik,

Bu umumiy shakldagi parabola.

\[f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\]

Ushbu shaklda cho'qqining \(x\)-koordinatasi (parabolaning eng yuqori yoki eng past nuqtasi) \(x = - \frac{b}{{2a}}\) va \(y\)-koordinatasi \(y = f\left( { - \frac{b}{{2a}}} \right)\) hisoblanadi. Shunday qilib, bizning parabolamiz uchun tepaning koordinatalari bo'ladi.

\[\begin{align*}x & = - \frac{2}{{2\left( { - 1} \right)}} = 1\\ y & = f\left( 1 \right) = - {\left( 1 \right)^2} + 2\left( 1 \right) + 3 = 4\end{align*}\]

Demak, bu parabolaning cho‘qqisi \(\left(1,4\right)\).

Biz \(a\) belgisidan parabola qaysi tomonga ochilishini ham aniqlashimiz mumkin. Agar \(a\) ijobiy bo'lsa, parabola ochiladi va \(a\) manfiy bo'lsa, parabola pastga ochiladi. Bizning holatda parabola ochiladi.

Endi, cho'qqi \(x\) o'qi ustida joylashgani va parabola pastga ochilganligi sababli bizda \(x\)-kesishmalar bo'lishini bilamiz (i.e. Ushbu grafikda \(f\left( x \right) = 0\)) mavjud bo'lgan \(x\) qiymatlari. Shunday qilib, biz quyidagilarni hal qilamiz.

\[\begin{align*} - {x^2} + 2x + 3 & = 0\\ {x^2} - 2x - 3 & = 0\\ \left( {x - 3} \right)\left( {x + 1} \right) & = 0\end{align*}\]

Shunday qilib, biz \(x = - 1\) va \(x = 3\) da \(x\)-kesishmalariga ega bo'lamiz. E'tibor bering, yechim jarayonida hayotimizni osonlashtirish uchun biz \({x^2}\) musbat koeffitsientini olish uchun hamma narsani -1 ga ko'paytirdik. Bu faktoringni osonlashtirdi.

Mana bu parabolaning eskizi.

Aksariyat odamlar \(y = f(x)\) ko'rinishidagi funktsiyalar bilan ishlashga qodir Algebra kursidan chiqadilar. Biroq, Calculus kursida ishlashingiz kerak bo'lgan ko'plab funktsiyalar \(x = f(y)\) shaklida bo'lib, ular bilan faqat shu shaklda osongina ishlash mumkin. Demak, bu formadagi funksiyalar bilan ishlashga odatlanish kerak.

Bunday funksiyalarning yoqimli tomoni shundaki, agar siz \(y = f(x)\) ko‘rinishidagi funksiyalar bilan shug‘ullana olsangiz, ular bilan unchalik tanish bo‘lmasangiz ham, \(x = f(y)\) ko‘rinishidagi funksiyalar bilan ishlashingiz mumkin.

Avval tenglamani ko'rib chiqaylik.

\[y = {x^2} - 6x + 5\]

Bu ochilgan parabola bo'lib, biz oldingi misoldagi ishimizdan ma'lumki, \(\left(3,-4\right)\) cho'qqisiga ega.

Funktsiyamiz uchun bizda bir xil tenglama mavjud, bundan mustasno \(x\) va \(y\) almashtiriladi. Boshqacha qilib aytganda, bizda parabola ko'rinishida,

\[x = a{y^2} + by + c\]

Bu shunday parabolaning umumiy ko'rinishi va bu \(a\) belgisiga qarab chapga yoki o'ngga ochiladigan parabola bo'ladi. Tenglikning \(y\)-koordinatasi \(y = - \frac{b}{{2a}}\) tomonidan berilgan va biz \(x\)-koordinatasini tenglamaga ulab topamiz. Shunday qilib, bu siz allaqachon shug'ullanishga odatlangan parabola turiga juda o'xshashligini ko'rishingiz mumkin.

Endi misolga qaytaylik. Bizning funktsiyamiz o'ngga ochiladigan (\(a\) musbat) va \(\left(-4,3\right)\) da cho'qqiga ega bo'lgan paraboladir. Cho'qqisi \(y\) o'qining chap tomonida va o'ng tomonda ochiladi, shuning uchun bizga \(y\)-kesishmalar kerak bo'ladi (i.e. \(y\) qiymatlari, ular uchun bizda \(f\left( y \right) = 0\) mavjud)). Biz ularni xuddi oldingi masalada \(x\)-kesishmalarini topgandek topamiz.

\[\begin{align*}{y^2} - 6y + 5 & = 0\\ \left( {y - 5} \right)\left( {y - 1} \right) & = 0\end{align*}\]

Shunday qilib, bizning parabolamiz \(y = 1\) va \(y = 5\) da \(y\)-kesishmalariga ega bo'ladi. Mana grafikning eskizi.

Bu erda qanday grafik borligini aniqlash uchun biz \(x\) va \(y\) da kvadratni to'ldirishimiz kerak.

\[\begin{align*}{x^2} + 2x + {y^2} - 8y + 8 & = 0\\ {x^2} + 2x + 1 - 1 + {y^2} - 8y + 16 - 16 + 8 & = 0\\ {\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} & = 9\end{align*}\]

Eslatib o'tamiz, kvadratni to'ldirish uchun biz \(x\) (yoki \(y\)) koeffitsientining yarmini olamiz, uni kvadratga olamiz va keyin uni tenglamaga qo'shamiz va ayitamiz.

Buni qilgandan so'ng, bizda doira borligini ko'ramiz va u endi standart shaklda yozilgan.

\[{\left( {x - h} \right)^2} + {\left( {y - k} \right)^2} = {r^2}\]

Doiralar bu shaklda bo'lsa, biz \(\left(h, k\right)\) markazini va \(r\) radiusini osongina aniqlashimiz mumkin. Ularga ega bo'lganimizdan so'ng, biz aylananing grafigini shunchaki markazdan boshlab va \(r\) yordamida o'ngga, chapga, yuqoriga va pastga siljitish orqali mos ravishda eng o'ng, eng chap, eng yuqori va pastki eng ko'p nuqtalarni olishimiz mumkin.

Bizning doiramiz \(\left(-1, 4\right)\) markazida va radiusi 3 ga ega. Mana bu doiraning eskizi.

Bu ellips. Ellipsning standart shakli

\[\frac{{{{\left( {x - h} \right)}^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{{\left( {y - k} \right)}^2}}}{{{b^2}}} = 1\]

Bu markazi \(\left(h, k\right)\) bo'lgan ellips bo'lib, o'ngdagi eng va chapdagi eng ko'p nuqta markazdan \(a\) masofada, eng yuqori va pastki qismi esa markazdan \(b\) masofada joylashgan.

Ushbu muammo uchun ellips markazi \(\left(2, -2\right)\) va \(a = 3\) va \(b = \frac{1}{2}\) ga ega. E'tibor bering, \(b\) ni olish uchun biz tenglamani quyidagicha qayta yozamiz:

\[\frac{{{\left( x-2 \right)}^{2}}}{9}+\frac{{{\left( y+2 \right)}^{2}}}{{}^{1}/{}_{4}}=1\]

dan standartga kirish uchun.

Mana ellipsning eskizi.

Bu giperbola. Aslida giperbolaning ikkita standart shakli mavjud. Bu erda har bir shakl uchun asoslar mavjud.

Shakl	\(\displaystyle \frac{{{{\left( {x - h} \right)}^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{{\left( {y - k} \right)}^2}}}{{{b^2}}} = 1\)	\(\displaystyle \frac{{{{\left( {y - k} \right)}^2}}}{{{b^2}}} - \frac{{{{\left( {x - h} \right)}^2}}}{{{a^2}}} = 1\)
Markaz	\(\left(h, k\right)\)	\(\left(h, k\right)\)
Ochiladi	O'ngga va chapga ochiladi	Yuqoriga va pastga ochiladi
Cho'qqilar	\(a\) markazning o'ng va chap birliklari	\(b\) birliklari markazdan yuqoriga va pastga
Asimptotlarning qiyaligi	\(\displaystyle \pm \frac{b}{a}\)	\(\displaystyle \pm \frac{b}{a}\)

Xo'sh, bularning barchasi nimani anglatadi? Birinchidan, atamalardan biri ijobiy, ikkinchisi esa salbiy ekanligiga e'tibor bering. Bu giperbolaning ikki qismi qaysi tomonga ochilishini aniqlaydi. Agar \(x\) atamasi ijobiy bo'lsa, giperbola chapga va o'ngga ochiladi. Xuddi shunday, agar \(y\) atamasi ijobiy bo'lsa, giperbola yuqoriga va pastga ochiladi.

Ikkalasi ham bir xil "markazga" ega. E'tibor bering, giperbolalarda aylanalar va ellipslarning markazlari bor degan ma'noda markaz yo'q. Markaz giperbolaning grafigini chizishning boshlang'ich nuqtasidir. U bizga cho'qqilarga qanday borishni va asimptotalarni qanday o'rnatishni aytadi.

Giperbolaning asimptotalari markazda kesishgan va yuqorida sanab o'tilgan qiyaliklarga ega bo'lgan ikkita chiziqdir. Markazdan uzoqlashgan sari grafik asimptotalarga yaqinlashadi.

Bu erda keltirilgan tenglama uchun giperbola chapga va o'ngga ochiladi. Uning markazi \(\left(-1, 2\right)\). Ikki cho'qqi - \(\left(-4, 2\right)\) va \(\left(2, 2\right)\). Asimptotalar \( \pm \frac{2}{3}\) qiyaliklarga ega bo'ladi.

Mana bu giperbolaning eskizi. E'tibor bering, asimptotlar ikkita kesilgan chiziq bilan belgilanadi.

Haqiqatan ham bu muammoning ko'p narsasi yo'q, bu ikkala eksponensialning biron bir joyda grafigi borligiga ishonch hosil qilishdan boshqa.

Ularning ikkalasi ham keyingi bo'limlarda bir oz muntazamlik bilan namoyon bo'ladi va \(x\) ham ortiqcha, ham minus cheksizlikka o'tganligi sababli ularning xatti-harakatlari kerak bo'ladi va bu grafikdan biz bu xatti-harakatni aniq ko'rishimiz mumkin.

Ushbu sharhda allaqachon bir marta grafik qilingan, ammo bu uni boshqa barcha "muhim" grafiklar bilan birga qo'yadi.

Bu juda oddiy, biz kerak bo'lganda uning grafikasini chizishimiz mumkinligiga ishonch hosil qilishimiz kerak.

Kvadrat ildiz funksiyasining sohasi \(x \ge 0\) ekanligini unutmang.

Shunga qaramay, biz buni qildik deb aytishimiz uchun, buning biron bir joyda chizilganligiga ishonch hosil qilishdan boshqa narsa yo'q.

Haqiqatan ham buning uchun juda ko'p narsa yo'q. Mana \( - 4\pi \le x \le 4\pi \) uchun grafik.

Shuni ham ta'kidlab o'tamizki, biz \(x\) ning barcha qiymatlarini kosinusga qo'yishimiz mumkin (bu ko'pchilik trig funktsiyalari uchun bo'lmaydi) va shuning uchun domen barcha haqiqiy raqamlardir. Shuni ham e'tiborga oling

\[ - 1 \le \cos \left( x \right) \le 1\]

Shuni ta'kidlash kerakki, kosinus hech qachon 1 dan katta yoki -1 dan kichik bo'lmaydi. Bu ba'zan hisob darslarida foydali bo'ladi. Umuman olganda, buni aytishimiz mumkin

\[ - R \le R\cos \left( {\omega \,x} \right) \le R\]

Oldingi muammoda bo'lgani kabi, uni grafika qilishdan boshqa ko'p ish yo'q. Mana \( - 4\pi \le x \le 4\pi \) uchun grafik.

Ushbu grafikdan biz sinus kosinus bilan bir xil diapazonga ega ekanligini ko'rishimiz mumkin. Umuman olganda

\[ - R \le R\sin \left( {\omega \,x} \right) \le R\]

Kosinusda bo'lgani kabi, sinusning o'zi hech qachon 1 dan katta bo'lmaydi va hech qachon -1 dan kichik bo'lmaydi. Bundan tashqari, sinus sohasi barcha haqiqiy sonlardir.

Tangens holatida biz \(x\)-ni ulashda ehtiyot bo'lishimiz kerak, chunki kosinus nolga teng bo'lgan joyda tangens mavjud emas (esda tutingki, \(\tan x = \frac{{\sin x}}{{\cos x}}\)). Tangent mavjud bo'lmaydi

\[x = \cdots , - \frac{{5\pi }}{2}, - \frac{{3\pi }}{2}, - \frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2},\frac{{3\pi }}{2},\frac{{5\pi }}{2}, \ldots \]

va grafikning bu nuqtalarda asimptotalari bo'ladi. Mana \( - \frac{{5\pi }}{2} < x < \frac{{5\pi }}{2}\) diapazonidagi tangens grafigi.

Tangensda bo'lgani kabi, biz kosinus nolga teng bo'lgan \(x\) dan qochishimiz kerak (esda tutingki, \(\sec x = \frac{1}{{\cos x}}\)). Bu vaqtda sekant mavjud bo'lmaydi

\[x = \cdots , - \frac{{5\pi }}{2}, - \frac{{3\pi }}{2}, - \frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2},\frac{{3\pi }}{2},\frac{{5\pi }}{2}, \ldots \]

va grafikning bu nuqtalarda asimptotalari bo'ladi. Mana \( - \frac{{5\pi }}{2} < x < \frac{{5\pi }}{2}\) diapazonidagi sekant grafigi.

Grafik har doim 1 dan katta yoki -1 dan kichik ekanligiga e'tibor bering. Bu juda ajablanarli bo'lmasligi kerak. Eslatib o'tamiz, \[ - 1 \le \cos \left( x \right) \le 1\]. Shunday qilib, bittadan kichik bir narsaga bo'linish 1 dan katta bo'ladi. Shuningdek, \({}^{1}/{}_{\pm 1}=\pm 1\) va shuning uchun biz sekant uchun quyidagi diapazonlarni olamiz.

\[\sec \left( {\omega \,x} \right) \ge 1\hspace{0.5in}{\rm{and}}\hspace{0.5in}\sec \left( {\omega \,x} \right) \le - 1\]