6.3-bo'lim: Ko'rsatkichli tenglamalarni yechish
Endi biz eksponensial va logarifm funktsiyalarining ta'riflarini ko'rganimizdan so'ng, ular ishtirok etgan tenglamalarni qanday echish haqida o'ylashni boshlashimiz kerak. Ushbu bo'limda ko'rsatkichli tenglamalarni yechish va keyingi bo'limda logarifm tenglamalarini echishni ko'rib chiqamiz.
Eksponensial tenglamalarni yechishning ikkita usuli mavjud. Bir usul juda oddiy, lekin eksponensial tenglamaning juda maxsus shaklini talab qiladi. Ikkinchisi murakkabroq eksponensial tenglamalar ustida ishlaydi, lekin ba'zida biroz chalkash bo'lishi mumkin.
Keling, oddiyroq usulni ko'rib chiqishdan boshlaylik. Bu usul eksponensial funksiyalar haqida quyidagi faktdan foydalanadi.
\[{\mbox{If}}\,\,\,\,{b^x} = {b^y}\,\,\,{\mbox{then }}x = y\]E'tibor bering, bu fakt ikkala ko'rsatkichdagi bazaning bir xil bo'lishini talab qiladi. Agar shunday bo'lmasa, bu haqiqat bizga hech qanday foyda keltirmaydi.
Keling, bir nechta misollarni ko'rib chiqaylik.
- \({5^{3x}} = {5^{7x - 2}}\)
- \({4^{{t^2}}} = {4^{6 - t}}\)
- \({3^z} = {9^{z + 5}}\)
- \({4^{5 - 9x}} = \frac{1}{{{8^{x - 2}}}}\)
a \({5^{3x}} = {5^{7x - 2}}\) Yechim
Ushbu birinchi qismda biz ikkala eksponensiyada bir xil asosga egamiz, shuning uchun ikkita ko'rsatkichni bir-biriga tenglashtirish va \(x\) uchun hal qilishdan boshqa ko'p narsa qilish kerak emas.
\[\begin{align*}3x & = 7x - 2\\ 2 & = 4x\\ \frac{1}{2} & = x\end{align*}\]Shunday qilib, agar biz \(x = \frac{1}{2}\) ni tenglamaga qo'shadigan bo'lsak, biz tenglik belgisining ikkala tomonida bir xil raqamni olamiz.
b \({4^{{t^2}}} = {4^{6 - t}}\) Yechim
Shunga qaramay, bu erda ko'rsatkichlarni tenglashtirishdan boshqa ko'p ish yo'q, chunki ikkala eksponensiyada baza bir xil.
\[\begin{align*}{t^2} & = 6 - t\\ {t^2} + t - 6 & = 0\\ \left( {t + 3} \right)\left( {t - 2} \right) & = 0 \hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}t = - 3,\,\,t = 2\end{align*}\]Bu holda biz tenglamaning ikkita yechimini olamiz. Bu juda maqbuldir, shuning uchun bu sodir bo'lganda tashvishlanmang.
c \({3^z} = {9^{z + 5}}\) Yechim
Endi, bu holda bizda bir xil asos yo'q, shuning uchun biz faqat ko'rsatkichlarni tenglashtira olmaymiz. Biroq, o'ng tomonni biroz manipulyatsiya qilish bilan biz ikkala eksponentda bir xil asosni olishimiz mumkin. Buning uchun biz shuni ta'kidlashimiz kerakki, \(9 = {3^2}\). Bu faktdan foydalanganda biz nimaga erishamiz.
\[{3^z} = {\left( {{3^2}} \right)^{z + 5}}\]Endi biz ko'rsatkichlarni shunchaki tenglashtira olmaymiz, chunki o'ng tomonda ikkita ko'rsatkich mavjud. Agar biz eksponent xususiyatlarimizni eslasak, buni tuzatishimiz mumkin.
\[{3^z} = {3^{2\left( {z + 5} \right)}}\]Endi bizda bir xil baza va har bir bazada bitta ko'rsatkich bor, shuning uchun biz xususiyatdan foydalanishimiz va ko'rsatkichlarni teng o'rnatishimiz mumkin. Buni qilish,
\[\begin{align*}z & = 2\left( {z + 5} \right)\\ z & = 2z + 10\\ z & = -10\end{align*}\] Shunday qilib, barcha ishlardan so'ng biz \(z= -10\) yechimini olamiz.d \({4^{5 - 9x}} = \frac{1}{{{8^{x - 2}}}}\) Yechim
Ushbu qismda biz ikkala tomon bilan ham ba'zi muammolarga duch keldik. Birinchidan, o'ng tomon kasr, chap tomon esa kasr emas. Biroq, bu muammo bo'lishi mumkin emas, shuning uchun bir soniya bunga e'tibor bermaylik. Bu erda haqiqiy muammo shundaki, biz oldingi qismda bo'lgani kabi 8 ni 4 ning darajasi sifatida va 4 ni 8 ning darajasi sifatida yoza olmaymiz.
Bu masalada qilish kerak bo'lgan birinchi narsa, har ikki tomonda bir xil bazani olish va shuni ta'kidlash kerakki, biz 4 va 8 ni ham 2 ning darajasida yozishimiz mumkin. Shunday qilib, buni qilaylik.
\[\begin{align*}{\left( {{2^2}} \right)^{5 - 9x}} & = \frac{1}{{{{\left( {{2^3}} \right)}^{x - 2}}}}\\ {2^{2\left( {5 - 9x} \right)}} & = \frac{1}{{{2^{3\left( {x - 2} \right)}}}}\end{align*}\]Endi o'ng tarafdagi fraktsiyaga g'amxo'rlik qilish vaqti keldi. Buning uchun biz quyidagi ko'rsatkich xususiyatini eslab qolishimiz kerak.
\[\frac{1}{{{a^n}}} = {a^{ - n}}\]Bundan foydalanish,
\[{2^{2\left( {5 - 9x} \right)}} = {2^{ - 3\left( {x - 2} \right)}}\]Demak, endi biz bir xil bazaga egamiz va har bir asosda bitta ko'rsatkich bor, shuning uchun biz ko'rsatkichlarni tenglashtiramiz.
\[\begin{align*}2\left( {5 - 9x} \right) & = - 3\left( {x - 2} \right)\\ 10 - 18x & = - 3x + 6\\ 4 & = 15x\\ x & = \frac{4}{{15}}\end{align*}\]Va bu qismga javob bor.
Endi oldingi misollar to'plamidagi tenglamalar biz ikkala eksponensiyada bir xil asosni olishimiz mumkinligiga tayangan, ammo bu har doim ham mumkin emas. Quyidagi tenglamani ko'rib chiqing.
\[{7^x} = 9\]Bu juda oddiy tenglama, ammo oldingi misollarda qo‘llagan usulimiz ishlamaydi, chunki biz 9 ni 7 ning kuchi sifatida qanday yozishni bilmaymiz. Aslida, agar siz bu haqda o‘ylab ko‘rsangiz, bu tenglama bizdan nimani topishni so‘rayapti.
Shunday qilib, biz birinchi misollar to'plamida ishlatgan usul ishlamaydi. Muammo shundaki, \(x\) eksponentda. Shuning uchun tenglamalarni echish haqidagi barcha bilimlarimiz bizga hech qanday foyda keltirmaydi. Bizga \(x\) ni eksponentdan chiqarishning yo'li kerak va baxtimizga buni qilishning yo'li bor. Oxirgi qismdan quyidagi logarifm xususiyatini eslang.
\[{\log _b}{a^r} = r{\log _b}a\]E'tibor bering, \(x\) bilan chalkashmaslik uchun biz ushbu xususiyatdagi \(x\) ni \(a\) bilan almashtirdik. Bu xususiyatning muhim qismi shundaki, biz ko'rsatkichni olib, uni atamaning old qismiga o'tkazishimiz mumkin.
Shunday qilib, agar bizda bo'lsa,
\[{\log _b}{7^x}\]biz bu xususiyatdan quyidagicha foydalanishimiz mumkin.
\[x{\log _b}7\]\(x\) endi eksponentdan tashqarida! Albatta, biz hozir muammoda logarifm bilan bog'lanib qoldik va nafaqat bu, balki logarifmning asosini ham ko'rsatmadik.
Haqiqat shundaki, biz buni amalga oshirish uchun har qanday logarifmdan foydalanishimiz mumkin, shuning uchun biz hal qila oladigan birini tanlashimiz kerak. Bu odatda umumiy logarifm yoki tabiiy logarifm bilan ishlashimizni anglatadi.
Shunday qilib, keling, ushbu tenglamalarni hal qilish uchun ushbu g'oyadan qanday foydalanishimizni ko'rish uchun bir qator misollar ishlab chiqaylik.
- \({7^x} = 9\)
- \({2^{4y + 1}} - {3^y} = 0\)
- \({{\bf{e}}^{t + 6}} = 2\)
- \({10^{5 - x}} = 8\)
- \(5{{\bf{e}}^{2z + 4}} - 8 = 0\)
a \({7^x} = 9\) Yechim
Xo'sh, biz yuqorida aytamizki, agar chap tomonda logarifm bo'lsa, biz \(x\) ni ko'rsatkichdan chiqarishimiz mumkin edi. Buni qilish juda oson. Biz faqat chap tomonning oldiga logarifm qo'yamiz. Biroq, agar biz u erga logarifm qo'ysak, o'ng tomonning oldiga ham logarifm qo'yishimiz kerak. Bu odatda deyiladi ikkala tomonning logarifmini olamiz.
Biz xohlagan logarifmdan foydalanishimiz mumkin, shuning uchun tabiiy logarifmni sinab ko'raylik.
\[\begin{align*}\ln {7^x} & = \ln 9\\ x\ln 7 & = \ln 9\end{align*}\]Endi biz \(x\) ni hal qilishimiz kerak. Bu ko'rinadiganidan osonroq. Agar bizda \(7x = 9\) bo'lsa, biz hammamiz \(x\) ni ikkala tomonni 7 ga bo'lish orqali hal qilishimiz mumkin edi. Bu erda u xuddi shunday ishlaydi. ln7 ham, ln9 ham shunchaki raqamlar. To'g'ri, bu raqamlar nima ekanligini aniqlash uchun kalkulyator kerak bo'lardi, lekin ular raqamlar va shuning uchun biz bu erda xuddi shu narsani qilishimiz mumkin.
\[\begin{align*}\frac{{x\ln 7}}{{\ln 7}} & = \frac{{\ln 9}}{{\ln 7}}\\ x & = \frac{{\ln 9}}{{\ln 7}}\end{align*}\]Endi bu texnik jihatdan aniq javob. Biroq, bu holda odatda o'nlik javobni olish yaxshidir, shuning uchun bir qadam oldinga boraylik.
\[x = \frac{{\ln 9}}{{\ln 7}} = \frac{{2.19722458}}{{1.94591015}} = 1.12915007\]E'tibor bering, bu javoblar ko'pincha o'nlik javoblardir.
Bundan tashqari, quyidagi xatoga yo'l qo'ymaslik uchun bu erda ehtiyot bo'ling.
\[1.12915007 = \frac{{\ln 9}}{{\ln 7}} \ne \ln \left( {\frac{9}{7}} \right) = 0.2513144283\]Ikkalasi aniq farqli raqamlar.
Va nihoyat, bir xil javobni olishimizga ishonch hosil qilish uchun umumiy logarifmdan ham foydalanamiz.
\[\begin{align*}\log {7^x} & = \log 9\\ x\log 7 & = \log 9\\ x & = \frac{{\log 9}}{{\log 7}} = \frac{{0.954242509}}{{0.845098040}} = 1.12915007\end{align*}\]Shunday qilib, xuddi shunday javob. Biz ikkala logarifmdan ham foydalanishimiz mumkin, garchi ba'zida birini boshqasidan ko'ra ishlatish qulayroq bo'lgan holatlar mavjud.
b \({2^{4y + 1}} - {3^y} = 0\) Yechim
Bunday holda, biz faqat logarifmni ikkala tomonning oldiga qo'ya olmaymiz. Buning ikkita sababi bor. Avval o'ng tomonda biz nolga egamiz va oldingi bo'limdan biz nolning logarifmini qabul qila olmasligimizni bilamiz. Keyinchalik, ko'rsatkichni pastga siljitish uchun u logarifm ichidagi butun termin bo'lishi kerak va bu tenglama hozirgi ko'rinishida bo'lmaydi.
Shunday qilib, birinchi qadam shartlarni teng belgining boshqa tomoniga o'tkazishdir, keyin tabiiy logarifmdan foydalanib ikkala tomonning logarifmini olamiz.
\[\begin{align*}{2^{4y + 1}} & = {3^y}\\ \ln {2^{4y + 1}} & = \ln {3^y}\\ \left( {4y + 1} \right)\ln 2 & = y\ln 3\end{align*}\]Yaxshi, bu tartibsiz ko'rinadi, lekin yana bir bor, bu unchalik yomon emas. Avval quyidagi tenglamani ko'rib chiqamiz.
\[\begin{align*}2\left( {4y + 1} \right) & = 3y\\ 8y + 2 & = 3y\\ 5y & = - 2\\ y & = - \frac{2}{5}\end{align*}\]Biz hammamiz bu tenglamani yecha olamiz va bu bizda mavjud bo'lgan tenglamani echishimiz mumkinligini anglatadi. Shunga qaramay, ln2 va ln3 shunchaki raqamlar va shuning uchun jarayon aynan bir xil. Javob bu tenglamadan ko'ra chalkashroq bo'ladi, lekin jarayon bir xil. Mana bu ish uchun.
\[\begin{align*}\left( {4y + 1} \right)\ln 2 & = y\ln 3\\ 4y\ln 2 + \ln 2 & = y\ln 3\\ 4y\ln 2 - y\ln 3 & = - \ln 2\\ y\left( {4\ln 2 - \ln 3} \right) & = - \ln 2\\ y & = - \frac{{\ln 2}}{{4\ln 2 - \ln 3}}\end{align*}\]Shunday qilib, biz \(y\) bilan barcha shartlarni bir tomonda va boshqa barcha shartlarni boshqa tomondan olamiz. Bu bajarilgandan so'ng, biz \(y\) ni hisobga olamiz va koeffitsientga bo'lamiz. Shunga qaramay, biz o'nlik javobni afzal ko'ramiz, shuning uchun buni olamiz.
\[y = - \frac{{\ln 2}}{{4\ln 2 - \ln 3}} = - \frac{{0.693147181}}{{4\left( {0.693147181} \right) - 1.098612289}} = - 0.414072245\]c \({{\bf{e}}^{t + 6}} = 2\) Yechim
Endi bu avvalgisiga qaraganda biroz osonroq. Shunga qaramay, biz ikkala tomonning tabiiy logarifmini olamiz.
\[\ln {{\bf{e}}^{t + 6}} = \ln 2\]E'tibor bering, biz bu ko'rsatkichni olib tashlamadik. Buning sababi shundaki, biz ushbu xususiyat bilan quyidagi xususiyatdan foydalanmoqchimiz.
\[\ln {{\bf{e}}^{f\left( x \right)}} = f\left( x \right)\]Biz buni oldingi bo'limda (umumiyroq shaklda) ko'rdik va bu erda foydalanish orqali biz hayotimizni sezilarli darajada osonlashtiramiz. Ushbu xususiyatdan foydalanish,
\[\begin{align*}t + 6 & = \ln 2\\ t & = \ln \left( 2 \right) - 6 = 0.69314718 - 6 = - 5.30685202\end{align*}\]Bu safar logarifmdagi 2 atrofidagi qavsga e'tibor bering. Ular biz quyidagi xatoga yo'l qo'ymasligimizga ishonch hosil qilish uchun bor.
\[ - 5.30685202 = \ln \left( 2 \right) - 6 \ne \ln \left( {2 - 6} \right) = \ln \left( { - 4} \right)\,\,{\mbox{can't be done}}\]Ushbu xato bilan juda ehtiyot bo'ling. Agar nima qilayotganingizga e'tibor bermasangiz yoki shoshayotganingizda buni qilish oson.
d \({10^{5 - x}} = 8\) Yechim
Ushbu qismdagi tenglama avvalgi qismga o'xshaydi, bundan tashqari bu safar bizda 10 ta asos bor va shuning uchun shuni eslaymizki,
\[\log {10^{f\left( x \right)}} = f\left( x \right)\]bu safar umumiy logarifmlardan foydalanish mantiqiyroq.
Mana bu tenglama uchun ish.
\[\begin{align*}\log {10^{5 - x}} & = \log 8\\ 5 - x & = \log 8\\ 5 - \log 8 & = x\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}x = 5 - 0.903089987 = 4.096910013\end{align*}\]Buni tabiiy logarifmlar bilan qilish mumkin edi, lekin ish yanada chalkash bo'lar edi.
e \(5{{\bf{e}}^{2z + 4}} - 8 = 0\) Yechim
Ushbu yakuniy tenglama bilan bizda bir nechta muammo bor. Birinchidan, raqamni boshqa tomonga o'tkazishimiz kerak. Ikkala tomonning logarifmini olish uchun biz bir tomonda eksponensialga ega bo'lishimiz kerak. Buni qilish,
\[5{{\bf{e}}^{2z + 4}} = 8\]Keyinchalik, eksponent bo'yicha 1 koeffitsientini olishimiz kerak. Agar eksponentda koeffitsient bo'lmasa, biz buni soddalashtirish uchun faktlardan foydalanishimiz mumkin. Shunday qilib, ikkala tomonni 5 ga bo'ling,
\[{{\bf{e}}^{2z + 4}} = \frac{8}{5}\]Ushbu nuqtada tabiiy logarifmdan foydalanib, ikkala tomonning logarifmini olamiz, chunki mavjud e tenglamada.
\[\begin{align*}\ln {{\bf{e}}^{2z + 4}} & = \ln \left( {\frac{8}{5}} \right)\\ 2z + 4 & = \ln \left( {\frac{8}{5}} \right)\\ 2z & = \ln \left( {\frac{8}{5}} \right) - 4\\ z & = \frac{1}{2}\left( {\ln \left( {\frac{8}{5}} \right) - 4} \right) = \frac{1}{2}\left( {0.470003629 - 4} \right) = - 1.76499819\end{align*}\]E'tibor bering, agar biz xohlasak, birinchi misollar to'plamida ham ushbu ikkinchi usuldan foydalanishimiz mumkin edi, ammo agar biz buni qilganimizda ish yanada murakkabroq va xatolarga yo'l qo'yishi mumkin edi.