6.5-bo'lim: Ko'proq ovoz balandligi muammolari
Ushbu bo'limda biz ovoz balandligi bilan bog'liq boshqa muammolarni ko'rib chiqamiz. Biroq, biz bu erda ko'rib chiqadigan muammolar avvalgi ikki bo'limda ko'rib chiqqanimizdek, inqilobning mustahkam qismi bo'lmaydi. U erda juda ko'p qattiq moddalar mavjud bo'lib, ularni inqilobning qattiq jismlari sifatida hosil qilib bo'lmaydi yoki hech bo'lmaganda oson emas va shuning uchun biz ushbu muammolarni qanday hal qilishni ko'rib chiqishimiz kerak.
Endi, bu inqiloblarning mustahkam qismi bo'lmaydi, desak, ular hali ham xuddi shunday tarzda ishlaydi. Har bir qattiq jism uchun biz \(A\left( x \right)\) yoki \(A\left( y \right)\) tasavvurlar maydonini aniqlashimiz kerak va ular oldingi ikki bo'limda biz ishlatgan formulalardan foydalanadi,
Ma'lum bo'lgan kesma maydonidagi hajm
Ushbu muammolarning "qiyin" qismi har bir qattiq jismning tasavvurlar maydonini aniqlash bo'ladi. Har bir muammo har xil bo'ladi va shuning uchun har bir kesma maydoni turli usullar bilan aniqlanadi.
Bundan tashqari, har qanday misollarni davom ettirishdan oldin, tan olishimiz kerakki, ushbu bo'limdagi integrallar dastlab biroz qiyin ko'rinishi mumkin. Bu muammolarda juda kam sonlar bo'ladi. Ushbu bo'limdagi barcha misollar ma'lum qattiq jismlar uchun hajm formulalarining umumiyroq hosilasi bo'ladi. Shunday qilib, biz \(r\) radiusli doiralar kabi narsalar bilan ishlaymiz va biz \(r\) ning o'ziga xos qiymatini bermaymiz va ma'lum balandliklar o'rniga \(h\) balandliklariga ega bo'lamiz, va hokazo.
Integrallardagi barcha harflar integrallarni biroz qiyin ko'rinishga olib keladi, lekin esda tutishingiz kerak bo'lgan narsa shundaki, \(r\) va \(h\) faqat muammo uchun belgilangan miqdorni ifodalash uchun ishlatiladigan harflardir, i.e. u doimiydir. Shunday qilib, biz integratsiyalashganda, biz faqat differentsialdagi harf haqida tashvishlanishimiz kerak, chunki bu biz aslida integratsiyalashgan o'zgaruvchidir. Integraldagi barcha boshqa harflarni doimiylar deb hisoblash kerak. Agar buni amalga oshirishda qiynalayotgan bo'lsangiz, masalan, \(r\) 2 yoki \(h\) 3 bo'lsa, nima qilishingizni o'ylab ko'ring.
Keling, oddiy misoldan boshlaylik, biz aslida bu muammolar qanday ishlashini ko'rsatadigan va bizni integrallarda bir nechta harflarni ko'rishga o'rganadigan integral qilishimiz shart emas.
Yechim
Endi, biz ushbu misolni boshlashdan oldin aytib o'tganimizdek, biz ushbu hajmni topish uchun integraldan foydalanishimiz shart emas, ammo bu biz ushbu turdagi muammolar uchun qanday usuldan foydalanishimiz kerakligini tasvirlash uchun yaxshi misoldir.
Biz quyida silindrning eskizi bilan boshlaymiz.
Biz tsilindrni \(x\) o'qiga markazlashtiramiz va silindr ko'rsatilgandek \(x = 0\) da boshlanadi va \(x = h\) da tugaydi. E'tibor bering, biz faqat \(x\) nuqtai nazaridan integral olish va chegaralarni hal qilish uchun qulay bo'lish uchun ushbu maxsus sozlashni tanlaymiz. Biz foydalanishimiz mumkin bo'lgan boshqa ko'plab yo'nalishlar mavjud.
Bu erda bizga kerak bo'lgan narsa har qanday \(x\) da kesma maydoni uchun formulani olishdir. Bu holda kesma maydoni doimiy bo'lib, \(r\) radiusli disk bo'ladi. Shunday qilib, har qanday \(x\) uchun biz quyidagi kesma maydoniga ega bo'lamiz:
\[A\left( x \right) = \pi {r^2}\]Keyinchalik integral uchun chegaralar \(0 \le x \le h\) bo'ladi, chunki bu silindr yashaydigan \(x\) diapazoni. Bu erda hajmning integrali,
\[V = \int_{0}^{h}{{\pi {r^2}\,dx}} = \pi {r^2}\int_{0}^{h}{{\,dx}} = \left. {\pi {r^2}x} \right|_0^h = \pi {r^2}h\]Shunday qilib, biz kutilgan formulani olamiz.
Bundan tashqari, biz tsilindr radiusini ifodalash uchun \(r\) dan foydalanayotganimizni eslang. \(r\) aniq turli qiymatlarni qabul qilishi mumkin bo'lsa-da, muammoni boshlaganimizdan keyin u hech qachon o'zgarmaydi. Tsilindrlar muammoning o'rtasida o'z radiusini o'zgartirmaydi, shuning uchun biz silindrning markazi bo'ylab harakatlanamiz (i.e. \(x\) o'qi) \(r\) sobit raqam bo'lib, o'zgarmaydi. Boshqacha qilib aytadigan bo'lsak, biz \(x\) ni o'zgartirganda o'zgarmaydigan doimiydir. Shuning uchun, biz \(x\) ga nisbatan integrallashganimiz sababli, \(r\) integralga nisbatan doimiy bo'ladi. Keyin \(r\) ko'rsatilgandek integraldan chiqarilishi mumkin (garchi bu shart bo'lmasa-da, biz buni shunchaki fikr yuritish uchun qildik). Ayni paytda biz \(dx\)-ni birlashtirmoqdamiz va buni qanday qilishni bilamiz.
Biz integralni baholaganimizda, chegaralar \(x\) qiymatlari ekanligini unutmang va shuning uchun biz \(r\) emas, balki \(x\) ga ulanamiz. Yana shuni esda tutingki, \(r\) silindr radiusini ifodalash uchun ishlatiladigan harf bo'lib, biz integratsiyani boshlaganimizdan so'ng, sobit doimiy deb qabul qilinadi.
Avval aytib o'tganimizdek, biz ushbu misolni boshlashni boshlagan bo'lsangiz, agar siz \(r\) bilan muammoga duch kelsangiz, agar u erda \(r\) o'rniga 2 bo'lsa, nima qilish kerakligini o'ylab ko'ring. Ushbu muammoda, biz \(x\) bilan integratsiyalashganimiz sababli, 2 va \(r\) ham xuddi shunday yo'l tutadi. Shuni yodda tutingki, siz HECH QACHON \(r\) ni 2 bilan almashtirmasligingiz kerak, chunki bu noto'g'ri javobga olib keladi. Agar \(r\) 2 bo'lsa, nima qilish kerakligini o'ylab ko'ring.
Shunday qilib, ushbu muammolarni hal qilish uchun biz nima bo'layotganini ko'rishga yordam beradigan \(x\) va \(y\) o'qlari to'plami bilan qattiq jismning eskizini olishimiz kerak. Hech bo'lmaganda integral chegaralarini olish uchun bizga eskiz kerak bo'ladi, lekin biz ko'pincha kesma maydoni nima ekanligini ko'rish uchun kerak bo'ladi. Eskizni olganimizdan so'ng, biz tasavvurlar maydoni uchun formulani aniqlashimiz va keyin integralni bajarishimiz kerak.
Keling, bir nechta murakkab misollarni ko'rib chiqaylik. Ushbu misollarda asosiy masala kesma maydonlari nima ekanligini aniqlash bo'ladi.
Yechim
Keling, piramidaning eskizidan boshlaylik. Bunday holda, biz piramidani \(y\) o'qiga markazlashtiramiz va tenglamalarni osonlashtirish uchun biz piramida nuqtasini boshlang'ich nuqtasiga joylashtiramiz.
Endi, bu yerda ko'rsatilganidek, kesma maydoni \(y\) funksiyasi bo'ladi va u ham tomonlari \(s\) uzunlikdagi kvadrat bo'ladi. Kvadratning maydoni oson, lekin biz \(y\) nuqtai nazaridan tomonning uzunligini olishimiz kerak. Buni aniqlash uchun yuqoridagi o'ngdagi rasmni ko'rib chiqing. Agar biz piramidaga to'g'ridan-to'g'ri old tomondan qarasak, bizda ikkita o'xshash uchburchak borligini ko'ramiz va shunga o'xshash uchburchaklarning har ikki tomonining nisbati teng bo'lishi kerakligini bilamiz. Boshqacha aytganda, biz bilamizki,
\[\frac{s}{L} = \frac{y}{h}\hspace{0.5in} \Rightarrow \hspace{0.5in}s = \frac{y}{h}L = \frac{L}{h}y\]Shunday qilib, kesma maydoni u holda,
\[A\left( y \right) = {s^2} = \frac{{{L^2}}}{{{h^2}}}{y^2}\]Integral uchun chegara \(0 \le y \le h\) bo'ladi va hajm quyidagicha bo'ladi:
\[V = \int_{{\,0}}^{{\,h}}{{\frac{{{L^2}}}{{{h^2}}}{y^2}\,dy}} = \frac{{{L^2}}}{{{h^2}}}\int_{{\,0}}^{{\,h}}{{{y^2}\,dy}} = \left. {\frac{{{L^2}}}{{{h^2}}}\left( {\frac{1}{3}{y^3}} \right)} \right|_0^h = \frac{1}{3}{L^2}h\]Shunga qaramay, integraldagi \(L\) va \(h\) haqida hayajonlanmang. Muammoni boshlaganimizdan so'ng, \(y\) ni o'zgartirsak, ular o'zgarmaydi va shuning uchun ular integralga nisbatan doimiydir va integraldan chiqarib tashlanishi mumkin. Shuni ham yodda tutingki, biz baholaganimizda, bu holda, biz \(y\) bilan integratsiyalashgan o'zgaruvchiga chegaralar qo'shiladi.
Murakkab misollar bilan davom etishdan oldin, integrallardagi boshqa harflar haqida hayajonlanmaslik kerakligini yana bir bor eslatib o'tamiz. Agar biz \(x\) yoki \(y\) ga nisbatan integrallashayotgan bo‘lsak, formuladagi belgilangan miqdorlarni ifodalovchi barcha boshqa harflar (i.e. radius, balandlik, tomonning uzunligi, va hokazo.) faqat konstantalar va integralni bajarayotganda shunday ko'rib chiqilishi mumkin.
Endi yana bir nechta misollar keltiramiz.
Yechim
Bu erda biz nimaga intilayotganimizni tasvirlash uchun eskiz eng yaxshisidir.
Biz sharning yuqori qismidan keyin turibmiz va bu qismning balandligi \(h\). Bunday holda, biz \(y = r - h\) da joylashgan qopqoqning pastki qismidan boshlanib, \(y = r\) da joylashgan yuqoriga qarab harakatlanadigan kesma maydonidan foydalanamiz. Shunday qilib, har bir kesma \(x\) radiusli disk bo'ladi. Yuqoridagi o'ngdagi eskizda ko'rsatilganidek, yuqoridan qarasak, radius \(x\) bo'lishini ko'rish biroz osonroq bo'ladi. Bu diskning maydoni keyin,
\[\pi {x^2}\]Biroq, bu muammo, chunki bizga \(y\) nuqtai nazaridan kesma maydoni kerak. Shunday qilib, ko'ndalang kesimdagi har qanday \(y\) uchun \({x^2}\) qanday bo'lishini aniqlashimiz kerak. Buni olish uchun keling, sharni old tomondan ko'rib chiqaylik.
Xususan, uchburchakka qarang POR. \(R\) nuqtasi sharning o'zida joylashganligi sababli, bu uchburchakning gipotenuzasi uzunligi (chiziq) ekanligini ko'rishimiz mumkin. OR) - \(r\), sharning radiusi. Chiziq PR \(x\) va chiziq uzunligiga ega OP uzunligi \(y\) bor, shuning uchun biz Pifagor teoremasi bo'yicha bilamiz,
\[{x^2} + {y^2} = {r^2}\hspace{0.5in} \Rightarrow \hspace{0.5in}{x^2} = {r^2} - {y^2}\]Shunday qilib, biz endi har qanday \(y\) uchun \({x^2}\) nima ekanligini bilamiz va shuning uchun kesma maydoni,
\[A\left( y \right) = \pi \left( {{r^2} - {y^2}} \right)\]Yuqorida aytib o'tganimizdek, \(y\) cheklovlari \(r - h \le y \le r\) bo'ladi va shuning uchun ovoz balandligi,
\[V = \int_{{r - h}}^{r}{{\pi \left( {{r^2} - {y^2}} \right)\,dy}} = \pi \left. {\left( {{r^2}y - \frac{1}{3}{y^3}} \right)} \right|_{r - h}^r = \pi \left( {{h^2}r - \frac{1}{3}{h^3}} \right) = \pi {h^2}\left( {r - \frac{1}{3}h} \right)\]Oldingi misolda biz yana integralda \(r\) ni ko'rdik. Biroq, oldingi ikkita misoldan farqli o'laroq, u \(x\) yoki \(y\) marta ko'paytirilmagan va shuning uchun integraldan chiqarib bo'lmaydi. Bu holatda biz \(4 - {y^2}\) ni birlashtirgandek bo'ldik va biz buni qanday integratsiya qilishni bilamiz. Shunday qilib, bu holda biz \({r^2}\) ga 4 kabi munosabatda bo'lishimiz kerak va shuning uchun biz integratsiyalashganimizda \(y\) ni olamiz.
Yechim
Biz haqiqatan ham bu erda qidirayotgan narsamizning eskizi bilan boshlashimiz kerak.
Chapda biz takoz silindrdan qanday qilib kesilganini ko'ramiz. Tsilindrning asosi \({x^2} + {y^2} = {r^2}\) tomonidan berilgan doiradir va bu doira va takozning yuqori qismi orasidagi burchak \(\frac{\pi }{6}\). Yuqori o'ng pozitsiyadagi eskiz haqiqiy takozning o'zi. Bu erda o'qlarning yo'nalishini hisobga olsak, biz aylananing musbat \(y\) bo'lgan qismini olamiz va shuning uchun biz aylananing tenglamasini \(y = \sqrt {{r^2} - {x^2}} \) deb yozishimiz mumkin, chunki bizga faqat ijobiy \(y\) qiymatlari kerak. Shuni ham yodda tutingki, biz bu erda o'qlarni yo'naltirishimizning sababidir. Biz ijobiy \(y\) ni olamiz va biz aylana tenglamasini faqat \(x\) funksiyasi sifatida yozishimiz mumkin.
Endi, biz takozning ikkita eskizida ko'rib turganimizdek, ko'ndalang kesim maydoni to'g'ri burchakli uchburchak bo'ladi va silindrning orqa qismidan \(x = - r\) da silindrning old tomoniga, \(x = r\) da harakatlanayotganda maydon \(x\) funktsiyasi bo'ladi.
Uchburchakning to'g'ri burchagi aylananing o'zida bo'ladi, \(x\) o'qidagi nuqta esa \(\frac{\pi }{6}\) ichki burchagiga ega bo'ladi. Uchburchakning asosi \(y\) uzunligiga ega bo'ladi va bir oz to'g'ri burchakli uchburchakdan foydalanib, biz uchburchakning balandligini ko'ramiz,
\[{\mbox{height}} = y\tan \left( {\frac{\pi }{6}} \right) = \frac{1}{{\sqrt 3 }}y\]Shunday qilib, biz endi uchburchakning asosi va balandligini \(y\) nuqtai nazaridan bilamiz va \(y\) uchun \(x\) bo'yicha tenglamamiz bor va shuning uchun uchburchakning maydoni, i.e. kesma maydoni,
\[A\left( x \right) = \frac{1}{2}\left( y \right)\left( {\frac{1}{{\sqrt 3 }}y} \right) = \frac{1}{2}\sqrt {{r^2} - {x^2}} \left( {\frac{1}{{\sqrt 3 }}\sqrt {{r^2} - {x^2}} } \right) = \frac{1}{{2\sqrt 3 }}\left( {{r^2} - {x^2}} \right)\]\(x\)-dagi cheklovlar \( - r \le x \le r\) va shuning uchun ovoz balandligi,
\[V = \int_{{ - r}}^{r}{{\frac{1}{{2\sqrt 3 }}\left( {{r^2} - {x^2}} \right)}}\,dx = \left. {\frac{1}{{2\sqrt 3 }}\left( {{r^2}x - \frac{1}{3}{x^3}} \right)} \right|_{ - r}^r = \frac{{2{r^3}}}{{3\sqrt 3 }}\]Keyingi misol avvalgisiga juda o'xshaydi, faqat qattiqning o'zini tasavvur qilish biroz qiyin bo'lishi mumkin.
Yechim
Keling, ushbu qattiqning bir nechta eskizlari bilan boshlaylik. Chapdagi eskiz qattiq jismning "old" qismidan, o'ngdagi eskiz esa qattiq jismning yuqori qismidan ko'proq.
Ushbu qattiq jismning asosi \(r\) radiusli diskdir va biz \(x = - r\) da diskning orqa qismidan \(x = r\) da diskning old tomoniga o'tamiz, biz qattiq jismni hosil qilish uchun teng tomonli uchburchaklar hosil qilamiz. Qattiq jismning qanday hosil bo'lishini biroz aniqroq qilish uchun yuqorida ko'ndalang kesim maydoni bo'lgan teng qirrali uchburchakning namunasi ko'rsatilgan.
Keling, kesma maydoni uchun formulani olaylik. Quyidagi ikkita eskizdan boshlaylik.
Chap qo'l eskizida biz qattiq jismga to'g'ridan-to'g'ri yuqoridan qaraymiz va biz \(x\) va \(y\) o'qlarini "oddiy" yo'nalishga qo'yish uchun eskizni biroz "qayta yo'naltirganimizni" sezamiz. Ushbu eskizdagi qattiq vertikal chiziq kesma maydonidir. Bundan ko'rishimiz mumkinki, kesma ma'lum \(x\) da sodir bo'ladi va yuqori yarmi \(y\) uzunligiga ega bo'ladi, bunda \(y\) qiymati doiradagi nuqtaning \(y\) koordinatasi bo'ladi va shunday bo'ladi,
\[y = \sqrt {{r^2} - {x^2}} \]Bundan tashqari, kesma \(x\) o'qi markazida joylashgan teng tomonli uchburchak bo'lgani uchun pastki yarmi ham \(y\) uzunligiga ega bo'ladi. Shunday qilib, kesmaning asosi uzunligi 2\(y\) bo'lishi kerak.
O'ngdagi eskiz kesmalardan biriga tegishli. Yuqorida ta'kidlanganidek, uchburchak asosining uzunligi 2\(y\) ga teng. Shuni ham yodda tutingki, u teng tomonli uchburchak bo'lgani uchun barcha burchaklar \(\frac{\pi }{3}\). Agar biz kesmani ikkiga bo'lsak (chiziq chiziq bilan ko'rsatilganidek), biz ikkita to'g'ri burchakli uchburchakka ega bo'lamiz va to'g'ri burchakli uchburchak trigidan foydalanib, biz kesilgan chiziqning uzunligini ko'rishimiz mumkin:
\[{\mbox{dashed line}} = y\tan \left( {\frac{\pi }{3}} \right) = \sqrt 3 \,y\]Shuning uchun kesmaning balandligi \(\sqrt 3 \,y\). Ko'ndalang kesim uchburchak bo'lgani uchun biz uning maydoni bo'lishi kerakligini bilamiz,
\[A\left( x \right) = \frac{1}{2}\left( {2y} \right)\left( {\sqrt 3 \,y} \right) = \frac{1}{2}\left( {2\sqrt {{r^2} - {x^2}} } \right)\left( {\sqrt 3 \,\sqrt {{r^2} - {x^2}} } \right) = \sqrt 3 \left( {{r^2} - {x^2}} \right)\]E'tibor bering, biz ko'ndalang kesim maydonini \(x\) nuqtai nazaridan ishlatdik, chunki har bir kesma \(x\) o'qiga perpendikulyar va bu bizni \(x\) ga nisbatan integratsiya qilishga majbur qiladi.
Qattiq jismning hajmi u holda,
\[V\left( x \right) = \int_{{ - \,r}}^{r}{{\sqrt 3 \left( {{r^2} - {x^2}} \right)\,dx}} = \left. {\sqrt 3 \left( {{r^2}x - \frac{1}{3}{x^3}} \right)} \right|_{ - \,r}^r = \frac{4}{{\sqrt 3 }}{r^3}\]Biz bu erda ishlayotgan oxirgi misol, uni qanday o'rnatishni ko'rishda ham, integralni bajarishda ham biroz qiyin.
Yechim
Birinchidan, torus nima? Torus - \(r\) radiusi doirasini aylantirish natijasida hosil bo'lgan va \(y\) o'qi atrofida (\(R\), 0) markazida joylashgan donut shaklidagi qattiq jism. Bu quyida chapdagi eskizda ko'rsatilgan.
Ushbu muammoning eng qiyin qismlaridan biri bu kesma maydoni nima bo'lishi kerakligini ko'rishdir. Aniq bir narsa bor. Ko'pchilik, ehtimol, biz \(y\) o'qi atrofida aylanayotgan \(r\) radiusi doirasini kesma sifatida ishlatishni o'ylashlari mumkin. Bu, albatta, eng aniq tanlovlardan biri, ammo undan foydalanib integralni o'rnatish unchalik oson emas.
Shunday qilib, biz yuqoridagi o'ngdagi eskizda ko'rsatilganidek, kesmani ishlatamiz. Agar biz torusni \(y\) o'qiga perpendikulyar kesib olsak, biz halqaning ko'ndalang kesimini olamiz va uning maydonini topish juda yomon bo'lmasligi kerak. Buning uchun quyidagi ikkita eskizni ko'rib chiqamiz.
O'ngdagi eskiz to'liq kesmaning eskizidir. Biroq, chapdagi eskiz muhimroq. Bu biz \(y\) o'qi atrofida aylanayotgan doiraning eskizi. Torusda kesma maydoni qayerda bo'lishini ko'rsatadigan chiziq kiritilgan.
E'tibor bering, ichki radius har doim aylananing chap qismi va tashqi radius har doim aylananing o'ng qismi bo'ladi. Endi biz bilamizki, bu tenglama,
\[{\left( {x - R} \right)^2} + {y^2} = {r^2}\]va shuning uchun agar biz \(x\) ni hal qilsak, eskizda yuqorida ko'rsatilgandek chap va o'ng tomonlar uchun tenglamalarni olishimiz mumkin. Bu shuni anglatadiki, bizda endi ichki va tashqi radiuslar uchun tenglamalar mavjud.
\[{\mbox{inner radius}}:x = R - \sqrt {{r^2} - {y^2}} \hspace{0.5in}\hspace{0.25in}{\mbox{outer radius}}:x = R + \sqrt {{r^2} - {y^2}} \]Keyin kesma maydoni,
\[\begin{align*}A\left( y \right) & = \pi {\left( {{\mbox{outer radius}}} \right)^2} - \pi {\left( {{\mbox{inner radius}}} \right)^2}\\ & = \pi \left[ {{{\left( {R + \sqrt {{r^2} - {y^2}} } \right)}^2} - {{\left( {R - \sqrt {{r^2} - {y^2}} } \right)}^2}} \right]\\ & = \pi \left[ {{R^2} + 2R\sqrt {{r^2} - {y^2}} + {r^2} - {y^2} - \left( {{R^2} - 2R\sqrt {{r^2} - {y^2}} + {r^2} - {y^2}} \right)} \right]\\ & = 4\pi R\sqrt {{r^2} - {y^2}} \end{align*}\]Keyinchalik, eng past kesma \(y = - r\) da, eng yuqori kesma esa \(y = r\) da bo'ladi va shuning uchun integral uchun chegaralar \( - r \le y \le r\) bo'ladi.
Hajmni beruvchi integral u holda,
\[V = \int_{{ - r}}^{r}{{4\pi R\sqrt {{r^2} - {y^2}} \,dy}} = 2\int_{0}^{r}{{4\pi R\sqrt {{r^2} - {y^2}} \,dy}} = 8\pi R\int_{0}^{r}{{\sqrt {{r^2} - {y^2}} \,dy}}\]E'tibor bering, biz integral teng funktsiya bo'lganligi va biz \(\left[ { - r,r} \right]\) orqali integrallashayotganimiz sababli biz pastki chegarani nolga o'zgartirishimiz va integral qiymatini ikki barobarga oshirishimiz mumkinligidan foydalandik. Biz bu haqiqatni yana ko'rdik Aniq integrallarni hisoblash bo'limi.
Endi biz ushbu misolning ikkinchi haqiqatan ham qiyin qismiga yetib keldik. Hozirda bizda mavjud bo'lgan bilim bilan bu integralni amalga oshirish mumkin emas. Bu a deb nomlangan narsani talab qiladi trigni almashtirish va bu Calculus II uchun mavzu. Yaxshiyamki, biz uchun va bu qiyin qism, bu holda biz integrallar haqida bilganimizdan foydalanib, integralning qiymatini aniqlay olamiz.
Bir soniya boshqa muammo haqida o'ylab ko'raylik. Faraz qilaylik, biz \(r\) radiusi doirasining qismi ostidagi va birinchi kvadrantda joylashgan koordinatali koordinata ostidagi maydonni aniqlash uchun integraldan foydalanmoqchi edik. Buni amalga oshirishning bir necha yo'li bor, lekin bu erda qilayotgan ishimizga mos kelish uchun quyidagilarni bajaramiz.
Biz bilamizki, aylananing tenglamasi \({x^2} + {y^2} = {r^2}\) va agar biz \(x\) uchun hal qilsak, birinchi (va to‘rtinchi) kvadrantdagi aylana tenglamasi,
\[x = \sqrt {{r^2} - {y^2}} \]Agar biz birinchi kvadrantdagi maydon uchun integralni istasak, biz bu maydonni \(0 \le y \le r\) uchun \(x = \sqrt {{r^2} - {y^2}} \) egri chizig'i va \(y\) o'qi orasidagi mintaqa sifatida tasavvur qilishimiz mumkin va bu,
\[A = \int_{0}^{r}{{\sqrt {{r^2} - {y^2}} \,dy}}\]Boshqacha qilib aytganda, bu integral \(r\) radiusli aylana maydonining to'rtdan bir qismini ifodalaydi va asosiy geometrik formulalardan biz endi bilamizki, bu integral quyidagi qiymatga ega bo'lishi kerak:
\[A = \int_{0}^{r}{{\sqrt {{r^2} - {y^2}} \,dy}} = \frac{1}{4}\pi {r^2}\]Shunday qilib, bularning barchasini jamlagan holda, torusning hajmi,
\[V = 8R\pi \int_{0}^{r}{{\sqrt {{r^2} - {y^2}} \,dy}} = 8\pi R\left( {\frac{1}{4}\pi {r^2}} \right) = 2R{\pi ^2}{r^2}\]