Asosiy tarkibga o'tish

2.9-bo'lim: Davomiylik

So'nggi bir necha bo'limda biz "etarlicha yaxshi" atamasidan ushbu funktsiyalarni aniqlash uchun foydalandik, biz ushbu nuqtadagi funktsiyani baholash orqali chegaralarni baholashimiz mumkin edi. Endi "etarlicha yaxshi" deganda nimani nazarda tutayotganimizni rasman aniqlash vaqti keldi.

Davomiylikning ta'rifi

\(f\left( x \right)\) funksiyasi deyiladi uzluksiz at \(x = a\) if

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f\left( x \right) = f\left( a \right)\]

Funktsiya \(\left[ {a,b} \right]\) oralig'ida uzluksiz deyiladi, agar u intervalning har bir nuqtasida uzluksiz bo'lsa.

E'tibor bering, bu ta'rif ham \(f\left( a \right)\) va \(\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f\left( x \right)\) mavjudligini bilvosita nazarda tutadi. Agar ulardan biri mavjud bo'lmasa, funktsiya \(x = a\) da uzluksiz bo'lmaydi.

Ushbu ta'rifni quyidagi faktga aylantirish mumkin.

Uzluksiz funksiya chegarasi

Agar \(f\left( x \right)\) \(x = a\) da uzluksiz bo'lsa, u holda,

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f\left( x \right) = f\left( a \right)\hspace{0.5in}\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ - }} f\left( x \right) = f\left( a \right)\hspace{0.5in}\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f\left( x \right) = f\left( a \right)\]

Bu biz birinchi marta qo'ygan haqiqatdir orqaga chegaralarni ko'rib chiqishni boshlaganimizda, bundan mustasno, biz "etarli darajada yoqimli" iborasini davomli bilan almashtirdik.

Nihoyat, "etarlicha yaxshi" deganda nimani nazarda tutayotganimizni bilish juda yoqimli, ammo ta'rif bizga funktsiya uzluksiz bo'lishi nimani anglatishini aytmaydi. Funktsiya uzluksiz bo'lishi nimani anglatishini tushunishimizga yordam berish uchun bir misolni ko'rib chiqaylik.

1-misol Quyida keltirilgan \(f\left( x \right)\) grafigini hisobga olib, \(f\left( x \right)\) \(x = - 2\), \(x = 0\) va \(x = 3\) da uzluksizligini aniqlang.
This is the graph of some unknown function and has two distinct pieces. The first piece is on the range \(x<-2\). It starts at approximately (-4,-2) and increases until it ends at (-2,2) with a closed dot. The second piece starts at (-2,-1) with an open dot and increases until approximately x=1/2, decreases until (3,0) and then increases for the rest of the domain. There is an open dot at (3,0) and closed dots at (0,1) and (3,-1).
Yechim

Har bir nuqta uchun savolga javob berish uchun biz o'sha nuqtadagi chegarani va shu nuqtadagi funktsiya qiymatini olishimiz kerak. Agar ular teng bo'lsa, funktsiya o'sha nuqtada uzluksiz bo'ladi va ular teng bo'lmasa, bu nuqtada funktsiya uzluksiz bo'lmaydi.

Birinchi \(x = - 2\).

\[f\left( { - 2} \right) = 2\hspace{0.5in}\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} f\left( x \right)\,\,\,{\mbox{doesn't exist}}\]

Funktsiya qiymati va chegarasi bir xil emas va shuning uchun funktsiya bu nuqtada uzluksiz emas. Grafikdagi bunday uzilish a deyiladi sakrash uzluksizligi. O'tish uzilishlari, bu grafikda bo'lgani kabi, grafada uzilish bo'lsa va uzilishning har ikki tomoniga funktsiyaning qiymatlari chekli bo'lganda yuzaga keladi (i.e. funktsiya cheksizlikka bormaydi).

Endi \(x = 0\).

\[f\left( 0 \right) = 1\hspace{0.5in}\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = 1\]

Funktsiya bu nuqtada uzluksizdir, chunki funktsiya va limit bir xil qiymatga ega.

Nihoyat \(x = 3\).

\[f\left( 3 \right) = - 1\hspace{0.5in}\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f\left( x \right) = 0\]

Funktsiya bu nuqtada uzluksiz emas. Bunday uzilish a deyiladi olinadigan uzilish. Chiqariladigan uzilishlar - bu holda bo'lgani kabi, grafikda teshik mavjud bo'lganlar.

Ushbu misoldan biz uzluksizlikning tezkor "ishchi" ta'rifini olishimiz mumkin. Grafikni boshidan oxirigacha bir marta qalamni olmasdan chiza olsak, funktsiya intervalda uzluksiz bo'ladi. Oxirgi misoldagi grafikda faqat ikkita uzilish mavjud, chunki biz uni chizishda qalamni olishimiz kerak bo'lgan ikkita joy bor.

Boshqacha qilib aytadigan bo'lsak, funktsiya grafigida hech qanday teshik yoki uzilish bo'lmasa, uzluksizdir.

Ko'pgina funktsiyalar uchun u qaerda doimiy bo'lmasligini aniqlash oson. Nolga bo'linish yoki nolga logarifm kabi narsalar mavjud bo'lganda funktsiyalar uzluksiz bo'lmaydi. Keling, funksiya uzluksizligini aniqlash misolini tez ko'rib chiqaylik.

2-misol Quyidagi funksiya doimiy emasligini aniqlang. \[h\left( t \right) = \frac{{4t + 10}}{{{t^2} - 2t - 15}}\]
Yechim

Ratsional funktsiyalar hamma joyda uzluksiz bo'lib, biz nolga bo'lingan joydan tashqari. Shunday qilib, bizga kerak bo'lgan narsa - bu maxrajning nolga teng ekanligini aniqlash. Buni maxrajni nolga tenglashtirib, yechish orqali aniqlash oson.

\[{t^2} - 2t - 15 = \left( {t - 5} \right)\left( {t + 3} \right) = 0\]

Shunday qilib, funktsiya \(t=-3\) va \(t=5\) da uzluksiz bo'lmaydi.

Davomiylikning yaxshi natijasi quyidagi faktdir.

Funksiya tarkibi chegarasi

Agar \(f\left( x \right)\) \(x = b\) va \(\mathop {\lim }\limits_{x \to a} g\left( x \right) = b\) da uzluksiz bo'lsa, u holda,

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f\left( {g\left( x \right)} \right) = f\left( {\mathop {\lim }\limits_{x \to a} g\left( x \right)} \right)\]

Ushbu faktning isbotini ko'rish uchun qarang Har xil chegaraviy xususiyatlarni isbotlash Qo'shimchalar bo'limidagi bo'lim. Ushbu fakt bilan biz endi quyidagi misol kabi cheklovlarni amalga oshirishimiz mumkin.

3-misol Quyidagi chegarani baholang. \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{\bf{e}}^{\sin x}}\]
Yechim

Ko'rsatkichlar hamma joyda uzluksiz ekanligini bilganimiz uchun yuqoridagi faktdan foydalanishimiz mumkin.

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{\bf{e}}^{\sin x}} = {{\bf{e}}^{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \sin x}} = {{\bf{e}}^0} = 1\]

Davomiylikning yana bir juda yaxshi natijasi bu Oraliq qiymat teoremasi.

Oraliq qiymat teoremasi

Faraz qilaylik, \(f\left( x \right)\) \(\left[ {a,b} \right]\) da uzluksiz bo'lsin va \(M\) \(f\left( a \right)\) va \(f\left( b \right)\) o'rtasidagi istalgan raqam bo'lsin. Keyin \(c\) raqami mavjud, shunday qilib,

  1. \(a < c < b\)
  2. \(f\left( c \right) = M\)

Barcha Oraliq qiymat teoremasi shuni aytadiki, uzluksiz funktsiya \(f\left( a \right)\) va \(f\left( b \right)\) o'rtasidagi barcha qiymatlarni oladi. Quyida oraliq qiymat teoremasini tasvirlaydigan uzluksiz funksiya grafigi keltirilgan.

This is the graph of some unknown function. It starts out increasing and then has a small “wave” in the middle where it decreases for a little bit before continuing to increase for the rest of the domain. There is a horizontal dashed line at \(y=M\) that intersects the graph three times in the range \(a<x<b\).

Ushbu rasmdan ko'rinib turibdiki, agar biz \(M\) qiymatini tanlasak, ya'ni \(f\left( a \right)\) qiymati va \(f\left( b \right)\) qiymati o'rtasida bo'lsak va shu nuqtadan to'g'ridan-to'g'ri chiziq chizsak, chiziq kamida bitta nuqtada grafaga tegadi. Boshqacha qilib aytganda, \(a\) va \(b\) oralig'ida funktsiya \(M\) qiymatini oladi. Bundan tashqari, rasmda ko'rsatilganidek, funktsiya bir nechta joyda qiymat olishi mumkin.

Shuni ham ta'kidlash kerakki, Oraliq qiymat teoremasi faqat funktsiya \(M\) qiymatini \(a\) va \(b\) oralig'ida olishini aytadi. Bu qiymat nima bo'lishini aytmaydi. U faqat borligini aytadi.

Shunday qilib, Oraliq qiymat teoremasi funktsiya \(M\) qiymatini \(a\) va \(b\) oralig'ida olishini aytadi, lekin u qayerda qiymat olishini va qancha marta qiymat olishini aytmaydi. Bu oraliq qiymat teoremasi haqida eslash kerak bo'lgan muhim g'oyalar.

Oraliq qiymat teoremasidan yaxshi foydalanish quyidagi misolda ko'rsatilganidek, tenglamalar ildizlarining mavjudligini isbotlashdir.

4-misol \(p\left( x \right) = 2{x^3} - 5{x^2} - 10x + 5\) ning \(\left[ { - 1,2} \right]\) oralig'ida bir joyda ildiz borligini ko'rsating.
Yechim

Bu erda biz haqiqatan ham so'rayapmiz, bu funktsiya qiymat oladimi yoki yo'qmi

\[p\left( x \right) = 0\]

-1 dan 2 gacha bo'lgan joyda. Boshqacha qilib aytganda, biz \( - 1 < c < 2\) va \(p\left( c \right) = 0\) kabi \(c\) raqami borligini ko'rsatmoqchimiz. Biroq, agar biz \(M = 0\) ni aniqlasak va \(a = - 1\) va \(b = 2\) ni tan olsak, \(c\) dagi bu ikki shart aynan Oraliq qiymat teoremasining xulosalari ekanligini ko'rishimiz mumkin.

Shunday qilib, bu muammo Oraliq qiymat teoremasidan foydalanish uchun tuzilgan va aslida biz qilishimiz kerak bo'lgan yagona narsa funktsiya uzluksiz ekanligini va \(M = 0\) \(p\left( { - 1} \right)\) va \(p\left( 2 \right)\) o'rtasida ekanligini ko'rsatishdir (i.e. \(p\left( { - 1} \right) < 0 < p\left( 2 \right)\) yoki \(p\left( 2 \right) < 0 < p\left( { - 1} \right)\) va biz tugatamiz.

Buning uchun biz qilishimiz kerak bo'lgan yagona narsa hisoblash,

\[p\left( { - 1} \right) = 8\hspace{0.5in}\hspace{0.25in}p\left( 2 \right) = - 19\]

Demak, bizda bor,

\[ - 19 = p\left( 2 \right) < 0 < p\left( { - 1} \right) = 8\]

Shuning uchun \(M = 0\) \(p\left( { - 1} \right)\) va \(p\left( 2 \right)\) o'rtasida va \(p\left( x \right)\) ko'phad bo'lgani uchun u hamma joyda uzluksiz va ayniqsa \([-1,2]\) oralig'ida uzluksizdir. Shunday qilib, Oraliq qiymat teoremasi bo'yicha \( - 1 < c < 2\) raqami bo'lishi kerak, shuning uchun,

\[p\left( c \right) = 0\]

Shuning uchun polinomning ildizi -1 va 2 orasida bo'ladi.

To'liqlik uchun bu erda biz allaqachon isbotlagan ildizni ko'rsatadigan grafik mavjud. E'tibor bering, biz ildizni topish uchun kompyuter dasturidan foydalanganmiz va Oraliq qiymat teoremasi bu qiymat nima ekanligini aytmagan.

This is the graph of \(p\left( x \right)=2{{x}^{3}}-5{{x}^{2}}-10x+5\) on the range \(-1<x<2\). It is a mostly decreasing curve over this domain and passes through the x-axis at x=0.4250308562.

Oraliq qiymat teoremasining yana bir misolini ko'rib chiqaylik.

5-misol Iloji bo'lsa, \(f\left( x \right) = 20\sin \left( {x + 3} \right)\cos \left( {\frac{{{x^2}}}{2}} \right)\) \([0,5]\) oralig'ida quyidagi qiymatlarni oladimi yoki yo'qligini aniqlang.
  1. \(f\left( x \right) = 10\) bormi?
  2. \(f\left( x \right) = - 10\) bormi?
Munozarani ko'rsatish

Xo'sh, avvalgi misoldagi kabi, agar iloji bo'lsa, funktsiya [0,5] oralig'ida yuqoridagi ikkita qiymatdan birini oladimi yoki yo'qligini aniqlashimiz so'raladi. Birinchidan, bu uzluksiz funktsiya ekanligini ta'kidlaymiz va shuning uchun biz ushbu muammoni hal qilish uchun O'rta qiymat teoremasidan foydalanishimiz mumkinligini bilamiz.

Endi har bir qism uchun biz \(M\) ni ushbu qism uchun berilgan qiymat bo'lishiga ruxsat beramiz va keyin \(M\) \(f\left( 0 \right)\) va \(f\left( 5 \right)\) o'rtasida yashashini ko'rsatishimiz kerak. Agar shunday bo'lsa, funksiya berilgan qiymatni olishini isbotlash uchun Oraliq qiymat teoremasidan foydalanishimiz mumkin.

Shunday qilib, har bir qism uchun ikkita funktsiyani baholash kerak bo'lganligi sababli, ularni bu erda beramiz,

\[f\left( 0 \right) = 2.8224\hspace{0.5in}\hspace{0.25in}f\left( 5 \right) = 19.7436\]

Keling, har bir qismni ko'rib chiqaylik.


a \(f\left( x \right) = 10\) bormi? Yechim

OK, bu holda biz \(M = 10\) ni aniqlaymiz va buni ko'rishimiz mumkin,

\[f\left( 0 \right) = 2.8224 < 10 < 19.7436 = f\left( 5 \right)\]

Shunday qilib, Oraliq qiymat teoremasi bo'yicha \(0 \le c \le 5\) raqami bo'lishi kerak

\[f\left( c \right) = 10\]

b \(f\left( x \right) = - 10\) bormi? Yechim

Ushbu qismda biz \(M = - 10\) ni aniqlaymiz. Endi bizda muammo bor. Ushbu qismda \(M\) \(f\left( 0 \right)\) va \(f\left( 5 \right)\) o'rtasida yashamaydi. Xo'sh, bu biz uchun nimani anglatadi? Bu \([0,5]\) da \(f\left( x \right) \ne - 10\) deganimi?

Afsuski, biz uchun bu hech narsani anglatmaydi. \([0,5]\) da \(f\left( x \right) \ne - 10\) bo'lishi mumkin, lekin \([0,5]\) da \(f\left( x \right) = - 10\) ham bo'lishi mumkinmi? Oraliq qiymat teoremasi bizga faqat \(c\) mavjudligini aytadi. Teorema bizga \(c\) mavjud emasligini aytmaydi.

Bu holda Oraliq qiymat teoremasidan foydalanib \([0,5]\) da \(f\left( x \right) = - 10\) ekanligini aniqlash mumkin emas.

Oldingi misolda ko'rsatilgandek, O'rta qiymat teoremasi har doim ham biz bilmoqchi bo'lgan narsalarni aytib bera olmaydi. Ba'zan biz undan funktsiya ma'lum bir oraliqda qandaydir qiymat olishini tekshirish uchun foydalanishimiz mumkin va boshqa hollarda biz uni ishlata olmaymiz.

To'liqlik uchun bu erda [0,5] oraliqda \(f\left( x \right) = 20\sin \left( {x + 3} \right)\cos \left( {\frac{{{x^2}}}{2}} \right)\) grafigi keltirilgan.

This is the graph of \(f\left( x \right)=20\sin \left( x+3 \right)\cos \left( \frac{{{x}^{2}}}{2} \right)\) on the range \(0<x<5\). The graph is a complicated wave from with several peaks and valleys all at different heights. Illustrated on the graph is that the graph will have a value of 10 at three places and a value of -10 at four places.

Bu grafikdan biz faqat [0,5] da \(f\left( x \right) = - 10\) emas, balki jami 4 marta bajarishini ko'rishimiz mumkin! Shuni ham yodda tutingki, biz oldingi \(f\left( x \right) = 10\) misolining birinchi qismida [0,5] da tekshirganimizdek va aslida u buni jami 3 marta qiladi.

Shunday qilib, esda tutingki, Oraliq qiymat teoremasi faqat funktsiya berilgan qiymatni olishini tekshiradi. Bu funktsiya tomonidan qabul qilinadigan qiymatni hech qachon istisno qilmaydi. Bundan tashqari, agar funktsiyaning qiymat olishini tekshirish uchun Oraliq qiymat teoremasidan foydalana olsak, u bizga hech qachon funktsiya necha marta qiymat olishini aytmaydi, faqat u qiymatni qabul qilishini aytadi.