15.8-bo'lim: O'zgaruvchilarning o'zgarishi
Calculus I da bizda almashtirish qoidasi bor edi, bu bizga shuni aytdi:
\[\int_{{\,a}}^{{\,b}}{{f\left( {g\left( x \right)} \right)\,g'\left( x \right)\,dx}} = \int_{{\,c}}^{{\,d}}{{f\left( u \right)\,du}}\hspace{0.25in}{\mbox{where }}u = g\left( x \right)\]Aslida, bu \(x\) nuqtai nazaridan integralni oladi va uni \(u\) shartlariga o'zgartiradi. Ikki va uch karrali integrallar uchun shunga o'xshash narsalarni qilmoqchimiz. Aslida, biz qo'sh integrallarni qutbli koordinatalarga aylantirganimizda va uch karrali integralni silindrsimon yoki sferik koordinatalarga aylantirganimizda, biz buni ma'lum darajada bajarganmiz. Asosiy farq shundaki, biz formulalar qayerdan kelganligi haqidagi tafsilotlarni ko'rib chiqmadik. Esingizda bo'lsa, ushbu holatlarning har birida biz \(dA\) va \(dV\) formulalarini oxir-oqibat oqlashimizni izohlagan edik. Endi buni oqlash vaqti keldi.
Ko'pincha o'zgaruvchilarni o'zgartirishning sababi bizni yangi o'zgaruvchilar bilan bajarishimiz mumkin bo'lgan integral olish bo'lsa-da, o'zgaruvchilarni o'zgartirishning yana bir sababi mintaqani ishlash uchun qulayroq mintaqaga aylantirishdir. Biz qutbli, silindrsimon yoki sferik koordinatalarni o'zgartirganimizda, biz bu o'zgarish haqida tashvishlanmadik, chunki berilgan mintaqa asosida yangi chegaralarni aniqlash oson edi. Biroq, bu har doim ham shunday emas. Shunday qilib, bir nechta integralli o'zgaruvchilarni o'zgartirishga o'tishdan oldin, birinchi navbatda o'zgaruvchilarning o'zgarishi bilan mintaqa qanday o'zgarishi mumkinligini ko'rishimiz kerak.
Birinchidan, bizga biroz terminologiya/notatsiya kerak. O'zgaruvchilarning o'zgarishini aniqlaydigan tenglamalarni a deb ataymiz transformatsiya. Shuningdek, biz odatda \(xy\) koordinatalarida \(R\) mintaqasidan boshlaymiz va uni \(uv\) koordinatalarida mintaqaga aylantiramiz.
- \(R\) - bu \({x^2} + \frac{{{y^2}}}{{36}} = 1\) ellipsi va transformatsiya - \(x = \frac{u}{2}\), \(y = 3v\).
- \(R\) - \(y = - x + 4\), \(y = x + 1\) va \(\displaystyle y = \frac{x}{3} - \frac{4}{3}\) bilan chegaralangan mintaqa va transformatsiya \(\displaystyle x = \frac{1}{2}\left( {u + v} \right)\), \(\displaystyle y = \frac{1}{2}\left( {u - v} \right)\).
a \(R\) - bu \({x^2} + \frac{{{y^2}}}{{36}} = 1\) ellipsi va transformatsiya - \(x = \frac{u}{2}\), \(y = 3v\). Yechim
Transformatsiyani ellips uchun tenglamaga qo'shish va biz nimaga erishganimizni ko'rishdan boshqa bu bilan juda ko'p ish yo'q.
\[\begin{align*}{\left( {\frac{u}{2}} \right)^2} + \frac{{{{\left( {3v} \right)}^2}}}{{36}} & = 1\\ \frac{{{u^2}}}{4} + \frac{{9{v^2}}}{{36}} & = 1\\ {u^2} + {v^2} & = 4\end{align*}\]Shunday qilib, biz ellipsdan boshladik va transformatsiyadan so'ng bizda 2 radiusli disk paydo bo'ldi.
b \(R\) - \(y = - x + 4\), \(y = x + 1\) va \(\displaystyle y = \frac{x}{3} - \frac{4}{3}\) bilan chegaralangan mintaqa va transformatsiya \(\displaystyle x = \frac{1}{2}\left( {u + v} \right)\), \(\displaystyle y = \frac{1}{2}\left( {u - v} \right)\). Yechim
Birinchi qismda bo'lgani kabi, biz transformatsiyani tenglamaga kiritishimiz kerak, ammo bu holda biz buni uch marta, har bir tenglama uchun bir marta bajarishimiz kerak bo'ladi. Buni qilishdan oldin, keling, mintaqaning grafigini chizamiz va bizda nima borligini ko'rib chiqamiz.
Shunday qilib, bizda uchburchak bor. Keling, transformatsiyadan o'tamiz. Biz transformatsiyani uchburchakning har bir chetiga qo'llaymiz va qayerga erishganimizni ko'ramiz.
Avval \(y = - x + 4\) ni bajaramiz. Transformatsiyani ulash,
\[\begin{align*}\frac{1}{2}\left( {u - v} \right) & = - \frac{1}{2}\left( {u + v} \right) + 4\\ u - v & = - u - v + 8\\ 2u & = 8\\ u & = 4\end{align*}\]Birinchi chegara juda chiroyli tarzda ancha sodda tenglamaga aylanadi.
Endi \(y = x + 1\) ni ko'rib chiqaylik,
\[\begin{align*}\frac{1}{2}\left( {u - v} \right) & = \frac{1}{2}\left( {u + v} \right) + 1\\ u - v & = u + v + 2\\ - 2v & = 2\\ v & = - 1\end{align*}\]Yana, biz boshlaganimizdan ancha yaxshi tenglama.
Va nihoyat, \(y = \frac{x}{3} - \frac{4}{3}\) ni o'zgartiramiz.
\[\begin{align*}\frac{1}{2}\left( {u - v} \right) & = \frac{1}{3}\left( {\frac{1}{2}\left( {u + v} \right)} \right) - \frac{4}{3}\\ 3u - 3v & = u + v - 8\\ 4v & = 2u + 8\\ v & = \frac{u}{2} + 2\end{align*}\]Shunday qilib, yana bir oz soddaroq tenglamaga ega bo'ldik, garchi birinchi ikkitasi kabi unchalik yoqimli bo'lmasa ham.
Keling, o'zgartirilayotgan yangi mintaqani ko'rib chiqaylik.
Biz hali ham uchburchakni olamiz, lekin juda yaxshi.
Shuni yodda tutingki, biz har doim ham ma'lum bir mintaqa turini (masalan, uchburchak) bir xil turdagi mintaqaga aylantirishni kuta olmaymiz. Uchburchakni har bir cheti egilgan va hech qanday tarzda uchburchakka o'xshamaydigan hududga aylantirish mumkin.
E'tibor bering, yuqoridagi misollarning har birida biz integratsiya qilish biroz qiyin bo'lgan ikki o'lchovli mintaqani oldik va uni integratsiyalashganda ancha yaxshi bo'ladigan mintaqaga aylantirdik. Ushbu misollar to'plamining boshida ta'kidlaganimizdek, bu ko'pincha transformatsiya ortida turgan nuqtalardan biridir. Integrandni oddiyroq narsaga aylantirish bilan bir qatorda, u ko'pincha mintaqani engish osonroq bo'lgan hududga aylantiradi.
Keyingi mavzuga o'tishdan oldin yana bir masalaga to'xtalib o'tamiz. Vaqti-vaqti bilan biz transformatsiyadan olingan har bir yangi tenglama uchun \(u\) va/yoki \(v\) diapazonini bilishimiz kerak bo'ladi. Yuqoridagi ikkita misol uchun bizga bu kerak emas edi va bu bizga tez-tez kerak bo'ladigan narsa emas. Biroq, u ba'zan yangi mintaqani aniqlashda yordam berishi mumkin.
Shunday qilib, keling, buni qanday qilishimizni ko'rish uchun tez misol bilan ishlaylik.
Yechim
Yaxshi, biz yangi mintaqa qanday ko'rinishini va oldingi misoldan yangi tenglamalar qanday ekanligini allaqachon bilamiz. Shunday qilib, bu erda dastlabki tenglamalarning har birining o'zgarishini tez ko'rib chiqamiz.
\[\begin{align*} & y = - x + 4& \Rightarrow & \hspace{0.25in}u = 4\\ & y = x + 1& \Rightarrow & \hspace{0.25in}v = - 1\\ & y = \frac{x}{3} - \frac{4}{3}& \Rightarrow & \hspace{0.25in}v = \frac{u}{2} + 2\end{align*}\]Mana, biz o'zgartirilayotgan yangi hudud.
E'tibor bering, bu holda biz yuqoridagi eskizdan har bir tenglama uchun \(u\) va \(v\) diapazonini aniqlashimiz mumkin. Biroq, bizga diapazonlar kerak bo'lishi mumkin bo'lgan hollarda, odatda variant emas, chunki yangi hududning aniq eskizini olish uchun bizga \(u\) va/yoki \(v\) diapazonlari kerak bo'ladi.
Shunday qilib, endi muammoni hal qilishni boshlaylik.
\(u = 4\) tenglamasidan boshlaylik. Birinchidan, bu erda bizga \(u\) diapazoni kerak emas, chunki tenglama bizda \(u\) ning yagona qiymati borligini aniq ko'rsatadi, ya'ni \(u = 4\). Shunday qilib, biz olishimiz kerak bo'lgan \(v\) diapazonini aniqlaylik.
Keling, \(x\) transformatsiyasidan boshlaylik va ushbu tenglama uchun \(u\) ning ma'lum qiymatini kiritamiz. Bu beradi,
\[x = \frac{1}{2}\left( {u + v} \right) = \frac{1}{2}\left( {4 + v} \right)\]Endi biz \(y = - x + 4\) asl tenglama uchun \(x\) diapazoni \(\frac{3}{2} \le x \le 4\) ekanligini bilamiz. Biz \(x\) ning \(v\) nuqtai nazaridan nima ekanligini ham yuqoridan bilamiz, shuning uchun uni ushbu diapazonga ulang va quyidagi tarzda bir oz manipulyatsiya qiling:
\[\begin{array}{c}\displaystyle \frac{3}{2} \le x \le 4\\\displaystyle \frac{3}{2} \le \frac{1}{2}\left( {4 + v} \right) \le 4\\ 3 \le 4 + v \le 8\\ - 1 \le v \le 4\end{array}\]Shunday qilib, \(u = 4\) uchun \(v\) diapazoni \( - 1 \le v \le 4\) bo'lishi kerak, bu biz yangi mintaqa grafigidan kutgan narsaga juda mos keladi.
E'tibor bering, biz \(y\) transformatsiyasini va \(y\) diapazonini asl tenglama uchun osongina ishlatishimiz va bir xil natijaga erishishimiz mumkin edi.
Mayli, endi \(v = - 1\)-ga o'tamiz va biz bu qism uchun unchalik ko'p izoh bermaymiz.
Birinchidan, buning uchun bizga \(v\) diapazoni kerak emas, chunki bizda faqat bitta \(v\) qiymati bor. Shunday qilib, \(u\) diapazonini olish uchun yana \(x\) transformatsiyasidan boshlaylik, unga \(v = - 1\) ni ulang va keyin \(y = x + 1\) asl tenglamasidan \(x\) diapazonidan foydalaning.
Mana o'sha ish.
\[\begin{array}{c}\displaystyle - \frac{7}{2} \le x \le \frac{3}{2}\\ \displaystyle - \frac{7}{2} \le \frac{1}{2}\left( {u - 1} \right) \le \frac{3}{2}\\ - 7 \le u - 1 \le 3\\ - 6 \le u \le 4\end{array}\]Shunday qilib, \(v = - 1\) uchun \(u\) diapazoni \( - 6 \le u \le 4\) bo'lib, u yana biz grafikda ko'rgan narsalarga mos keladi. Shuni ham yodda tutingki, biz yana bir bor bu ishni bajarish uchun \(y\) diapazonlaridan foydalanishimiz mumkin edi.
Va nihoyat, \(v = \frac{u}{2} + 2\) uchun \(u\) va \(v\) diapazonini topamiz. Bu safar keling, \(y\) transformatsiyasidan foydalanamiz, shuning uchun biz ulardan birida foydalandik. Shunday qilib, biz \(y = \frac{x}{3} - \frac{4}{3}\) asl tenglama uchun \(y\) diapazonidan boshlaymiz, \(y\) transformatsiyasini ulang va keyin \(v\) uchun ulang. Buni qilish,
\[\begin{array}{c} \displaystyle - \frac{5}{2} \le y \le 0\\ \displaystyle - \frac{5}{2} \le \frac{1}{2}\left( {u - \left( {\frac{u}{2} + 2} \right)} \right) \le 0\\ \displaystyle - 5 \le \frac{u}{2} - 2 \le 0\\ \displaystyle - 3 \le \frac{u}{2} \le 2\\ - 6 \le u \le 4\end{array}\]Shunday qilib, biz yana grafikdan olishni kutayotgan \(u\) diapazonini olamiz. Ularga ega bo'lganimizdan so'ng, \(v\) ning tegishli diapazonini tenglamaning o'zidan quyidagicha topish mumkin,
\[\begin{array}{c} \displaystyle - 6 \le u \le 4\\ - 3 \le \frac{u}{2} \le 2\\ \displaystyle - 1 \le \frac{u}{2} + 2 \le 4\\ - 1 \le v \le 4\end{array}\]Asosan, \(u\) diapazonidan boshlang va tomon uchun tenglamani “yaratamiz” va biz bu tomon uchun \(v\) diapazonini olamiz.
Shunday qilib, biz endi transformatsiya ostidagi yangi tenglamalar uchun \(u\) va/yoki \(v\) diapazonlarini qanday olishni bilamiz. Biroq, bu juda tez-tez bajariladigan narsa emas, lekin biror joyda paydo bo'ladigan bo'lsa, bu foydali mahoratdir.
Endi biz mintaqalarni o'zgartirishning bir nechta misollarini ko'rganimizdan so'ng, biz integraldagi o'zgaruvchilarni qanday o'zgartirishimiz haqida gapirishimiz kerak. Biz qo'sh integrallardan boshlaymiz. Ikki tomonlama integraldagi o'zgaruvchilarni o'zgartirish uchun bizga kerak bo'ladi yakobiy transformatsiyadan. Bu erda Yakobiyning ta'rifi.
Yakobiyning ta'rifi
yakobiy transformatsiyasining \(x = g\left( {u,v} \right)\), \(y = h\left( {u,v} \right)\) hisoblanadi
\[\frac{{\partial \left( {x,y} \right)}}{{\partial \left( {u,v} \right)}} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ \displaystyle \frac{{\partial x}}{{\partial u}}}&{ \displaystyle \frac{{\partial x}}{{\partial v}}}\\{ \displaystyle \frac{{\partial y}}{{\partial u}}}& \displaystyle {\frac{{ \partial y}}{{\partial v}}}\end{array}} \right|\]Yakobiy 2x2 matritsaning determinanti sifatida aniqlanadi, agar siz bu bilan tanish bo'lmasangiz, bu yaxshi. Bu erda determinantni qanday hisoblash mumkin.
\[\left| {\begin{array}{*{20}{c}}a&b\\c&d\end{array}} \right| = ad - bc\]Shuning uchun determinantning boshqa formulasi:
\[\frac{{\partial \left( {x,y} \right)}}{{\partial \left( {u,v} \right)}} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ \displaystyle \frac{{\partial x}}{{\partial u}}}&\displaystyle {\frac{{\partial x}}{{\partial v}}}\\{ \displaystyle \frac{{\partial y}}{{\partial u}}}&{ \displaystyle \frac{{\partial y}}{{\partial v}}}\end{array}} \right| = \frac{{\partial x}}{{\partial u}}\frac{{\partial y}}{{\partial v}} - \displaystyle \frac{{\partial x}}{{\partial v}}\frac{{\partial y}}{{\partial u}}\]Endi bizda Yakobiy yo'ldan chiqdi, biz qo'sh integral uchun o'zgaruvchilarni o'zgartirish formulasini berishimiz mumkin.
Ikki tomonlama integral uchun o'zgaruvchilarning o'zgarishi
Aytaylik, biz \(f\left( {x,y} \right)\) ni \(R\) hududiga integratsiya qilmoqchimiz. \(x = g\left( {u,v} \right)\), \(y = h\left( {u,v} \right)\) transformatsiyasi ostida mintaqa \(S\) ga aylanadi va integral,
\[\iint\limits_{R}{{f\left( {x,y} \right)\,dA}} = \iint\limits_{S}{{f\left( {g\left( {u,v} \right),h\left( {u,v} \right)} \right)\left| {\frac{{\partial \left( {x,y} \right)}}{{\partial \left( {u,v} \right)}}} \right|\,d\overline{A}}}\]E'tibor bering, biz yuqoridagi \(u\)/\(v\) integralida \(d\overline{A}\) dan foydalanamiz, chunki u \(du\) va \(dv\) nuqtai nazaridan bo'ladi, biz \(dx\) va MA38BLOCK we38BLOCK 91 uchun ishlatilganda emas, balki ikkita yagona integralga aylantiramiz. Bu faqat shartli va biz odatda ikkalasi uchun ham \(dA\) dan foydalanamiz va faqat “yangi” \(dA\) \(du\) va \(dv\) nuqtai nazaridan ekanligini yodda tuting.
Shuni ham yodda tutingki, biz Yakobiyning mutlaq qiymatini olamiz.
Yuqoridagi formuladagi farqlarga qarasak, buni ham aytishimiz mumkin
\[dA = \left| {\frac{{\partial \left( {x,y} \right)}}{{\partial \left( {u,v} \right)}}} \right|\,d\overline{A}\]Yechim
Shunday qilib, biz bu erda nima qilyapmiz, biz integratsiyalashganda ishlatgan formulamizni oqlashdir qutb koordinatalari. Bizga faqat \(dA\) uchun yuqoridagi formuladan foydalanish kerak.
Bu erda o'zgartirish standart konversiya formulalari,
\[x = r\cos \theta \hspace{0.25in}\hspace{0.25in}y = r\sin \theta \]Ushbu o'zgarish uchun yakobiy,
\[\begin{align*}\frac{{\partial \left( {x,y} \right)}}{{\partial \left( {r,\theta } \right)}} & = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\displaystyle \frac{{\partial x}}{{\partial r}}}&{\displaystyle \frac{{\partial x}}{{\partial \theta }}}\\\displaystyle {\frac{{\partial y}}{{\partial r}}}&\displaystyle {\frac{{\partial y}}{{\partial \theta }}}\end{array}} \right|\\ & = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos \theta }&{ - r\sin \theta }\\{\sin \theta }&{r\cos \theta }\end{array}} \right|\\ & = r{\cos ^2}\theta - \left( { - r{{\sin }^2}\theta } \right)\\ & = r\left( {{{\cos }^2}\theta + {{\sin }^2}\theta } \right)\\ & = r\end{align*}\]Keyin olamiz,
\[dA = \left| {\frac{{\partial \left( {x,y} \right)}}{{\partial \left( {r,\theta } \right)}}} \right|\,dr\,d\theta = \left| r \right|dr\,d\theta = r\,dr\,d\theta \]Demak, qutbli integrallar bo‘limida qo‘llagan formulamiz to‘g‘ri edi.
Keling, bir nechta integrallarni bajaramiz.
Yechim
Birinchidan, \(R\) hududini chizamiz va tomonlarning har biri uchun tenglamalarni aniqlaymiz.
Tenglamalarning har biri har bir chiziqda ikkita nuqtani bilishimizdan foydalanib topildi (i.e. qirrasini tashkil etuvchi ikkita cho'qqi).
Biz bu integralni \(x\) va \(y\) nuqtai nazaridan bajarishimiz mumkin bo'lsa-da, u ikkita integralni o'z ichiga oladi va shuning uchun biroz ish bo'lar edi.
Keling, transformatsiyadan foydalanamiz va biz nimaga erishamiz. Biz buni yuqoridagi tenglamalarning har biriga o'zgartirishni kiritish orqali qilamiz.
Jarayonni \(y = x\) bilan boshlaylik.
\[\begin{align*}2u - 3v & = 2u + 3v\\ 6v & = 0\\ v & = 0\end{align*}\]\(y = - x\) konvertatsiyasi shunga o'xshash.
\[\begin{align*}2u - 3v & = - \left( {2u + 3v} \right)\\ 4u & = 0\\ u & = 0\end{align*}\]Keyinchalik, biz \(y = - x + 5\) ni o'zgartiramiz.
\[\begin{align*}2u - 3v & = - \left( {2u + 3v} \right) + 5\\ 4u & = 5\\ u & = \frac{5}{4}\end{align*}\]Va nihoyat, \(y = x - 5\) ni o'zgartiramiz.
\[\begin{align*}2u - 3v & = 2u + 3v - 5\\ - 6v & = - 5\\ v & = \frac{5}{6}\end{align*}\]\(S\) mintaqasi to'rtburchak bo'lib, tomonlari \(u = 0\), \(v = 0\), \(u = \frac{5}{4}\) va \(v = \frac{5}{6}\) tomonidan berilgan va shuning uchun \(u\) va \(v\) diapazonlari,
\[0 \le u \le \frac{5}{4}\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}0 \le v \le \frac{5}{6}\]Keyin bizga yakobiy kerak.
\[\frac{{\partial \left( {x,y} \right)}}{{\partial \left( {u,v} \right)}} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&3\\2&{ - 3}\end{array}} \right| = - 6 - 6 = - 12\]U holda integral,
\[\begin{align*}\iint\limits_{R}{{x + y\,dA}} & = \int_{{\,0}}^{{\,\frac{5}{6}}}{{\int_{{\,0}}^{{\,\frac{5}{4}}}{{\left( {\left( {2u + 3v} \right) + \left( {2u - 3v} \right)} \right)\left| { - 12} \right|}}\,d\overline{A}}}\\ & = \int_{{\,0}}^{{\,\frac{5}{6}}}{{\int_{{\,0}}^{{\,\frac{5}{4}}}{{48u}}\,d\overline{A}}}\\ & = \int_{{\,0}}^{{\,\frac{5}{6}}}{{\left. {24{u^2}} \right|_0^{\frac{5}{4}}\,dv}}\\ & = \int_{{\,0}}^{{\,\frac{5}{6}}}{{\frac{{75}}{2}\,dv}}\\ & = \left. {\frac{{75}}{2}v} \right|_0^{\frac{5}{6}}\\ & = \frac{{125}}{4}\end{align*}\]Yechim
Ushbu muammoni hal qilishdan oldin. \(R\) hududi chegarasining tezkor grafigini tuzamiz. Biz bu ellips ekanligini da'vo qildik, ammo "standart" shaklda emasligi aniq. Mana \(R\) chegarasi.
Demak, bu ellips bo'lib, biz o'rganib qolgan \(x\) va \(y\) o'qlariga nisbatan simmetrik emas, balki burchak ostida joylashgan.
Shuni ham yodda tutingki, biz \(R\)-ni “aniqlash”da “\( \le 2\)” dan foydalanganmiz va biz \(R\) uchun haqiqiy ellipsning o‘zi va ellipsning ichki qismidan foydalanayotganimizni aniq ko‘rsatish uchun foydalandik.
OK, muammoni hal qilaylik.
Birinchi narsa, mintaqa nimaga aylanishini ko'rish uchun konvertatsiyani ellips uchun tenglamaga qo'shishdir.
\[\begin{align*}2 & = {x^2} - xy + {y^2}\\ & = {\left( {\sqrt 2 \,u - \sqrt {\frac{2}{3}} \,v} \right)^2} - \left( {\sqrt 2 \,u - \sqrt {\frac{2}{3}} \,v} \right)\left( {\sqrt 2 \,u + \sqrt {\frac{2}{3}} \,v} \right) + {\left( {\sqrt 2 \,u + \sqrt {\frac{2}{3}} \,v} \right)^2}\\ & = 2{u^2} - \frac{4}{{\sqrt 3 }}uv + \frac{2}{3}{v^2} - \left( {2{u^2} - \frac{2}{3}{v^2}} \right) + 2{u^2} + \frac{4}{{\sqrt 3 }}uv + \frac{2}{3}{v^2}\\ & = 2{u^2} + 2{v^2}\end{align*}\]Yoki 2 ga bo'linganda \(R\) ni tavsiflovchi tenglama ga aylanishini ko'ramiz.
\[{u^2} + {v^2} = 1\]yoki birlik doirasi. Shunga qaramay, bu asl mintaqaga qaraganda integratsiya qilish ancha oson bo'ladi.
Shuni ham yodda tutingki, biz integratsiya qilayotgan funksiya ekanligini ko'rsatdik
\[{x^2} - xy + {y^2} = 2\left( {{u^2} + {v^2}} \right)\]\(u\) va \(v\) nuqtai nazaridan, biz integralni bajarish vaqti kelganda bu ishni qayta bajarishimiz shart emas.
Nihoyat, biz Yakobiyni topishimiz kerak.
\[\frac{{\partial \left( {x,y} \right)}}{{\partial \left( {u,v} \right)}} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\sqrt 2 }&{ - \sqrt {\frac{2}{3}} }\\{\sqrt 2 }&{\sqrt {\frac{2}{3}} }\end{array}} \right| = \frac{2}{{\sqrt 3 }} + \frac{2}{{\sqrt 3 }} = \frac{4}{{\sqrt 3 }}\]U holda integral,
\[\iint\limits_{R}{{{x^2} - xy + {y^2}\,dA}} = \iint\limits_{S}{{2\left( {{u^2} + {v^2}} \right)\left| {\frac{4}{{\sqrt 3 }}} \right|\,du\,dv}}\]Davom etishdan oldin ehtiyot bo'lish kerak. Integrand o'rniga \({x^2} - xy + {y^2} = 2\) yoki \({u^2} + {v^2} = 1\) o'rniga xato qilmang. Bu tenglamalar faqat mintaqa chegarasida amal qiladi va biz chegaraning ichki qismidagi barcha nuqtalarni ham ko'rib chiqamiz va bu nuqtalar uchun bu tenglamalarning hech biri to'g'ri bo'lmaydi!
Shu nuqtada shuni ta'kidlaymizki, bu integral qutb koordinatalari nuqtai nazaridan ancha oson bo'ladi va shuning uchun integralni tugatish qutb koordinatalariga aylanadi.
\[\begin{align*}\iint\limits_{R}{{{x^2} - xy + {y^2}\,dA}} & = \iint\limits_{S}{{2\left( {{u^2} + {v^2}} \right)\left| {\frac{4}{{\sqrt 3 }}} \right|\,du\,dv}}\\ & = \frac{8}{{\sqrt 3 }}\int_{{\,0}}^{{\,2\pi }}{{\int_{{\,0}}^{{\,1}}{{\left( {{r^2}} \right)r\,dr}}\,d\theta }}\\ & = \frac{8}{{\sqrt 3 }}\int_{0}^{{2\pi }}{{\left. {\frac{1}{4}{r^4}} \right|_0^1\,d\theta }}\\ & = \frac{8}{{\sqrt 3 }}\int_{0}^{{2\pi }}{{\frac{1}{4}\,d\theta }}\\ & = \frac{{4\pi }}{{\sqrt 3 }}\end{align*}\]Endi uch karrali integrallarni qisqacha ko'rib chiqamiz. Bu holda biz yana \(R\) mintaqasidan boshlaymiz va mintaqani yangi \(S\) hududiga aylantirish uchun \(x = g\left( {u,v,w} \right)\), \(y = h\left( {u,v,w} \right)\) va \(z = k\left( {u,v,w} \right)\) transformatsiyasidan foydalanamiz. Integralni bajarish uchun bizga xuddi qo'sh integrallar bilan bo'lgani kabi yakobiy kerak bo'ladi. Mana bu turdagi transformatsiya uchun Yakobiyning ta'rifi.
\[\frac{{\partial \left( {x,y,z} \right)}}{{\partial \left( {u,v,w} \right)}} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ \displaystyle \frac{{\partial x}}{{\partial u}}}& \displaystyle {\frac{{\partial x}}{{\partial v}}}& \displaystyle {\frac{{\partial x}}{{\partial w}}}\\ \displaystyle {\frac{{\partial y}}{{\partial u}}}& \displaystyle {\frac{{\partial y}}{{\partial v}}}& \displaystyle {\frac{{\partial y}}{{\partial w}}}\\ \displaystyle{\frac{{\partial z}}{{\partial u}}}& \displaystyle {\frac{{\partial z}}{{\partial v}}}& \displaystyle {\frac{{\partial z}}{{\partial w}}}\end{array}} \right|\]Bu holda Yakobiy 3x3 matritsaning determinanti nuqtai nazaridan aniqlanadi. Biz ko'rib chiqqach, bularni qanday baholashni ko'rdik o'zaro faoliyat mahsulotlar Calculus II ga qaytib. Agar sizga ularni qanday hisoblash kerakligi haqida ma'lumot kerak bo'lsa, orqaga qaytib, ushbu bo'limni ko'rib chiqing.
Ushbu transformatsiya ostidagi integral,
\[\iiint\limits_{R}{{f\left( {x,y,z} \right)\,dV}} = \iiint\limits_{S}{{f\left( {g\left( {u,v,w} \right),h\left( {u,v,w} \right),k\left( {u,v,w} \right)} \right)\left| {\frac{{\partial \left( {x,y,z} \right)}}{{\partial \left( {u,v,w} \right)}}} \right|\,d\overline{V}}}\]Ikkilamchi integrallarda bo'lgani kabi, biz yuqoridagi \(u\)/\(v\)/\(w\) integralida \(d\overline{V}\) dan foydalandik, shuni eslatib o'tdikki, biz bitta ingralga o'tkazishda \(du\), \(dv\) va \(dw\) dan foydalanishimiz kerak. Shunga qaramay, bu shunchaki belgi va odatda faqat \(dV\) sifatida yoziladi.
Biz faqat farqlarni ko'rib chiqishimiz va bizda bo'lishi kerakligini ta'kidlashimiz mumkin
\[dV = \left| {\frac{{\partial \left( {x,y,z} \right)}}{{\partial \left( {u,v,w} \right)}}} \right|\,d\overline{V}\]Biz bu erda hech qanday integral qilmoqchi emasmiz, lekin keling, sharsimon koordinatalar uchun \(dV\) formulasini tekshiramiz.
Yechim
Bu erda transformatsiya faqat standart konversiya formulalaridir.
\[x = \rho \sin \varphi \cos \theta \hspace{0.25in}y = \rho \sin \varphi \sin \theta \hspace{0.25in}z = \rho \cos \varphi \]Yakobiy - bu,
\[\begin{align*}\frac{{\partial \left( {x,y,z} \right)}}{{\partial \left( {\rho ,\theta ,\varphi } \right)}} & = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\sin \varphi \cos \theta }&{ - \rho \sin \varphi \sin \theta }&{\rho \cos \varphi \cos \theta }\\{\sin \varphi \sin \theta }&{\rho \sin \varphi \cos \theta }&{\rho \cos \varphi \sin \theta }\\{\cos \varphi }&0&{ - \rho \sin \varphi }\end{array}} \right|\\ & = - \rho ^2\sin ^3\varphi \cos^2\theta - \rho^2 \sin \varphi \cos ^2\varphi \sin^2\theta + 0\\ & \hspace{0.75in} - \rho^2 \sin^3 \varphi \sin^2 \theta - 0 - \rho^2 \sin \varphi \cos^2\varphi {\cos ^2}\theta \\ & = - {\rho ^2}\sin^3\varphi \left( {{{\cos }^2}\theta + {{\sin }^2}\theta } \right) - \rho^2 \sin \varphi \cos^2 \varphi \left( {{{\sin }^2}\theta + {{\cos }^2}\theta } \right)\\ & = - {\rho ^2}{\sin ^3}\varphi - \rho ^2 \sin \varphi \cos^2 \varphi \\ & = - {\rho ^2}\sin \varphi \left( {{{\sin }^2}\varphi + {{\cos }^2}\varphi } \right)\\ & = - {\rho ^2}\sin \varphi \end{align*}\]Nihoyat, \(dV\),
\[dV = \left| { - {\rho ^2}\sin \varphi } \right|\,d\rho \,d\theta \,d\varphi = {\rho ^2}\sin \varphi \,d\rho \,d\theta \,d\varphi \]Eslatib o'tamiz, biz \(\varphi \)-ni sferik koordinatalar uchun \(0 \le \varphi \le \pi \) diapazoniga cheklab qo'yganmiz va shuning uchun biz \(\sin \varphi \ge 0\) ekanligini bilamiz va shuning uchun bizga sinusdagi mutlaq qiymat satrlari kerak emas.
Agar xohlasangiz, silindrsimon koordinatalar uchun \(dV\) formulasini tekshirishni sizga qoldiramiz. Buni tekshirish ancha oson formula.