6.1-bo'lim: Ko'rib chiqish: power series
Differensial tenglamaning ketma-ket yechimlarini ko'rib chiqishdan oldin, biz birinchi navbatda darajali qatorlarni ko'rib chiqishimiz kerak. Quvvat seriyasi - bu shakldagi qator,
\[\begin{equation}f\left( x \right) = \sum\limits_{n = 0}^\infty {{a_n}{{\left( {x - {x_0}} \right)}^n}} \label{eq:eq1}\end{equation}\]bu yerda \(x_{0}\) va \(a_{n}\) raqamlardir. Bundan ko'rishimiz mumkinki, quvvat seriyasi \(x\) funktsiyasidir. Funktsiya belgisi har doim ham kiritilmaydi, lekin ba'zida biz uni yuqoridagi ta'rifga kiritamiz.
Ko'rib chiqishni davom ettirishdan oldin, avvalo, aslida seriya nima ekanligini eslashimiz kerak. Esingizda bo'lsin, seriyalar haqiqatan ham yig'indi. Bizning kuch seriyamizni yozishning bir usuli,
\[\begin{equation}\begin{aligned}f\left( x \right) &= \sum\limits_{n = 0}^\infty {{a_n}{{\left( {x - {x_0}} \right)}^n}} \\ & = {a_0} + {a_1}\left( {x - {x_0}} \right) + {a_2}{\left( {x - {x_0}} \right)^2} + {a_3}{\left( {x - {x_0}} \right)^3} + \cdots \end{aligned}\label{eq:eq2}\end{equation}\]E'tibor bering, agar bizga biron sababga ko'ra kerak bo'lsa, biz har doim kuch seriyasini quyidagicha yozishimiz mumkin:
\[\begin{align*}f\left( x \right) &= \sum\limits_{n = 0}^\infty {{a_n}{{\left( {x - {x_0}} \right)}^n}} \\ & = {a_0} + {a_1}\left( {x - {x_0}} \right) + {a_2}{\left( {x - {x_0}} \right)^2} + {a_3}{\left( {x - {x_0}} \right)^3} + \cdots \\ & = {a_0} + \sum\limits_{n = 1}^\infty {{a_n}{{\left( {x - {x_0}} \right)}^n}} \end{align*}\]Biz bu erda qilayotgan barcha narsa shuni ta'kidlash kerakki, agar biz birinchi atamani e'tiborsiz qoldirsak (\(n = 0\) ga to'g'ri keladi) qolganlari faqat \(n = 1\) da boshlanadigan qatordir. Buni qilganimizda, biz \(n = 0\) yoki birinchi atamani olib tashladik, deymiz. Birinchi muddatda ham to'xtab qolishimiz shart emas. Agar biz dastlabki uchta shartni olib tashlasak,
\[\sum\limits_{n = 0}^\infty {{a_n}{{\left( {x - {x_0}} \right)}^n}} = {a_0} + {a_1}\left( {x - {x_0}} \right) + {a_2}{\left( {x - {x_0}} \right)^2} + \sum\limits_{n = 3}^\infty {{a_n}{{\left( {x - {x_0}} \right)}^n}} \]Ba'zida biz buni qilishni xohlaymiz, shuning uchun buni qila olishingizga ishonch hosil qiling.
Endi, kuch seriyalari \(x\) funksiyalari bo‘lgani uchun va biz hamma qatorlar mavjud bo‘lmasligini bilamiz, shuning uchun barcha \(x\) uchun quvvat seriyasi mavjudmi yoki yo‘qligini so‘rash mantiqan to‘g‘ri keladi. Bu savolga kuch qatorlarining yaqinlashuviga qarab javob beriladi. Biz buni kuch seriyasi deymiz birlashadi Agar seriyali \(x = c\) uchun,
\[\sum\limits_{n = 0}^\infty {{a_n}{{\left( {c - {x_0}} \right)}^n}} \]birlashadi. Eslatib o'tamiz, agar qisman summalar chegarasi bo'lsa, bu qator yaqinlashadi,
\[\mathop {\lim }\limits_{N \to \infty } \sum\limits_{n = 0}^N {{a_n}{{\left( {c - {x_0}} \right)}^n}} \]mavjud va cheklangan. Boshqacha qilib aytganda, agar kuch seriyasi \(x = c\) uchun yaqinlashadi
\[\sum\limits_{n = 0}^\infty {{a_n}{{\left( {c - {x_0}} \right)}^n}} \]chekli sondir.
E'tibor bering, agar \(x = x_{0}\) bo'lsa, quvvat seriyasi doimo yaqinlashadi. Bunday holda, quvvat seriyasi bo'ladi
\[\sum\limits_{n = 0}^\infty {{a_n}{{\left( {{x_0} - {x_0}} \right)}^n}} = {a_0}\]Shu bilan biz endi \(x\) ning kamida bitta qiymati uchun quvvat seriyalarining mavjudligi kafolatlanganligini bilamiz. Quvvat qatorining yaqinlashuvi haqida bizda quyidagi fakt mavjud.
Konvergentsiya radiusi
\(\eqref{eq:eq1}\) quvvat seriyasini hisobga olsak, \(0 \le \rho \le \infty \) soni mavjud bo'ladi, shunda quvvat seriyalari \(\left| {x - {x_0}} \right| < \rho \) uchun yaqinlashadi va \(\left| {x - {x_0}} \right| > \rho \) uchun ajralib chiqadi. Bu raqam deyiladi yaqinlashish radiusi.
Ko'pgina quvvat seriyalari uchun yaqinlashish radiusini aniqlash odatda juda oddiy, agar biz nisbat testidan foydalansak.
Nisbat sinovi
Quvvat seriyali hisoblashni hisobga olgan holda,
\[L = \left| {x - {x_0}} \right|\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left| {\frac{{{a_{n + 1}}}}{{{a_n}}}} \right|\]keyin,
\[\begin{align*}& L < 1 & \Rightarrow \hspace{0.25in} &{\mbox{the series converges}}\\ & L > 1 & \Rightarrow \hspace{0.25in} &{\mbox{the series diverges}}\\ & L = 1 & \Rightarrow \hspace{0.25in} &{\mbox{the series may converge or diverge}}\end{align*}\]Keling, bu konvergentsiya radiusini aniqlash uchun qanday ishlatilishini tezda ko'rib chiqaylik.
Yechim
Shunday qilib, bu holatda bizda
\[{a_n} = \frac{{{{\left( { - 3} \right)}^n}}}{{n\,{7^{n + 1}}}}\hspace{0.25in}{a_{n + 1}} = \frac{{{{\left( { - 3} \right)}^{n + 1}}}}{{\left( {n + 1} \right)\,{7^{n + 2}}}}\]Esda tutingki, \(a_{n+1}\)-ni hisoblash uchun biz \(a_{n}\)-dagi barcha \(n\)-larni \(n+1\) bilan almashtiramiz. Nisbatan testdan foydalanish, keyin beradi,
\[\begin{align*}L & = \left| {x - 5} \right|\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left| {\frac{{{a_{n + 1}}}}{{{a_n}}}} \right|\\ & = \left| {x - 5} \right|\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left| {\frac{{{{\left( { - 3} \right)}^{n + 1}}}}{{\left( {n + 1} \right)\,{7^{n + 2}}}}\,\,\frac{{n\,{7^{n + 1}}}}{{{{\left( { - 3} \right)}^n}}}} \right|\\ & = \left| {x - 5} \right|\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left| {\frac{{ - 3}}{{\left( {n + 1} \right)\,7}}\,\,\frac{n}{1}} \right|\\ & = \frac{3}{7}\left| {x - 5} \right|\end{align*}\]Endi biz bilamizki, seriyalar birlashadi, agar,
\[\frac{3}{7}\left| {x - 5} \right| < 1\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}\left| {x - 5} \right| < \frac{7}{3}\]va seriyalar ajralib chiqadi, agar,
\[\frac{3}{7}\left| {x - 5} \right| > 1\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}\left| {x - 5} \right| > \frac{7}{3}\]Boshqacha qilib aytganda, bu qator uchun yaqinlashish radiusi,
\[\rho = \frac{7}{3}\]Ushbu oxirgi misolda ko'rsatilgandek, yaqinlashish radiusi nisbat testidan foydalanganda deyarli darhol topiladi.
Xo'sh, nega biz kuch seriyalarining yaqinlashuvidan xavotirdamiz? Differensial tenglamaning ketma-ket yechimi ma'lum bir \(x\) da mavjud bo'lishi uchun u \(x\) da konvergent bo'lishi kerak. Agar ma'lum \(x\) da konvergent bo'lmasa, seriyali yechim ushbu \(x\) da mavjud bo'lmaydi. Shunday qilib, kuch seriyalarining yaqinlashuvi juda muhimdir.
Keyinchalik, seriyalarni manipulyatsiya qilishning ba'zi asoslarini tezda ko'rib chiqishimiz kerak. Biz qo'shish va ayirish bilan boshlaymiz.
Haqiqatan ham qo'shish va ayirish uchun juda ko'p narsa yo'q. Biz tashvishlanishimiz kerak bo'lgan narsa shundaki, ikkita seriya bir joyda boshlanadi va ikkalasi ham \(x-x_{0}\) ning bir xil ko'rsatkichiga ega. Agar ular shunday qilsa, biz qo'shish va/yoki ayirish amallarini quyidagicha bajarishimiz mumkin,
\[\sum\limits_{n = {n_0}}^\infty {{a_n}{{\left( {x - {x_0}} \right)}^n}} \pm \sum\limits_{n = {n_0}}^\infty {{b_n}{{\left( {x - {x_0}} \right)}^n}} = \sum\limits_{n = {n_0}}^\infty {\left( {{a_n} \pm {b_n}} \right){{\left( {x - {x_0}} \right)}^n}} \]Boshqacha qilib aytganda, koeffitsientlarni qo'shish yoki ayirish va biz yangi qatorni olamiz.
Differensial tenglamalarning ketma-ket yechimlarini topishda biz ega bo'ladigan qoidalardan biri shundan iboratki, biz ketma-ketlikda kerakli yagona \(x\) bu \({\left( {x - {x_0}} \right)^n}\) da joylashgan \(x\). Bu shuni anglatadiki, biz bir qator shakllar bilan shug'ullanishimiz kerak,
\[{\left( {x - {x_0}} \right)^c}\sum\limits_{n = 0}^\infty {{a_n}{{\left( {x - {x_0}} \right)}^n}} \]bu erda \(c\) qandaydir doimiydir. Bular bilan shug'ullanish juda oson.
\[\begin{align*}{\left( {x - {x_0}} \right)^c}\sum\limits_{n = 0}^\infty {{a_n}{{\left( {x - {x_0}} \right)}^n}} & = {\left( {x - {x_0}} \right)^c}\left( {{a_0} + {a_1}\left( {x - {x_0}} \right) + {a_2}{{\left( {x - {x_0}} \right)}^2} + \cdots } \right)\\ & = {a_0}{\left( {x - {x_0}} \right)^c} + {a_1}{\left( {x - {x_0}} \right)^{1 + c}} + {a_2}{\left( {x - {x_0}} \right)^{2 + c}} + \cdots \\ & \sum\limits_{n = 0}^\infty {{a_n}{{\left( {x - {x_0}} \right)}^{n + c}}} \end{align*}\]Shunday qilib, oldimizda turgan terminni qatorga ko‘paytirish va ko‘rsatkichlarni qo‘shish kifoya. Shuni ham yodda tutingki, buni amalga oshirish uchun qator oldidagi koeffitsient ham, qator ichidagi atama ham \(x-x_{0}\) shaklida bo'lishi kerak. Agar ular bir xil bo'lmasa, biz buni qila olmaymiz, biz oxir-oqibat bu shaklda bo'lmagan atamalar bilan qanday munosabatda bo'lishni ko'ramiz.
Keyinchalik, kuch seriyasini farqlash haqida gapirishimiz kerak. \(\eqref{eq:eq2}\) ga qarab, biz kuch seriyasini qanday ajratishimizni ko'rish juda oson bo'lishi kerak. Seriya shunchaki ulkan yig'indi bo'lgani uchun biz qilishimiz kerak bo'lgan yagona narsa - individual atamalarni farqlash. Quvvat qatorining hosilasi quyidagicha bo'ladi:
\[\begin{align*}f'\left( x \right) & = {a_1} + 2{a_2}\left( {x - {x_0}} \right) + 3{a_3}{\left( {x - {x_0}} \right)^2} + \cdots \\ & = \sum\limits_{n = 1}^\infty {n{a_n}{{\left( {x - {x_0}} \right)}^{n - 1}}} \\ & = \sum\limits_{n = 0}^\infty {n{a_n}{{\left( {x - {x_0}} \right)}^{n - 1}}} \end{align*}\]Shunday qilib, biz qilishimiz kerak bo'lgan narsa faqat seriya ichidagi atamani farqlash va biz tugatdik. Shuni ham yodda tutingki, hosilaning ikkita shakli mavjud. Loymaning \(n = 0\) atamasi nolga teng bo'lgani uchun u qator qiymatini o'zgartirmaydi va shuning uchun biz uni kerak bo'lganda kiritishimiz yoki kiritmasligimiz mumkin. Bizning ishimizda odatda hosilaning \(n = 1\) da boshlanishini xohlaymiz, biroq vaqti-vaqti bilan muammo paydo bo'ladi, agar uni \(n = 0\) da boshlash qulayroq bo'lar edi.
Birinchi hosilani qanday topganimizdan so'ng, ikkinchi hosila quyidagicha ekanligini tushunish kerak:
\[\begin{align*}f''\left( x \right) & = \sum\limits_{n = 2}^\infty {n\left( {n - 1} \right){a_n}{{\left( {x - {x_0}} \right)}^{n - 2}}} \\ & = \sum\limits_{n = 1}^\infty {n\left( {n - 1} \right){a_n}{{\left( {x - {x_0}} \right)}^{n - 2}}} \\ & = \sum\limits_{n = 0}^\infty {n\left( {n - 1} \right){a_n}{{\left( {x - {x_0}} \right)}^{n - 2}}} \end{align*}\]Bunday holda, \(n = 0\) va \(n = 1\) atamalarining ikkalasi ham nolga teng bo'lganligi sababli, biz ishlayotgan muammo bilan aniqlangan uchta mumkin bo'lgan boshlang'ich nuqtadan boshlashimiz mumkin.
Keyinchalik, bu haqda gapirishimiz kerak indeks o'zgarishi. Ko'rib turganimizdek, biz kuch seriyalarimizni \({\left( {x - {x_0}} \right)^n}\) nuqtai nazaridan yozishni xohlaymiz va ular ko'pincha, hech bo'lmaganda, bu shaklda bo'lmaydi. Ularni bizga kerak bo'lgan shaklga kiritish uchun biz indeks siljishini amalga oshirishimiz kerak.
Indeks o'zgarishlarining o'zi haqiqatan ham \(x\) atamasidagi ko'rsatkich bilan bog'liq emas, ular quyidagi misolda ko'rsatilganidek, seriyaning qaerdan boshlanishi bilan bog'liq.
Yechim
Indeksni o'zgartirish - bu amalga oshirish uchun juda oddiy manipulyatsiya. Birinchidan, agar biz \(i=n-3\) ni aniqlasak, \(n = 3\) qachon bizda \(i=0\) bo'lishini sezamiz. Shunday qilib, biz seriyani \(n\) o'rniga \(i\) ko'rinishida qayta yozamiz. Buni \(n=i+3\) ni ta'kidlash orqali amalga oshirishimiz mumkin. Shunday qilib, hamma joyda biz \(n\) ni haqiqiy seriya atamasida ko'ramiz, biz uni \(i+3\) bilan almashtiramiz. Buni qilish,
\[\begin{align*}\sum\limits_{n = 3}^\infty {{n^2}{a_{n - 1}}{{\left( {x + 4} \right)}^{n + 2}}} & = \sum\limits_{i = 0}^\infty {{{\left( {i + 3} \right)}^2}{a_{i + 3 - 1}}{{\left( {x + 4} \right)}^{i + 3 + 2}}} \\ & = \sum\limits_{i = 0}^\infty {{{\left( {i + 3} \right)}^2}{a_{i + 2}}{{\left( {x + 4} \right)}^{i + 5}}} \end{align*}\]Bu jarayonda yuqori chegara o'zgarmaydi, chunki cheksizlik minus uch hali ham cheksizlikdir.
Yakuniy qadam, indeks uchun biz ishlatadigan harf muhim emasligini tushunish va shuning uchun biz \(n\)-ga qaytishimiz mumkin.
\[\sum\limits_{n = 3}^\infty {{n^2}{a_{n - 1}}{{\left( {x + 4} \right)}^{n + 2}}} = \sum\limits_{n = 0}^\infty {{{\left( {n + 3} \right)}^2}{a_{n + 2}}{{\left( {x + 4} \right)}^{n + 5}}} \]Endi biz odatda indeksni almashtirish uchun bu jarayondan o'tmaymiz. Biz faqat seriyadagi boshlang‘ich nuqtasini 3 ga tushirganimizni payqashimiz va boshqa hamma joyda biz seriyadagi \(n\) ni ko‘rdik, biz uni 3 ga oshirdik. Boshqacha qilib aytganda, seriyadagi barcha \(n\) ning teskari yo‘nalishda harakatlanishi, biz boshlang‘ich nuqtani ko‘chirdik.
Yechim
Seriyani \(n = 5\) da boshlash uchun biz shuni e'tiborga olishimiz kerakki, bu biz boshlang'ich nuqtani 2 ga oshiramiz va shuning uchun boshqa barcha \(n\) lar 2 ga kamayishi kerak bo'ladi. Buni oldingi misoldagi seriyalar uchun qilish,
\[\sum\limits_{n = 3}^\infty {{n^2}{a_{n - 1}}{{\left( {x + 4} \right)}^{n + 2}}} = \sum\limits_{n = 5}^\infty {{{\left( {n - 2} \right)}^2}{a_{n - 3}}{{\left( {x + 4} \right)}^n}} \]Endi, biz indekslarni o'zgartirish haqida ushbu munozarani boshlaganimizda ta'kidlaganimizdek, butun maqsad seriyamizni \({\left( {x - {x_0}} \right)^n}\) shartlariga aylantirishdir. Oldingi misolda biz indeksni siljitish bilan aynan shunday qilganimizni ko'rishimiz mumkin. Asl ko'rsatkich (x+4) edi n+2. Buni \(n\) ga tushirish uchun biz ko'rsatkichni 2 ga kamaytirishimiz kerak edi. Buni boshlang'ich nuqtasini 2 ga oshiradigan indeks bilan qilish mumkin.
Keling, bunga yana bir nechta misollarni ko'rib chiqaylik.
- \({\left( {x + 2} \right)^2}\sum\limits_{n = 3}^\infty {n{a_n}{{\left( {x + 2} \right)}^{n - 4}}} - \sum\limits_{n = 1}^\infty {n{a_n}{{\left( {x + 2} \right)}^{n + 1}}} \)
- \(x\sum\limits_{n = 0}^\infty {{{\left( {n - 5} \right)}^2}{b_{n + 1}}{{\left( {x - 3} \right)}^{n + 3}}} \)
a \({\left( {x + 2} \right)^2}\sum\limits_{n = 3}^\infty {n{a_n}{{\left( {x + 2} \right)}^{n - 4}}} - \sum\limits_{n = 1}^\infty {n{a_n}{{\left( {x + 2} \right)}^{n + 1}}} \) Yechim
Birinchidan, bu erda ikkita seriya borligiga e'tibor bering va ko'rsatmalar faqat bitta seriyani so'raydi. Shunday qilib, biz bir vaqtning o'zida ikkita qatorni ayirishimiz kerak bo'ladi. Bizning ishimizning katta qismi ayirish uchun tayyorlangan ikkita qatorni olishdan iborat bo'ladi. Bu shuni anglatadiki, ikkita seriya oldida hech qanday koeffitsient bo'lishi mumkin emas (albatta, bittadan tashqari ...), ular \(n\) ning bir xil qiymatidan boshlanishi kerak va \(x-x_{0}\) da bir xil ko'rsatkichga muhtoj bo'ladi.
Biz deyarli har doim birinchi navbatda har qanday koeffitsientlar haqida g'amxo'rlik qilishni xohlaymiz. Shunday qilib, bizda birinchi seriyaning oldida bittasi bor, shuning uchun uni birinchi seriyaga ko'paytiramiz. Buni qilish,
\[\sum\limits_{n = 3}^\infty {n{a_n}{{\left( {x + 2} \right)}^{n - 2}}} - \sum\limits_{n = 1}^\infty {n{a_n}{{\left( {x + 2} \right)}^{n + 1}}} \]Endi ko'rsatmalar yangi seriya \({\left( {x - {x_0}} \right)^n}\) nuqtai nazaridan bo'lishi kerakligini ko'rsatadi, shuning uchun biz g'amxo'rlik qilishimiz kerak bo'lgan keyingi narsa. Biz buni har bir seriyada indeksni siljitish orqali qilamiz. Birinchi qatordagi ko'rsatkich ikkiga ko'tarilishi kerak, shuning uchun biz birinchi qatorni 2 ga pastga siljitamiz. Ikkinchi qatorda ko'rsatkich 1 ga pastga siljishi uchun 1 ga yuqoriga siljish kerak bo'ladi. Indeks siljishini bajarish bizga quyidagilarni beradi:
\[\sum\limits_{n = 1}^\infty {\left( {n + 2} \right){a_{n + 2}}{{\left( {x + 2} \right)}^n}} - \sum\limits_{n = 2}^\infty {\left( {n - 1} \right){a_{n - 1}}{{\left( {x + 2} \right)}^n}} \]Va nihoyat, ikkita qatorni ayirish uchun biz ularni \(n\) ning bir xil qiymatida boshlashimiz kerak. Muammoning seriyasiga qarab, biz buni turli yo'llar bilan qilishimiz mumkin. Bu holda e'tibor bering, chunki mavjud n-1 ikkinchi seriyada biz ikkinchi seriyani \(n = 1\) da uning qiymatini o'zgartirmasdan boshlashimiz mumkin. Shuni ham yodda tutingki, bunda biz ikkala qatorni \(n = 1\) da boshlaymiz va shuning uchun ayirishni amalga oshirishimiz mumkin. Bizning yakuniy javobimiz shundan iboratki,
\[\sum\limits_{n = 1}^\infty {\left( {n + 2} \right){a_{n + 2}}{{\left( {x + 2} \right)}^n}} - \sum\limits_{n = 1}^\infty {\left( {n - 1} \right){a_{n - 1}}{{\left( {x + 2} \right)}^n}} = \sum\limits_{n = 1}^\infty {\left[ {\left( {n + 2} \right){a_{n + 2}} - \left( {n - 1} \right){a_{n - 1}}} \right]{{\left( {x + 2} \right)}^n}} \]b \(x\sum\limits_{n = 0}^\infty {{{\left( {n - 5} \right)}^2}{b_{n + 1}}{{\left( {x - 3} \right)}^{n + 3}}} \) Yechim
Ushbu qismda asosiy masala shundaki, biz bu safar koeffitsientni seriyaga ko'paytira olmaymiz, chunki koeffitsient qator ichidagi atama bilan bir xil shaklga ega emas. Shuning uchun, biz qilishimiz kerak bo'lgan birinchi narsa koeffitsientni to'g'rilashdir, shunda biz uni seriyaga kiritishimiz mumkin. Biz buni quyidagicha qilamiz,
\[\begin{align*}x\sum\limits_{n = 0}^\infty {{{\left( {n - 5} \right)}^2}{b_{n + 1}}{{\left( {x - 3} \right)}^{n + 3}}} & = \left( {x - 3 + 3} \right)\sum\limits_{n = 0}^\infty {{{\left( {n - 5} \right)}^2}{b_{n + 1}}{{\left( {x - 3} \right)}^{n + 3}}} \\ & = \left( {x - 3} \right)\sum\limits_{n = 0}^\infty {{{\left( {n - 5} \right)}^2}{b_{n + 1}}{{\left( {x - 3} \right)}^{n + 3}}} + 3\sum\limits_{n = 0}^\infty {{{\left( {n - 5} \right)}^2}{b_{n + 1}}{{\left( {x - 3} \right)}^{n + 3}}} \end{align*}\]Endi biz koeffitsientni seriyaga o'tkazishimiz mumkin, ammo bu jarayonda biz ikkinchi seriyani olishga muvaffaq bo'ldik. Bu sodir bo'ladi, shuning uchun bunga ko'niking. Ikkala qatorning koeffitsientlarini ko'chirish,
\[\sum\limits_{n = 0}^\infty {{{\left( {n - 5} \right)}^2}{b_{n + 1}}{{\left( {x - 3} \right)}^{n + 4}}} + \sum\limits_{n = 0}^\infty {3{{\left( {n - 5} \right)}^2}{b_{n + 1}}{{\left( {x - 3} \right)}^{n + 3}}} \]Endi biz \(n\) bo'lishi uchun ikkala seriyadagi ko'rsatkichni olishimiz kerak. Bu birinchi seriyani 4 ga, ikkinchi seriyani esa 3 ga oshirishni anglatadi.
\[\sum\limits_{n = 4}^\infty {{{\left( {n - 9} \right)}^2}{b_{n - 3}}{{\left( {x - 3} \right)}^n}} + \sum\limits_{n = 3}^\infty {3{{\left( {n - 8} \right)}^2}{b_{n - 2}}{{\left( {x - 3} \right)}^n}} \]Bunday holda, biz \(n = 3\) da birinchi seriyani boshlay olmaymiz, chunki \(n = 3\) atamasini nolga tenglashtiradigan \(n-3\) seriyasi yo'q. Shunday qilib, biz ushbu misolning birinchi qismida qilganimizdek, bu qismni bajara olmaymiz.
Bu qismda nima qilishimiz kerak bo'lsa, \(n = 3\)-ni ikkinchi seriyadan chiqarib tashlashimiz kerak, shunda ikkalasi ham \(n = 4\)-dan boshlanadi. Keyin ikkala seriyani birga qo'shishimiz mumkin bo'ladi. Ikkinchi seriyadan \(n = 3\) atamasini olib tashlash,
\[\sum\limits_{n = 4}^\infty {{{\left( {n - 9} \right)}^2}{b_{n - 3}}{{\left( {x - 3} \right)}^n}} + 3{\left( { - 5} \right)^2}{b_1}{\left( {x - 3} \right)^3} + \sum\limits_{n = 4}^\infty {3{{\left( {n - 8} \right)}^2}{b_{n - 2}}{{\left( {x - 3} \right)}^n}} \]Endi biz ikkita seriyani birlashtira olamiz.
\[75{b_1}{\left( {x - 3} \right)^3} + \sum\limits_{n = 4}^\infty {\left[ {{{\left( {n - 9} \right)}^2}{b_{n - 3}} + 3{{\left( {n - 8} \right)}^2}{b_{n - 2}}} \right]{{\left( {x - 3} \right)}^n}} \]Bu biz qidirayotgan narsadir. Biz ketma-ketlik oldida o'tirgan qo'shimcha muddat haqida tashvishlanmaymiz. Biz nihoyat differensial tenglamalarning ketma-ket yechimlarini topishga kirishganimizda, u erda bu atama bilan qanday ishlashni ko'ramiz.
Davom etishdan oldin biz g'amxo'rlik qilishimiz kerak bo'lgan yakuniy haqiqat bor. Quvvat seriyalari uchun ushbu faktni keltirishdan oldin, buni yagona yo'l ekanligini ta'kidlaymiz
\[a + bx + c{x^2} = 0\]hamma \(x\) uchun nolga teng bo'lish \(a = b = c = 0\) ga ega bo'lishdir.
Bizda quvvat seriyalari uchun shunga o'xshash fakt bor.
Xuddi nolga teng bo'lgan quvvat seriyasi
If,
\[\sum\limits_{n = 0}^\infty {{a_n}{{\left( {x - {x_0}} \right)}^n} = 0} \]keyin barcha \(x\) uchun,
\[{a_n} = 0,\,\,\,n = 0,1,2, \ldots \]Bu fakt differentsial tenglamalar bilan ishlashimiz uchun kalit bo'ladi, shuning uchun buni unutmang.