3.6-bo'lim: Ko'rsatkichli va logarifm funksiyalarning hosilalari
Biz ko'rib chiqmoqchi bo'lgan keyingi funktsiyalar to'plami eksponensial va logarifm funktsiyalaridir. Calculus kursida eng keng tarqalgan ko'rsatkichli va logarifm funktsiyalari tabiiy ko'rsatkichli funktsiya \({{\bf{e}}^x}\) va natural logarifm funksiyasi \(\ln \left( x \right)\) hisoblanadi. Ammo biz umumiyroq yondoshamiz va umumiy eksponensial va logarifm funksiyasini ko'rib chiqamiz.
Eksponensial funksiyalar
Biz eksponensial funktsiyani ko'rib chiqishdan boshlaymiz,
\[f\left( x \right) = {a^x}\]Biz buni farqlashni xohlaymiz. Biz bir necha bo'lim oldin ko'rib chiqqan quvvat qoidasi ishlamaydi, chunki bu ko'rsatkichning sobit son va asosning o'zgaruvchi bo'lishini talab qiladi. Bu biz ushbu funktsiyaga ega bo'lgan narsadan mutlaqo ziddir. Shunday qilib, biz hosila ta'rifidan boshlashimiz kerak.
\[\begin{align*}f'\left( x \right) & = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f\left( {x + h} \right) - f\left( x \right)}}{h}\\ & = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{{a^{x + h}} - {a^x}}}{h}\\ & = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{{a^x}{a^h} - {a^x}}}{h}\\ & = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{{a^x}\left( {{a^h} - 1} \right)}}{h}\end{align*}\]Endi, \({a^x}\) chegaradan ta'sirlanmaydi, chunki unda hech qanday \(h\) yo'q va chegaraga nisbatan doimiy bo'ladi. Shuning uchun biz buni chegaradan chiqarib tashlashimiz mumkin. Bu beradi,
\[f'\left( x \right) = {a^x}\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{{a^h} - 1}}{h}\]Keling, yuqoridagi chegaramiz \(x = 0\) da \(f\left( x \right) = {a^x}\) hosilasining aniq ta'rifiga e'tibor bering, i.e. \(f'\left( 0 \right)\). Shunday qilib, hosila shunday bo'ladi:
\[f'\left( x \right) = f'\left( 0 \right){a^x}\]Shunday qilib, biz qandaydir tiqilib qoldik. Biz hosila olish uchun hosilani bilishimiz kerak!
\(a\) ning bitta qiymati mavjud bo'lib, u bilan biz hozir shug'ullanishimiz mumkin. Orqaga Eksponensial funksiyalar Ko'rib chiqish bo'limida biz \({\bf{e}} = \mbox{2.71828182845905} \ldots \) ekanligini aytdik, ammo biz qilmagan narsa aslida \(\bf{e}\) qayerdan kelganini aniqlashdir. Aslida \(\bf{e}\) ni aniqlashning turli usullari mavjud. Mana, ulardan uchtasi.
\(\bf{e}\) ning ba'zi ta'riflari
- \(\displaystyle {\bf{e}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {\left( {1 + \frac{1}{n}} \right)^n}\)
- \(\displaystyle \bf{e}\) - bu \(\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{{{\bf{e}}^h} - 1}}{h} = 1\) uchun yagona ijobiy raqam
- \(\displaystyle {\bf{e}} = \sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{1}{{n!}}} \)
Ikkinchisi biz uchun muhim, chunki bu chegara biz yuqorida ishlayotgan chegaradir. Shunday qilib, bu ta'rif quyidagi haqiqatga olib keladi:
Tabiiy ko'rsatkichli funktsiyaning ta'rifi
Tabiiy eksponensial funktsiya uchun \(f\left( x \right) = {{\bf{e}}^x}\) bizda \(f'\left( 0 \right) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{{{\bf{e}}^h} - 1}}{h} = 1\) mavjud.
Shunday qilib, tabiiy eksponensial funktsiyadan foydalansak, biz quyidagilarni olamiz.
\[f\left( x \right) = {{\bf{e}}^x}\hspace{0.5in} \Rightarrow \hspace{0.5in}f'\left( x \right) = {{\bf{e}}^x}\]Ayni paytda biz umumiy funktsiyaning hosilasini osongina olishimizga imkon beradigan ba'zi bilimlarni etishmayapmiz. Oxir-oqibat umumiy eksponensial funktsiya uchun bizda borligini ko'rsata olamiz,
\[f\left( x \right) = {a^x}\hspace{0.5in} \Rightarrow \hspace{0.5in}f'\left( x \right) = {a^x}\ln \left( a \right)\]Logarifm funktsiyalari
Endi qisqacha logarifmlarning hosilalarini olaylik. Bunday holda biz bir-biriga teskari bo'lgan funktsiyalar haqida quyidagi faktdan boshlashimiz kerak.
Teskari funksiyalarning hosilasi
Agar \(f(x)\) va \(g(x)\) bir-biriga teskari bo'lsa,
\[g'\left( x \right) = \frac{1}{{f'\left( {g\left( x \right)} \right)}}\]Xo'sh, bu fakt biz uchun qanchalik foydali? Xo'sh eslash natural ko'rsatkichli funktsiya va natural logarifm funksiyasi bir-biriga teskari va biz natural ko'rsatkichli funktsiyaning hosilasi nima ekanligini bilamiz!
Shunday qilib, agar bizda \(f\left( x \right) = {{\bf{e}}^x}\) va \(g\left( x \right) = \ln x\) bo'lsa,
\[g'\left( x \right) = \frac{1}{{f'\left( {g\left( x \right)} \right)}} = \frac{1}{{{{\bf{e}}^{g\left( x \right)}}}} = \frac{1}{{{{\bf{e}}^{\ln x}}}} = \frac{1}{x}\]Oxirgi bosqichda shunchaki ikkala funksiya bir-biriga teskari funksiyalar ekanligi faktidan foydalanildi.
Bularning barchasini birlashtirib, beradi,
\[\frac{d}{{dx}}\left( {\ln x} \right) = \frac{1}{x}\hspace{0.5in}x > 0\]Shuni yodda tutingki, biz \(x > 0\) ni talab qilishimiz kerak, chunki bu logarifm uchun talab qilinadi va shuning uchun uning hosilasi uchun ham talab qilinishi kerak. Shuni ham ko'rsatish mumkinki,
\[\frac{d}{{dx}}\left( {\ln \left| x \right|} \right) = \frac{1}{x}\hspace{0.5in}x \ne 0\]Bundan qochishimiz kerak bo'lgan yagona narsa - \(x = 0\).
In this case, unlike the exponential function case, we can actually find the derivative of the general logarithm function. Bizga kerak bo'lgan narsa - biz topib olgan tabiiy logarifmning hosilasi va asosiy formulani o'zgartirish. Asosiy formulani o'zgartirishdan foydalanib, biz umumiy logarifmni quyidagicha yozishimiz mumkin:
\[{\log _a}x = \frac{{\ln x}}{{\ln a}}\]Keyin farqlash juda oddiy.
\[\begin{align*}\frac{d}{{dx}}\left( {{{\log }_a}x} \right) & = \frac{d}{{dx}}\left( {\frac{{\ln x}}{{\ln a}}} \right)\\ & = \frac{1}{{\ln a}}\frac{d}{{dx}}\left( {\ln x} \right)\\ & = \frac{1}{{x\ln a}}\end{align*}\]Biz \(a\) doimiy ekanligidan foydalandik va shuning uchun \(\ln a\) ham doimiy bo'lib, uni hosiladan ajratib olish mumkin. Bularning barchasini birlashtirib, beradi,
\[\frac{d}{{dx}}\left( {{{\log }_a}x} \right) = \frac{1}{{x\ln a}}\]Ushbu bo'limdagi hosilalarning qisqacha mazmuni.
Ko‘rsatkichli va logarifm funksiyalarning hosilalari
Xo'sh, endi bizda formulalarning hosilalari mavjud bo'lsa, keling, bir nechta hosilalarni hisoblaylik.
- \(R\left( w \right) = {4^w} - 5{\log _9}w\)
- \(f\left( x \right) = 3{{\bf{e}}^x} + 10{x^3}\ln x\)
- \(\displaystyle y = \frac{{5{{\bf{e}}^x}}}{{3{{\bf{e}}^x} + 1}}\)
a \(R\left( w \right) = {4^w} - 5{\log _9}w\) Yechim
Bu tabiiy eksponensial va tabiiy logarifm funktsiyalarini o'z ichiga olmaydigan yagona misol bo'ladi.
\[R'\left( w \right) = {4^w}\ln 4 - \frac{5}{{w\ln 9}}\]b \(f\left( x \right) = 3{{\bf{e}}^x} + 10{x^3}\ln x\) Yechim
Bunga unchalik emas. Faqat ikkinchi muddatda mahsulot qoidasidan foydalanishni unutmang.
\[\begin{align*}f'\left( x \right) & = 3{{\bf{e}}^x} + 30{x^2}\ln x + 10{x^3}\left( {\frac{1}{x}} \right)\\ & = 3{{\bf{e}}^x} + 30{x^2}\ln x + 10{x^2}\end{align*}\]c \(\displaystyle y = \frac{{5{{\bf{e}}^x}}}{{3{{\bf{e}}^x} + 1}}\) Yechim
We’ll need to use the quotient rule on this one.
\[\begin{align*}y' & = \frac{{5{{\bf{e}}^x}\left( {3{{\bf{e}}^x} + 1} \right) - \left( {5{{\bf{e}}^x}} \right)\left( {3{{\bf{e}}^x}} \right)}}{{{{\left( {3{{\bf{e}}^x} + 1} \right)}^2}}}\\ & = \frac{{15{{\bf{e}}^{2x}} + 5{{\bf{e}}^x} - 15{{\bf{e}}^{2x}}}}{{{{\left( {3{{\bf{e}}^x} + 1} \right)}^2}}}\\ & = \frac{{5{{\bf{e}}^x}}}{{{{\left( {3{{\bf{e}}^x} + 1} \right)}^2}}}\end{align*}\]Agar siz formulalarni eslab qolsangiz, tabiiy logarifmlar va tabiiy eksponensial funktsiyalarni farqlash uchun juda ko'p narsa yo'q. Keyingilarda bizning kamarimiz ostida ko'proq formulalar olishimiz bilan ular yanada murakkablashadi.
Keyinchalik, biz ularni unutmasligimiz uchun majburiy dastur/tarjima muammosini hal qilishimiz kerak.
Ob'ekt hech qachon harakatni to'xtatadimi?
Yechim
Birinchidan, bizga hosila kerak bo'ladi. Bu bizga ob'ektning harakatini to'xtatib qo'yishini aniqlash uchun kerak, chunki bu nuqtada (agar mavjud bo'lsa) tezlik nolga teng bo'ladi va pozitsiya funktsiyasining hosilasi ob'ektning tezligi ekanligini eslaymiz.
hosilasi,
\[s'\left( t \right) = {{\bf{e}}^t} + t{{\bf{e}}^t} = \left( {1 + t} \right){{\bf{e}}^t}\]So, we need to determine if the derivative is ever zero. Buning uchun biz hal qilishimiz kerak,
\[\left( {1 + t} \right){{\bf{e}}^t} = 0\]Endi biz eksponensial funktsiyalar hech qachon nolga teng emasligini bilamiz va shuning uchun bu faqat \(t = - 1\) da nolga teng bo'ladi. Shunday qilib, agar biz \(t\) ning salbiy qiymatlariga ruxsat bermoqchi bo'lsak, u holda ob'ekt \(t = - 1\) da bir marta harakat qilishni to'xtatadi. Agar biz \(t\) ning salbiy qiymatlariga ruxsat bermasak, ob'ekt hech qachon harakat qilishni to'xtatmaydi.
Keyingiga o'tishdan oldin biz ikkalasini chalkashtirib yubormasligimiz uchun bir nechta hosilalarga qaytishimiz kerak. Ikki hosila,
\[\begin{array}{ll}\frac{d}{{dx}}\left( {{x^n}} \right) = n{x^{n - 1}} & \hspace{0.5in}{\mbox{Power Rule}}\\ \frac{d}{{dx}}\left( {{a^x}} \right) = {a^x}\ln a & \hspace{0.5in}{\mbox{Derivative of an exponential function}}\end{array}\]Shuni ta'kidlash kerakki, Quvvat qoidasiga ko'ra, ko'rsatkich doimiy bo'lishi kerak, asos esa o'zgaruvchi bo'lishi kerak, biz esa eksponensial funktsiyaning hosilasi uchun aynan teskarisini talab qilamiz. Eksponensial funktsiya uchun ko'rsatkich o'zgaruvchi bo'lishi kerak, asos esa doimiy bo'lishi kerak.
Ushbu formulalardan biriga yopishib olish va uni ikkalasi uchun ishlatish oson. Agar ko'rsatkich ham, asos ham o'zgaruvchilarni o'z ichiga olgan bo'lsa, nima qilish kerakligi haqida ham gaplashmadik. Bu holatni keyinroq ko'ramiz bo'limi.