Asosiy tarkibga o'tish

2.7-bo'lim: Kvadrat tenglamalar: xulosa

Oldingi ikki bo'limda biz kvadrat tenglamalarni echish haqida ko'p gapirgan edik. Shu o‘rinda mantiqiy savol shuki, berilgan kvadrat tenglamani yechish uchun qaysi usuldan foydalanishimiz kerak? Afsuski, javob, bu bog'liq.

Agar o'qituvchingiz foydalanish usulini belgilab qo'ygan bo'lsa, bu, albatta, siz ishlatishingiz kerak bo'lgan usuldir. Ammo, agar o'qituvchingiz foydalanish usulini ko'rsatmagan bo'lsa, biz o'zimiz qaror qabul qilishimiz kerak. Bu erda umumiy ko'rsatmalar to'plami mavjud mumkin qaysi usuldan foydalanishni aniqlashda yordam beradi.

  1. Kvadrat ildiz xususiyati muammosi aniqmi? Boshqacha qilib aytganda, tenglama FAQAT kvadrat va doimiydan iboratmi? Agar bu to'g'ri bo'lsa, kvadrat ildiz xususiyati foydalanish uchun eng oson usul bo'lishi mumkin.

  2. Bu omil bo'ladimi? Agar shunday bo'lsa, ehtimol bu yo'l. E'tibor bering, siz kvadrat tenglama omillari yoki yo'qligini aniqlashga ko'p vaqt sarflamasligingiz kerak. Tenglamani ko'rib chiqing va agar siz uning omillarini tezda aniqlay olsangiz, u holda davom eting. Agar siz bu omilni tezda aniqlay olmasangiz, bu haqda tashvishlanmang.

  3. Agar siz shu nuqtaga erishgan bo'lsangiz, unda siz tenglama kvadrat ildiz xususiyati uchun to'g'ri shaklda emasligini va u omil ta'sir qilmasligini aniqladingiz (yoki siz uni omillarni tezda ko'ra olmaysiz). Shunday qilib, bu nuqtada siz faqat haqiqiy variant - kvadratik formula.

Etarlicha kvadrat tenglamalarni yechganingizdan so'ng, yuqoridagi ko'rsatmalar to'plami siz uchun deyarli ikkinchi xususiyatga aylanadi va siz ularni deyarli o'ylamasdan o'tkazayotganingizni ko'rasiz.

E'tibor bering, ko'rsatmalar to'plamining hech bir joyida aytib o'tilgan kvadrat to'ldirilmagan. Buning sababi shunchaki, bu uzoq usul bo'lib, siz shoshqaloqlik bilan xatoga yo'l qo'yishingiz mumkin. Kvadrat formula ham har doim ishlaydi va foydalanish usulidan ancha qisqaroqdir. Umuman olganda, kvadratni to'ldirishdan faqat o'qituvchingiz undan foydalanishni talab qilgan bo'lsa foydalanish kerak.

Yechish usuli sifatida kvadratni to'ldirish har doim sizning oxirgi tanlovingiz bo'lishi kerak. Biroq, bu muhim usul emasligini anglatmaydi. Kvadrat jarayonini yakunlash keyingi boblarda bir nechta bo'limlarda paydo bo'lishini ko'rib chiqamiz. Qizig'i shundaki, bu jarayonni keyingi bo'limlarda ko'rganimizda, biz tenglamalarni yechmaymiz! Bu jarayon faqat bitta yechim bo'lgan ko'p holatlarda juda foydali.

Ushbu bo'limni tark etishdan oldin yana bir mavzuni muhokama qilamiz. Oldingi ikkita bo'limda biz kvadrat tenglamani standart shaklda yechish,

\[a{x^2} + bx + c = 0\]

biz quyidagi uchta mumkin bo'lgan yechim to'plamidan birini olamiz.

  1. Ikki haqiqiy farq (i.e. teng emas) yechimlar.

  2. Ikki ildiz. Esingizda bo'lsin, bu tenglamani mukammal kvadratga aylantira olsak, paydo bo'ladi.

  3. Ikkita murakkab yechim.

Bular Kvadrat tenglamalarni standart shaklda yechishning FAQAT imkoniyatlari. Ammo shuni yodda tutingki, agar biz tenglamada ratsional ifoda bilan boshlasak, biz turli xil echimlar to'plamiga ega bo'lishimiz mumkin, chunki biz nol xatoga bo'linmaslik uchun mumkin bo'lgan echimlardan biridan qochishimiz kerak bo'lishi mumkin.

Endi ma'lum bo'lishicha, biz uchta holatdan qaysi birini olishimizni aniqlash uchun kvadrat tenglamaga (albatta standart shaklda) qarashimiz kerak. Bu qanday ishlashini ko'rish uchun kvadrat formulani eslashdan boshlaylik.

\[x = \frac{{ - b \pm \sqrt {{b^2} - 4ac} }}{{2a}}\]

Kvadrat formuladagi \({b^2} - 4ac\) miqdori deyiladi diskriminant. Diskriminantning qiymati biz qaysi yechim to'plamini olishimizni aniqlaydi. Keling, holatlarni birma-bir ko'rib chiqaylik.

  1. Ikkita haqiqiy aniq yechim. Agar \({b^2} - 4ac > 0\) bo'lsa, biz ushbu yechim to'plamini olamiz. Bu holda biz musbat sonning kvadrat ildizini olamiz va shuning uchun kvadrat ildiz haqiqiy son bo'ladi. Shunday qilib, kvadrat formuladagi pay -\(b\) plyus yoki minus haqiqiy son bo'ladi. Bu shuni anglatadiki, surat ikki xil haqiqiy son bo'ladi. Bittasini 2\(a\) ga bo‘lish ularning haqiqiy ekanligini ham, boshqacha ekanligini ham o‘zgartirmaydi.

  2. Ikki ildiz. Agar \({b^2} - 4ac = 0\) bo'lsa, biz ushbu yechim to'plamini olamiz. Bu erda biz nolning kvadrat ildizini olamiz, bu nolga teng. Biroq, bu raqamning "ortiqcha yoki minus" qismi nolga teng bo'lishini anglatadi va shuning uchun kvadrat formuladagi pay -\(b\) bo'ladi. Boshqacha qilib aytadigan bo'lsak, biz kvadrat formuladan bitta haqiqiy sonni olamiz, bu biz qo'sh ildizni olganimizda olinadi.

  3. Ikkita murakkab yechim. Agar \({b^2} - 4ac < 0\) bo'lsa, biz ushbu yechim to'plamini olamiz. Agar diskriminant manfiy bo'lsa, kvadratik formulada manfiy sonlarning kvadrat ildizini olamiz, ya'ni biz murakkab echimlarni olamiz. Bundan tashqari, biz ikkitani olamiz, chunki ular kvadrat ildiz oldida "ortiqcha yoki minus" ga ega.

Shunday qilib, keling, natijalarni shu erda umumlashtiramiz.

  1. Agar \({b^2} - 4ac > 0\) bo'lsa, biz kvadrat tenglamaning ikkita haqiqiy yechimini olamiz.

  2. Agar \({b^2} - 4ac = 0\) bo'lsa, biz kvadrat tenglamaning qo'sh ildizini olamiz.

  3. Agar \({b^2} - 4ac < 0\) bo'lsa, biz kvadrat tenglamaning ikkita murakkab yechimini olamiz.
1-misol Diskriminant yordamida quyidagi kvadrat tenglamalarning har biri uchun qanday yechimlar to‘plamini olishimizni aniqlang.
  1. \(13{x^2} + 1 = 5x\)
  2. \(6{q^2} + 20q = 3\)
  3. \(49{t^2} + 126t + 81 = 0\)
Munozarani ko'rsatish

Bu erda qilishimiz kerak bo'lgan narsa tenglama standart shaklda ekanligiga ishonch hosil qilish, \(a\), \(b\) va \(c\) qiymatini aniqlash, keyin ularni diskriminantga ulash.


a \(13{x^2} + 1 = 5x\) Yechim

Avval tenglamani standart shaklda oling.

\[13{x^2} - 5x + 1 = 0\]

Keyin bizda,

\[a = 13\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}b = - 5\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}c = 1\]

Diskriminantga ulanish,

\[{b^2} - 4ac = {\left( { - 5} \right)^2} - 4\left( {13} \right)\left( 1 \right) = - 27\]

Diskriminant salbiy va shuning uchun biz ikkita murakkab echimga ega bo'lamiz. Malumot uchun haqiqiy echimlar:

\[x = \frac{{5 \pm 3\sqrt 3 \,i}}{{26}}\]

b \(6{q^2} + 20q = 3\) Yechim

Shunga qaramay, biz birinchi navbatda tenglamani standart shaklda olishimiz kerak.

\[6{q^2} + 20q - 3 = 0\]

Bu beradi,

\[a = 6\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}b = 20\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}c = - 3\]

Diskriminant u holda,

\[{b^2} - 4ac = {\left( {20} \right)^2} - 4\left( 6 \right)\left( { - 3} \right) = 472\]

Diskriminant ijobiy bo'lsa, biz ikkita aniq aniq echimga ega bo'lamiz. Mana ular,

\[x = \frac{{ - 20 \pm \sqrt {472} }}{{12}} = \frac{{ - 10 \pm \sqrt {118} }}{6}\]

c \(49{t^2} + 126t + 81 = 0\) Yechim

Bu tenglama allaqachon standart shaklda, shuning uchun to'g'ridan-to'g'ri o'taylik.

\[a = 49\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}b = 126\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}c = 81\]

Diskriminant u holda,

\[{b^2} - 4ac = {\left( {126} \right)^2} - 4\left( {49} \right)\left( {81} \right) = 0\]

Bu holda biz ikki tomonlama ildiz olamiz, chunki diskriminant nolga teng. Mana,

\[x = - \frac{9}{7}\]