2.3-bo'lim: To'liq differensialli tenglamalar (exact equations)
Birinchi tartibli differensial tenglamalarning biz ko'rib chiqadigan keyingi muhim sinfi — bu to'liq differensialli tenglamalar dir. To'liq differensialli tenglamalarni yechishning barcha nozik tafsilotlariga kirishishdan oldin, to'liq differensialli tenglama o'zi nima ekanligini, bu usul nima sababdan ishlashini va parda ortida qanday matematik qonuniyatlar yotganini ko'rsatib beruvchi bir misolni ko'rib chiqish maqsadga muvofiqdir.
Ushbu birinchi misolning asosiy maqsadi — to'liq differensialli tenglama mohiyatini, uning umumiy yechimi nima uchun \(\Psi(x,y) = c\) ko'rinishida bo'lishini tushuntirishdir. Funksiyani bosqichma-bosqich qidirish algoritmi keyingi misollarda batafsil bayon etiladi.
Yechim
Faraz qilaylik, qayerdadir shunday bir \(\Psi(x,y)\) funksiya mavjud bo'lsin. Ushbu misol uchun bizga zarur bo'lgan funksiya quyidagicha:
\[\Psi(x,y) = y^2 + (x^2 + 1)y - 3x^3\]Hozircha ushbu funksiya qayerdan paydo bo'lgani haqida tashvishlanmang; uni qanday qilib noldan topishni 2-misolda o'rganamiz. Hozircha shunchaki bunday funksiya bor deb qabul qiling.
Endi ushbu \(\Psi(x,y)\) funksiyadan \(x\) va \(y\) bo'yicha xususiy hosilalarni hisoblaylik:
\[\begin{align*} \Psi_x & = \frac{\partial \Psi}{\partial x} = 2xy - 9x^2\\ \Psi_y & = \frac{\partial \Psi}{\partial y} = 2y + x^2 + 1 \end{align*}\]Endi bu xususiy hosilalarni dastlabki differensial tenglamamiz bilan taqqoslang! Ko'rib turganingizdek, tenglamadagi birinchi had aynan \(\Psi_x\) ga, \(\frac{dy}{dx}\) oldidagi ko'paytuvchi esa aynan \(\Psi_y\) ga tengdir. Demak, differensial tenglamamizni quyidagicha yozib olishimiz mumkin:
\[\begin{equation} \Psi_x + \Psi_y\frac{dy}{dx} = 0 \label{eq:eq1} \end{equation}\]Endi ko'p o'zgaruvchili analiz (Calculus III) kursidagi murakkab funksiyani differensiallashning zanjir qoidasi ni eslang. Agar \(y = y(x)\) bo'lsa, \(\Psi(x, y(x))\) funksiyaning \(x\) bo'yicha to'liq hosilasi aynan quyidagiga tengdir:
\[\frac{d}{dx}\Big( \Psi\big(x, y(x)\big) \Big) = \frac{\partial \Psi}{\partial x} + \frac{\partial \Psi}{\partial y}\frac{dy}{dx} = \Psi_x + \Psi_y\frac{dy}{dx}\]Demak, bizning butun boshli differensial tenglamamiz bitta to'liq hosilaga teng bo'lib qoldi:
\[\frac{d}{dx}\Big( \Psi\big(x, y(x)\big) \Big) = 0\]Agar qandaydir ifodaning oddiy hosilasi 0 ga teng bo'lsa, u holda ushbu ifodaning o'zi o'zgarmas son (konstanta) bo'lishi shart! Boshqacha aytganda:
\[\Psi(x,y) = c\]yoki bizning aniq funksiyamiz uchun:
\[y^2 + (x^2 + 1)y - 3x^3 = c\]Mana bu bizning differensial tenglamamizning oshkormas yechimi dir! Agar boshlang'ich shart berilgan bo'lsa, \(c\) ni osongina topishimiz hamda kvadrat tenglama formulasidan foydalanib oshkor \(y(x)\) yechimni keltirib chiqarishimiz mumkin.
Umumiy nazariya va To'liq differensiallik alomati
Keling, vaziyatni umumiy holda tahlil qilaylik. Faraz qilaylik, bizda quyidagi ko'rinishdagi birinchi tartibli differensial tenglama berilgan bo'lsin:
\[\begin{equation} M(x,y) + N(x,y)\frac{dy}{dx} = 0 \label{eq:eq2} \end{equation}\]E'tibor bering: tenglama aynan shu standart ko'rinishda bo'lishi shart — bir tomonda nol (\(= 0\)) turishi va ikki had orasidagi ishora albatta plyus (\(+\)) bo'lishi kerak. Differensiallar shaklida buni \(M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0\) deb yozish ham mumkin.
Agar shunday \(\Psi(x,y)\) funksiya mavjud bo'lsaki, uning xususiy hosilalari tenglama koeffitsiyentlariga teng bo'lsa, ya'ni:
\[\Psi_x = M(x,y)\hspace{0.25in}\text{va}\hspace{0.25in}\Psi_y = N(x,y)\]u holda ushbu differensial tenglama to'liq differensialli tenglama deyiladi. Bunday holda tenglamaning chap tomoni to'liq differensial \(d\Psi\) ga teng bo'lib, uning umumiy yechimi to'g'ridan-to'g'ri quyidagicha yoziladi:
\[\begin{equation} \Psi(x,y) = c \label{eq:eq4} \end{equation}\]Biroq, har qanday tenglama uchun ham bunday \(\Psi(x,y)\) funksiya mavjud bo'lavermaydi. Agar tenglama to'liq differensialli bo'lmasa, mavjud bo'lmagan funksiyani izlashga vaqt sarflash befoydadir. Shu sababli, tenglamani yechishga kirishishdan oldin uning to'liq differensialli ekanini tekshirish imkonini beruvchi oddiy mezon — To'liq differensiallik alomati zarur.
Agar \(M(x,y)\) va \(N(x,y)\) funksiyalar hamda ularning birinchi tartibli xususiy hosilalari qandaydir sohada uzluksiz bo'lsa, u holda \(M(x,y) + N(x,y)\frac{dy}{dx} = 0\) differensial tenglama to'liq differensialli bo'lishi uchun quyidagi tenglik bajarilishi zarur va yetarlidir:
\[\begin{equation} \frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x} \label{eq:eq5} \end{equation}\]ya'ni qisqacha: \(M_y = N_x\).
Isboti: Agar tenglama to'liq differensialli bo'lsa, \(\Psi_x = M\) va \(\Psi_y = N\) bo'ladi. Calculusdagi Shvars teoremasiga ko'ra, agar ikkinchi tartibli aralash xususiy hosilalar uzluksiz bo'lsa, ular differensiallash tartibiga bog'liq emas, ya'ni \(\Psi_{xy} = \Psi_{yx}\). Demak:
\[M_y = (\Psi_x)_y = \Psi_{xy} = \Psi_{yx} = (\Psi_y)_x = N_x\]Shunday qilib, agar \(M_y = N_x\) bo'lsa, tenglama to'liq differensialli bo'ladi; agar \(M_y \ne N_x\) bo'lsa, tenglama to'liq differensialli emas.
\(\Psi(x,y)\) funksiyani topish algoritmi
\(\Psi(x,y)\) funksiyani topish quyidagi ketma-ketlikda amalga oshiriladi:
- Dastlab \(\Psi_x = M\) tenglikdan foydalanib, \(M(x,y)\) ni \(x\) bo'yicha integrallaymiz: \[\Psi(x,y) = \int M(x,y)\,dx + h(y)\] Bu yerda \(h(y)\) — integrallash "doimiysi" bo'lib, u \(y\) ning ixtiyoriy funksiyasidir (chunki \(x\) bo'yicha xususiy hosila olinganda faqat \(y\) ga bog'liq bo'lgan har qanday ifoda nolga aylanadi).
- Endi \(h(y)\) funksiyani aniqlash uchun topilgan ifodadan \(y\) bo'yicha xususiy hosila olamiz va uni \(N(x,y)\) ga tenglashtiramiz: \[\Psi_y = \frac{\partial}{\partial y}\left(\int M\,dx\right) + h'(y) = N(x,y)\]
- Ushbu tenglikdan \(h'(y)\) ni topamiz. Muhim nazorat: hosil bo'lgan \(h'(y)\) ifodasida barcha \(x\) lar to'liq qisqarib ketishi SHART! Unda faqat \(y\) o'zgaruvchi qolishi kerak. Agar birorta \(x\) qolib ketsa, demak qayerdadir hisoblash xatosi qilingan.
- \(h'(y)\) ni \(y\) bo'yicha integrallab \(h(y)\) ni topamiz va uni \(\Psi(x,y)\) ga qo'yamiz. So'ngra umumiy yechimni \(\Psi(x,y) = c\) ko'rinishida yozamiz.
(Eslatma: xuddi shu ishni \(\Psi_y = N\) dan boshlab, \(y\) bo'yicha integrallash va \(g(x)\) ni qidirish orqali ham bir xil muvaffaqiyat bilan bajarish mumkin).
Yechim
Dastlab \(M\) va \(N\) ni ajratamiz va to'liq differensiallik shartini tekshiramiz:
\[\begin{align*} M & = 2xy - 9x^2 \implies M_y = \frac{\partial}{\partial y}(2xy - 9x^2) = 2x\\ N & = 2y + x^2 + 1 \implies N_x = \frac{\partial}{\partial x}(2y + x^2 + 1) = 2x \end{align*}\]\(M_y = N_x = 2x\). Shart bajarildi, demak differensial tenglama to'liq differensialli!
Endi \(\Psi(x,y)\) ni topish uchun \(M\) ni \(x\) bo'yicha integrallaymiz:
\[\Psi(x,y) = \int (2xy - 9x^2)\,dx = x^2 y - 3x^3 + h(y)\]Endi ushbu ifodani \(y\) bo'yicha differensiallab, \(N\) ga tenglashtiramiz:
\[\Psi_y = x^2 + h'(y) = 2y + x^2 + 1\]Ikkala tomondan \(x^2\) qisqarib ketadi va quyidagi sodda ifoda qoladi:
\[h'(y) = 2y + 1\]Buni \(y\) bo'yicha integrallaymiz (integrallash doimiysini keyinchalik umumiy \(c\) ga singdirib yuborishimiz mumkin bo'lgani sababli, uni 0 deb olamiz):
\[h(y) = \int (2y + 1)\,dy = y^2 + y\]Shunday qilib, izlanayotgan \(\Psi(x,y)\) funksiya quyidagicha aniqlandi:
\[\Psi(x,y) = x^2 y - 3x^3 + y^2 + y = y^2 + (x^2 + 1)y - 3x^3\]Demak, differensial tenglamaning umumiy oshkormas yechimi:
\[y^2 + (x^2 + 1)y - 3x^3 = c\]Endi boshlang'ich shartni (\(x = 0\) da \(y = -3\)) qo'llab, \(c\) ni topamiz:
\[(-3)^2 + (0 + 1)(-3) - 3(0)^3 = c \implies 9 - 3 - 0 = c \implies c = 6\]Xususiy oshkormas yechim: \(y^2 + (x^2 + 1)y - 3x^3 - 6 = 0\).
Ushbu tenglikdan \(y\) ni topish uchun uni \(y\) ga nisbatan kvadrat tenglama deb qaraymiz:
\[\begin{align*} y(x) & = \frac{-(x^2 + 1) \pm \sqrt{(x^2 + 1)^2 - 4(1)(-3x^3 - 6)}}{2}\\ & = \frac{-(x^2 + 1) \pm \sqrt{x^4 + 2x^2 + 1 + 12x^3 + 24}}{2}\\ & = \frac{-(x^2 + 1) \pm \sqrt{x^4 + 12x^3 + 2x^2 + 25}}{2} \end{align*}\]Boshlang'ich shart \(y(0) = -3\) ni tekshiramiz: \(y(0) = \frac{-1 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{-1 \pm 5}{2}\). Bizga \(-3\) hosil bo'lishi uchun manfiy ("-") ishora kerak. Demak, oshkor yechim:
\[y(x) = \frac{-(x^2 + 1) - \sqrt{x^4 + 12x^3 + 2x^2 + 25}}{2}\]Mavjudlik oralig'i: Ildiz ostidagi ifoda nomanfiy bo'lishi kerak: \(x^4 + 12x^3 + 2x^2 + 25 \ge 0\). Ushbu 4-darajali ko'phadning haqiqiy ildizlari \(x \approx -11.81558\) va \(x \approx -1.39691\) ga teng. Grafikdan ko'rinadiki, ko'phad quyidagi oraliqlarda nomanfiy bo'ladi:
Boshlang'ich shartdagi \(x = 0\) nuqta \([-1.39691, \infty)\) oralig'ida yotadi. Demak, yechimning mavjudlik oralig'i:
\[-1.396911 \le x < \infty\]Quyida topilgan yechimning grafigi keltirilgan:
Yechim
Dastlab tenglamani standart \(M + N y' = 0\) ko'rinishga keltirishimiz shart (o'ng tomoni 0 va hadlar orasida plyus bo'lishi kerak):
\[2xy^2 + 4 - 2(3 - x^2 y)y' = 0 \implies 2xy^2 + 4 + (2x^2 y - 6)y' = 0\]To'liq differensiallikni tekshiramiz:
\[\begin{align*} M & = 2xy^2 + 4 \implies M_y = 4xy\\ N & = 2x^2 y - 6 \implies N_x = 4xy \end{align*}\]\(M_y = N_x = 4xy\), tenglama to'liq differensialli. Bu safar integrallashni \(N\) dan boshlaylik (ya'ni \(y\) bo'yicha integrallaymiz):
\[\Psi(x,y) = \int (2x^2 y - 6)\,dy = x^2 y^2 - 6y + h(x)\]Bu yerda \(h(x)\) faqat \(x\) ning funksiyasidir. Endi \(x\) bo'yicha hosila olamiz va \(M\) ga tenglashtiramiz:
\[\Psi_x = 2xy^2 + h'(x) = 2xy^2 + 4 \implies h'(x) = 4 \implies h(x) = 4x\]Shunday qilib:
\[\Psi(x,y) = x^2 y^2 - 6y + 4x\]Umumiy oshkormas yechim: \(x^2 y^2 - 6y + 4x = c\).
\(x = -1\) da \(y = 8\) boshlang'ich shartni qo'yamiz:
\[(-1)^2 (8)^2 - 6(8) + 4(-1) = c \implies 64 - 48 - 4 = c \implies c = 12\]Oshkormas yechim: \(x^2 y^2 - 6y + (4x - 12) = 0\). Uni \(y\) ga nisbatan kvadrat tenglama sifatida yechamiz:
\[\begin{align*} y(x) & = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4(x^2)(4x - 12)}}{2x^2}\\ & = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 16x^3 + 48x^2}}{2x^2}\\ & = \frac{6 \pm 2\sqrt{9 + 12x^2 - 4x^3}}{2x^2}\\ & = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 12x^2 - 4x^3}}{x^2} \end{align*}\]\(x = -1\) da \(y = 8\) ni tekshiramiz: \(y(-1) = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 12 - 4(-1)}}{1} = 3 \pm \sqrt{25} = 3 \pm 5\). \(3 + 5 = 8\) bo'lgani sababli, musbat ("+") ishora to'g'ri keladi:
\[y(x) = \frac{3 + \sqrt{9 + 12x^2 - 4x^3}}{x^2}\]Mavjudlik oralig'i: Maxraj nolga teng bo'lmasligi uchun \(x \ne 0\). Ildiz ostidagi \(-4x^3 + 12x^2 + 9 \ge 0\) shartni yechamiz. Ushbu kubik ko'phadning yagona haqiqiy ildizi \(x \approx 3.21736\) dir:
Demak, ildiz osti nomanfiy bo'ladigan oraliq: \((-\infty, 3.21736]\). Ammo bu oraliqda \(x = 0\) maxraj nolga aylanadigan uzilish nuqtasi yotibdi! Uzilish nuqtasi oraliqni ikkiga bo'ladi: \((-\infty, 0)\) va \((0, 3.21736]\). Boshlang'ich shartdagi \(x = -1\) manfiy bo'lgani uchun, yechimning mavjudlik oralig'i birinchi oraliq bo'ladi:
\[-\infty < x < 0\]Yechim grafigi quyidagicha:
Yechim
Minus ishorasini qavs ichiga kiritib, standart ko'rinishga keltiramiz:
\[\left(\frac{2ty}{t^2 + 1} - 2t\right) + \left(\ln(t^2 + 1) - 2\right)y' = 0\]Xususiy hosilalarni tekshiramiz:
\[M_y = \frac{2t}{t^2 + 1},\hspace{0.25in} N_t = \frac{2t}{t^2 + 1}\]\(M_y = N_t\), tenglama to'liq differensialli. \(M\) ni \(t\) bo'yicha integrallaymiz:
\[\Psi(t,y) = \int \left(\frac{2ty}{t^2 + 1} - 2t\right)\,dt = y\ln(t^2 + 1) - t^2 + h(y)\]\(y\) bo'yicha hosila olamiz:
\[\Psi_y = \ln(t^2 + 1) + h'(y) = \ln(t^2 + 1) - 2 \implies h'(y) = -2 \implies h(y) = -2y\]Oshkormas yechim:
\[y\ln(t^2 + 1) - t^2 - 2y = c \implies y(\ln(t^2 + 1) - 2) - t^2 = c\]\(t = 5\) da \(y = 0\) boshlang'ich shartdan: \(0 - 25 = c \implies c = -25\).
Bu yerda kvadrat tenglama talab qilinmaydi, \(y\) ni to'g'ridan-to'g'ri ajratish kifoya:
\[y(t) = \frac{t^2 - 25}{\ln(t^2 + 1) - 2}\]Mavjudlik oralig'i: Maxraj nolga teng bo'lmasligi kerak:
\[\ln(t^2 + 1) - 2 = 0 \implies \ln(t^2 + 1) = 2 \implies t^2 + 1 = e^2 \implies t = \pm\sqrt{e^2 - 1}\]Mumkin bo'lgan uch oraliq: \((-\infty, -\sqrt{e^2 - 1})\), \((-\sqrt{e^2 - 1}, \sqrt{e^2 - 1})\), \((\sqrt{e^2 - 1}, \infty)\). Boshlang'ich shart \(t = 5 > \sqrt{e^2 - 1} \approx 2.527\) uchinchi oraliqda joylashgan. Demak, mavjudlik oralig'i:
\[\sqrt{e^2 - 1} < t < \infty\]Yechim grafigi quyidagicha:
Yechim
To'liq differensiallikni tekshiramiz:
\[\begin{align*} M_y & = \frac{\partial}{\partial y}(3y^3 e^{3xy} - 1) = 9y^2 e^{3xy} + 9xy^3 e^{3xy}\\ N_x & = \frac{\partial}{\partial x}(2y e^{3xy} + 3xy^2 e^{3xy}) = 6y^2 e^{3xy} + 3y^2 e^{3xy} + 9xy^3 e^{3xy} = 9y^2 e^{3xy} + 9xy^3 e^{3xy} \end{align*}\]\(M_y = N_x\), tenglama to'liq differensialli. \(M\) ni \(x\) bo'yicha integrallaymiz (\(\int e^{3xy}\,dx = \frac{1}{3y}e^{3xy}\)):
\[\Psi(x,y) = \int (3y^3 e^{3xy} - 1)\,dx = 3y^3 \cdot \frac{1}{3y}e^{3xy} - x + h(y) = y^2 e^{3xy} - x + h(y)\]\(y\) bo'yicha differensiallaymiz:
\[\Psi_y = 2y e^{3xy} + 3xy^2 e^{3xy} + h'(y) = 2y e^{3xy} + 3xy^2 e^{3xy} \implies h'(y) = 0 \implies h(y) = 0\]Shunday qilib, umumiy oshkormas yechim:
\[y^2 e^{3xy} - x = c\]\(x = 0\) da \(y = 1\) boshlang'ich shartdan: \((1)^2 e^0 - 0 = c \implies c = 1\).
Xususiy oshkormas yechim:
\[y^2 e^{3xy} - x = 1\]Ushbu tenglikdan \(y\) ni elementar funksiyalar yordamida oshkor ko'rinishda ajratib olish imkonsiz bo'lgani sababli, yechim oshkormas shaklda qoldiriladi.
To'liq differensialli tenglamalar differensial hisob va integrallash o'rtasidagi go'zal bog'liqlikni namoyon etadi. Keyingida biz to'liq differensialli bo'lmagan, biroq maxsus almashtirishlar orqali chiziqli yoki ajraladigan ko'rinishga keltiriladigan tenglamalarni (xususan, Bernulli tenglamalari ni) ko'rib chiqamiz.