12.1-bo'lim: 3-D koordinata tizimi
Biz bobni 3-D koordinatalar tizimi va biz foydalanadigan konventsiyalar bilan tanishtiruvchi juda qisqa munozara bilan boshlaymiz. Shuningdek, biz turli koordinata tizimlari tenglama grafigini qanday o'zgartirishi mumkinligini qisqacha ko'rib chiqamiz.
Keling, avval ba'zi asosiy belgilarni yo'lga qo'yaylik. 3-D koordinatalar tizimi ko'pincha \({\mathbb{R}^3}\) bilan belgilanadi. Xuddi shunday, 2-D koordinatalar tizimi ko'pincha \({\mathbb{R}^2}\) va 1-D koordinatalar tizimi \(\mathbb{R}\) bilan belgilanadi. Bundan tashqari, siz taxmin qilganingizdek, umumiy \(n\) o'lchovli koordinatalar tizimi ko'pincha \({\mathbb{R}^n}\) bilan belgilanadi.
Keyinchalik, asosiy koordinatalar tizimini tez ko'rib chiqaylik.
Bu sinfdagi eksalarning standart joylashuvi. O'qlar tomonidan faqat ijobiy yo'nalishlar ko'rsatilgan deb taxmin qilinadi. Agar biron sababga ko'ra salbiy o'qlar kerak bo'lsa, biz ularni kerak bo'lganda joylashtiramiz.
Ushbu eskizdagi turli nuqtalarga ham e'tibor bering. \(P\) nuqtasi 3 o'lchamli fazoda joylashgan umumiy nuqtadir. Agar biz \(P\) dan boshlasak va \(z\) koordinatasi nolga yetguncha pastga tushsak, \(Q\) nuqtasiga erishamiz. Biz \(Q\) \(xy\) tekisligida o'tiradi deb aytamiz. \(xy\)-tekisligi nolga teng \(z\)-koordinatasiga ega bo'lgan barcha nuqtalarga mos keladi. Bundan tashqari, biz \(P\) dan boshlashimiz va \(xz\) tekisligida (bu \(y\) koordinatasi nolga ega \(S\)) va \(yz\) tekisligida (bu \(R\) K2 ning \(R\)24) nuqtalarini olish uchun ko'rsatilgandek boshqa ikki yo'nalishda harakat qilishimiz mumkin.
Birgalikda \(xy\), \(xz\) va \(yz\) tekisliklari ba'zan koordinata tekisliklari deb ataladi. Ushbu sinfning qolgan qismida siz turli xil koordinata tekisliklari bilan shug'ullanishingiz kerak, shuning uchun buni qila olishingizga ishonch hosil qiling.
Shuningdek, \(Q\) nuqtasi ko'pincha \(P\) ning \(xy\) tekisligidagi proyeksiyasi deb ataladi. Xuddi shunday, \(R\) \(P\) ning \(yz\) tekisligidagi proyeksiyasi va \(S\) \(P\) ning \(xz\) tekisligidagi proyeksiyasidir.
\({\mathbb{R}^2}\) da ishlashga odatlangan ko‘pgina formulalar \({\mathbb{R}^3}\) da tabiiy kengaytmalarga ega. Masalan, \({\mathbb{R}^2}\) dagi ikkita nuqta orasidagi masofa quyidagicha berilgan:
\[d\left( {{P_1},{P_2}} \right) = \sqrt {{{\left( {{x_2} - {x_1}} \right)}^2} + {{\left( {{y_2} - {y_1}} \right)}^2}} \]\({\mathbb{R}^3}\) dagi har qanday ikkita nuqta orasidagi masofa quyidagicha berilgan:
\[d\left( {{P_1},{P_2}} \right) = \sqrt {{{\left( {{x_2} - {x_1}} \right)}^2} + {{\left( {{y_2} - {y_1}} \right)}^2} + {{\left( {{z_2} - {z_1}} \right)}^2}} \]Xuddi shunday, markazi \(\left( {h,k} \right)\) va radiusi \(r\) bo‘lgan aylana uchun umumiy tenglama quyidagicha berilgan:
\[{\left( {x - h} \right)^2} + {\left( {y - k} \right)^2} = {r^2}\]markazi \(\left( {h,k,l} \right)\) va radiusi \(r\) boʻlgan sharning umumiy tenglamasi quyidagicha berilgan:
\[{\left( {x - h} \right)^2} + {\left( {y - k} \right)^2} + {\left( {z - l} \right)^2} = {r^2}\]Shu bilan birga, biz \({\mathbb{R}^2}\) haqida bilgan hamma narsani \({\mathbb{R}^3}\) ga tarjima qilishdan ehtiyot bo'lishimiz va u xuddi shunday ishlaydi deb taxmin qilishimiz kerak. Bunga yaxshi misol ma'lum darajada grafikada. Quyidagi misolni ko'rib chiqing.
Yechim
\(\mathbb{R}\) da bizda bitta koordinatalar tizimi mavjud va shuning uchun \(x = 3\) 1 o'lchamli koordinatalar tizimidagi nuqtadir.
\({\mathbb{R}^2}\) da \(x = 3\) tenglamasi \(\left( {3,y} \right)\) ko'rinishidagi barcha nuqtalarni grafigini tuzishni aytadi. Bu 2 o'lchamli koordinatalar tizimidagi vertikal chiziq.
\({\mathbb{R}^3}\) da \(x = 3\) tenglamasi \(\left( {3,y,z} \right)\) ko'rinishidagi barcha nuqtalarni grafigini tuzishni aytadi. Agar siz orqaga qaytsangiz va koordinata tekisligi nuqtalariga qarasangiz, bu \(yz\) tekisligining koordinatalariga juda o'xshaydi, bundan tashqari bu safar bizda \(x = 0\) o'rniga \(x = 3\) mavjud. Shunday qilib, 3 o'lchamli koordinatalar tizimida bu \(yz\) tekisligiga parallel bo'lgan va \(x = 3\) da \(x\) o'qi orqali o'tadigan tekislikdir.
Mana \(\mathbb{R}\) da \(x = 3\) ning grafigi.
Mana \(x = 3\) ning \({\mathbb{R}^2}\) dagi grafigi.
Va nihoyat, \({\mathbb{R}^3}\)-dagi \(x = 3\) grafigi. E'tibor bering, biz ushbu grafikni ikki xil uslubda taqdim etdik. Chap tomonda biz ko'rishga odatlangan an'anaviy eksa tizimi, o'ng tomonda esa grafikni qutiga joylashtirdik. Vaqti-vaqti bilan ikkala ko'rinish ham istiqbolga yordam berish uchun qulay bo'lishi mumkin, shuning uchun biz buni ko'pincha 3D grafiklar va eskizlar bilan qilamiz.
E'tibor bering, ushbu nuqtada biz ushbu g'oyadan foydalanib, har bir koordinata tekisligi uchun tenglamalarni yozishimiz mumkin.
\[\begin{align*}z & = 0\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}xy - {\mbox{plane}}\\ y & = 0\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}xz - {\mbox{plane}}\\ x & = 0\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}yz - {\mbox{plane}}\end{align*}\]Keling, biroz umumiyroq misolni ko'rib chiqaylik.
Yechim
E'tibor bering, biz ushbu misol uchun \(\mathbb{R}\) ni chiqarib tashlashimiz kerak edi, chunki ikkita o'zgaruvchi bor, bu biz 1 o'lchamli bo'shliqda bo'lolmasligimizni anglatadi (1 o'lchamli bo'shliq faqat bitta o'zgaruvchiga ega!).
\({\mathbb{R}^2}\) da bu qiyalik 2 va \(y\) kesishmasi -3 bo'lgan chiziq.
Biroq, \({\mathbb{R}^3}\) da bu chiziq bo'lishi shart emas. Biz \(z\) qiymatini belgilamaganimiz uchun biz \(z\) har qanday qiymatni olishga ruxsat berishga majburmiz. Bu shuni anglatadiki, \(z\) ning har qanday ma'lum qiymatida biz ushbu qatorning nusxasini olamiz. Demak, grafik \(xy\) tekisligida \(y = 2x - 3\) tomonidan berilgan chiziq ustida joylashgan vertikal tekislikdir.
Mana \({\mathbb{R}^2}\) da grafik.
Mana \({\mathbb{R}^3}\) da grafik.
E'tibor bering, agar biz samolyot \(xy\) tekisligi bilan kesishgan joyga qarasak, yuqoridagi grafikda qayd etilgan \({\mathbb{R}^2}\) dagi chiziqning grafigini tekislik orqali qizil chiziq orqali olamiz.
Keling, turli koordinata tizimlaridagi grafiklar orasidagi farqning yana bir misolini ko'rib chiqaylik.
Yechim
Oldingi misolda bo'lgani kabi, bu 1-D grafikga ega bo'lmaydi, chunki ikkita o'zgaruvchi mavjud.
\({\mathbb{R}^2}\) da bu radiusi 2 bo'lgan boshlang'ich markazida joylashgan doiradir.
Biroq, \({\mathbb{R}^3}\) da, oldingi misolda bo'lgani kabi, bu aylana bo'lishi mumkin yoki bo'lmasligi mumkin. Biz \(z\)-ni hech qanday tarzda belgilamaganimiz uchun \(z\) har qanday qiymatni olishi mumkin deb taxmin qilishimiz kerak. Boshqacha qilib aytganda, \(z\) ning istalgan qiymatida bu tenglama bajarilishi kerak va shuning uchun \(z\) har qanday qiymatda biz markazda joylashgan 2 radiusli doiraga ega bo'lamiz. z- o'qi. Bu shuni anglatadiki, bizda \(z\) o'qi markazida joylashgan 2 radiusli silindr bor.
Mana bu misol uchun grafiklar.
Yana e'tibor bering, agar silindr \(xy\) tekisligi bilan kesishgan joyga qarasak, biz yana \({\mathbb{R}^2}\) dan aylana olamiz.
Oxirgi ikkita misol bilan ehtiyot bo'lishimiz kerak. Bularning natijalarini olish va biz \({\mathbb{R}^3}\)-da chiziqlar yoki doiralarni grafikasini tuza olmaymiz, deb aytish jozibali bo'lar edi, ammo bu mantiqiy emas. \({\mathbb{R}^3}\)-da chiziqlar yoki doiralar grafiklari bo'lmasligi uchun hech qanday sabab yo'q. Keling, aylana misoli haqida o'ylab ko'raylik. \({\mathbb{R}^3}\) da doira grafigini tuzish uchun biz \(z = 5\) da \({x^2} + {y^2} = 4\) kabi biror narsa qilishimiz kerak. Bu \(z = 5\) darajasida \(z\) o'qida markazlashtirilgan 2 radiusli doira bo'ladi. Shunday qilib, biz \(z\) ni belgilagan ekanmiz, biz silindrni emas, aylana olamiz. Davralarni belgilashning osonroq usulini keyingi bo'limda ko'rib chiqamiz.
Ikkinchi misoldagi chiziq bilan ham xuddi shunday qilishimiz mumkin. Biroq, biz keyingi bo'limda chiziqlarni umumiyroq ko'rib chiqamiz va shuning uchun biz \({\mathbb{R}^3}\)-da chiziqlar bilan ishlashning yaxshiroq yo'lini ko'ramiz.
Ushbu bo'limdagi misollardan maqsad, biz tenglamalar grafikasiga ehtiyotkorlik bilan munosabatda bo'lishimiz va qaysi koordinatalar tizimida ekanligimizni doimo eslab qolishimizga ishonch hosil qilishdir.
Bu erda yana bir tezkor fikr shundaki, biz yuqoridagi misollarda ko'rganimizdek, \({\mathbb{R}^3}\)-dagi ko'plab tenglamalar grafiklari sirtdir. Bu biz \({\mathbb{R}^3}\) da egri chiziqlarni chiza olmasligimizni anglatmaydi. Biz \({\mathbb{R}^3}\) da egri chiziqlarni chiza olamiz va chizamiz, shuningdek, bu bobda keyinroq ko‘rib chiqamiz.