Bu erda qilishimiz kerak bo'lgan birinchi narsa, bizga qanday ma'lumot berilganligini va nimani topmoqchi ekanligimizni aniqlashdir. Buni qilishdan oldin, keling, sharning hajmi ham, sharning radiusi ham vaqtga qarab o'zgarishiga e'tibor qarataylik va haqiqatan ham vaqtning funktsiyalari, i.e. \(V\left( t \right)\) and \(r\left( t \right)\).

Biz bilamizki, havo sharga 5 sm tezlikda pompalanadi³/min. Bu hajmning ortib borayotgan tezligi. Eslatib o'tamiz, o'zgarish sur'atlari hosilalardan boshqa narsa emas va shuning uchun biz bilamizki,

\[V'\left( t \right) = 5\]

Biz radiusning o'zgaruvchan tezligini aniqlamoqchimiz. Shunga qaramay, stavkalar hosiladir va shuning uchun biz aniqlamoqchimiz

\[r'\left( t \right) = ?\hspace{0.25in}{\rm{when}}\hspace{0.25in}r\left( t \right) = \frac{d}{2} = 10\,{\rm{cm}}\]

E'tibor bering, biz diametrni radiusga aylantirishimiz kerak edi.

Endi biz bizga nima berilganligini va nimani topmoqchi ekanligimizni aniqlaganimizdan so'ng, biz bu ikki miqdorni bir-biriga bog'lashimiz kerak. Bu holda biz hajm va radiusni sharning hajmi formulasi bilan bog'lashimiz mumkin.

\[V\left( t \right) = \frac{4}{3}\pi {\left[ {r\left( t \right)} \right]^3}\]

Oldingida biz yashirin differentsiatsiyani ko'rib chiqqanimizda bo'lgani kabi, biz odatda formulalardagi narsalarning \(\left( t \right)\) qismini ishlatmaymiz, lekin bulardan biri orqali birinchi marta bo'lgani uchun biz ular haqiqatan ham \(t\) funktsiyalari ekanligini o'zimizga eslatish uchun qilamiz.

Endi biz ovoz balandligi va radius o'rtasidagi munosabatni xohlamaymiz. Biz haqiqatan ham ularning hosilalari o'rtasidagi munosabatlarni xohlaymiz. Buni \(t\) ga nisbatan ikkala tomonni farqlash orqali amalga oshirishimiz mumkin. Boshqacha qilib aytganda, biz yuqoridagi formula bo'yicha aniq farqlashimiz kerak bo'ladi. Buni qilish,

\[V' = 4\pi {r^2}r'\]

E'tibor bering, shu nuqtada biz oldinga bordik va har bir shartdan \(\left( t \right)\) ni tashladik. Endi biz qilishimiz kerak bo'lgan narsa - biz bilgan narsalarni ulash va biz topmoqchi bo'lgan narsani hal qilishdir.

\[5 = 4\pi \left( {{{10}^2}} \right)r'\hspace{0.25in}\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}\hspace{0.25in}r' = \frac{1}{{80\pi }}\,{\rm{ cm/min}}\]

Bu holatda qilish kerak bo'lgan birinchi narsa - bizga nima bo'layotganini ko'rsatadigan rasmni chizish.

Biz narvonning pastki qismining devordan masofasini \(x\) va narvonning yuqori qismining poldan masofasini \(y\) deb belgilab oldik. Shuni ham yodda tutingki, ular vaqt o'tishi bilan o'zgaradi va shuning uchun biz haqiqatan ham \(x\left( t \right)\) va \(y\left( t \right)\) yozishimiz kerak. Biroq, ko'pincha tegishli stavkalar/so'zsiz farqlash muammolarida bo'lgani kabi, biz \(\left( t \right)\) qismini yozmaymiz, shunchaki muammoni hal qilishda buni eslab qolishga harakat qilamiz.

Keyinchalik, biz nimani bilamiz va nimani topmoqchi ekanligimizni aniqlashimiz kerak. Biz bilamizki, zinapoyaning pastki qismi devorga qarab harakatlanish tezligi. Bu,

\[x' = - \frac{1}{4}\]

Shuni ham yodda tutingki, stavka manfiy, chunki \(x\) devoridan masofa pasaymoqda. Biz har doim bu muammolar bilan belgilar bilan ehtiyot bo'lishimiz kerak.

Biz narvonning yuqori qismi poldan uzoqlashish tezligini topmoqchimiz. Bu \(y'\). Shuni ham yodda tutingki, bu miqdor ijobiy bo'lishi kerak, chunki \(y\) ortib boradi.

Birinchi misolda bo'lgani kabi, biz birinchi navbatda \(x\) va \(y\) o'rtasidagi munosabatga muhtojmiz. Buni Pifagor teoremasi yordamida olishimiz mumkin.

\[{x^2} + {y^2} = {\left( {15} \right)^2} = 225\]

Shu nuqtada qilishimiz kerak bo'lgan narsa \(t\) ga nisbatan ikkala tomonni farqlash, \(x\) va \(y\) haqiqatan ham \(t\) funktsiyalari ekanligini va shuning uchun biz yashirin farqlashimiz kerakligini yodda tutishdir. Buni bajarish hosilalar orasidagi munosabatni ko'rsatadigan tenglamani beradi.

\[\begin{equation}2xx' + 2yy' = 0\end{equation} \label{eq:eq1}\]

Keling, ushbu tenglamaning qaysi qismlarini bilishimizni va nimani topishimiz kerakligini ko'rib chiqaylik. Biz \(x'\) ni bilamiz va \(y'\) ni aniqlash so‘ralmoqda, shuning uchun biz buni bilmasligimiz mumkin. Biroq, biz hali ham \(x\) va \(y\) ni aniqlashimiz kerak.

\(x\) va \(y\) ni aniqlash aslida juda oddiy. Biz bilamizki, dastlab \(x = 10\) va oxiri \({\textstyle{1 \over 4}}\) ft/sek tezlikda devorga suriladi va biz 12 soniyadan keyin nima sodir bo'lganiga qiziqamiz. Biz buni bilamiz,

\[\begin{align*}{\rm{distance}} = {\rm{rate}} \times {\rm{time}}\\ & = \left( {\frac{1}{4}} \right)\left( {12} \right) = 3\end{align*}\]

Shunday qilib, zinapoyaning oxiri 3 futga surildi va shuning uchun 12 soniyadan keyin bizda \(x = 7\) bo'lishi kerak. E'tibor bering, biz buni bir qadamda quyidagicha hisoblashimiz mumkin edi,

\[x = 10 - \frac{1}{4}\left( {12} \right) = 7\]

\(y\) ni topish uchun (12 soniyadan so'ng) biz Pifagor teoremasini yuqorida topilgan \(x\) qiymatlari bilan qayta ishlatishimiz kerak.

\[y = \sqrt {225 - {x^2}} = \sqrt {225 - 49} = \sqrt {176} \]

Endi biz qilishimiz kerak bo'lgan yagona narsa \(\eqref{eq:eq1}\)-ga ulanish va \(y'\)-ni hal qilishdir.

\[2\left( 7 \right)\left( -\frac{1}{4} \right)+2\left( \sqrt{176} \right){y}'=0\Rightarrow {y}'=\frac{{}^{7}/{}_{4}}{\sqrt{176}}=\frac{7}{4\sqrt{176}}=0.1319\,\,\text{ft/sec}\]

E'tibor bering, biz \(y'\) uchun to'g'ri belgini oldik. Agar biz salbiy qiymatga ega bo'lsak, biz xato qilganimizni bilgan bo'lardik va biz orqaga qaytib, uni izlashimiz mumkin edi.

Ushbu misol birinchi qarashda ko'rinadigan darajada qiyin emas. Keling, yuqorida aytib o'tilganidek, vaqtning istalgan nuqtasida ular orasidagi masofani \(x\) deb ataylik. Keyin barcha ma'lum miqdorlarni ikkita trig formuladan biri bilan bog'lashimiz mumkin.

\[\cos \theta = \frac{{50}}{x}\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}\sec \theta = \frac{x}{{50}}\]

Biz \(x'\) ni topmoqchimiz va agar biz kosinus yordamida ko'rib chiqilayotgan nuqtani xohlasak, \(x\) ni topishimiz mumkin, chunki biz o'sha paytdagi burchakni ham bilamiz. Ammo, agar biz ikkinchi formuladan foydalansak, siz ko'rib turganingizdek \(x\) ni bilishimiz shart emas. Shunday qilib, keling, ushbu formulani farqlaylik.

\[\sec \theta \tan \theta \,\,\theta ' = \frac{{x'}}{{50}}\]

Ta'kidlanganidek, ushbu formulada \(x\) mavjud emas. Biz \(x'\) ni aniqlamoqchimiz va biz \(\theta = 0.5\) va \(\theta ' = 0.01\) ekanligini bilamiz (uning ijobiy ekanligiga rozimisiz?). Shunday qilib, shunchaki ulang va hal qiling.

\[\left( {50} \right)\left( {0.01} \right)\sec \left( {0.5} \right)\tan \left( {0.5} \right) = x'\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}\hspace{0.25in}x' = 0.311254\,\,{\rm{ft}}/\min \]

Xo'sh, biz bu erda sodir bo'layotgan voqealarning qisqacha eskizini (ehtimol, masshtabli emas) bilan boshlashimiz kerak. Shuningdek, biz eskizni xuddi uning oldida turgan tankga qaragandek qilamiz (va shuning uchun tankning 3D ko'rinishi ko'rinmaydi), chunki bu nima bo'layotganini ko'rishga ozgina yordam beradi. Tankning 3D tabiatini ko'rsatish shunchaki yo'lni to'sib qo'yishi mumkin. Shunday qilib, bu erda bir oz suv bilan tankning eskizi.

Ko'rib turganimizdek, tankdagi suv aslida tankning o'zi bilan bir xil markaziy burchakka ega bo'lgan kichikroq konus / uchburchakni (qaysi tasvirni ko'rib chiqayotganimizga qarab) hosil qiladi. Istalgan vaqtda “suv” konusning radiusi \(r\) tomonidan, “suv” konusning istalgan vaqtda balandligi esa \(h\) tomonidan beriladi. \(t\) istalgan vaqtda idishdagi suv hajmi quyidagicha ifodalanadi:

\[V = \frac{1}{3}\pi {r^2}h\]

va bizga \(V' = - 2\) berildi.

Ushbu qism uchun biz \(h = 6\) qachon \(h'\) ni aniqlashimiz kerak va endi bizda muammo bor. Ovoz balandligi bilan bog'liq bo'lgan yagona formula radiusni ham o'z ichiga oladi va agar biz buni \(t\) ga nisbatan farq qiladigan bo'lsak, biz olamiz,

\[V' = \frac{2}{3}\pi rr'h + \frac{1}{3}\pi {r^2}h'\]

Demak, bu tenglamada biz \(V'\) va \(h\) ni bilamiz va \(h'\) ni topmoqchimiz, lekin \(r\) va \(r'\) ni bilmaymiz. Ko'rib turganimizdek, \(r\) ni topish unchalik yomon emas, lekin bizda ma'lumot yetarli emas, bu bizga bir vaqtning o'zida \(r'\) va \(h'\) ni topish imkonini beradi.

Buni tuzatish uchun biz \(r\) ni tovush formulasidan qandaydir tarzda olib tashlashimiz kerak. Bu, aslida, birinchi qarashda ko'rinadiganidan osonroqdir. Agar biz yuqoridagi eskizimizga qaytsak va tankning o'ng yarmiga qarasak, bizda ikkita o'xshash uchburchak borligini ko'ramiz va biz o'xshash deganda geometrik ma'noda o'xshash degan ma'noni bildiramiz. Eslatib o'tamiz, agar burchaklari bir xil bo'lsa, ikkita uchburchak o'xshash deb ataladi, bu erda ham shunday. Agar bizda ikkita o'xshash uchburchak bo'lsa, har qanday ikki tomonning nisbati teng bo'ladi. Bizning to'plamimiz uchun bu bizda borligini anglatadi,

\[\frac{r}{h} = \frac{5}{{14}}\hspace{0.25in}\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}\hspace{0.25in}r = \frac{5}{{14}}h\]

Agar biz buni qabul qilsak va uni hajm formulamizga kiritsak,

\[V = \frac{1}{3}\pi {r^2}h = \frac{1}{3}\pi {\left( {\frac{5}{{14}}h} \right)^2}h = \frac{{25}}{{588}}\pi {h^3}\]

Bu bizga faqat suv hajmi va balandligini o'z ichiga olgan hajm formulasini beradi. E'tibor bering, bu hajm formulasi faqat bizning konus uchun amal qiladi, shuning uchun uni boshqa konuslar uchun ishlatish vasvasasiga tushmang! Agar biz buni endi farq qiladigan bo'lsak,

\[V'\, = \frac{{25}}{{196}}\pi {h^2}h'\]

Bu vaqtda biz qilishimiz kerak bo'lgan narsa biz bilgan narsalarni ulash va \(h'\) uchun hal qilishdir.

\[ - 2 = \frac{{25}}{{196}}\pi \left( {{6^2}} \right)h'\hspace{0.25in}\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}\hspace{0.25in}h' = \frac{{ - 98}}{{225\pi }} = - 0.1386\]

Shunday qilib, balandlik soatiga 0,1386 fut tezlikda pasayayotganga o'xshaydi.

Bu holda biz \(r'\) ni so'raymiz va bu qismni bajarishning oson yo'li va uni amalga oshirishning qiyin (yaxshi, oson yo'ldan ko'ra qiyinroq ....) usuli bor. "Qiyin" yo'l - bu ishni yuqoridagi (a) qismidagi ishni faqat shu vaqtdan foydalanib qayta bajarish,

\[\frac{h}{r} = \frac{{14}}{5}\hspace{0.25in}\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}\hspace{0.25in}h = \frac{{14}}{5}r\]

tovushni \(V\) va \(r\) ko'rinishida olish va keyin avvalgidek davom etish.

Bu unchalik qiyin emas, lekin ko'proq ish qilishimiz kerak. Birinchi qismdan bizda borligini eslaylik,

\[r = \frac{5}{{14}}h\hspace{0.25in}\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}\hspace{0.25in}r' = \frac{5}{{14}}h'\]

Shunday qilib, agar biz birinchi qismda ishlatgan \(r\) va \(h\) munosabatlarini olsak va uni farqlasak, \(r'\) va \(h'\) o'rtasidagi munosabatni ko'rishimiz mumkin. Bu erda biz qilishimiz kerak bo'lgan narsa birinchi qismdagi natijadan foydalanishdir,

\[r' = \frac{5}{{14}}\left( {\frac{{ - 98}}{{225\pi }}} \right) = - \frac{7}{{45\pi }} = - 0.04951\]

Birinchi qismning hammasini takrorlash ancha oson. Shuni yodda tutingki, biz buni faqat "osonroq" yo'l bilan qila oldik, chunki u birinchi qismda \(h'\) so'raganimiz bilan bir xil vaqtda \(r'\) at so'ragan edi. Agar biz bir xil vaqtdan foydalanmaganimizda, buni "qiyin" usulda qilishdan boshqa ilojimiz qolmagan bo'lardi.

E'tibor bering, teng yonli uchburchak - bu ikki tomonning uzunligi bir xil bo'lgan uchburchak. Bizning holatda, tankning tomonlari bir xil uzunlikka ega.

Keling, yuqoridagi eskizga suv uchun ba'zi o'lchamlarni qo'shamiz.

Endi, bu masalada biz \(V' = 6 \mbox{m}^{3}\mbox{/sec}\) ekanligini bilamiz va biz \(h = 1.2\,{\rm{m}}\) qachon \(h'\) ni aniqlamoqchimiz. E'tibor bering, \(V'\) hisoblagichlarda bo'lgani uchun biz \(h\) ni ham metrga aylantirishimiz kerak. Shunday qilib, bizga bu ikki miqdorni bog'laydigan tenglama kerak va tank hajmi buni bajaradi.

Bunday tankning hajmini hisoblash oson. Hajmi - bu chuqurlikning oxirgi marta maydoni. Bizning holatlarimiz uchun idishdagi suv hajmi,

\[\begin{align*}V &= \left( {{\mbox{Area of End}}} \right)\left( {{\rm{depth}}} \right)\\ & = \left( {{\textstyle{1 \over 2}}{\rm{base}} \times {\rm{height}}} \right)\left( {{\rm{depth}}} \right)\\ & = {\textstyle{1 \over 2}}hw\left( 8 \right)\\ & = 4hw\end{align*}\]

Oldingi misolda bo'lgani kabi, bizda qo'shimcha miqdor bor, \(w\), u ham vaqt o'tishi bilan o'zgarib turadi va shuning uchun biz uni muammodan olib tashlashimiz kerak. Buning uchun biz yana o'xshash uchburchaklar g'oyasidan foydalanamiz. Agar biz tankning oxiriga qarasak, bizda yana ikkita o'xshash uchburchak borligini ko'ramiz. Biri tankning o'zi uchun, ikkinchisi esa tankdagi suv tomonidan hosil qilingan. Shunga qaramay, esda tutingki, o'xshash uchburchaklar bilan tomonlarning nisbati teng bo'lishi kerak. Bizning holatlarimizda biz foydalanamiz,

\[\frac{w}{5} = \frac{h}{2}\hspace{0.25in}\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}\hspace{0.25in}w = \frac{5}{2}h\]

Buni hajmga ulash faqat suv balandligini o'z ichiga olgan hajm (va faqat bu tank uchun) formulasini beradi.

\[V = 4hw = 4h\left( {\frac{5}{2}h} \right) = 10{h^2}\]

Endi biz buni farqlashimiz mumkin,

\[V' = 20hh'\]

Va nihoyat, biz qilishimiz kerak bo'lgan yagona narsa \(h'\)-ni ulash va hal qilishdir.

\[6 = 20\left( {1.2} \right)h'\hspace{0.25in}\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}\hspace{0.25in}h' = 0.25\,\,{\rm{m/sec}}\]

Demak, suvning balandligi 0,25 m/sek tezlikda ko'tarilmoqda.

Bu savolning ikkinchi qismiga javob berish unchalik qiyin emas.

Ushbu qismga javob berish uchun bizga \(w'\) kerak bo'ladi va bizda kenglik va balandlik bilan bog'liq bo'lgan o'xshash uchburchakdan quyidagi tenglama mavjud va biz \(w'\) va \(h'\) o'rtasidagi munosabatni olish uchun uni tezda farqlashimiz mumkin.

\[w = \frac{5}{2}h\hspace{0.25in}\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}\hspace{0.25in}w' = \frac{5}{2}h'\]

Birinchi qismdan biz \(h'\) qiymatini bilamiz va shuning uchun biz buni tenglamaga kiritishimiz kerak va biz javob olamiz.

\[w' = \frac{5}{2}\left( {0.25} \right) = 0.625\,\,{\rm{m/sec}}\]

Shuning uchun kenglik 0,625 m/sek tezlikda oshib bormoqda.

Keling, barcha tegishli miqdorlarni yuqoridan eskizga qo'yishdan boshlaylik.

Bu erda \(x\) - soya uchining qutbdan masofasi, \({x_p}\) - odamning qutbdan masofasi va \({x_s}\) - soyaning uzunligi. Shuni ham yodda tutingki, biz odamlarning balandligini 5,5 futga aylantirdik, chunki boshqa barcha o'lchovlar futda.

Soyaning uchi odamning yonidan o'tib ketayotgan yorug'lik nurlari bilan belgilanadi va shuning uchun biz ularning o'xshash uchburchaklar to'plamini tashkil qilishini ko'rishimiz mumkin. Bu yo'lda foydali bo'ladi.

Bu holda biz \({x'_p} = 2\) berilgan \({x_p} = 25\) qachon \(x'\) ni aniqlamoqchimiz.

Bu erda bizga kerak bo'lgan tenglama,

\[x = {x_p} + {x_s}\]

ammo javob olish uchun biz \({x_s}\) ni tenglamadan chiqarib tashlashimiz kerak. Buni amalga oshirish uchun biz yana ikkita uchburchakning o'xshashligidan foydalanishimiz mumkin,

\[\frac{{5.5}}{{12}} = \frac{{{x_s}}}{x}\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}{\rm{Note : }}\frac{{5.5}}{{12}} = \frac{{{\textstyle{{11} \over 2}}}}{{12}} = \frac{{11}}{{24}}\]

Bundan biz tezda buni ko'rishimiz mumkin,

\[{x_s} = \frac{{11}}{{24}}x\]

Keyin buni yuqoridagi tenglamaga qo'shishimiz va \(x\) uchun quyidagi tarzda hal qilishimiz mumkin.

\[x = {x_p} + {x_s} = {x_p} + \frac{{11}}{{24}}x\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in} x = \frac{{24}}{{13}}{x_p}\]

Endi biz qilishimiz kerak bo'lgan narsa - buni farqlash, ulash va \(x'\) uchun hal qilish.

\[x' = \frac{{24}}{{13}}{x'_p}\hspace{0.25in}\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}\hspace{0.25in}x' = \frac{{24}}{{13}}\left( 2 \right) = 3.6923{\rm{ ft/sec}}\]

Keyin soyaning uchi qutbdan 3,6923 fut/sek tezlikda uzoqlashadi. E'tibor bering, biz hech qachon bu muammo uchun \({x_p} = 25\)-dan foydalanmasligimiz kerak edi. Bu kamdan-kam hollarda sodir bo'ladi.

Agar qo'lda (a) dan javob bo'lsa, bu qism juda oddiy, biz buni albatta qilamiz. Bu holda biz \({x_s}\) soyaning uzunligini yoki soya uchining odamdan uzoqligini anglatishini bilamiz, shuning uchun biz \({x_p} = 25\) qachon \({x'_s}\) ni aniqlamoqchimiz.

Shunga qaramay, biz \(x = {x_p} + {x_s}\) dan foydalanishimiz mumkin, ammo birinchi qismdan farqli o'laroq, biz hozir bilamizki, \({x'_p} = 2\) va \(x' = 3.6923{\rm{ ft/sec}}\), shuning uchun bu holda biz qilishimiz kerak bo'lgan yagona narsa tenglamani farqlash va barcha ma'lum miqdorlar uchun ulang.

\[\begin{align*}x' &= {{x'}_p} + {{x'}_s}\\ 3.6923 &= 2 + {{x'}_s}\hspace{0.5in}{{x'}_s} = 1.6923{\rm{ ft/sec}}\end{align*}\]

Keyin soyaning uchi sekundiga 1,6923 fut tezlikda odamdan uzoqlashadi.

Quyida muammo bayonidagi eskizning barcha tegishli miqdorlari qo'shilgan nusxasi keltirilgan. Soyaning yuqori qismi odamning boshiga o'tadigan yorug'lik nurlari bilan belgilanadi va biz yana shunga o'xshash uchburchaklarning yana bir to'plamini olamiz.

Bu holda biz \(y'\) ni odam devordan 8 fut yoki \(x = 12{\rm{ ft}}\) masofada joylashganida aniqlamoqchimiz. Bundan tashqari, agar odam devorga 2,5 fut/sek tezlikda harakatlanayotgan bo'lsa, u holda u 2,5 fut/sek tezlikda diqqat markazidan uzoqlashishi kerak va shuning uchun biz \(x' = 2.5\) ekanligini ham bilamiz.

O'xshash uchburchaklardan foydalangan oldingi barcha muammolarda biz ishlayotgan tenglamadan o'zgaruvchilardan birini yo'q qilish uchun o'xshash uchburchaklardan foydalandik. Biroq, bu holda, biz \(x\) va \(y\) bilan bog'liq bo'lgan tenglamani to'g'ridan-to'g'ri ikkita o'xshash uchburchakdan olishimiz mumkin. Bu holda biz ishlamoqchi bo'lgan tenglama,

\[\frac{y}{6} = \frac{{20}}{x}\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}\hspace{0.25in}y = \frac{{120}}{x}\]

Endi biz qilishimiz kerak bo'lgan narsa - \(y'\) ni olish uchun qiymatlarni farqlash va yechishga ulash.

\[y' = - \frac{{120}}{{{x^2}}}x'\hspace{0.25in}\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}\hspace{0.25in}y' = - \frac{{120}}{{{{12}^2}}}\left( {2.5} \right) = - 2.0833{\rm{ ft/sec}}\]

Keyin soyaning balandligi 2,0833 fut/sek tezlikda pasayadi.

Bu muammoni hazm qilish uchun juda ko'p narsa bor. Keling, ikkala odam ham minishni boshlaganidan keyin har bir odamning joylashishini ko'rsatadigan vaziyatning eskizi bilan boshlaylik.

Endi biz \(z'\) dan keyinmiz va biz \(x' = 5\) va \(y' = 3\) ekanligini bilamiz. Biz \(z'\) ni A shaxsi 25 daqiqa va B shaxsi \(25 - 7 = 18\) daqiqa minib ketganidan keyin bilmoqchimiz. Bu vaqtlarni soniyalarga aylantirgandan so'ng (chunki bizning stavkalarimiz m/sek).

\[x = 5\left( {25 \times 60} \right) = 7500{\rm{ m}}\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}y = 3\left( {18 \times 60} \right) = 3240{\rm{ m}}\]

Keyinchalik, Pifagor teoremasi bizga shuni aytadi:

\[\begin{equation}{z^2} = {\left( {x + y} \right)^2} + {350^2}\label{eq:eq2}\end{equation}\]

Shunday qilib, A shaxsi minishni boshlaganidan 25 daqiqa o'tgach, ikkita velosipedchi bor

\[z = \sqrt {{{\left( {x + y} \right)}^2} + {{350}^2}} = \sqrt {{{\left( {7500 + 3240} \right)}^2} + {{350}^2}} = 10745.7015\,\,{\rm{m}}\]

alohida.

Ikki chavandozning bir-biridan uzoqlashishi tezligini aniqlash uchun biz faqat \(\eqref{eq:eq2}\) ni farqlash va \(z'\) ni topish uchun biz bilgan barcha miqdorlarni ulashimiz kerak.

\[\begin{align*}2zz' & = 2\left( {x + y} \right)\left( {x' + y'} \right)\\ 2\left( {10745.7015} \right)z' & = 2\left( {7500 + 3240} \right)\left( {5 + 3} \right)\\ z' & = 7.9958{\rm{ m/sec}}\end{align*}\]

Shunday qilib, ikki chavandoz bir-biridan 7,9958 m/sek tezlikda harakatlanmoqda.

To'g'ri, oldingi muammolardan farqli o'laroq, bu erda juda ko'p ish qilish kerak emas. Birinchidan, biz \(R'\) ni qidirayotganimizni va \({R'_{\,1}} = 0.4\) va \({R'_{\,2}} = - 0.7\) ni bilamiz. Bu erda belgilar bilan ehtiyot bo'ling.

Bundan tashqari, oxir-oqibat bizga kerak bo'lganligi sababli, bizni qiziqtirgan vaqtda \(R\) ni aniqlaylik.

\[\frac{1}{R} = \frac{1}{{80}} + \frac{1}{{105}} = \frac{{37}}{{1680}}\hspace{0.25in}\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}\hspace{0.25in}R = \frac{{1680}}{{37}} = 45.4054\,\Omega \]

Keyinchalik, muammo bayonida berilgan tenglamani farqlashimiz kerak.

\[\begin{align*} - \frac{1}{{{R^2}}}R' & = - \frac{1}{{{{\left( {{R_{\,1}}} \right)}^2}}}{{R'}_{\,1}} - \frac{1}{{{{\left( {{R_{\,2}}} \right)}^2}}}{{R'}_{\,2}}\\ R' &= {R^2}\left( {\frac{1}{{{{\left( {{R_{\,1}}} \right)}^2}}}{{R'}_{\,1}} + \frac{1}{{{{\left( {{R_{\,2}}} \right)}^2}}}{{R'}_{\,2}}} \right)\end{align*}\]

Nihoyat, biz qilishimiz kerak bo'lgan yagona narsa bunga ulanish va tezkor hisob-kitoblarni amalga oshirishdir.

\[R' = {\left( {45.4054} \right)^2}\left( {\frac{1}{{{{80}^2}}}\left( {0.4} \right) + \frac{1}{{{{105}^2}}}\left( { - 0.7} \right)} \right) = - 0.002045\]

Shunday qilib, \(R\) 0,002045\(\Omega \)/min tezlikda pasayayotganga o'xshaydi.