1.6-bo'lim: Polinomlarni ko'paytirish
Quyidagilarning har birini ko'paytiring.
- \(\left( {7x - 4} \right)\left( {7x + 4} \right)\)
Yechim
Ko'pchilik Algebra darsidan polinomlarni ko'paytirishning FOIL usulini o'rganishni eslaydi. Menga FOIL usuli unchalik yoqmaydi, chunki u faqat ikkita koʻphadni koʻpaytirganda ishlaydi, ularning har biri aniq ikkita atamaga ega (i.e. siz ikkita binomni ko'paytiryapsiz). Agar sizda ikkitadan ortiq koʻphad boʻlsa yoki ulardan birida ikkitadan koʻp yoki kamroq aʼzo boʻlsa, FOIL usuli bajarilmaydi.
FOIL usuli o'z maqsadiga ega, lekin u har doim ham ishlamasligini yodda tutishingiz kerak. Ko'phadlarni ko'paytirish haqida o'ylashning to'g'ri usuli - ikkinchi ko'phaddagi har bir a'zo birinchi ko'phaddagi har bir hadga ko'paytirilishi qoidasini eslab qolishdir.
Shunday qilib, bu holatda bizda bor.
\[\left( {7x - 4} \right)\left( {7x + 4} \right) = 49{x^2} + 28x - 28x - 16 = 49{x^2} - 16\]Iloji bo'lsa, natijalarni soddalashtirishni va shunga o'xshash shartlarni birlashtirishni doimo unutmang.
Bu muammo sizga formulani eslatish edi
\[\left( {a + b} \right)\left( {a - b} \right) = {a^2} - {b^2}\] - \({\left( {2x - 5} \right)^2}\)
Yechim
\({3^2} = \left( 3 \right)\left( 3 \right)\) va boshqalarni unutmang
\[{\left( {2x - 5} \right)^2} = \left( {2x - 5} \right)\left( {2x - 5} \right) = 4{x^2} - 20x + 25\]Bu muammo sizga buni eslatishdir
\[{\left( {a - b} \right)^n} \ne {a^n} - {b^n}\hspace{0.25in}\,\,\,\,\,\,\,{\rm{and}}\hspace{0.5in}{\left( {a + b} \right)^n} \ne {a^n} + {b^n}\]shuning uchun bunday xatoga yo'l qo'ymang!
\[{\left( {2x - 5} \right)^2} \ne 4{x^2} - 25\]Bu erda aslida bir nechta formulalar mavjud.
\[\begin{align*}{\left( {a + b} \right)^2} & = {a^2} + 2ab + {b^2}\\ {\left( {a - b} \right)^2} &= {a^2} - 2ab + {b^2}\end{align*}\]Agar xohlasangiz, ularni eslab qolishingiz mumkin, lekin agar ularni eslay olmasangiz, har doim ikkita polinomni FOIL va u bilan yakunlashingiz mumkin ...
- \(2{\left( {x + 3} \right)^2}\)
Yechim
Har bir narsaning oldida 2 bilan muomala qilishda ehtiyot bo'ling. Esda tutingki, operatsiyalar tartibi bizga 2 ni ko'paytirishdan oldin narsalarni kvadratga ajratishimiz kerakligini aytadi.
\[2{\left( {x + 3} \right)^2} = 2\left( {{x^2} + 6x + 9} \right) = 2{x^2} + 12x + 18\]Quyidagilarni bajaring, qilmang
\[2{\left( {x + 3} \right)^2} \ne {\left( {2x + 6} \right)^2} = 4{x^2} + 24x + 36\]Agar siz atamani kvadratga aylantirishdan oldin 2 ni ko'paytirsangiz, juda boshqacha javob olishingiz aniq!
Bu erda eslash kerak bo'lgan oddiy qoida mavjud. Qavslar ichida atama bo'yicha hech qanday ko'rsatkich bo'lmasa, siz raqamni faqat qavslar to'plami orqali tarqatishingiz mumkin.
- \(\left( {2{x^3} - x} \right)\left( {\sqrt x + \frac{2}{x}} \right)\)
Yechim
Ikkinchi a'zo polinom bo'lmasa-da, siz ko'paytirishni xuddi shu tarzda bajarasiz. Siz qilishingiz kerak bo'lgan yagona narsa - avval hamma narsani ko'rsatkichlarga aylantirib, keyin ko'paytiring.
\[\begin{align*}\left( {2{x^3} - x} \right)\left( {\sqrt x + \frac{2}{x}} \right) & = \left( {2{x^3} - x} \right)\left( {{x^{\frac{1}{2}}} + 2{x^{ - 1}}} \right)\\ & = 4{x^2} + 2{x^{\frac{7}{2}}} - {x^{\frac{3}{2}}} - 2\end{align*}\] - \(\left( {3x + 2} \right)\left( {{x^2} - 9x + 12} \right)\)
Yechim
FOIL usuli bu muammoda ishlamasligini unutmang. Shunchaki ikkinchi ko‘phaddagi har bir hadni birinchi ko‘phaddagi har bir atamaga ko‘paytiring va bajarasiz.
\[\begin{align*}\left( {3x + 2} \right)\left( {{x^2} - 9x + 12} \right) & = {x^2}\left( {3x + 2} \right) - 9x\left( {3x + 2} \right) + 12\left( {3x + 2} \right)\\ & = 3{x^3} - 25{x^2} + 18x + 24\end{align*}\]