Asosiy tarkibga o'tish

3.7-bo'lim: Teskari funksiyalar

Oldingidagi oxirgi misolda biz \(f\left( x \right) = 3x - 2\) va \(g\left( x \right) = \frac{x}{3} + \frac{2}{3}\) ikkita funksiyasini ko'rib chiqdik va buni ko'rdik.

\[\left( {f \circ g} \right)\left( x \right) = \left( {g \circ f} \right)\left( x \right) = x\]

va ushbu bo'limda ta'kidlanganidek, bu juda maxsus funktsiyalar ekanligini anglatadi. Keling, ularni nima o'zgacha qilishini ko'rib chiqaylik. Quyidagi baholashlarni ko'rib chiqing.

\[\require{color} \begin{align*}f\left( {\color{ProcessBlue} - 1} \right) & = 3\left( { - 1} \right) - 2 = {\color{Red} - 5} & \hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}g\left( {\color{Red} - 5} \right) & = \frac{{ - 5}}{3} + \frac{2}{3} = \frac{{ - 3}}{3} = {\color{ProcessBlue} - 1}\\ & & \\ g\left( {\color{ProcessBlue} 2} \right) & = \frac{2}{3} + \frac{2}{3} = { \color{Red}\frac{4}{3}} & \hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}f\left( {\color{Red} \frac{4}{3}} \right) & = 3\left( {\frac{4}{3}} \right) - 2 = 4 - 2 = {\color{ProcessBlue} 2 }\end{align*}\]

Birinchi holda, biz \(x = - 1\)-ni \(f\left( x \right)\)-ga uladik va -5 qiymatini oldik. Keyin biz orqaga o'girilib, \(x = - 5\)-ni \(g\left( x \right)\)-ga uladik va biz boshlagan raqam -1 qiymatini oldik.

Ikkinchi holda, biz shunga o'xshash narsani qildik. Bu erda biz \(x = 2\) ni \(g\left( x \right)\) ga uladik va \(\frac{4}{3}\) qiymatini oldik, biz uni aylantirdik va \(f\left( x \right)\) ga uladik va 2 qiymatini oldik, bu yana biz boshlagan raqam.

E'tibor bering, biz bu erda haqiqatan ham ba'zi bir funktsiya kompozitsiyasini qilyapmiz. Birinchi holat haqiqatan ham

\[\left( {g \circ f} \right)\left( { - 1} \right) = g\left[ {f\left( { - 1} \right)} \right] = g\left[ { - 5} \right] = - 1\]

va ikkinchi holat haqiqatan ham,

\[\left( {f \circ g} \right)\left( 2 \right) = f\left[ {g\left( 2 \right)} \right] = f\left[ {\frac{4}{3}} \right] = 2\]

Shuni ham yodda tutingki, bu ikkalasi ham oldingi bo'limda topilgan kompozitsiyalar formulasiga mos keladi. Biz kompozitsiyaga dastlab ulangan raqamni funktsiyani baholashdan qaytamiz.

Xo'sh, bu erda nima bo'lyapti? Qaysidir ma'noda biz bu ikki funktsiyani ikkinchisining raqamga qilganini bekor qilish deb o'ylashimiz mumkin. Birinchi holda, biz \(x = - 1\)-ni \(f\left( x \right)\)-ga uladik va keyin ushbu funktsiyani baholash natijasini \(g\left( x \right)\)-ga uladik va qaysidir ma'noda \(g\left( x \right)\) \(f\left( x \right)\) \(x = - 1\)-ga qilganini bekor qildi va biz boshlagan \(x\)-ni qaytarib berdik.

Ushbu xatti-harakatni ko'rsatadigan funktsiya juftliklari chaqiriladi teskari funktsiyalar. Teskari funktsiyalarni va biz ular uchun ishlatmoqchi bo'lgan belgini rasmiy ravishda aniqlashdan oldin biz ta'rifni yo'ldan olib tashlashimiz kerak.

Funktsiya chaqiriladi birma-bir agar \(x\) ning ikkita qiymati bir xil \(y\) ni hosil qilmasa. Bu yakkama-yakka ta'rifning juda oddiy ta'rifi, ammo bu nimani anglatishini ko'rsatish uchun birma-bir bo'lmagan funksiyaga misol keltiriladi. Buni amalga oshirishdan oldin, shuni ta'kidlashimiz kerakki, bu birma-bir ta'rifi aslida birma-birning matematik jihatdan to'g'ri ta'rifi emas. Bu matematik jihatdan to'g'ri ta'rif bilan bir xil bo'lib, u rasmiy ta'rifdagi barcha belgilarni ishlatmaydi.

Keling, birma-bir bo'lmagan funksiyaning misolini ko'rib chiqaylik. \(f\left( x \right) = {x^2}\) funksiyasi birma-bir emas, chunki ikkala \(f\left( { - 2} \right) = 4\) va \(f\left( 2 \right) = 4\). Boshqacha qilib aytganda, \(y\) ning bir xil qiymatini hosil qiluvchi \(x\) ning ikki xil qiymati mavjud. E'tibor bering, agar biz o'zimizni \(0 \le x < \infty \) bilan cheklasak, \(f\left( x \right) = {x^2}\)-ni birma-bir funksiyaga aylantirishimiz mumkin. Buni ba'zan funktsiyalar bilan qilish mumkin.

Funktsiyaning birma-bir ekanligini ko'rsatish ko'pincha zerikarli va qiyin jarayondir. Ko'pincha biz ushbu bo'limda ko'rib chiqiladigan funktsiyalar birma-bir deb taxmin qilamiz. Biz birma-bir funksiyalar haqida gapirishimiz kerak edi, biroq faqat birma-bir funksiyalar teskari funktsiyalar bo'lishi mumkin.

Keling, teskari funktsiyalar nima ekanligini rasman aniqlaylik.

Teskari funksiyalar

\(f\left( x \right)\) va \(g\left( x \right)\) ikkita yakkama-yakka funksiyalar berilgan, agar

\[\left( {f \circ g} \right)\left( x \right) = x\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}{\mbox{AND}}\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}\left( {g \circ f} \right)\left( x \right) = x\]

keyin biz \(f\left( x \right)\) va \(g\left( x \right)\) deb aytamiz teskarilar bir-biridan. Aniqroq aytganda, biz \(g\left( x \right)\) ekanligini aytamiz teskari ning \(f\left( x \right)\) va uni bilan belgilang

\[g\left( x \right) = {f^{ - 1}}\left( x \right)\]

Xuddi shunday, biz \(f\left( x \right)\) ekanligini ham aytishimiz mumkin teskari ning \(g\left( x \right)\) va uni bilan belgilang

\[f\left( x \right) = {g^{ - 1}}\left( x \right)\]

Biz foydalanadigan belgi haqiqatan ham muammoga bog'liq. Aksariyat hollarda ikkalasi ham qabul qilinadi.

Ushbu bo'limda biz boshlagan ikkita funktsiya uchun quyidagi ikkita belgi to'plamidan birini yozishimiz mumkin.

\[\begin{align*}f\left( x \right) & = 3x - 2 & \hspace{0.25in}\hspace{0.25in}{f^{ - 1}}\left( x \right) & = \frac{x}{3} + \frac{2}{3}\\ & \\ g\left( x \right) & = \frac{x}{3} + \frac{2}{3} &\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}{g^{ - 1}}\left( x \right) & = 3x - 2\end{align*}\]

Endi, teskari belgilarni belgilashda ehtiyot bo'ling. "-1" ko'rsatkich EMAS, garchi u aniq ko'rinishiga o'xshaydi! Teskari funktsiyalar bilan ishlashda biz buni esga olishimiz kerak

\[{f^{ - 1}}\left( x \right) \ne \frac{1}{{f\left( x \right)}}\]

Bu birinchi marta teskari funktsiyalarni o'rganishda talabalar yo'l qo'yadigan eng keng tarqalgan xatolardan biridir.

Funktsiyaning teskarisini topish jarayoni juda oddiy bo'lsa-da, ba'zida biroz chigal bo'lishi mumkin bo'lgan bir necha qadamlar mavjud. Mana jarayon

Funksiyaning teskarisini topish

\(f\left( x \right)\) funksiyasini hisobga olgan holda biz \({f^{ - 1}}\left( x \right)\) teskari funksiyasini topmoqchimiz.

  1. Birinchidan, \(f\left( x \right)\) ni \(y\) bilan almashtiring. Bu jarayonning qolgan qismini osonlashtirish uchun amalga oshiriladi.
  2. Har bir \(x\) ni \(y\) bilan almashtiring va har bir \(y\) ni \(x\) bilan almashtiring.
  3. \(y\) uchun 2-bosqichdagi tenglamani yeching. Bu ko'pincha xatolarga yo'l qo'yiladigan qadam, shuning uchun bu bosqichda ehtiyot bo'ling.
  4. \(y\) o'rniga \({f^{ - 1}}\left( x \right)\). Boshqacha qilib aytganda, biz bu nuqtada teskarisini topishga muvaffaq bo'ldik!
  5. \(\left( {f \circ {f^{ - 1}}} \right)\left( x \right) = x\) va \(\left( {{f^{ - 1}} \circ f} \right)\left( x \right) = x\) ikkalasining ham to‘g‘ri ekanligini tekshirish orqali ishingizni tasdiqlang. Bu ish ba'zan chalkash bo'lishi mumkin, bu esa xato qilishni osonlashtiradi, shuning uchun yana ehtiyot bo'ling.

Bu jarayon. Ko'pgina qadamlar unchalik yomon emas, lekin jarayonda aytib o'tilganidek, biz juda ehtiyot bo'lishimiz kerak bo'lgan bir nechta qadamlar mavjud.

Tekshiruv bosqichida biz texnik jihatdan \(\left( {f \circ {f^{ - 1}}} \right)\left( x \right) = x\) va \(\left( {{f^{ - 1}} \circ f} \right)\left( x \right) = x\) ning haqiqiyligini tekshirishimiz kerak. Ushbu bo'limda biz ko'rib chiqadigan barcha funktsiyalar uchun biri to'g'ri bo'lsa, ikkinchisi ham to'g'ri bo'ladi. Biroq, shunday funktsiyalar mavjudki (ular bu kurs doirasidan ancha uzoqda), ular uchun ulardan faqat bittasi to'g'ri bo'lishi mumkin. Bu ko'tarilgan, chunki bu erda barcha muammolarda biz ulardan birini tekshiramiz. Biz har doim texnik jihatdan ikkalasini ham tekshirishimiz kerakligini yodda tutishimiz kerak.

Keling, ba'zi misollar bilan ishlaylik.

1-misol \(f\left( x \right) = 3x - 2\) berilgan \({f^{ - 1}}\left( x \right)\) toping.
Yechim

Endi biz bu funktsiyaning teskarisi nima ekanligini allaqachon bilamiz, chunki biz u bilan allaqachon ishlaganmiz. Biroq, bu bilan boshlash yaxshi bo'lardi, chunki biz nimani olishimiz kerakligini bilamiz. Bu jarayonning yaxshi tekshiruvi sifatida ishlaydi.

Shunday qilib, keling, boshlaylik. Biz avval \(f\left( x \right)\) ni \(y\) bilan almashtiramiz.

\[y = 3x - 2\]

Keyin barcha \(x\)-larni \(y\) va barchasi bilan almashtiring y’s \(x\) bilan.

\[x = 3y - 2\]

Endi \(y\) ni hal qiling.

\[\begin{align*}x + 2 & = 3y\\ \frac{1}{3}\left( {x + 2} \right) & = y\\ \frac{x}{3} + \frac{2}{3} & = y\end{align*}\]

Nihoyat \(y\) ni \({f^{ - 1}}\left( x \right)\) bilan almashtiring.

\[{f^{ - 1}}\left( x \right) = \frac{x}{3} + \frac{2}{3}\]

Endi biz natijalarni tekshirishimiz kerak. Biz bu haqda oldingi bo'limda allaqachon g'amxo'rlik qilgan edik, ammo biz haqiqatan ham jarayonni kuzatishimiz kerak, shuning uchun biz buni shu erda qilamiz. Ikkalasidan qaysi birini tekshirishimiz muhim emas, biz ulardan birini tekshirishimiz kerak. Bu safar biz \(\left( {f \circ {f^{ - 1}}} \right)\left( x \right) = x\) haqiqatligini tekshiramiz.

\[\begin{align*}\left( {f \circ {f^{ - 1}}} \right)\left( x \right) & = f\left[ {{f^{ - 1}}\left( x \right)} \right]\\ & = f\left[ {\frac{x}{3} + \frac{2}{3}} \right]\\ & = 3\left( {\frac{x}{3} + \frac{2}{3}} \right) - 2\\ & = x + 2 - 2\\ & = x\end{align*}\]
2-misol \(g\left( x \right) = \sqrt {x - 3} \) berilgan \({g^{ - 1}}\left( x \right)\), \(x \ge 0\) toping.
Yechim

Endi biz \(f\left( x \right)\) o'rniga \(g\left( x \right)\) dan foydalanayotganimiz jarayon qanday ishlashini o'zgartirmaydi. Mana birinchi qadamlar.

\[\begin{align*}y & = \sqrt {x - 3} \\ x & = \sqrt {y - 3} \end{align*}\]

Endi \(y\) ni hal qilish uchun avval ikkala tomonni kvadratga aylantirib, keyin odatdagidek davom etishimiz kerak.

\[\begin{align*}x & = \sqrt {y - 3} \\ {x^2} & = y - 3\\ {x^2} + 3 & = y\end{align*}\]

Bu teskari u holda,

\[{g^{ - 1}}\left( x \right) = {x^2} + 3\]

Nihoyat, keling, tekshirib ko'raylik va bu safar biz ikkinchisidan foydalanamiz, shunda biz misolda ikkalamiz ham bir joyga tushib qoldik, deb aytishimiz mumkin.

\[\begin{align*}\left( {{g^{ - 1}} \circ g} \right)\left( x \right) & = {g^{ - 1}}\left[ {g\left( x \right)} \right]\\ & = {g^{ - 1}}\left( {\sqrt {x - 3} } \right)\\ & = {\left( {\sqrt {x - 3} } \right)^2} + 3\\ & = x - 3 + 3\\ & = x\end{align*}\]

Shunday qilib, biz ishni to'g'ri bajardik va bizda teskari narsa bor.

Davom etishdan oldin biz \(x \ge 0\) cheklovlarini ham tan olishimiz kerak, biz muammo bayonida berganmiz, lekin hech qachon hech narsa qilmaganmiz. E'tibor bering, ushbu cheklov yuqorida keltirilgan \({g^{ - 1}}\left( x \right)\) ning teskarisi haqiqatda birma-bir ekanligiga ishonch hosil qilish uchun talab qilinadi.

Ushbu cheklovsiz teskari bir-bir bo'lmaydi, chunki bir nechta tezkor baholashlar osonlikcha ko'rinadi.

\[{g^{ - 1}}\left( 1 \right) = {\left( 1 \right)^2} + 3 = 4\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}{g^{ - 1}}\left( { - 1} \right) = {\left( { - 1} \right)^2} + 3 = 4\]

Shuning uchun, cheklash teskarisining birma-bir ekanligiga ishonch hosil qilish uchun talab qilinadi.

Keyingi misol biroz chalkash bo'lishi mumkin, shuning uchun bu erda ish bilan ehtiyot bo'ling.

3-misol \(h\left( x \right) = \frac{{x + 4}}{{2x - 5}}\) berilgan \({h^{ - 1}}\left( x \right)\) toping.
Yechim

Birinchi ikki qadam avvalgi misollar bilan deyarli bir xil, shuning uchun ular mana,

\[\begin{align*}y & = \frac{{x + 4}}{{2x - 5}}\\ x & = \frac{{y + 4}}{{2y - 5}}\end{align*}\]

Endi yechim bosqichida ehtiyot bo'ling. Bunday muammo bilan bu erda xato qilish juda oson.

\[\begin{align*}x\left( {2y - 5} \right) & = y + 4\\ 2xy - 5x & = y + 4\\ 2xy - y & = 4 + 5x\\ \left( {2x - 1} \right)y & = 4 + 5x\\ y & = \frac{{4 + 5x}}{{2x - 1}}\end{align*}\]

Shunday qilib, agar biz barcha ishimizni to'g'ri bajargan bo'lsak, teskari bo'lishi kerak,

\[{h^{ - 1}}\left( x \right) = \frac{{4 + 5x}}{{2x - 1}}\]

Nihoyat, biz tekshirishni amalga oshirishimiz kerak. Bu ham juda chalkash jarayon va qaysi biri bilan ishlashimiz muhim emas.

\[\begin{align*}\left( {h \circ {h^{ - 1}}} \right)\left( x \right) & = h\left[ {{h^{ - 1}}\left( x \right)} \right]\\ & = h\left[ {\frac{{4 + 5x}}{{2x - 1}}} \right]\\ & = \frac{{\frac{{4 + 5x}}{{2x - 1}} + 4}}{{2\left( {\frac{{4 + 5x}}{{2x - 1}}} \right) - 5}}\end{align*}\]

OK, bu tartibsizlik. Keling, surat va maxrajni \(2x - 1\) ga ko'paytirish orqali narsalarni biroz soddalashtiraylik.

\[\begin{align*}\left( {h \circ {h^{ - 1}}} \right)\left( x \right) & = \frac{{2x - 1}}{{2x - 1}}\,\,\frac{{\frac{{4 + 5x}}{{2x - 1}} + 4}}{{2\left( {\frac{{4 + 5x}}{{2x - 1}}} \right) - 5}}\\ & = \frac{{\left( {2x - 1} \right)\left( {\frac{{4 + 5x}}{{2x - 1}} + 4} \right)}}{{\left( {2x - 1} \right)\left( {2\left( {\frac{{4 + 5x}}{{2x - 1}}} \right) - 5} \right)}}\\ & = \frac{{4 + 5x + 4\left( {2x - 1} \right)}}{{2\left( {4 + 5x} \right) - 5\left( {2x - 1} \right)}}\\ & = \frac{{4 + 5x + 8x - 4}}{{8 + 10x - 10x + 5}}\\ & = \frac{{13x}}{{13}}\\ & = x\end{align*}\]

Voy-buy. Bu juda ko'p ish edi, lekin oxir-oqibat hammasi amalga oshdi. Biz barcha ishimizni to'g'ri bajardik va bizda buning aksi bor.

Ushbu bo'limni tark etishdan oldin tezda hal qilishimiz kerak bo'lgan bitta yakuniy mavzu bor. Funksiya grafigi va uning teskarisi o'rtasida qiziqarli bog'liqlik mavjud.

Mana birinchi ikkita misoldagi funktsiyaning grafigi va teskari. Biz yakuniy misol bilan shug'ullanmaymiz, chunki bu funktsiya bo'lib, biz hali grafik yaratish haqida gapirmaganmiz.

There are two graphs in this image. The graph on the left is labeled “Example 1” and the domain is from 0 to 4 while the range is from -2 to 6. There is a dotted line going through the points (0,0) and (1,1) labeled “y=x”. There is also a line going through the points (0,-2) and (1,1) that is labeled $f(x)$. Finally, there is a line going through the points (0,2/3) and (1,1) and is labeled $f^{-1}(x)$. All three lines intersect at (1,1) and the line labeled $f^{-1}(x)$ appears to be a reflecting of the line $f(x)$ about the line y=x. The graph on the right is labeled “Example 2” and the domain is from 0 to 6 while the range is from 0 to 8. There is a dotted line going through the points (0,0) and (1,1) labeled “y=x”. There is a graph starting at (3,0) and increasing as it moves to the right. It is also bending over so that the rate of increase lessens as x increases. This graph is labeled $g(x)$. There is also a graph starting at (0,3) and initially moves to the right with a slight increase before bending upwards into a steep increase as x increases. This graph is labeled $g^{-1}(x)$. The graph labeled $g^{-1}(x)$ appears to be a reflecting of the graph $g(x)$ about the line y=x.

Ikkala holatda ham teskari chiziqning grafigi \(y = x\) chizig'i haqida haqiqiy funktsiyaning aksi ekanligini ko'rishimiz mumkin. Bu har doim funktsiya va uning teskari grafiklari uchun shunday bo'ladi.