2.2-bo'lim: Limit tushunchasi (the limit)
Oldingi bo'limda biz bir nechta masalani ko'rib chiqqan edik va har ikkala masalada ham ma'lum bir funksiyaga ega edik (urinma masalasida urinmaning qiyalik burchagi koeffitsiyenti va o'zgarish tezligi masalasida o'rtacha o'zgarish tezligi) hamda ushbu funksiya qandaydir \(x = a\) nuqtada o'zini qanday tutishini bilishni istagan edik. Ishning ushbu bosqichida biz uchun bu funksiyalarning qayerdan kelib chiqqani endi mutlaqo ahamiyatsiz va kelgusida ularga yana duch kelamizmi yoki yo'qmi — bundan xavotirlanishimiz shart emas. Biz bilishimiz yoki tashvishlanishimiz kerak bo'lgan yagona narsa shuki: bizda ushbu funksiyalar mavjud va biz ular haqida muayyan xususiyatlarni aniqlashimiz kerak.
Oldingidagi savollarga javob berish uchun biz \(x = a\) ga tobora yaqinlashib boruvchi \(x\) qiymatlarini tanlab, ularni funksiyaga qo'yib hisoblagan edik. Shuningdek, biz \(x = a\) ning ham chap, ham o'ng tomonidan yaqinlashuvchi qiymatlarni qarab chiqishimizga alohida ishonch hosil qildik. Buni bajargach, hosil bo'lgan funksiya qiymatlari jadvaliga qarab, \(x\) o'zgaruvchisi \(x = a\) ga borgan sari yaqinlashgan sari funksiya qiymatlari qaysi songa intilayotganini kuzatdik va izlayotgan natijamizni taxmin qilishda bundan foydalandik.
Bu jarayon limit olish (limit hisoblash) deb ataladi va buning uchun maxsus matematik belgilashlarimiz mavjud. Oldingidagi ikkita masala uchun limit belgilanishi quyidagicha:
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{2 - 2{x^2}}}{{x - 1}} = - 4\hspace{0.75in}\mathop {\lim }\limits_{t \to 5} \frac{{{t^3} - 6{t^2} + 25}}{{t - 5}} = 15\]Ushbu belgilashda e'tibor bersangiz, biz doimo qaysi funksiya bilan ishlayotganimizni ko'rsatamiz hamda \(x\) (yoki \(t\)) o'zgaruvchisi aynan qaysi songa intilayotganini uning ostida qayd etamiz.
Ushbu bo'limda biz limit tushunchasiga intuitiv yondashamiz va limitlarning o'zi aslida nima ekanligini hamda ular funksiya to'g'risida bizga nimalarni aytib bera olishini chuqur his qilishga harakat qilamiz. Shu maqsaddan kelib chiqqan holda, biz hozircha limitlarni aslida qanday qilib qat'iy hisoblash mexanizmlariga chuqurlashib o'tirmaymiz. Buning o'rniga oldingi bo'limda qilgan usulimizga, shuningdek, limit qiymatini taxmin qilishning yana bir boshqa yondashuviga tayanamiz.
Ushbu bo'limda qo'llaydigan har ikkala yondashuvimiz ham limitlarning asl mohiyatini anglab olishimizga yordam berish uchun mo'ljallangan. Odatda, biz limitlarni hisoblashda ushbu bo'limdagi metodlardan amalda foydalanmaymiz; chunki ko'p hollarda ular orqali limitni hatto baholash ham juda mushkul bo'lishi mumkin va/yoki ba'zi vaziyatlarda ular noto'g'ri qiymatga olib kelishi ham mumkin. Limitlarni haqiqatda qat'iy qoidalar asosida hisoblashni biz keyingi bir necha bo'limlarda ko'rib chiqamiz.
Keling, dastlab limitning quyidagi “ta'rifi” bilan boshlaylik.
Limitning ta'rifi (Definition of the Limit)
\(x\) o'zgaruvchisi \(a\) ga intilganda \(f(x)\) ning limiti \(L\) ga teng deymiz va buni quyidagicha yozamiz:
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f\left( x \right) = L\]bunda \(x\) ning aynan \(a\) ga teng bo'lishiga yo'l qo'ymagan holda, uning har ikki tomonidan \(a\) ga yetarlicha yaqin barcha \(x\) lar uchun \(f(x)\) qiymatini \(L\) ga istaganimizcha yaqin qila olishimiz shart qilinadi.
Bu limitning to'liq qat'iy, matematik ma'nodagi aniq ta'rifi emas. Agar siz limitning yanada aniq va qat'iy matematik ta'rifini ko'rmoqchi bo'lsangiz, ushbu bobning oxiridagi Limitning aniq ta'rifi bo'limini ko'rib chiqishingiz mumkin. Yuqorida keltirilgan ta'rif ko'proq “amaliy (ishchi)” ta'rif hisoblanadi. Ushbu ta'rif limitlar aslida nima ekanligini va ular funksiyalar haqida bizga nimalarni bildirishini tushunib olishimizga yordam beradi.
Xo'sh, bu ta'rif aslida nimani anglatadi? Faraz qilaylik, biz limit haqiqatan ham mavjud ekanligini bilamiz. Bizning “ishchi” ta'rifimizga ko'ra, biz \(f(x)\) ni \(L\) ga qanchalik yaqinlashtirmoqchi ekanligimizni o'zimiz belgilashimiz mumkin. Mulohaza yuritish uchun, aytaylik, biz \(f(x)\) ning \(L\) dan farqi 0.001 dan oshmasligini xohlaymiz. Bu degani, biz quyidagi shartlardan birining bajarilishini istaymiz:
\[\begin{array}{lcl}f\left( x \right) - L < 0.001 & \hspace{0.25in} & {\mbox{agar }}f\left( x \right){\mbox{ qiymati L dan katta bo'lsa}}\\ L - f\left( x \right) < 0.001& \hspace{0.25in} & {\mbox{agar }}f\left( x \right){\mbox{ qiymati L dan kichik bo'lsa}}\end{array}\]Endi “ishchi” ta'rifga binoan, agar biz \(x\) ni \(a\) ga yetarlicha yaqinlashtirsak, yuqoridagi tasdiqlardan birini to'g'ri qila olamiz. Biroq, ta'rif bundan ham ko'proq narsani aytadi: u shuni bildiradiki, qayerdadir qandaydir bir chegara \(x\) qiymati, aytaylik \(X\) mavjud bo'lib, \(a\) ga ushbu \(X\) dan ko'ra yaqinroq bo'lgan barcha \(x\) lar uchun yuqoridagi tasdiqlardan biri albatta to'g'ri bo'ladi.
Bu nihoyatda muhim tushunchadir. Dunyoda shunday ko'plab funksiyalar borki, ularni \(a\) ga yaqin bo'lgan ma'lum bir tanlangan \(x\) qiymatlarida \(L\) ga istalgancha yaqinlashtirish mumkin, ammo \(a\) ga yanada yaqinroq bo'lgan boshqa \(x\) qiymatlarida funksiya qiymatlari \(L\) dan mutlaqo uzoqlashib ketadi. Limit mavjud bo'lishi uchun esa, agar biz qandaydir \(x\) da \(f(x)\) ni \(L\) ga istaganimizcha yaqinlashtirgan bo'lsak, u holda \(a\) ga undan ham yaqinroq bo'lgan barcha \(x\) qiymatlarida funksiya \(L\) ga xuddi shunday yaqin qolishi (yoki yanada yaqinlashishi) shart. Bunga ushbu bo'limning davomida alohida misol ko'rib chiqamiz.
Biroz soddaroq aytganda, ta'rif shuni anglatadiki: \(x\) o'zgaruvchisi \(x = a\) ga borgan sari yaqinlashgan sari (albatta, har ikki tomondan ham...), \(f(x)\) albatta \(L\) ga tobora yaqinlashib borishi shart. Yoki boshqacha qilib aytganda, biz \(x = a\) tomon harakatlanganimiz sari, \(f(x)\) ham \(L\) tomon harakatlanishi shart.
Yana bir bor ta'kidlash joizki, biz \(x = a\) ning ikkala tomonidagi (chap va o'ng) qiymatlarni ham albatta qarab chiqishimiz zarur. Shuningdek, ta'rifda \(x = a\) ning o'zini qo'yishga ruxsat berilmasligini qayd etishimiz kerak. Biz ko'pincha limit beradigan ma'lumotdan aynan \(x = a\) nuqtaning o'zida nima sodir bo'layotganini bilish uchun foydalanamiz, biroq limitning o'zi aslida \(x = a\) nuqtada aniq nima yuz berayotgani bilan mutlaqo qiziqmaydi! Limit faqat va faqat \(x = a\) nuqtaning atrofida (yon-verida) nima sodir bo'layotgani bilan qiziqadi. Bu — limitlar haqida doimo yodda saqlashimiz zarur bo'lgan juda muhim fundamental qoidadir.
Limitlarni belgilashda biz vaqti-vaqti bilan qo'llaydigan muqobil yozuv shakli quyidagicha:
\[f(x) \to L\hspace{0.25in}{\rm{bo'ladi}}\hspace{0.25in}x \to a\hspace{0.25in}{\rm{intilganda}}\]Ushbu ta'rifdan limitlarni baholashda qanday foydalanamiz? Biz oldingi bo'limda qilgan ishimizni aynan takrorlaymiz. Biz \(x = a\) ning ikkala tomonida joylashgan va \(a\) ga borgan sari yaqinlashib boruvchi \(x\) qiymatlarini olamiz va ularni funksiyamizga qo'yamiz. So'ngra funksiya qiymatlari qaysi songa qarab intilayotganini aniqlay olamizmi-yo'qmi — shuni tekshiramiz va bu qiymatni o'z baholashimiz (taxminimiz) sifatida qabul qilamiz.
Keling, bir misol ishlab ko'raylik.
Yechim
E'tibor bering, biz limit qiymatini “baholang” (taxmin qiling) dedik. Yana bir bor takrorlaymiz, ushbu bo'limda biz limitlarni to'g'ridan-to'g'ri (analitik qoidalar bilan) hisoblamaymiz. Ushbu bo'limning asosiy maqsadi — limitlarning qanday ishlashi va ular funksiya to'g'risida nimalarni ma'lum qilishi haqida aniqroq tushuncha hosil qilishdir.
Shunday ekan, buni hisobga olgan holda, biz ushbu misolni oldingi bo'limda bajargan usulimiz bilan deyarli bir xil tarzda ishlaymiz. Biz \(x = 2\) ga tobora yaqinlashib boruvchi \(x\) qiymatlarini tanlaymiz va ushbu qiymatlarni funksiyaga qo'yamiz. Natijada quyidagi qiymatlar jadvali hosil bo'ladi.
| \(x\) | \(f(x)\) | \(x\) | \(f(x)\) |
|---|---|---|---|
| 2.5 | 3.4 | 1.5 | 5.0 |
| 2.1 | 3.857142857 | 1.9 | 4.157894737 |
| 2.01 | 3.985074627 | 1.99 | 4.015075377 |
| 2.001 | 3.998500750 | 1.999 | 4.001500750 |
| 2.0001 | 3.999850007 | 1.9999 | 4.000150008 |
| 2.00001 | 3.999985000 | 1.99999 | 4.000015000 |
E'tibor bering, biz \(x = 2\) ning ikkala tomonida (chapida va o'ngida) joylashgan \(x\) qiymatlarini tanladik va kuzatilayotgan har qanday qonuniyat (tendensiya) haqiqatan ham to'g'riligiga ishonch hosil qilish uchun \(x = 2\) ga juda ham yaqin keldik.
Shuningdek, biz funksiyaga to'g'ridan-to'g'ri \(x = 2\) qiymatini qo'ya olmasligimizga e'tibor bering, chunki bu nolga bo'lish xatoligini keltirib chiqaradi. Bu biz uchun muammo tug'dirmaydi, chunki limit qaralayotgan nuqtaning aynan o'zida nima sodir bo'layotgani bilan qiziqmaydi.
Ushbu jadvaldan ko'rinib turibdiki, \(x\) o'zgaruvchisi 2 ga yaqinlashgan sari funksiya 4 ga intilmoqda, shunday ekan:
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{{x^2} + 4x - 12}}{{{x^2} - 2x}} = 4\]Keling, bu yerda nima sodir bo'layotgani haqida yana bir oz chuqurroq fikr yuritaylik. Oxirgi misoldagi funksiyaning grafigini chizamiz. Bizni qiziqtirgan \(x\) oraliqdagi funksiya grafigi quyida keltirilgan.
Dastlab, \(x = 2\) nuqtada ancha sezilarli ochiq (ich bo'sh) nuqta borligiga e'tibor qarating. Bu nuqta funksiya (va demak grafik ham) \(x = 2\) da mavjud emasligini eslatib turish uchun qo'yilgan.
Biz funksiyaga turli \(x\) qiymatlarini qo'yayotganimizda, amalda grafik bo'ylab \(x = 2\) nuqtasi tomon harakatlanayotgan edik. Bu grafikdagi nuqta tomon ikki tomondan intilayotgan strelkalar orqali yaqqol ko'rsatilgan.
Limitlarni hisoblayotganimizda, biz berayotgan asl savol shuki: grafik bo'ylab \(x = a\) tomon harakatlanayotganimizda, grafigimiz qaysi \(y\) qiymatiga yaqinlashib bormoqda? Biz grafik ushbu qaralayotgan nuqtada qaysi \(y\) qiymatini qabul qilishini so'rayotganimiz YO'Q. Boshqacha qilib aytganda, biz grafik \(x = a\) nuqtaning atrofida nima qilayotganini so'rayapmiz. Bizning holatimizda, \(x\) ikkala tomondan 2 ga qarab intilgan sari funksiya \(y = 4\) ga yaqinlashib borayotganini ko'rishimiz mumkin — garchi funksiyaning o'zi \(x = 2\) da mavjud bo'lmasa ham. Shuning uchun biz limit haqiqatan ham 4 ga teng deb ayta olamiz.
Demak, biz limitlar haqida nimani o'rgandik? Limitlar funksiya \(x = a\) ning atrofida nima qilayotganini so'raydi va funksiya \(x = a\) nuqtaning o'zida nima qilayotgani bilan mutlaqo qiziqmaydi. Bu juda yaxshi xususiyat, chunki biz ko'rib chiqadigan ko'plab funksiyalar (xuddi oxirgi misolda ko'rganimizdek) \(x = a\) da hatto mavjud ham bo'lmaydi.
Ushbu g'oyani yanada mustahkamlash uchun yana bir misol ishlab ko'ramiz.
Yechim
Bu yerda birinchi navbatda e'tibor qaratish kerak bo'lgan jihat shundaki, bu birinchi misoldagi funksiyaning aynan o'zi, faqatgina yagona farqi — biz endi unga \(x = 2\) nuqta uchun maxsus qiymat berdik. Demak, avvalo quyidagilarni qayd etamiz:
\[g\left( 2 \right) = 6\]Ushbu limit qiymatini baholashga kelganda esa, birinchi misolga nisbatan hech narsa o'zgarmadi. Biz xuddi birinchi misoldagidek qiymatlar jadvalini tuzishimiz yoki funksiya grafigiga bir nazar tashlashimiz mumkin. Ikkala usul ham bizga limitning bir xil qiymatini beradi.
Keling, avvalo qiymatlar jadvalini ko'rib chiqaylik va u bizga nimani aytishini kuzataylik. Funksiyaning \(x = 2\) nuqtada qiymatga ega bo'lishi biz tanlaydigan \(x\) larni aslo o'zgartirmaydi. Biz faqat \(x = 2\) ga yaqinlashib boruvchi \(x\) larni tanlaymiz, lekin hech qachon \(x = 2\) ning o'zini olmaymiz. Boshqacha qilib aytganda, birinchi misolda foydalangan qiymatlar jadvalimiz bu yerda qo'llaydigan jadvalimiz bilan aynan bir xil bo'ladi. Shunday qilib, uni bir marta tuzib bo'lganimiz sababli, bu yerda uni qaytadan keltirib o'tirishga hojat yo'q.
Ushbu jadvaldan yana aniq ko'rinib turibdiki, limit quyidagiga teng:
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} g\left( x \right) = 4\]Limit 6 EMAS! Birinchi misoldan keyingi muhokamamizdan eslang: limitlar qaralayotgan nuqtaning o'zida funksiya nima qilayotgani bilan mutlaqo qiziqmaydi. Limitlar faqat nuqtaning atrofida nima sodir bo'layotgani bilan qiziqadi. Funksiyada biz o'zgartirgan yagona narsa uning aynan \(x = 2\) dagi xatti-harakati bo'lganligi sababli, bu limitni aslo o'zgartirmaydi.
Keling, bu fikrni tasdiqlash uchun ushbu funksiya grafigiga ham bir ko'z yugurtiraylik.
Yana ko'rishimiz mumkinki, grafigimiz bo'ylab \(x = 2\) tomon intilgan sari funksiya hamon \(y = 4\) qiymatiga yaqinlashmoqda. Esingizda bo'lsin: biz faqatgina funksiya \(x = 2\) ning atrofida nima qilayotganini so'rayapmiz va \(x = 2\) nuqtaning o'zida nima qilayotgani biz uchun muhim emas. Demak, grafik ham limit quyidagiga teng ekanligi haqidagi xulosamizni to'liq tasdiqlaydi:
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} g\left( x \right) = 4\]Buni to'liq o'zlashtirganimizga ishonch hosil qilish uchun ushbu fikrni yana bir bor ta'kidlaymiz: Limitlar \(x = a\) da nima bo'layotgani bilan qiziqmaydi. Limitlar faqat va faqat \(x = a\) ning atrofida nima bo'layotgani bilan qiziqadi. Biz buni takror va takror aytyapmiz, chunki bu — limitlar haqida doimo yodda saqlashimiz shart bo'lgan g'oyat muhim qoidadir. Shuning uchun biz har bir qulay fursatda bu fikrni o'zimizga eslatib turamiz.
Limitlar \(x = a\) da amalda nima yuz berayotgani bilan qiziqmagani sababli, biz vaqti-vaqti bilan avvalgi misoldagidek, nuqtadagi limit va funksiyaning shu nuqtadagi qiymati bir-biridan farq qiladigan vaziyatlarni ko'ramiz. Albatta, bu har doim ham sodir bo'lavermaydi. Nuqtadagi funksiya qiymati bilan limit bir xil bo'ladigan holatlar ham ko'p uchraydi va biz ularning namunalarini ham albatta ko'rib chiqamiz. Biroq, funksiya va limit bir nuqtada har xil qiymatga ega bo'lganida sarosimaga tushmaslik juda muhimdir. Bu oddiy holat bo'lib, bunday vaziyatlar yuzaga kelganda ular bilan to'g'ri ishlay olishimiz lozim.
Keling, ushbu fikrni yanada mustahkamlash uchun yana bir misolni ko'rib chiqaylik.
Yechim
Avvalo, funksiyadagi \(\theta\) (teta) belgisidan hayron bo'lmang. Bu xuddi \(x\) kabi oddiygina harf! Bu yunoncha harf, ammo baribir harf va sizdan vaqti-vaqti bilan yunon harflari bilan ishlash talab etiladi, shuning uchun hozirdanoq ularga ko'nikish ayni muddaodir.
Endi shuni ham payqangki, agar biz \(\theta = 0\) ni qo'ysak, nolga bo'lish hosil bo'ladi va shuning uchun funksiya bu nuqtada mavjud bo'lmaydi. To'g'rirog'i, bu nuqtada 0/0 (aniqmaslik) kelib chiqadi, ammo nolga bo'lish sababli bu funksiya \(\theta = 0\) da aniqlanmagan.
Shunday qilib, birinchi misolda bo'lgani kabi, keling qiymatlar jadvalini tuzamiz va funksiya qaysi songa qarab ketayotganini taxmin qila olamizmi-yo'qmi — ko'ramiz.
| \(\theta \) | \(f\left( \theta \right)\) | \(\theta \) | \(f\left( \theta \right)\) |
|---|---|---|---|
| 1 | 0.45969769 | -1 | -0.45969769 |
| 0.1 | 0.04995835 | -0.1 | -0.04995835 |
| 0.01 | 0.00499996 | -0.01 | -0.00499996 |
| 0.001 | 0.00049999 | -0.001 | -0.00049999 |
Xullas, ko'rinib turibdiki, \(\theta\) o'zgaruvchisi 0 ga intilgan sari (albatta, har ikki tomondan ham) funksiya nol qiymatiga tomon harakatlanmoqda.
Shunday ekan, biz limit quyidagi qiymatga ega deb taxmin qilamiz:
\[\mathop {\lim }\limits_{\theta \to 0} \,\frac{{1 - \cos \left( \theta \right)}}{\theta } = 0\]Shunday qilib, yana bir bor: funksiya bizni qiziqtirgan nuqtada mavjud bo'lmagan bo'lsa-da, limit muayyan qiymatga ega bo'ldi.
Endi biz muhokama qilmoqchi bo'lgan limitlarga oid navbatdagi muhim g'oyaga olib boruvchi yana bir nechta misolni ko'rib chiqish vaqti keldi.
Yechim
Keling, qiymatlar jadvalini tuzamiz va bu holatda funksiyamiz bilan nimalar sodir bo'layotganini ko'ramiz.
| \(t\) | \(f(t)\) | \(t\) | \(f(t)\) |
|---|---|---|---|
| 1 | -1 | -1 | -1 |
| 0.1 | 1 | -0.1 | 1 |
| 0.01 | 1 | -0.01 | 1 |
| 0.001 | 1 | -0.001 | 1 |
Endi, agar biz limitni faqat ushbu jadvalga qarab taxmin qiladigan bo'lsak, limit 1 ga teng degan xulosaga kelar edik. Biroq, agar biz shunday xulosa chiqarsak, mutlaqo yanglishgan bo'lamiz! Funksiyaning quyidagi hisoblashlaridan istalgan birini ko'rib chiqing:
\[f\left( {\frac{1}{{2001}}} \right) = - 1\hspace{0.55in}f\left( {\frac{2}{{2001}}} \right) = 0\hspace{0.5in}f\left( {\frac{4}{{4001}}} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\]Ushbu uchala hisoblashda ham biz funksiyani 0.001 dan kichik bo'lgan sonlarda hisobladik va bir-biridan butunlay farq qiluvchi uchta sonni oldik! Yodga oling: biz qo'llayotgan limit ta'rifi \(t\) qaralayotgan nuqtaga tobora yaqinlashgan sari funksiya yagona bir qiymatga (bizning taxminimizga) intilishi kerakligini talab qiladi. Ta'rif funksiya qiymatlarining faqat ayrimlarigina o'sha taxminiy songa yaqinlashishi kerak demaydi; u funksiyaning barcha qiymatlari bizning taxminimizga borgan sari yaqinlashib borishi shart ekanligini aytadi.
Bu yerda nima sodir bo'layotganini yaqqol ko'rish uchun funksiya grafigini chizish juda qulaydir.
Ushbu grafikdan ko'rishimiz mumkinki, biz \(t = 0\) tomon yaqinlashganimiz sari, funksiya g'oyat kuchli tebrana boshlaydi va aslida biz \(t = 0\) ga qanchalik yaqinlashsak, bu tebranishlar tezligi shunchalik oshib boradi. Limit ta'rifimizdan eslang: limit mavjud bo'lishi uchun, biz qaralayotgan nuqtaga yaqinlashgan sari funksiya yagona bir aniq qiymat tomon barqarorlashishi (bitta songa intilishi) shart.
Bu funksiya esa aniqki yagona bitta songa barqarorlashmaydi, shuning uchun ushbu limit mavjud emas!
Ushbu oxirgi misol limit qiymatini baholash uchun faqatgina o'zgaruvchining ixtiyoriy qiymatlarini tanlash va funksiya qiymatlari jadvalidan foydalanishning jiddiy kamchiligini ko'rsatib beradi. Oldingi misolda biz tanlagan o'zgaruvchi qiymatlari to'g'ri edi va aslida ko'pchilik aynan shu qiymatlarni tanlagan bo'lardi. Darhaqiqat, ular bundan oldingi masalada biz foydalangan qiymatlarning xuddi o'zi edi va o'sha masalada ular benuqson ishlagan edi!
Qiymatlar jadvalidan foydalanganda, to'g'ri qiymatlarni tanlamasligimiz va limit uchun noto'g'ri taxmin qilishimiz ehtimoli har doim mavjud bo'ladi. Limitlar qiymatini taxmin qilishda buni doimo yodda tutishimiz lozim. Aslida bu shunchalik jiddiy muammoki, ushbu bo'limdan so'ng biz limit qiymatini taxmin qilish uchun qiymatlar jadvalidan boshqa hech qachon foydalanmaymiz.
Ushbu oxirgi misol, shuningdek, limitlar har doim ham mavjud bo'lavermasligini ko'rsatdi. Shu paytgacha biz faqat mavjud bo'lgan limitlarni ko'rgan edik, biroq har doim ham shunday bo'lavermaydi.
Keling, ushbu bo'limda yana bitta misolni ko'rib chiqaylik.
Yechim
Ushbu funksiya ko'pincha Xevisayd (Heaviside) yoki pog'onasimon (bosqichli) funksiya deb ataladi. Limitni baholash uchun qiymatlar jadvalidan foydalanishimiz mumkin edi, biroq bu holatda grafikdan foydalanish ancha tezroq bo'ladi, shuning uchun shunday qilamiz. Quyida ushbu funksiyaning grafigi keltirilgan.
Grafikdan ko'rishimiz mumkinki, agar biz \(t = 0\) ga o'ng tomondan yaqinlashsak, funksiya \(y = 1\) qiymatiga tomon harakatlanmoqda. To'g'rirog'i, u shunchaki 1 da doimiy qolmoqda, biroq ushbu bo'limda biz qo'llayotgan terminologiyada u 1 ga tomon intilmoqda...
Shuningdek, agar biz \(t = 0\) ga chap tomondan harakatlansak, funksiya \(y = 0\) qiymati tomon harakatlanmoqda.
Bizning limit ta'rifimizga binoan, biz \(t = a\) tomon harakatlanganimizda (har ikki tomondan ham), funksiya yagona bitta songa tomon intilishi zarur edi. Bu holatda esa bunday bo'lmayapti va shuning uchun ushbu misolda ham limit mavjud emas deb aytamiz.
E'tibor bering, ushbu misoldagi limit oldingi misoldagidan biroz farq qiladi. Oldingi misolda \(t = 0\) ga intilganimizda funksiya bitta songa umuman barqarorlashmagan (betartib tebrangan) edi. Ushbu misolda esa, funksiya \(t = 0\) ning har ikki tomonida alohida-alohida bitta songa intiladi. Muammo shundaki, bu sonlar \(t = 0\) ning har bir tomonida har xil (biri 0, biri 1). Bu g'oyani biz keyingi bo'limda ancha batafsil ko'rib chiqamiz.
Keling, ushbu bo'limda (umid qilamizki) o'rgangan narsalarimizni xulosalaylik. Dastlabki uchta misolda biz limitlar qaralayotgan nuqtaning o'zida funksiya nima qilayotgani bilan mutlaqo qiziqmasligini ko'rdik. Ular faqat nuqtaning atrofida nima yuz berayotgani bilan qiziqadi. Aslida, hatto funksiyaning o'zi shu nuqtada mavjud bo'lmasa ham, \(x = a\) da limit mavjud bo'lishi mumkin. Xuddi shuningdek, agar funksiya ma'lum bir nuqtada mavjud bo'lsa ham, bu nuqtadagi limit funksiya qiymati bilan bir xil bo'ladi deb o'ylashga (hozirgi bosqichda) hech qanday asos yo'q. Ba'zida nuqtadagi limit va funksiya qiymati bir xil bo'ladi, boshqa paytlarda esa ular bir xil bo'lmaydi.
Keyin, uchinchi va to'rtinchi misollarda biz limit qiymatini taxmin qilish uchun qiymatlar jadvalidan foydalanmaslikning asosiy sababini ko'rdik. Ushbu misollarda biz aynan bir xil qiymatlar to'plamidan foydalandik, biroq ular faqat bitta misoldagina to'g'ri natija berdi, xolos. Limitlar qiymatini taxmin qilish uchun qiymatlar jadvalidan foydalanish — limit qiymatini topishning yaxshi usuli emas. Bu biz bunday yo'l tutadigan yagona bo'limdir. Qiymatlar jadvali limit qiymatlarini topishda doimo sizning eng oxirgi tanlovingiz bo'lishi lozim.
Oxirgi ikkita misol bizga har qanday limit ham mavjud bo'lavermasligini ko'rsatdi. Biz limitlar doimo mavjud bo'ladi degan noto'g'ri tasavvurga bog'lanib qolmasligimiz kerak. Calculus kurslarining ko'pchiligida biz deyarli doim mavjud bo'ladigan limitlar bilan ishlaymiz, shuning uchun limitlar hamisha mavjud bo'ladi deb o'ylashga moyillik paydo bo'ladi. Limitlar har doim ham mavjud bo'lavermaydi, shuning uchun ularni doim mavjud deb taxmin qilishga odatlanmang.
Nihoyat, to'rtinchi misolda biz limitni tushunishning yagona yo'li funksiya grafigini chizish ekanligini ko'rdik. Ba'zan bu yagona yo'l bo'ladi, biroq bu misol grafiklarga tayanishning ham kamchiligini namoyon etdi. Limit qiymatini taxmin qilishda grafikdan foydalanish uchun siz funksiya grafigini aniq chiza olishingiz kerak. Ko'pgina funksiyalar uchun esa buni amalga oshirish aslo oson emas.
Grafiklardan foydalanishning yana bir kamchiligi bor: qo'lingizda tayyor grafik bo'lsa ham, u faqat \(y\) qiymati butun songa intilayotgan taqdirdagina foydali bo'ladi. Agar \(y\) qiymati, aytaylik, \(\frac{{ - 15}}{{123}}\) ga intilayotgan bo'lsa, siz grafikdan qarab bu qiymatni hech qachon aniq taxmin qila olmaysiz, bizga esa odatda limitlarimiz uchun aniq qiymatlar kerak bo'ladi.
Shunday qilib, funksiya grafiklari ba'zan limit qiymatini taxmin qilishda ishingizni osonlashtirsa-da, ular ham limit qiymatlarini aniqlashning eng yaxshi usuli emas. Ular faqat siz grafikni osongina ola bilsangiz va limit qiymati “chiroyli” (yaxlit yoki butun) son bo'lsagina foydali bo'ladi.
Tabiiy savol tug'iladi: agar jadvallar va/yoki grafiklar eng yaxshi usul bo'lmasa, nega biz ulardan foydalanish haqida gaplashdik? Buning bir nechta sababi bor edi:
Birinchidan, ular limitlarning o'zi nima ekanligini va ular bizga nimani aytib bera olishini chuqurroq tushunishimizga yordam beradi. Agar biz hech bo'lmaganda bir nechta limitni shu tarzda ko'rib chiqmaganimizda, limitlar mohiyati haqida yetarlicha tasavvurga ega bo'lolmas edik.
Ikkinchidan, limitlarni bu tarzda qarashimizning sababi — ularning kamchiliklarini ko'rsatish bo'lib, toki biz ulardan har doim foydalanishga vasvasaga tushmaylik!
Biz oxir-oqibat limitlarni aslida qanday qilib to'g'ri hisoblashimiz haqida gaplashamiz. Biroq, buni qilishdan oldin yana bitta mavzuni muhokama qilishimiz zarur. Ushbu bo'lim ancha cho'zilib ketganligi sababli, bu haqda keyingi bo'limda so'z yuritamiz.