Asosiy tarkibga o'tish

5.5-bo'lim: Hudud muammosi

Ushbu bo'limning birinchi qismida ta'kidlanganidek, integrallarning ikki turi mavjud va shu paytgacha biz noaniq integrallarni ko'rib chiqdik. Endi ikkinchi turdagi integral haqida o'ylashni boshlash vaqti keldi: Aniq integrallar. Biroq, buni amalga oshirishdan oldin biz hudud muammosini ko'rib chiqamiz. Hudud muammosi aniq integrallarning tangensi va o'zgarish tezligining hosilalarga nisbatan qanday bo'lishini aniqlashdir.

Maydon muammosi bizga aniq integralning talqinlaridan birini beradi va bu bizni aniq integralning ta'rifiga olib boradi.

Boshlash uchun biz \(\left[ {a,b} \right]\) oralig'ida ijobiy bo'lgan \(f\left( x \right)\) funksiyasiga egamiz deb taxmin qilamiz. Biz qilmoqchi bo'lgan narsa - funktsiya va \(x\) o'qi o'rtasidagi mintaqa maydonini aniqlash.

Buni qanday qilishimizni misol bilan ko'rish eng osondir. Shunday qilib, \(\left[ {0,2} \right]\) da \(f\left( x \right) = {x^2} + 1\) orasidagi maydonni aniqlaymiz. Boshqacha qilib aytganda, biz quyida joylashgan soyali hududning maydonini aniqlamoqchimiz.

The graph of \(f\left( x \right)={{x}^{2}}+1\) on \(0 \le x \le 2\). The graph starts at (0,1) and increases to (2,5). The region between the graph and the x-axis has been shaded in.

Hozir, biz buni aniq qila olmaymiz. Biroq, biz hududni taxmin qilishimiz mumkin. Biz maydonni intervalni har bir kenglikdagi \(n\) subintervallariga bo'lish orqali baholaymiz,

\[\Delta x = \frac{{b - a}}{n}\]

Keyin har bir oraliqda balandligi oraliqning ma'lum bir nuqtasida funksiya qiymati bilan berilgan to'rtburchaklar hosil qilishimiz mumkin. Keyin biz ushbu to'rtburchaklarning har birining maydonini topamiz, ularni qo'shamiz va bu maydonning taxminiy qiymati bo'ladi.

Vaziyatning eskizi bilan buni ko'rish osonroqdir. Shunday qilib, keling, intervalni 4 ta kichik intervalga ajratamiz va to'rtburchakning balandligini aniqlash uchun har bir oraliqning o'ng tomonidagi funktsiya qiymatidan foydalanamiz. Bu beradi,

The graph of $f\left( x \right)={{x}^{2}}+1$ on the domain 0<x<2. Also on the graph are four rectangles of width 1/2 whose bases are all on the x-axis and whose height goes up to the function graph on the right side of the rectangle.

E'tibor bering, balandlikni tanlaganimizdek, to'rtburchaklarning har biri maydonni ortiqcha baholaydi, chunki har bir to'rtburchak har safar grafikdan ko'proq maydonni egallaydi. Endi maydonni taxmin qilaylik. Birinchidan, to'rtburchaklarning har birining kengligi \(\frac{1}{2}\). Har bir to'rtburchakning balandligi o'ng nuqtadagi funktsiya qiymati bilan belgilanadi va shuning uchun har bir to'rtburchakning balandligi o'ng nuqtadagi funktsiya qiymatidan boshqa narsa emas. Bu erda taxminiy maydon.

\[\begin{align*}{A_{\,r}} & = \frac{1}{2}f\left( {\frac{1}{2}} \right) + \frac{1}{2}f\left( 1 \right) + \frac{1}{2}f\left( {\frac{3}{2}} \right) + \frac{1}{2}f\left( 2 \right)\\ & = \frac{1}{2}\left( {\frac{5}{4}} \right) + \frac{1}{2}\left( 2 \right) + \frac{1}{2}\left( {\frac{{13}}{4}} \right) + \frac{1}{2}\left( 5 \right)\\ & = 5.75\end{align*}\]

Albatta, to'rtburchaklar balandligini o'ng nuqtadagi funktsiya qiymati sifatida qabul qilish bizning yagona variantimiz emas. Biz to'rtburchaklar balandligini chap tomondagi funktsiya qiymati sifatida qabul qilishimiz mumkin edi. To'rtburchaklar balandligi sifatida chap so'nggi nuqtalardan foydalanish quyidagi grafik va taxminiy maydonni beradi.

The graph of $f\left( x \right)={{x}^{2}}+1$ on the domain 0<x<2. Also on the graph are four rectangles of width 1/2 whose bases are all on the x-axis and whose height goes up to the function graph on the left side of the rectangle.
\[\begin{align*}{A_{\,l}} & = \frac{1}{2}f\left( 0 \right) + \frac{1}{2}f\left( {\frac{1}{2}} \right) + \frac{1}{2}f\left( 1 \right) + \frac{1}{2}f\left( {\frac{3}{2}} \right)\\ & = \frac{1}{2}\left( 1 \right) + \frac{1}{2}\left( {\frac{5}{4}} \right) + \frac{1}{2}\left( 2 \right) + \frac{1}{2}\left( {\frac{{13}}{4}} \right)\\ & = 3.75\end{align*}\]

Bunday holda, har bir to'rtburchak har safar maydonning bir qismini o'tkazib yuborganligi sababli, baholash kam baholanganligini ko'rishimiz mumkin.

To'rtburchaklar balandligini olish uchun yana bir umumiy nuqta bor, bu ko'pincha aniqroqdir. Har bir pastki intervalning o'ng yoki chap so'nggi nuqtalarini ishlatish o'rniga, har bir pastki intervalning o'rta nuqtasini har bir to'rtburchakning balandligi sifatida qabul qilishimiz mumkin. Mana bu holat uchun grafik.

The graph of $f\left( x \right)={{x}^{2}}+1$ on the domain 0<x<2. Also on the graph are four rectangles of width 1/2 whose bases are all on the x-axis and whose height goes up to the function graph on the at the midpoint of each rectangle.

Shunday qilib, har bir to'rtburchak maydonni kattaroq va kam baholaganga o'xshaydi. Bu shuni anglatadiki, bu safargi taxminiylik avvalgi ikkita nuqtani tanlashga qaraganda ancha yaxshi bo'lishi kerak. Mana bu holat uchun taxmin.

\[\begin{align*}{A_{\,m}} & = \frac{1}{2}f\left( {\frac{1}{4}} \right) + \frac{1}{2}f\left( {\frac{3}{4}} \right) + \frac{1}{2}f\left( {\frac{5}{4}} \right) + \frac{1}{2}f\left( {\frac{7}{4}} \right)\\ & = \frac{1}{2}\left( {\frac{{17}}{{16}}} \right) + \frac{1}{2}\left( {\frac{{25}}{{16}}} \right) + \frac{1}{2}\left( {\frac{{41}}{{16}}} \right) + \frac{1}{2}\left( {\frac{{65}}{{16}}} \right)\\ & = 4.625\end{align*}\]

Hozir bizda uchta taxmin bor. Taqqoslash uchun aniq maydon

\[A = \frac{{14}}{3} = 4.66\overline{6}\]

Shunday qilib, o'ng va chap so'nggi nuqtani baholash taxminda unchalik katta ishni bajarmadi. Biroq, o'rta nuqtani baholash juda yaxshi natija berdi.

Har bir nuqtani tanlash bizning taxminimizga qanday ta'sir qilishi haqida hech qanday xulosa chiqarmaslik uchun ehtiyot bo'ling. Bunday holda, biz ortib borayotgan funksiya bilan ishlayotganimiz sababli, to'g'ri so'nggi nuqtalarni tanlash ortiqcha baholanadi va chap so'nggi nuqtani tanlash kam baholanadi.

Agar biz kamayuvchi funktsiya bilan ishlasak, teskari natijalarga erishamiz. Funktsiyalarni kamaytirish uchun o'ng so'nggi nuqtalar kam baholanadi va chap so'nggi nuqtalar ortiqcha baholanadi.

Bundan tashqari, agar bizda oraliqda ham ortib, ham kamayib ketgan funktsiya bo'lsa, biz, ehtimol, biz haddan tashqari yoki past baho olishimizni aniqlay olmaymiz.

Keling, faraz qilaylik, biz yaxshiroq baholashni xohlaymiz, chunki yuqoridagi hisob-kitoblarning hech biri haqiqatan ham hududni baholashda unchalik katta ish qilmagan. Biz har bir to'rtburchakning balandligi uchun foydalanish uchun boshqa nuqtani topishga harakat qilishimiz mumkin edi, lekin bu juda og'ir bo'lar edi va taxmin qilish aslida yaxshiroq bo'lishiga kafolat yo'q. Bundan tashqari, biz tanlagan har qanday funktsiya uchun mos keladigan va boshqa funktsiyalar uchun ishlamasligi mumkin bo'lgan yangi nuqtalarni tanlasak, yaxshiroq taxmin qilish usulini xohlaymiz.

Yaxshiroq taxmin qilishning eng oson yo'li ko'proq to'rtburchaklar olishdir (i.e. \(n\) ni oshirish). Keling, biz foydalangan to'rtburchaklar sonini ikki baravar oshiramiz va nima bo'lishini ko'ramiz. Bu erda sakkizta to'rtburchaklar ko'rsatilgan grafiklar va yuqorida biz foydalangan to'rtburchaklar balandligi uchun uchta tanlovning har biri uchun taxminlar.

The graph of $f\left( x \right)={{x}^{2}}+1$ on the domain 0<x<2. Also on the graph are eight rectangles of width 1/4 whose bases are all on the x-axis and whose height goes up to the function graph on the right side of the rectangle. The graph of $f\left( x \right)={{x}^{2}}+1$ on the domain 0<x<2. Also on the graph are eight rectangles of width 1/4 whose bases are all on the x-axis and whose height goes up to the function graph on the left side of the rectangle.
The graph of $f\left( x \right)={{x}^{2}}+1$ on the domain 0<x<2. Also on the graph are eight rectangles of width 1/4 whose bases are all on the x-axis and whose height goes up to the function graph on the at the midpoint of each rectangle.

Mana bu holatlarning har biri uchun maydon taxminlari.

\[{A_{\,r}} = 5.1875\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}{A_{\,l}} = 4.1875\hspace{0.25in}\hspace{0.25in}{A_{\,m}} = 4.65625\]

Shunday qilib, to'rtburchaklar sonini ko'paytirish, biz taxmin qilganimizdek, baholashning aniqligini oshirdi.

Keling, biroz murakkabroq misol bilan ishlaylik.

1-misol \(f\left( x \right) = {x^3} - 5{x^2} + 6x + 5\) va \(x\) o'qi o'rtasidagi maydonni \(n = 5\) subintervallari va har bir to'rtburchak balandliklari uchun yuqoridagi uchta holatdan foydalanib, \(\left[ {0,4} \right]\) da hisoblang.
Yechim

Birinchidan, funktsiya ijobiy ekanligiga ishonch hosil qilish uchun grafikni olamiz.

The graph of \(f\left( x \right)={{x}^{3}}-5{{x}^{2}}+6x+5\) on \(0 \le x \le 4\). The graph starts at (0,5), rises to a peak at approximately (0.8,7), falls to a valley at approximately (2.5,4.5) and then increases sharply to (4,13). The graph is positive on the whole interval and the region between the graph and the x-axis has been shaded in.

Shunday qilib, grafik ijobiy va har bir subintervalning kengligi bo'ladi,

\[\Delta x = \frac{4}{5} = 0.8\]

Bu shuni anglatadiki, subintervallarning so'nggi nuqtalari,

\[0,\,\,\,0.8,\,\,\,1.6,\,\,\,2.4,\,\,\,3.2,\,\,\,4\,\]

Keling, avval funktsiya balandligi uchun to'g'ri so'nggi nuqtalardan foydalanishni ko'rib chiqaylik. Mana bu holat uchun grafik.

The graph of $f\left( x \right)={{x}^{3}}-5{{x}^{2}}+6x+5$ on the domain 0<x<4 using 5 rectangles and right endpoints for the rectangle heights. Counting rectangles from left to right we get that rectangles 1, 4 and 5 all over estimate the area and rectangles 2 and 3 both underestimate the area.

E'tibor bering, biz ko'rib chiqqan birinchi sohadan farqli o'laroq, bu erda to'g'ri so'nggi nuqtalarni tanlash egri chiziqda joylashgan joyimizga qarab, maydonni ham oshirib yuboradi va kam baholaydi. Bu ko'pincha biz dastlab ko'rib chiqqan umumiy egri chiziq bilan sodir bo'ladi. To'rtburchaklar balandligi uchun har bir intervalning to'g'ri so'nggi nuqtalari yordamida maydonni baholash,

\[\begin{align*}{A_{\,r}} & = 0.8f\left( {0.8} \right) + 0.8f\left( {1.6} \right) + 0.8f\left( {2.4} \right) + 0.8f\left( {3.2} \right) + 0.8f\left( 4 \right)\\ & = 28.96\end{align*}\]

Endi funksiya balandligi uchun chap so'nggi nuqtalarni ko'rib chiqaylik. Mana grafik.

The graph of $f\left( x \right)={{x}^{3}}-5{{x}^{2}}+6x+5$ on the domain 0<x<4 using 5 rectangles and left endpoints for the rectangle heights. Counting rectangles from left to right we get that rectangles 1, 4 and 5 all underestimate the area and rectangles 2 and 3 both overestimate the area.

To'rtburchaklar balandligi uchun har bir oraliqning chap so'nggi nuqtalari yordamida maydonni baholash,

\[\begin{align*}{A_{\,l}} & = 0.8f\left( 0 \right) + 0.8f\left( {0.8} \right) + 0.8f\left( {1.6} \right) + 0.8f\left( {2.4} \right) + 0.8f\left( {3.2} \right)\\ & = 22.56\end{align*}\]

Va nihoyat, har bir to'rtburchakning balandligi uchun o'rta nuqtalarni ko'rib chiqaylik. Mana grafik,

The graph of $f\left( x \right)={{x}^{3}}-5{{x}^{2}}+6x+5$ on the domain 0<x<4 using 5 rectangles and midpoints for the rectangle heights. Each rectangle both over and underestimates the area.

O'rta nuqtadan foydalanib, maydonni baholash quyidagicha bo'ladi:

\[\begin{align*}{A_{\,m}} & = 0.8f\left( {0.4} \right) + 0.8f\left( {1.2} \right) + 0.8f\left( 2 \right) + 0.8f\left( {2.8} \right) + 0.8f\left( {3.6} \right)\\ & = 25.12\end{align*}\]

Taqqoslash uchun aniq maydon:

\[A = \frac{{76}}{3} = 25.33\overline{3}\]

Shunday qilib, yana o'rta nuqta qolgan ikkitasiga qaraganda yaxshiroq ish qildi. Bu tez-tez sodir bo'ladigan bo'lsa-da, har doim ham shunday bo'lmaydi va shuning uchun bu har doim sodir bo'lishini kutmang.

Endi umumiy holatga o'tamiz. Keling, \(\left[ {a,b} \right]\) da \(f\left( x \right) \ge 0\) bilan boshlaylik va biz intervalni har bir uzunlikdagi \(n\) subintervallariga ajratamiz,

\[\Delta x = \frac{{b - a}}{n}\]

E'tibor bering, subintervallar teng uzunlikda bo'lishi shart emas, lekin bu bizning ishimizni sezilarli darajada osonlashtiradi. Har bir subintervalning so'nggi nuqtalari:

\[\begin{align*}{x_0} & = a\\ {x_1} & = a + \Delta x\\ {x_2} & = a + 2\Delta x\\ \vdots \\ {x_i} & = a + i\Delta x\\ \vdots \\ {x_{n - 1}} & = a + \left( {n - 1} \right)\Delta x\\ {x_n} & = a + n\Delta x & = b\end{align*}\]

Har bir intervalda keyingi,

\[\left[ {{x_0},{x_1}} \right],\,\left[ {{x_1},{x_2}} \right], \ldots ,\left[ {{x_{i - 1}},{x_i}} \right], \ldots ,\left[ {{x_{n - 1}},{x_n}} \right]\]

biz \(x_1^*,x_2^*, \ldots ,x_i^*, \ldots x_n^*\) nuqtasini tanlaymiz. Ushbu nuqtalar har bir kichik intervalda to'rtburchakning balandligini aniqlaydi. Shuni ham yodda tutingki, bu nuqtalar har bir kichik intervalda bir xil nuqtada bo'lishi shart emas. Biroq, ular odatda oraliqning chap oxirgi nuqtasi, intervalning o'ng oxirgi nuqtasi yoki intervalning o'rta nuqtasidir.

Mana bu holatning eskizi.

This is the graph of some unknown function on the domain a<x<b. It is completely in the 1st quadrant. It initially decreases until it hits a valley, then increases to a peak, then decreases to a new valley and finally increases for a short distance before ending. Along the x-axis are points labeled $x_{0}$, $x_{1}$, $x_{2}$, $x_{3}$ on the left end and $x_{n-1}$, $x_{n}$ on the right end. Between each pair of points is another set of points labeled $x_{1}^{*}$, $x_{2}^{*}$, $x_{3}^{*}$ on the left and , $x_{n}^{*}$ on the right. Each of the “*” points are used to get the height of a rectangle above it. So, there are three rectangles on the left and one on the right that are used to represent the area. There is a blank space between the three rectangles on the left and the one on the right to indicate it would be filled in with other rectangles if we actually a specific value for n.

Berilgan oraliqdagi egri chiziq ostidagi maydon taxminan,

\[A \approx f\left( {x_1^*} \right)\Delta x + f\left( {x_2^*} \right)\Delta x + \cdots + f\left( {x_i^*} \right)\Delta x + \cdots + f\left( {x_n^*} \right)\Delta x\]

foydalanamiz yig'ish yozuvi or sigma belgisi bu nuqtada yozuvimizni biroz soddalashtirish uchun. Agar sizga yig'indi belgisi bo'yicha yangilanish kerak bo'lsa, tekshiring bo'limi Bunga Qo'shimchalar bobida bag'ishlangan.

Yig'indi belgisidan foydalanib, maydonni baholash,

\[A \approx \sum\limits_{i = 1}^n {f\left( {x_i^*} \right)\Delta x} \]

Yuqoridagi tenglamadagi yig'indi a deyiladi Riemann summasi.

Yaxshiroq baho olish uchun biz \(n\) ni kattaroq va kattaroq qilib olamiz. Haqiqatan ham, agar biz \(n\)-ni cheksizlikka chiqarsak, biz aniq maydonni olamiz. Boshqacha aytganda,

\[A = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sum\limits_{i = 1}^n {f\left( {x_i^*} \right)\Delta x} \]

Ushbu bo'limni tark etishdan oldin yana bir muammoga to'xtalib o'tamiz. Shu nuqtaga qadar biz funktsiyani ishimizda ijobiy bo'lishini talab qildik. Biroq, ko'p funktsiyalar ijobiy emas. [0,2] da \(f\left( x \right) = {x^2} - 4\) ishini ko'rib chiqing. Agar biz \(n = 8\) va to'rtburchaklar balandligi uchun o'rta nuqtalardan foydalansak, biz quyidagi grafikni olamiz,

This is the graph of $f\left( x \right)={{x}^{2}}-4$ on the domain 0<x<2 with 8 rectangles all using the midpoint for the height of the rectangles. Because the graph is completely in the 4th quadrant all of the rectangle go down from the x-axis to the graph of the function.

Bunday holda, funksiya \(x\) o'qidan to'liq pastda joylashganligini va shuning uchun har doim salbiy ekanligini bilib olaylik. Agar funktsiya har doim manfiy bo'lishini e'tiborsiz qoldirsak va grafik va \(x\) o'qi orasidagi maydonni hisoblash uchun yuqoridagi fikrlardan foydalansak,

\[\begin{align*}{A_{\,m}} & = \frac{1}{4}f\left( {\frac{1}{8}} \right) + \frac{1}{4}f\left( {\frac{3}{8}} \right) + \frac{1}{4}f\left( {\frac{5}{8}} \right) + \frac{1}{4}f\left( {\frac{7}{8}} \right) + \frac{1}{4}f\left( {\frac{9}{8}} \right) + \\ & \hspace{1.5in}\frac{1}{4}f\left( {\frac{{11}}{8}} \right) + \frac{1}{4}f\left( {\frac{{13}}{8}} \right) + \frac{1}{4}f\left( {\frac{{15}}{8}} \right)\\ & = - 5.34375\end{align*}\]

Bizning javobimiz salbiy, chunki biz kutgan bo'lishimiz mumkinki, barcha funktsiyalarni baholash salbiy.

Shunday qilib, ushbu bo'limdagi texnikadan foydalanib, agar funktsiya \(x\) o'qidan yuqori bo'lsa, biz ijobiy maydonga ega bo'lamiz va agar funktsiya \(x\) o'qidan past bo'lsa, biz salbiy maydonga ega bo'lamiz. Endi oraliqda ham musbat, ham manfiy funktsiya haqida nima deyish mumkin? Masalan, [0,2] da \(f\left( x \right) = {x^2} - 2\). \(n = 8\) va o'rta nuqtalardan foydalangan holda grafik,

This is the graph of $f\left( x \right)={{x}^{2}}-2$ on the domain 0<x<2 with 8 rectangles all using the midpoint for the height of the rectangles. The graph starts out below the x-axis and crosses at approximately (1.414,0) and finishes above the x-axis. Because of this the 6 left most rectangles are all below the x-axis and the 2 right most rectangles are both above the x-axis.

Ba'zi to'rtburchaklar \(x\) o'qi ostida joylashgan va shuning uchun salbiy maydonlarni beradi, ba'zilari esa \(x\) o'qidan yuqorida va ijobiy maydonlarni beradi. Yuqoridagidan ko'ra \(x\) o'qi ostidagi to'rtburchaklar ko'proq bo'lgani uchun biz bu holat uchun salbiy maydonni baholashimiz kerak. Aslida bu to'g'ri. Bu erda ushbu holat uchun maydon taxmini.

\[\begin{align*}{A_{\,m}} & = \frac{1}{4}f\left( {\frac{1}{8}} \right) + \frac{1}{4}f\left( {\frac{3}{8}} \right) + \frac{1}{4}f\left( {\frac{5}{8}} \right) + \frac{1}{4}f\left( {\frac{7}{8}} \right) + \frac{1}{4}f\left( {\frac{9}{8}} \right) + \\ & \hspace{1.5in}\frac{1}{4}f\left( {\frac{{11}}{8}} \right) + \frac{1}{4}f\left( {\frac{{13}}{8}} \right) + \frac{1}{4}f\left( {\frac{{15}}{8}} \right)\\ & = - 1.34375\end{align*}\]

Funktsiya \(x\) o'qidan yuqorida va pastda bo'lgan hollarda, bo'limda keltirilgan usul to'r funktsiya va \(x\) o'qi orasidagi maydon \(x\) o'qi salbiy ostidagi joylar va \(x\) o'qi musbat ustidagi maydonlar. Shunday qilib, agar aniq maydon manfiy bo'lsa, \(x\) o'qi ostida yuqoridan ko'ra ko'proq maydon bor, ijobiy aniq maydon esa ko'proq maydon \(x\) o'qidan yuqori ekanligini anglatadi.