3.9-bo'lim: Zanjir qoidasi
So'nggi bir necha bo'lim davomida biz ko'plab lotinlarni oldik. Ammo, agar siz orqaga qarasangiz, ularning barchasi quyidagi funktsiyalarga o'xshash funktsiyalar bo'lgan.
\[R\left( z \right) = \sqrt z \hspace{0.25in}f\left( t \right) = {t^{50}}\hspace{0.25in}y = \tan \left( x \right)\hspace{0.25in}\,\,\,h\left( w \right) = {{\bf{e}}^w}\hspace{0.25in}\,\,\,g\left( x \right) = \,\ln x\]Bularning barchasi juda oddiy funktsiyalar bo'lib, o'zgaruvchi qaerda paydo bo'lsa, u o'z-o'zidan bo'ladi. Quyidagi kabi funktsiyalar haqida nima deyish mumkin,
\[\begin{array}{ll}R\left( z \right) = \sqrt {5z - 8} & \hspace{0.5in}f\left( t \right) = {\left( {2{t^3} + \cos \left( t \right)} \right)^{50}} \hspace{0.5in}\hspace{0.25in}y = \tan \left( {\sqrt[3]{{3{x^2}}} + \tan \left( {5x} \right)} \right)\\ h\left( w \right) = {{\bf{e}}^{{w^4} - 3{w^2} + 9}} & \hspace{0.5in}\,\,\,g\left( x \right) = \,\ln \left( {{x^{ - 4}} + {x^4}} \right)\end{array}\]Bizning qoidalarimizning hech biri bu funksiyalar ustida ishlamaydi, ammo bu funktsiyalarning ba'zilari birinchi to'plamdagi funktsiyalardan ko'ra biz duch kelishi mumkin bo'lgan hosilalarga yaqinroqdir.
Masalan, birinchisini olaylik. Orqaga bo'limi hosila ta'rifida biz ushbu hosilani hisoblash uchun aslida ta'rifdan foydalandik. Ushbu bo'limda biz buni topdik,
\[R'\left( z \right) = \frac{5}{{2\sqrt {5z - 8} }}\]Agar biz bu borada faqat kuch qoidasidan foydalansak, biz olamiz,
\[\frac{1}{2}{\left( {5z - 8} \right)^{ - \frac{1}{2}}} = \frac{1}{{2\sqrt {5z - 8} }}\]bu biz ta'rifdan foydalanib hisoblagan hosila emas. Bu yaqin, lekin u bir xil emas. Shunday qilib, faqat kuch qoidasi bu erda hosilani olish uchun ishlamaydi.
Keling, ushbu funktsiyani ko'rib chiqaylik va shuni ta'kidlaymizki, agar biz aniqlasak,
\[f\left( z \right) = \sqrt z \hspace{0.25in}\hspace{0.25in}g\left( z \right) = 5z - 8\]keyin funksiyani kompozitsiya sifatida yozishimiz mumkin.
\[R\left( z \right) = \left( {f \circ g} \right)\left( z \right) = f\left( {g\left( z \right)} \right) = \sqrt {5z - 8} \]va ma'lum bo'lishicha, funktsiya tarkibini dan foydalanib farqlash juda oddiy Zanjir qoidasi. Zanjir qoidasining ikkita shakli mavjud. Mana ular.
Zanjir qoidasi
Aytaylik, bizda ikkita \(f\left( x \right)\) va \(g\left( x \right)\) funksiyalari bor va ularning ikkalasi ham farqlanadi.
- Agar biz \(F\left( x \right) = \left( {f \circ g} \right)\left( x \right)\) ni aniqlasak, \(F\left( x \right)\) hosilasi quyidagicha bo'ladi: \[F'\left( x \right) = f'\left( {g\left( x \right)} \right)\,\,\,g'\left( x \right)\]
- Agar bizda \(y = f\left( u \right)\) va \(u = g\left( x \right)\) bo'lsa, \(y\) hosilasi, \[\frac{{dy}}{{dx}} = \frac{{dy}}{{du}}\,\,\frac{{du}}{{dx}}\]
Ushbu shakllarning har biri o'z qo'llanilishiga ega, ammo biz ushbu sinfda asosan birinchi shakl bilan ishlaymiz. Zanjir qoidasining isbotini ko'rish uchun qarang Turli hosila formulalarini isbotlash Qo'shimchalar bo'limi.
Keling, orqaga qaytaylik va biz ushbu bo'limni ochganimizda foydalangan funktsiyada zanjir qoidasidan foydalanamiz.
Yechim
Biz kompozitsiya uchun zarur bo'lgan ikkita funktsiyani allaqachon aniqlab oldik, lekin baribir ularni qayta yozamiz va ularning hosilalarini olamiz.
\[\begin{array}{ll}f\left( z \right) = \sqrt z & \hspace{0.5in}g\left( z \right) = 5z - 8\\ f'\left( z \right) = \displaystyle \frac{1}{{2\sqrt z }} & \hspace{0.5in}g'\left( z \right) = 5\end{array}\]Shunday qilib, biz zanjir qoidasidan foydalanib,
\[\begin{align*}R'\left( z \right) & = f'\left( {g\left( z \right)} \right)\,\,g'\left( z \right)\\ & = f'\left( {5z - 8} \right)\,\,g'\left( z \right)\\ & = \frac{1}{2}{\left( {5z - 8} \right)^{ - \frac{1}{2}}}\,\left( 5 \right)\\ & = \frac{1}{{2\sqrt {5z - 8} }}\,\,\left( 5 \right)\\ & = \frac{5}{{2\sqrt {5z - 8} }}\end{align*}\]Va bu biz hosila ta'rifidan foydalangan holda oldik.
Umuman olganda, biz zanjir qoidasidan foydalanishda barcha kompozitsiyalarni bajarmaymiz. Bu biroz murakkablashishi mumkin va aslida bizdan funktsiya tarkibi nuqtai nazaridan fikr yuritishni talab qilmaydigan zanjir qoidasini eslab qolishning tez va oson yo'li mavjudligini yashiradi.
Keling, oldingi misoldagi funktsiyani olib, uni biroz qayta yozamiz.
\[R\left( z \right) = \underbrace {\left( {5z - 8} \right)}_{{\mbox{inside function}}}\,\,\underbrace {^{\,\,\,\,\,\,\frac{1}{2}\,\,\,\,\,\,\,\,}}_{{\mbox{ outside }}\atop {\mbox{function}}}\]Bu funksiya “ichki funksiya” va “tashqi funksiya”ga ega. Tashqi funktsiya kvadrat ildiz yoki \({\textstyle{1 \over 2}}\) ko'rsatkichi bo'lib, siz uni qanday o'ylashni xohlayotganingizga qarab, ichki funktsiya esa biz kvadrat ildizni oladigan yoki \({\textstyle{1 \over 2}}\) ga ko'taradigan narsadir, yana siz unga qanday qarashni xohlayotganingizga bog'liq.
Demak, hosila,
\[R'\left( z \right) = \overbrace {\frac{1}{2}{{\underbrace {\left( {5z - 8} \right)}_{{\mbox{inside function}}\atop{\mbox{left alone}}}}^{ - \frac{1}{2}}}}^{{\mbox{derivative of}}\atop{\mbox{outside function}}}\,\,\,\underbrace {\,\,\,\,\left( 5 \right)\,\,\,\,}_{{\mbox{derivative of}}\atop{\mbox{inside function}}}\]Umuman olganda, biz zanjir qoidasi haqida shunday fikrdamiz. Biz "ichki funktsiya" va "tashqi funktsiya" ni aniqlaymiz. Keyin biz ichki funktsiyani yolg'iz qoldirib, tashqi funktsiyani farqlaymiz va bularning barchasini ichki funktsiyaning hosilasiga ko'paytiramiz. Bu uning umumiy shaklida,
\[F'\left( x \right) = \underbrace {\,\,\,\,\,f'\,\,\,\,\,}_{{\mbox{derivative of}}\atop{\mbox{outside function}}}\,\,\,\,\underbrace {\,\,\left( {g\left( x \right)} \right)\,\,}_{{\mbox{inside function}}\atop{\mbox{left alone}}}\,\,\,\,\,\underbrace {\,\,\,g'\left( x \right)\,\,\,}_{{\mbox{times derivative}}\atop{\mbox{of inside function}}}\]Biz har doim quyidagi misollardagi "tashqi funktsiya" ni o'zimizdan funktsiyani qanday baholashimiz haqida so'rash orqali aniqlashimiz mumkin. Masalan, \(R\left( z \right)\) holatida, agar biz o'zimizga \(R\left( 2 \right)\) nima ekanligini so'rasak, avval radikal ostidagi narsalarni baholaymiz va oxirida bu natijaning kvadrat ildizini olamiz. Kvadrat ildiz - bu biz baholashda bajaradigan oxirgi operatsiya va bu ham tashqi funktsiyadir. Agar siz funktsiyani baholamoqchi bo'lsangiz, tashqi funktsiya har doim bajaradigan oxirgi operatsiya bo'ladi.
Keling, zanjir qoidasining ba'zi misollarini ko'rib chiqaylik.
- \(f\left( x \right) = \sin \left( {3{x^2} + x} \right)\)
- \(f\left( t \right) = {\left( {2{t^3} + \cos \left( t \right)} \right)^{50}}\)
- \(h\left( w \right) = {{\bf{e}}^{{w^4} - 3{w^2} + 9}}\)
- \(g\left( x \right) = \,\ln \left( {{x^{ - 4}} + {x^4}} \right)\)
- \(y = \sec \left( {1 - 5x} \right)\)
- \(P\left( t \right) = {\cos ^4}\left( t \right) + \cos \left( {{t^4}} \right)\)
a \(f\left( x \right) = \sin \left( {3{x^2} + x} \right)\) Yechim
Tashqi funktsiya sinus va ichki funksiya 3 ga o'xshaydi x2+x. hosila shundan keyin.
\[f'\left( x \right) = \underbrace {\,\,\,\,\,\,\cos \,\,\,\,\,\,}_{{\mbox{derivative of}}\atop{\mbox{outside function}}}\,\,\,\,\,\underbrace {\left( {3{x^2} + x} \right)}_{{\mbox{leave inside}}\atop{\mbox{function alone}}}\,\,\,\,\underbrace {\,\,\left( {6x + 1} \right)\,\,}_{{\mbox{times derivative}}\atop{\mbox{of inside function}}}\]Yoki biroz qayta yozish bilan,
\[f'\left( x \right) = \left( {6x + 1} \right)\cos \left( {3{x^2} + x} \right)\]b \(f\left( t \right) = {\left( {2{t^3} + \cos \left( t \right)} \right)^{50}}\) Yechim
Bu holda tashqi funktsiya 50 ning ko'rsatkichi va ichki funksiya qavsning ichki qismidagi barcha narsalardir. hosila shundan keyin.
\[\begin{align*}f'\left( t \right) & = 50{\left( {2{t^3} + \cos \left( t \right)} \right)^{49}}\left( {6{t^2} - \sin \left( t \right)} \right)\\ & = 50\left( {6{t^2} - \sin \left( t \right)} \right){\left( {2{t^3} + \cos \left( t \right)} \right)^{49}}\end{align*}\]c \(h\left( w \right) = {{\bf{e}}^{{w^4} - 3{w^2} + 9}}\) Yechim
Oldingi ikkitasida tashqi funktsiyani aniqlash juda oddiy edi, chunki u qaysidir ma'noda "tashqi" funktsiya edi. Bu holatda biz biroz ehtiyot bo'lishimiz kerak. Eslatib o'tamiz, tashqi funktsiya biz baholashda bajaradigan oxirgi operatsiyadir. Bunday holda, agar biz ushbu funktsiyani baholasak, oxirgi operatsiya eksponensial bo'ladi. Shuning uchun tashqi funktsiya ko'rsatkichli funktsiya, ichki funksiya esa uning ko'rsatkichidir.
Mana lotin.
\[\begin{align*}h'\left( w \right) & = {{\bf{e}}^{{w^4} - 3{w^2} + 9}}\left( {4{w^3} - 6w} \right)\\ & = \left( {4{w^3} - 6w} \right){{\bf{e}}^{{w^4} - 3{w^2} + 9}}\end{align*}\]Esingizda bo'lsin, biz tashqi funktsiyani farqlashda ichki funktsiyani yolg'iz qoldiramiz. Demak, eksponensial funktsiyaning hosilasi (ichki qismi yolg'iz qolgan holda) faqat asl funktsiyadir.
d \(g\left( x \right) = \,\ln \left( {{x^{ - 4}} + {x^4}} \right)\) Yechim
Bu erda tashqi funktsiya natural logarifm, ichki funksiya esa logarifmning ichki qismidagi narsalardir.
\[g'\left( x \right) = \,\frac{1}{{{x^{ - 4}} + {x^4}}}\left( { - 4{x^{ - 5}} + 4{x^3}} \right) = \frac{{ - 4{x^{ - 5}} + 4{x^3}}}{{{x^{ - 4}} + {x^4}}}\]Tashqi funktsiyani farqlashda ichki funktsiyani yolg'iz qoldirishni yana bir bor unutmang. Shunday qilib, logarifmni farqlashda biz 1/\(x\) bilan emas, balki 1/(ichki funktsiya) bilan yakunlaymiz.
e \(y = \sec \left( {1 - 5x} \right)\) Yechim
Bu holda tashqi funktsiya sekant va ichki qism \(1 - 5x\) hisoblanadi.
\[\begin{align*}y' & = \sec \left( {1 - 5x} \right)\tan \left( {1 - 5x} \right)\left( { - 5} \right)\\ & = - 5\sec \left( {1 - 5x} \right)\tan \left( {1 - 5x} \right)\end{align*}\]Bu holda tashqi funktsiyaning hosilasi \(\sec \left( x \right)\tan \left( x \right)\) hisoblanadi. Biroq, biz ichki funktsiyani yolg'iz qoldirganimiz sababli, ikkalasida ham \(x\) ni olmaymiz. Buning o'rniga biz ikkalasida \(1 - 5x\) ni olamiz.
f \(P\left( t \right) = {\cos ^4}\left( t \right) + \cos \left( {{t^4}} \right)\) Yechim
Bu muammoning ikkita nuqtasi bor. Birinchidan, ikkita atama mavjud va ularning har biri zanjir qoidasini boshqacha qo'llashni talab qiladi. Ko'pincha shunday bo'ladi, shuning uchun bu muammolarni hal qilishda faqat bitta zanjir qoidasini kutmang. Ikkinchidan, har bir atama uchun tashqi va ichki funktsiyani tanlashda juda ehtiyot bo'lishimiz kerak.
Eslatib o'tamiz, birinchi atama aslida shunday yozilishi mumkin:
\[{\cos ^4}\left( t \right) = {\left( {\cos \left( t \right)} \right)^4}\]Shunday qilib, birinchi hadda tashqi funktsiya 4 ning ko'rsatkichi va ichki funktsiya kosinusdir. Ikkinchi muddatda bu butunlay teskari. Ikkinchi muddatda tashqi funktsiya kosinus va ichki funktsiya \({t^4}\). Mana bu funktsiyaning hosilasi.
\[\begin{align*}P'\left( t \right) & = 4{\cos ^3}\left( t \right)\left( { - \sin \left( t \right)} \right) - \sin \left( {{t^4}} \right)\left( {4{t^3}} \right)\\ & = - 4\sin \left( t \right){\cos ^3}\left( t \right) - 4{t^3}\sin \left( {{t^4}} \right)\end{align*}\]Zanjir qoidasining ayrim maxsus holatlari uchun biz olishimiz mumkin bo'lgan bir nechta umumiy formulalar mavjud. Keling, ularni tezda ko'rib chiqaylik.
- \(f\left( x \right) = {\left[ {g\left( x \right)} \right]^n}\)
- \(f\left( x \right) = {{\bf{e}}^{g\left( x \right)}}\)
- \(f\left( x \right) = \ln \left( {g\left( x \right)} \right)\)
Yechim
a Tashqi funktsiya ko'rsatkich, ichki qismi esa \(g\left( x \right)\).
\[f'\left( x \right) = n{\left[ {g\left( x \right)} \right]^{n - 1}}g'\left( x \right)\]b Tashqi funksiya eksponensial funktsiya, ichki qismi esa \(g\left( x \right)\).
\[f'\left( x \right) = g'\left( x \right){{\bf{e}}^{g\left( x \right)}}\]c Tashqi funktsiya logarifm, ichki funksiya esa \(g\left( x \right)\).
\[f'\left( x \right) = \frac{1}{{g\left( x \right)}}g'\left( x \right) = \frac{{g'\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}\]Ushbu misoldagi formulalar haqiqatan ham Zanjir qoidasining maxsus holatlaridir, ammo bu hosilalarning ba'zilarini tezda bajarish uchun eslab qolish foydali bo'lishi mumkin.
Keling, hosilalarni yaratish uchun bizda mavjud bo'lgan boshqa qoidalarni ham unutmaylik. Ko'pincha biz ushbu bo'limdagi qolgan muammolar uchun ichki va tashqi funktsiyalarni aniq belgilamaymiz. Oldingi misollar va biz ko'rsatgan ishlar asosida bizning tanlovlarimizni ko'rishingiz mumkin deb taxmin qilamiz.
- \(T\left( x \right) = {\tan ^{ - 1}}\left( {2x} \right)\,\,\sqrt[3]{{1 - 3{x^2}}}\)
- \(f\left( z \right) = \sin \left( {z{{\bf{e}}^z}} \right)\)
- \(\displaystyle y = \frac{{{{\left( {{x^3} + 4} \right)}^5}}}{{{{\left( {1 - 2{x^2}} \right)}^3}}}\)
- \(\displaystyle h\left( t \right) = {\left( {\frac{{2t + 3}}{{6 - {t^2}}}} \right)^3}\)
a \(T\left( x \right) = {\tan ^{ - 1}}\left( {2x} \right)\,\,\sqrt[3]{{1 - 3{x^2}}}\) Yechim
Keling, birinchi navbatda, bu muammo birinchi navbatda mahsulot qoidasi muammosi ekanligini ta'kidlaymiz. Bu ikki funktsiya, teskari tangens va ildizning mahsulotidir, shuning uchun hosila olishda birinchi narsa qilishimiz kerak bo'lgan narsa mahsulot qoidasidan foydalanishdir. Biroq, mahsulot qoidasidan va har bir hosiladan foydalanishda zanjir qoidasini qo'llash ham talab qilinadi.
\[\begin{align*}T'\left( x \right) & = \frac{1}{{1 + {{\left( {2x} \right)}^2}}}\left( 2 \right)\,\,{\left( {1 - 3{x^2}} \right)^{\frac{1}{3}}} + {\tan ^{ - 1}}\left( {2x} \right)\left( {\frac{1}{3}} \right){\left( {1 - 3{x^2}} \right)^{ - \frac{2}{3}}}\left( { - 6x} \right)\\ & = \frac{{2{{\left( {1 - 3{x^2}} \right)}^{\frac{1}{3}}}}}{{1 + {{\left( {2x} \right)}^2}}} - 2x{\left( {1 - 3{x^2}} \right)^{ - \frac{2}{3}}}{\tan ^{ - 1}}\left( {2x} \right)\end{align*}\]Bu qismda teskari tangens bilan ehtiyot bo'ling. Biz buni bilamiz,
\[\frac{d}{{dx}}\left( {{{\tan }^{ - 1}}x} \right) = \frac{1}{{1 + {x^2}}}\]Bu bilan zanjir qoidasini bajarayotganda, biz ichki funktsiyani yolg'iz qoldirishimiz kerakligini eslaymiz. Bu shuni anglatadiki, bizda \({\tan ^{ - 1}}x\) hosilasida \({x^2}\) mavjud bo'lsa, bizda \({\left( {{\mbox{inside function}}} \right)^2}\) bo'lishi kerak.
b \(f\left( z \right) = \sin \left( {z{{\bf{e}}^z}} \right)\) Yechim
Endi buni oldingi muammo bilan taqqoslang. Oldingi muammoda bizda mahsulot qoidasini qo'llashda zanjir qoidasidan foydalanishimiz kerak bo'lgan mahsulot bor edi. Ushbu muammoda biz avval zanjir qoidasini qo'llashimiz kerak va ichki funktsiyani farqlash uchun ketganimizda mahsulot qoidasidan foydalanishimiz kerak bo'ladi.
Mana muammoning zanjir qoidasi qismi.
\[f'\left( z \right) = \cos \left( {z{{\bf{e}}^z}} \right)\frac{d}{{dz}}\left[ {z{{\bf{e}}^z}} \right]\]Bu holda biz aslida ichki hosilani hali qilmadik. Ichki funktsiyaning hosilasini bajarish uchun bizda endi mahsulot qoidasi borligini tushunish uchun uni hosila yozuvida qoldirdik.
Mana, bu muammo uchun ishning qolgan qismi.
\[f'\left( z \right) = \cos \left( {z{{\bf{e}}^z}} \right)\left( {{{\bf{e}}^z} + z{{\bf{e}}^z}} \right)\]c \(\displaystyle y = \frac{{{{\left( {{x^3} + 4} \right)}^5}}}{{{{\left( {1 - 2{x^2}} \right)}^3}}}\) Yechim
Ushbu muammoni hal qilish uchun biz aniq ratsional ifodaga egamiz va shuning uchun biz qilishimiz kerak bo'lgan birinchi narsa bu bo'lim qoidasini qo'llashdir. Bo'lim qoidasini qo'llash jarayonida biz hisoblagich va maxrajni farqlashda zanjir qoidasidan foydalanishimiz kerak.
\[y' = \frac{{5{{\left( {{x^3} + 4} \right)}^4}\left( {3{x^2}} \right){{\left( {1 - 2{x^2}} \right)}^3} - {{\left( {{x^3} + 4} \right)}^5}\left( 3 \right){{\left( {1 - 2{x^2}} \right)}^2}\left( { - 4x} \right)}}{{{{\left( {{{\left( {1 - 2{x^2}} \right)}^3}} \right)}^2}}}\]Bular biroz chalkashlikka moyil. E'tibor bering, biz soddalashtirishga borganimizda, biz hisoblagichda adolatli miqdordagi faktoringni qo'llay olamiz va bu ko'pincha hosilani sezilarli darajada soddalashtiradi.
\[\begin{align*}y' & = \frac{{{{\left( {{x^3} + 4} \right)}^4}{{\left( {1 - 2{x^2}} \right)}^2}\left( {5\left( {3{x^2}} \right)\left( {1 - 2{x^2}} \right) - \left( {{x^3} + 4} \right)\left( 3 \right)\left( { - 4x} \right)} \right)}}{{{{\left( {1 - 2{x^2}} \right)}^6}}}\\ & = \frac{{3x{{\left( {{x^3} + 4} \right)}^4}\left( {5x - 6{x^3} + 16} \right)}}{{{{\left( {1 - 2{x^2}} \right)}^4}}}\end{align*}\]Faktoringdan so'ng biz hisoblagichdagi ba'zi atamalarni maxrajga nisbatan bekor qilishga muvaffaq bo'ldik. Shunday qilib, dastlabki zanjir qoidasi juda chalkash bo'lsa ham, yakuniy javob faktoring tufayli sezilarli darajada sodda.
d \(\displaystyle h\left( t \right) = {\left( {\frac{{2t + 3}}{{6 - {t^2}}}} \right)^3}\) Yechim
Oldingi muammodan farqli o'laroq, lotin uchun birinchi qadam zanjir qoidasini qo'llashdir va keyin ichki funktsiyani farqlashga o'tganimizdan so'ng, biz qism qoidasini bajarishimiz kerak bo'ladi.
Mana bu muammo uchun ish.
\[\begin{align*}h'\left( t \right) & = 3{\left( {\frac{{2t + 3}}{{6 - {t^2}}}} \right)^2}\frac{d}{{dt}}\left[ {\frac{{2t + 3}}{{6 - {t^2}}}} \right]\\ & = 3{\left( {\frac{{2t + 3}}{{6 - {t^2}}}} \right)^2}\left[ {\frac{{2\left( {6 - {t^2}} \right) - \left( {2t + 3} \right)\left( { - 2t} \right)}}{{{{\left( {6 - {t^2}} \right)}^2}}}} \right]\\ & = 3{\left( {\frac{{2t + 3}}{{6 - {t^2}}}} \right)^2}\left[ {\frac{{2{t^2} + 6t + 12}}{{{{\left( {6 - {t^2}} \right)}^2}}}} \right]\end{align*}\]Yuqoridagi ikkinchi qismda bo'lgani kabi, biz birinchi bosqichda ichki funktsiyani o'sha paytdan boshlab qism qoidasi bo'lishini aniq ko'rsatish uchun dastlab farqlamadik.
Oxirgi misolda bir nechta fikrlar bor edi. Birinchidan, bizda hali ham vaqti-vaqti bilan zarur bo'lgan boshqa lotin qoidalari borligini unutmaslik kerak. Bizda zanjir qoidasi mavjud bo'lganligi, mahsulot va bo'linish qoidasi endi kerak bo'lmaydi degani emas.
Bundan tashqari, oxirgi misolda ko'rsatilgandek, ularni bajarish tartibi ham o'zgaradi. Ba'zi muammolar zanjir qoidasini o'z ichiga olgan mahsulot yoki qism qoidasi muammolari bo'ladi. Biroq, boshqa muammolar, avvalo, zanjir qoidasidan foydalanishni talab qiladi va buni amalga oshirish jarayonida mahsulot va/yoki ko'rsatkich qoidasidan foydalanishimiz kerak bo'ladi.
Ushbu bo'limdagi misollarning aksariyati muammolarni biroz qisqartirish uchun mahsulot yoki qism qoidasini o'z ichiga olmaydi. Biroq, amalda ular ko'pincha bir xil muammoga duch kelishadi, shuning uchun siz bunday muammolarga tayyor bo'lishingiz kerak.
Keling, bir nechta murakkab misollarni ko'rib chiqaylik.
- \(\displaystyle h\left( z \right) = \frac{2}{{{{\left( {4z + {{\bf{e}}^{ - 9z}}} \right)}^{10}}}}\)
- \(f\left( y \right) = \sqrt {2y + {{\left( {3y + 4{y^2}} \right)}^3}} \)
- \(y = \tan \left( {\sqrt[3]{{3{x^2}}} + \ln \left( {5{x^4}} \right)} \right)\)
- \(g\left( t \right) = {\sin ^3}\left( {{{\bf{e}}^{1 - t}} + 3\sin \left( {6t} \right)} \right)\)
a \(\displaystyle h\left( z \right) = \frac{2}{{{{\left( {4z + {{\bf{e}}^{ - 9z}}} \right)}^{10}}}}\) Yechim
Bunday holda, keling, avval funktsiyani biroz osonroq bo'ladigan shaklda qayta yozamiz.
\[h\left( z \right) = 2{\left( {4z + {{\bf{e}}^{ - 9z}}} \right)^{ - 10}}\]Endi hosilani boshlaylik.
\[h'\left( z \right) = - 20{\left( {4z + {{\bf{e}}^{ - 9z}}} \right)^{ - 11}}\frac{d}{{dz}}\left( {4z + {{\bf{e}}^{ - 9z}}} \right)\]E'tibor bering, biz hali ichki funktsiyaning hosilasini qilmaganmiz. Bu bizga ikkinchi muddatni ajratganimizda yana zanjir qoidasini talab qilishimizni payqashimizga imkon beradi. Shuni ham yodda tutingki, bizga birinchi atama emas, balki faqat eksponent bo'yicha zanjir qoidasi kerak bo'ladi. Ko'pgina funktsiyalarda biz zanjir qoidasidan bir necha marta foydalanamiz, shuning uchun bu sodir bo'lganda hayajonlanmang.
Keling, davom etaylik va ushbu misolni tugatamiz.
\[h'\left( z \right) = - 20{\left( {4z + {{\bf{e}}^{ - 9z}}} \right)^{ - 11}}\left( {4 - 9{{\bf{e}}^{ - 9z}}} \right)\]Zanjir qoidasining ikkinchi qo'llanilishi bilan ehtiyot bo'ling. Faqat eksponensial "-9" ga ko'paytiriladi, chunki bu faqat shu atama uchun ichki funktsiyaning hosilasidir. Bunday masalalarda eng ko'p uchraydigan xatolardan biri bu faqat ikkinchi atama emas, balki butun narsani "-9" ga ko'paytirishdir.
b \(f\left( y \right) = \sqrt {2y + {{\left( {3y + 4{y^2}} \right)}^3}} \) Yechim
Biz bu misolga unchalik ko'p so'z kiritmaymiz, lekin biz hali ham bu hosiladan ehtiyot bo'lamiz, shuning uchun bu erdagi qadamlarning har birini bajarishingiz mumkinligiga ishonch hosil qiling.
\[\begin{align*}f'\left( y \right) & = \frac{1}{2}{\left( {2y + {{\left( {3y + 4{y^2}} \right)}^3}} \right)^{ - \frac{1}{2}}}\frac{d}{{dy}}\left( {2y + {{\left( {3y + 4{y^2}} \right)}^3}} \right)\\ & = \frac{1}{2}{\left( {2y + {{\left( {3y + 4{y^2}} \right)}^3}} \right)^{ - \frac{1}{2}}}\left( {2 + 3{{\left( {3y + 4{y^2}} \right)}^2}\left( {3 + 8y} \right)} \right)\\ & = \frac{1}{2}{\left( {2y + {{\left( {3y + 4{y^2}} \right)}^3}} \right)^{ - \frac{1}{2}}}\left( {2 + \left( {9 + 24y} \right){{\left( {3y + 4{y^2}} \right)}^2}} \right)\end{align*}\]Birinchi misolda bo'lgani kabi, ichki funktsiyaning ikkinchi atamasi uni farqlash uchun zanjir qoidasini talab qildi. Shuni ham yodda tutingki, biz ikkinchi hadda zanjir qoidasini bajarayotganda ichki funktsiyaning hosilasiga ko'paytirishda yana ehtiyot bo'lishimiz kerak.
c \(y = \tan \left( {\sqrt[3]{{3{x^2}}} + \ln \left( {5{x^4}} \right)} \right)\) Yechim
Keling, darhol shu narsaga o'taylik.
\[\begin{align*}y' & = {\sec ^2}\left( {\sqrt[3]{{3{x^2}}} + \ln \left( {5{x^4}} \right)} \right)\frac{d}{{dx}}\left( {{{\left( {3{x^2}} \right)}^{\frac{1}{3}}} + \ln \left( {5{x^4}} \right)} \right)\\ & = {\sec ^2}\left( {\sqrt[3]{{3{x^2}}} + \ln \left( {5{x^4}} \right)} \right)\left( {\frac{1}{3}{{\left( {3{x^2}} \right)}^{ - \frac{2}{3}}}\left( {6x} \right) + \frac{{20{x^3}}}{{5{x^4}}}} \right)\\ & = \left( {2x{{\left( {3{x^2}} \right)}^{ - \frac{2}{3}}} + \frac{4}{x}} \right){\sec ^2}\left( {\sqrt[3]{{3{x^2}}} + \ln \left( {5{x^4}} \right)} \right)\end{align*}\]Ushbu misolda ichki funktsiyadagi ikkala atama ham zanjir qoidasini alohida qo'llashni talab qildi.
d \(g\left( t \right) = {\sin ^3}\left( {{{\bf{e}}^{1 - t}} + 3\sin \left( {6t} \right)} \right)\) Yechim
Biz bu bilan biroz ehtiyot bo'lishimiz kerak.
\[\begin{align*}g'\left( t \right) & = 3{\sin ^2}\left( {{{\bf{e}}^{1 - t}} + 3\sin \left( {6t} \right)} \right)\frac{d}{{dt}}\sin \left( {{{\bf{e}}^{1 - t}} + 3\sin \left( {6t} \right)} \right)\\ & = 3{\sin ^2}\left( {{{\bf{e}}^{1 - t}} + 3\sin \left( {6t} \right)} \right)\cos \left( {{{\bf{e}}^{1 - t}} + 3\sin \left( {6t} \right)} \right)\frac{d}{{dt}}\left( {{{\bf{e}}^{1 - t}} + 3\sin \left( {6t} \right)} \right)\\ & = 3{\sin ^2}\left( {{{\bf{e}}^{1 - t}} + 3\sin \left( {6t} \right)} \right)\cos \left( {{{\bf{e}}^{1 - t}} + 3\sin \left( {6t} \right)} \right)\left( {{{\bf{e}}^{1 - t}}\left( { - 1} \right) + 3\cos \left( {6t} \right)\left( 6 \right)} \right)\\ & = 3\left( { - {{\bf{e}}^{1 - t}} + 18\cos \left( {6t} \right)} \right){\sin ^2}\left( {{{\bf{e}}^{1 - t}} + 3\sin \left( {6t} \right)} \right)\cos \left( {{{\bf{e}}^{1 - t}} + 3\sin \left( {6t} \right)} \right)\end{align*}\]Bu muammoni bajarish uchun jami 4 ta zanjir qoidasi kerak edi.
Ba'zan ular juda yoqimsiz bo'lishi mumkin va zanjir qoidasining ko'p qo'llanilishini talab qiladi. Dastlab, bunday hollarda, avvalgi misollar to'plamida bo'lgani kabi, ehtiyot bo'lish va barchasini bir qadamda bajarishga urinishdan ko'ra, bir nechta qo'shimcha qadamlarni yozib qo'yish yaxshidir. Zanjir qoidalarini yaxshi o'rganganingizdan so'ng, siz buni boshingizda juda tez bajarishingiz mumkinligini bilib olasiz.
Nihoyat, keyingi bo'limga o'tishdan oldin biz hal qilishimiz kerak bo'lgan yana bir muammo bor. In Ko‘rsatkichli va logarifm funksiyalarning hosilalari biz da'vo qilgan bo'lim,
\[f\left( x \right) = {a^x}\hspace{0.25in}\hspace{0.25in} \Rightarrow \hspace{0.25in}\hspace{0.25in}f'\left( x \right) = {a^x}\ln \left( a \right)\]lekin o'sha paytda bizda buni qilish uchun bilim yo'q edi. Biz hozir qilamiz. Bizga kerak bo'lgan narsa zanjir qoidasi edi.
Birinchidan, logarifmlar xususiyatidan foydalanib, \(a\) ni quyidagicha yozishimiz mumkinligiga e'tibor bering:
\[a = {{\bf{e}}^{\ln a}}\]Bu ahmoqona tuyulishi mumkin, ammo hosilani hisoblash uchun kerak. Endi bundan foydalanib, funksiyani quyidagicha yozishimiz mumkin:
\[\begin{align*}f\left( x \right) & = {a^x}\\ & = {\left( a \right)^x}\\ & = {\left( {{{\bf{e}}^{\ln a}}} \right)^x}\\ & = {{\bf{e}}^{\left( {\ln a} \right)x}}\\ & = {{\bf{e}}^{x\,\,\ln a}}\end{align*}\]Xo'sh, endi biz shuni yodda tutishimiz kerakki, \(a\) doimiy va shuning uchun \(\ln a\) ham doimiydir. Endi ushbu funktsiyaning yakuniy versiyasini farqlash (umid qilamanki) juda oddiy zanjir qoidasi muammosidir.
\[f'\left( x \right) = {{\bf{e}}^{x\,\,\ln a}}\left( {\ln a} \right)\]Endi biz qilishimiz kerak bo'lgan narsa birinchi atamani \({a^x}\) sifatida qayta yozish,
\[f'\left( x \right) = {a^x}\ln \left( a \right)\]Shunday qilib, agar siz \(a\)-ni qayta yozish va zanjir qoidasidan foydalanish hiylasini ko'rsangiz yomon emas.