15.4-bo'lim: Qutb koordinatalarida qo'sh integrallar
Shu nuqtaga qadar biz bir nechta qo'sh integrallarni ko'rdik. Biroq, har bir holatda biz \(D\) mintaqasini Kartezian koordinatalarida oddiy funktsiyalar nuqtai nazaridan osongina tasvirlash mumkin edi. Ushbu bo'limda biz qutb koordinatalari nuqtai nazaridan tasvirlash osonroq bo'lgan ba'zi hududlarni ko'rib chiqmoqchimiz. Misol uchun, bizda disk, halqa yoki disk yoki halqaning bir qismi bo'lgan mintaqa bo'lishi mumkin. Bunday hollarda, Dekart koordinatalaridan foydalanish biroz qiyin bo'lishi mumkin. Masalan, biz quyidagi integralni qilmoqchi edik, deylik,
\[\iint\limits_{D}{{f\left( {x,y} \right)\,dA}},\,\,\,\,\,D{\mbox{ is the disk of radius 2}}\]Buning uchun biz \(x\) va \(y\) uchun ushbu mintaqani tavsiflovchi tengsizliklar to'plamini aniqlashimiz kerak. Bular bo'lardi,
\[\begin{array}{c} - 2 \le x \le 2\\ - \sqrt {4 - {x^2}} \le y \le \sqrt {4 - {x^2}} \end{array}\]Ushbu chegaralar bilan integral,
\[\iint\limits_{D}{{f\left( {x,y} \right)\,dA}} = \int_{{\, - 2}}^{{\,2}}{{\int_{{ - \sqrt {4 - {x^2}} }}^{{\,\sqrt {4 - {x^2}} }}{{f\left( {x,y} \right)\,dy}}\,dx}}\]Ichki integralning chegaralari tufayli bu hisoblash uchun yoqimsiz integral bo'lishi mumkin.
Biroq, radiusi 2 bo'lgan diskni qutb koordinatalarida quyidagi tengsizliklar bilan aniqlash mumkin:
\[\begin{array}{c}0 \le \theta \le 2\pi \\ 0 \le r \le 2\end{array}\]Bular juda oddiy chegaralar va, aslida, integratsiyaning doimiy chegaralari bo'lib, deyarli har doim integrallarni biroz osonlashtiradi.
Shunday qilib, agar biz ikkita integral formulani qutbli koordinatalar bilan bittaga aylantira olsak, biz juda yaxshi shaklda bo'lar edik. Muammo shundaki, biz faqat \(dx\) va \(dy\) ni \(dr\) va \(d\theta \) ga aylantira olmaymiz. Ikki tomonlama integrallarni hisoblashda biz \(dA = dx\,dy\) dan foydalandik va bu haqiqatan ham Dekart koordinatalaridan foydalanishni talab qiladi. Biz \(dA \ne dr\,d\theta \) qutb koordinatalariga o'tganimizdan so'ng, biz \(dA\) qutb koordinatalari ostida nima ekanligini aniqlashimiz kerak bo'ladi.
Shunday qilib, keling, bir oz orqaga chekinamiz va qutb koordinatalari nuqtai nazaridan umumiy mintaqadan boshlaymiz va bu bilan nima qilishimiz mumkinligini ko'rib chiqamiz. Bu erda qutb koordinatalari yordamida ba'zi mintaqaning eskizi.
Shunday qilib, bizning umumiy mintaqamiz tengsizliklar bilan belgilanadi,
\[\begin{array}{c}\alpha \le \theta \le \beta \\ {h_1}\left( \theta \right) \le r \le {h_2}\left( \theta \right)\end{array}\]Endi \(dA\) ni topish uchun yuqoridagi rasmni quyidagicha takrorlaymiz,
Ko'rsatilganidek, biz mintaqani radial chiziqlar va yoylar tarmog'iga ajratamiz. Endi, ko'rsatilganidek, biz to'rning bo'laklaridan birini tortib olsak, bizda deyarli to'rtburchaklar bo'lmagan narsa bor. Ushbu qismning maydoni \(\Delta A\). Ushbu qismning ikkala tomoni ham \(\Delta \,r = {r_o} - {r_i}\) uzunligiga ega, bu erda \({r_o}\) - tashqi yoyning radiusi va \({r_i}\) - ichki yoyning radiusi. Keyin asosiy geometriya bizga ichki chekkaning uzunligi \({r_i}\,\Delta \,\theta \), tashqi chetining uzunligi esa \({r_o}\,\Delta \,\theta \) ekanligini aytadi. \(\Delta \,\theta \) - bu qismning yon tomonlarini tashkil etuvchi ikkita radial chiziq orasidagi burchak.
Keling, biz to'rni shunchalik kichik qildik, deb faraz qilaylik, biz \({r_i} \approx {r_o} = r\) deb taxmin qilishimiz mumkin va bu faraz bilan bizning bo'lakimiz to'rtburchakka etarlicha yaqin deb taxmin qilishimiz mumkin, keyin buni ham taxmin qilishimiz mumkin,
\[\Delta A \approx r\,\Delta \,\theta \,\Delta \,r\]Bundan tashqari, agar biz to'rni etarlicha kichik deb hisoblasak, biz buni ham taxmin qilishimiz mumkin:
\[dA \approx \Delta A\hspace{0.5in}d\theta \approx \Delta \theta \hspace{0.5in}dr \approx \Delta \,r\]Ushbu taxminlar bilan biz \(dA \approx r\,dr\,d\theta \) ni olamiz.
Bunga erishish uchun biz to'r juda kichik deb taxmin qilishimiz kerak edi. Bu asossiz taxmin emas. Eslab qoling qo'sh integralning ta'rifi ikki chegarada bo'ladi va chegaralar cheksizlikka o'tishi bilan mintaqaning to'r hajmi kichikroq va kichikroq bo'ladi. Darhaqiqat, to'r o'lchami kichikroq va kichikroq bo'lganda, yuqoridagi formula aniqroq bo'ladi va shuning uchun biz buni aytishimiz mumkin:
Qutb koordinatalari uchun \(dA\)
Biz yetib borganimizdan keyin buni olishning boshqa usulini ko'ramiz O'zgaruvchilarning o'zgarishi ushbu bobning keyingi qismida. Bu ikkinchi usul ham hech qanday taxminlarni o'z ichiga olmaydi va shuning uchun uni olishning biroz yaxshiroq usuli bo'lishi mumkin.
Davom etishdan oldin \(dA \ne dr\,d\theta \) ekanligini yana bir bor ta'kidlash kerak. \(dA\) uchun haqiqiy formulada \(r\) mavjud. Ba'zida bu \(r\) ni unutish oson bo'ladi, lekin siz ko'rib turganingizdek, usiz ba'zi integrallarni amalga oshirish mumkin bo'lmaydi.
Endi, agar biz Kartezian koordinatalaridagi integralni qutb koordinatalarida integralga aylantirmoqchi bo'lsak, biz barcha \(x\) va \(y\) ni ham qutb koordinatalariga aylantirganimizga ishonch hosil qilishimiz kerak. Buni amalga oshirish uchun biz quyidagi konvertatsiya formulalarini eslab qolishimiz kerak,
\[x = r\cos \theta \hspace{0.5in}y = r\sin \theta \hspace{0.5in}{r^2} = {x^2} + {y^2}\]Endi qutb koordinatalari bo‘yicha qo‘sh integral formulasini yozishga tayyormiz.
Qutb koordinatalarida qo'sh integrallar
Qo'shilgan \(r\) ni unutmaslik va funktsiyadagi Dekart koordinatalarini qutb koordinatalariga aylantirishni unutmang.
Keling, bu turdagi integrallarning bir nechta misollarini ko'rib chiqaylik.
- \(\displaystyle \iint\limits_{D}{{2x\,y\,dA}}\), \(D\) - mintaqaning birinchi kvadrantda joylashgan koordinata markazida joylashgan radius 2 va 5 radiusli doiralar orasidagi qismi.
- \(\displaystyle \iint\limits_{D}{{{{\bf{e}}^{{x^2} + {y^2}}}\,dA}}\), \(D\) boshlang'ichda markazlashtirilgan birlik diskidir.
a \(\displaystyle \iint\limits_{D}{{2x\,y\,dA}}\), \(D\) - mintaqaning birinchi kvadrantda joylashgan koordinata markazida joylashgan 2 va 5 radiusli doiralar orasidagi qismi. Yechim
Avval qutb koordinatalari bo'yicha \(D\) ni olaylik. 2 radiusli doira \(r = 2\) va 5 radiusli doira \(r = 5\) tomonidan berilgan. Biz ikki doira orasidagi mintaqani xohlaymiz, shuning uchun biz \(r\) uchun quyidagi tengsizlikka ega bo'lamiz.
\[2 \le r \le 5\]Bundan tashqari, biz faqat birinchi kvadrantdagi qismni xohlaganimiz uchun biz \(\theta \) ning quyidagi diapazonini olamiz.
\[0 \le \theta \le \frac{\pi }{2}\]Endi bizda bular bor, biz integralni qila olamiz.
\[\iint\limits_{D}{{2x\,y\,dA}} = \int_{{\,0}}^{{\,\frac{\pi }{2}}}{{\int_{{\,2}}^{{\,5}}{{2\left( {r\cos \theta } \right)\left( {r\sin \theta } \right)r\,dr}}\,d\theta }}\]Konvertatsiya qilishni va qo'shimcha \(r\) qo'shishni unutmang. Keling, integralni biroz osonlashtirish uchun sinusning ikki burchakli formulasini soddalashtiramiz va ishlatamiz.
\[\begin{align*}\iint\limits_{D}{{2x\,y\,dA}} & = \int_{{\,0}}^{{\,\frac{\pi }{2}}}{{\int_{{\,2}}^{{\,5}}{{{r^3}\sin \left( {2\theta } \right)\,dr}}\,d\theta }}\\ & = \int_{{\,0}}^{{\,\frac{\pi }{2}}}{{\left. {\frac{1}{4}{r^4}\sin \left( {2\theta } \right)} \right|_2^5\,d\theta }}\\ & = \int_{{\,0}}^{{\,\frac{\pi }{2}}}{{\frac{{609}}{4}\sin \left( {2\theta } \right)\,d\theta }}\\ & = \left. { - \frac{{609}}{8}\cos \left( {2\theta } \right)} \right|_0^{\frac{\pi }{2}}\\ & = \frac{{609}}{4}\end{align*}\]b \(\displaystyle \iint\limits_{D}{{{{\bf{e}}^{{x^2} + {y^2}}}\,dA}}\), \(D\) boshlang'ichda markazlashtirilgan birlik diskidir. Yechim
Bunday holda biz bu integralni Dekart koordinatalari nuqtai nazaridan bajara olmaymiz. Biroq, biz buni qutbli koordinatalarda qilishimiz mumkin. Birinchidan, \(D\) mintaqasi quyidagicha aniqlanadi:
\[\begin{array}{c}0 \le \theta \le 2\pi \\ 0 \le r \le 1\end{array}\]Qutb koordinatalari bo'yicha integral u holda,
\[\iint\limits_{D}{{{{\bf{e}}^{{x^2} + {y^2}}}\,dA}} = \int_{{\,0}}^{{\,2\pi }}{{\int_{{\,0}}^{{\,1}}{{r\,{{\bf{e}}^{{r^2}}}\,dr}}\,d\theta }}\]E'tibor bering, \(r\) qo'shilishi bizga endi qila oladigan integralni beradi. Mana bu integral uchun ish.
\[\begin{align*}\iint\limits_{D}{{{{\bf{e}}^{{x^2} + {y^2}}}\,dA}} & = \int_{{\,0}}^{{\,2\pi }}{{\int_{{\,0}}^{{\,1}}{{r\,{{\bf{e}}^{{r^2}}}\,dr}}\,d\theta }}\\ & = \int_{{\,0}}^{{\,2\pi }}{{\left. {\frac{1}{2}{{\bf{e}}^{{r^2}}}} \right|_0^1\,d\theta }}\\ & = \int_{{\,0}}^{{\,2\pi }}{{\frac{1}{2}\left( {{\bf{e}} - 1} \right)\,d\theta }}\\ & = \pi \left( {{\bf{e}} - 1} \right)\end{align*}\]Shuni unutmaslik kerakki, bizda bu integrallar uchun hali ham ikkita geometrik talqin mavjud.
Yechim
Mana, biz maydonini aniqlamoqchi bo'lgan \(D\) mintaqasining eskizi.
Ushbu maydonni aniqlash uchun ikkita egri chiziq kesishadigan \(\theta\) qiymatini bilishimiz kerak. Biz bu nuqtalarni ikkita tenglamani teng qilib, yechish orqali aniqlashimiz mumkin.
\[\begin{align*}3 + 2\sin \theta & = 2\\ \sin \theta & = - \frac{1}{2}\hspace{0.5in} \Rightarrow \hspace{0.5in}\theta = \frac{{7\pi }}{6},\frac{{11\pi }}{6}\end{align*}\]Mana bu burchaklar qo'shilgan shaklning eskizi.
Shuni ham yodda tutingki, biz \( - \frac{\pi }{6}\) \(\frac{{11\pi }}{6}\) burchagining yana bir ifodasi ekanligini tan oldik. Bu juda muhim, chunki biz pastki chegaradan yuqori chegaraga ko'tarilganimiz sababli mintaqalarni haqiqatda o'rab olish uchun \(\theta\) diapazoni kerak. Agar biz \(\frac{{11\pi }}{6}\) dan foydalanishni tanlagan bo'lsak, \(\frac{{7\pi }}{6}\) dan \(\frac{{11\pi }}{6}\) ga ko'tarilganimizda biz aylananing pastki qismini kuzatgan bo'lardik va bu biz kutayotgan mintaqa emas.
Shunday qilib, bu erda mintaqani belgilaydigan diapazonlar.
\[\begin{array}{c}\displaystyle - \frac{\pi }{6} \le \theta \le \frac{{7\pi }}{6}\\ 2 \le r \le 3 + 2\sin \theta \end{array}\]\(r\) diapazonlarini olish uchun boshlang'ichga eng yaqin bo'lgan funktsiya pastki chegara va boshlang'ichdan uzoqroq bo'lgan funksiya yuqori chegara hisoblanadi.
Mintaqaning maydoni \(D\) keyin,
\[\begin{align*}A &= \iint\limits_{D}{{dA}}\\ & = \int_{{ - {\pi }/{6}\;}}^{{\,7{\pi }/{6}\;}}{{\int_{2}^{{3 + 2\sin \theta }}{{r\,drd\theta }}}}\\ & = \int_{{ - {\pi }/{6}\;}}^{{\,7{\pi }/{6}\;}}{{\left. {\frac{1}{2}{r^2}} \right|_2^{3 + 2\sin \theta }\,d\theta }}\\ & = \int_{{ - {\pi }/{6}\;}}^{{\,7{\pi }/{6}\;}}{{\frac{5}{2} + 6\sin \theta + 2{{\sin }^2}\theta \,d\theta }}\\ & = \int_{{ - {\pi }/{6}\;}}^{{\,7{\pi }/{6}\;}}{{\frac{7}{2} + 6\sin \theta - \cos \left( {2\theta } \right)\,d\theta }}\\ & = \left. {\left( {\frac{7}{2}\theta - 6\cos \theta - \frac{1}{2}\sin \left( {2\theta } \right)} \right)} \right|_{ - \frac{\pi }{6}}^{\frac{{7\pi }}{6}}\\ & = \frac{{11\sqrt 3 }}{2} + \frac{{14\pi }}{3} = 24.187\end{align*}\]Yechim
Bizga ma'lumki, mintaqaning hajmini topish formulasi:
\[V = \iint\limits_{D}{{f\left( {x,y} \right)\,dA}}\]Ushbu formuladan foydalanish uchun biz birlashtirishimiz kerak bo'lgan funktsiyani va biz integratsiya qiladigan \(D\) mintaqasini aniqlashimiz kerak.
Funktsiya unchalik yomon emas. Bu shunchaki shar, ammo biz uni \(z = f\left( {x,y} \right)\) shaklida bo'lishimiz kerak. Biz shar ostida va \(z = 0\) tekisligi ustida joylashgan mintaqaga qaraymiz (faqat \(xy\) tekisligi to'g'rimi?) va shuning uchun biz qilishimiz kerak bo'lgan yagona narsa \(z\) tenglamasini echish va kvadrat ildizni olishda biz ijobiy natijani olamiz, chunki biz mintaqaning \(z = 0\) tekisligidan yuqorida bo'lishini xohlaymiz. Mana funktsiya.
\[z = \sqrt {9 - {x^2} - {y^2}} \]\(D\) mintaqasi bu holatda ham yomon emas. Mintaqadan \(\left( {x,y} \right)\) nuqtalarini olganimizda, biz ishlayotgan sohaning to'liq grafigini chizishimiz kerak. Biz faqat \({x^2} + {y^2} = 5\) tomonidan berilgan tsilindr ichida joylashgan sharning faqat qismini xohlayotganimiz sababli, bu ham \(D\) hududidir. \(D\) mintaqasi \(xy\) tekisligidagi \({x^2} + {y^2} \le 5\) diskidir.
Malumot uchun bu erda biz hajmini topishga harakat qilayotgan mintaqaning eskizi.
Shunday qilib, biz hajmni talab qiladigan mintaqa haqiqatan ham shardan keladigan qopqoqli silindrdir.
Biz, albatta, bu integralni qutb koordinatalari bo'yicha qilishni xohlaymiz, shuning uchun mintaqa uchun chegaralar (qutb koordinatalarida),
\[\begin{array}{c}0 \le \theta \le 2\pi \\ 0 \le r \le \sqrt 5 \end{array}\]va biz funktsiyani qutbli koordinatalarga ham aylantirishimiz kerak bo'ladi.
\[z = \sqrt {9 - \left( {{x^2} + {y^2}} \right)} = \sqrt {9 - {r^2}} \]Keyin hajm,
\[\begin{align*}V & = \iint\limits_{D}{{\sqrt {9 - {x^2} - {y^2}} \,dA}}\\ & = \int_{{\,0}}^{{\,2\pi }}{{\int_{{\,0}}^{{\,\sqrt 5 }}{{r\sqrt {9 - {r^2}} \,dr}}\,d\theta }}\\ & = \int_{{\,0}}^{{\,2\pi }}{{ - \frac{1}{3}\left. {{{\left( {9 - {r^2}} \right)}^{\frac{3}{2}}}} \right|_0^{\sqrt 5 }\,d\theta }}\\ & = \int_{{\,0}}^{{\,2\pi }}{{\frac{{19}}{3}\,d\theta }}\\ & = \frac{{38\pi }}{3}\end{align*}\]Yechim
Keling, ushbu misolni mintaqaning qisqacha eskizi bilan boshlaylik.
Endi, bu holda standart formula ishlamaydi. Formula
\[V = \iint\limits_{D}{{f\left( {x,y} \right)\,dA}}\]\(f\left( {x,y} \right)\) funksiyasi ostida tovushni topadi va biz aslida funktsiyadan yuqori bo'lgan hajmdan keyinmiz. Biroq, bu ko'rinishi mumkin bo'lgan muammo emas. Birinchidan, bunga e'tibor bering
\[V = \iint\limits_{D}{{16\,dA}}\]\(z = 16\) ostidagi hajm bo'ladi (albatta, biz oxir-oqibat \(D\) ni aniqlashimiz kerak)
\[V = \iint\limits_{D}{{{x^2} + {y^2}\,dA}}\]bir xil \(D\) yordamida \(z = {x^2} + {y^2}\) ostidagi hajm.
Biz izlayotgan hajm haqiqatan ham bu ikkisi o'rtasidagi farq yoki,
\[V = \iint\limits_{D}{{16\,dA}} - \iint\limits_{D}{{{x^2} + {y^2}\,dA}} = \iint\limits_{D}{{16 - \left( {{x^2} + {y^2}} \right)\,dA}}\]Endi biz qilishimiz kerak bo'lgan narsa - \(D\) mintaqasini aniqlash va keyin hamma narsani qutb koordinatalariga aylantirish.
Bu holda \(D\) mintaqasini aniqlash juda yomon emas. Agar biz \(z\) o'qi bo'ylab to'g'ridan-to'g'ri mintaqaga qaraydigan bo'lsak, biz boshlang'ich markazida joylashgan 4 radiusli doirani ko'ramiz. Buning sababi shundaki, elliptik paraboloid tekislik bilan kesishgan mintaqaning yuqori qismi mintaqaning eng keng qismidir. Biz chorrahadagi \(z\) koordinatasini bilamiz, shuning uchun paraboloid tenglamasida \(z = 16\) ni o‘rnatish quyidagini beradi:
\[16 = {x^2} + {y^2}\]radiusi 4 boʻlgan aylana tenglamasi koordinata boshida joylashgan.
Bu erda mintaqa uchun tengsizliklar va biz qutb koordinatalari nuqtai nazaridan birlashadigan funktsiyamiz.
\[0 \le \theta \le 2\pi \hspace{0.5in}0 \le r \le 4\hspace{0.5in}z = 16 - {r^2}\]Keyin hajm,
\[\begin{align*}V & = \iint\limits_{D}{{16 - \left( {{x^2} + {y^2}} \right)\,dA}}\\ & = \int_{{\,0}}^{{\,2\pi }}{{\int_{{\,0}}^{{\,4}}{{r\left( {16 - {r^2}} \right)\,dr}}\,d\theta }}\\ & = \int_{{\,0}}^{{\,2\pi }}{{\left. {\left( {8{r^2} - \frac{1}{4}{r^4}} \right)} \right|}}_0^4\,d\theta \\ & = \int_{{\,0}}^{{\,2\pi }}{{64\,d\theta }}\,\\ & = 128\pi \end{align*}\]Oldingi tovush muammolarining ikkalasida ham biz qutb koordinatalariga o'tkazmasdan tovushni osongina hisoblay olmas edik, shuning uchun bu misollar ko'rsatganidek, qutb koordinatalarini doimo eslab qolish yaxshi fikrdir.
Keyingiga o'tishdan oldin ko'rib chiqishimiz kerak bo'lgan yana bir misol bor. Ba'zan bizga \(x\) va \(y\) ko'rinishida bo'lgan takrorlangan integral beriladi va biz integralni amalga oshirishimiz uchun uni qutbga aylantirishimiz kerak. Ushbu turdagi konvertatsiyani qanday qilish kerakligi haqidagi misolni ko'rishimiz kerak.
Yechim
Birinchidan, biz bu integralni Kartezian koordinatalarida bajara olmasligimizga e'tibor bering va shuning uchun qutb koordinatalariga aylantirish bizda integralni amalga oshirishning yagona varianti bo'lishi mumkin. E'tibor bering, funktsiya qutbli koordinatalarga yaxshi aylanadi va shuning uchun muammo bo'lmasligi kerak.
Keling, avvalo biz integratsiya qilayotgan mintaqani aniqlaymiz va bu qutb koordinatalariga osongina aylantirilishi mumkin bo'lgan mintaqa ekanligini bilib olaylik. Dekart koordinatalari bo'yicha mintaqani aniqlaydigan tengsizliklar.
\[\begin{array}{c} - 1 \le x \le 1\\ - \sqrt {1 - {x^2}} \le y \le 0\end{array}\]Endi \(y\) uchun pastki chegara:
\[y = - \sqrt {1 - {x^2}} \]va bu koordinata boshida joylashgan 1 radiusli doiraning pastki qismiga o'xshaydi. \(y\)-ning yuqori chegarasi \(y = 0\) bo'lgani uchun bizda diskning yuqori yarmining hech qanday qismi bo'lmaydi va shuning uchun biz boshlang'ich markazida joylashgan radius 1 diskining pastki qismiga (yoki hammasiga) ega bo'lamiz.
O'z navbatida \(x\) diapazoni bizda diskning to'liq pastki qismiga ega bo'lishimizni aytadi.
Shunday qilib, biz bilamizki, bu mintaqani qutb koordinatalari bo'yicha aniqlaydigan tengsizliklar,
\[\begin{array}{c}\pi \le \theta \le 2\pi \\ 0 \le r \le 1\end{array}\]Nihoyat, shuni yodda tutishimiz kerakki,
\[dx\,dy = dA = r\,dr\,d\theta \]va shuning uchun integral bo'ladi,
\[\int_{{ - 1}}^{1}{{\int_{{ - \sqrt {1 - {x^2}} }}^{0}{{\cos \left( {{x^2} + {y^2}} \right)\,dy}}\,dx}} = \int_{\pi }^{{2\pi }}{{\int_{0}^{1}{{r\cos \left( {{r^2}} \right)\,dr}}\,d\theta }}\]E'tibor bering, bu biz qila oladigan integraldir. Shunday qilib, bu integral uchun qolgan ish.
\[\begin{align*}\int_{{ - 1}}^{1}{{\int_{{ - \sqrt {1 - {x^2}} }}^{0}{{\cos \left( {{x^2} + {y^2}} \right)\,dy}}\,dx}} & = \int_{\pi }^{{2\pi }}{{\left. {\frac{1}{2}\sin \left( {{r^2}} \right)} \right|_0^1\,d\theta }}\\ & = \int_{\pi }^{{2\pi }}{{\frac{1}{2}\sin \left( 1 \right)\,d\theta }}\\ & = \frac{\pi }{2}\sin \left( 1 \right)\end{align*}\]